IUPSM OSVELIS RUIZ

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA
EDUCACIÓN UNIVERSITARIA,
CIENCIA Y TECNOLOGÍA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
ARAGUA, EXTENSIÓN MARACAY
OPTIMIZACIÓN
autor: Osvelis Ruiz Echenagucia
Docente de la asignatura: Ing. Isabel Flores
Maracay noviembre 2016

2. CONCEPTOS BÁSICOSOPTIMIZACIÓN
La optimización es una rama de las
matemáticas aplicadas que consiste en la
re- colección de principios y métodos
usados para solucionar problemas
cuantitativos de muchas disciplinas como
física, biología, ingeniería y economía para
obtener la mejor o una buena solución.
Existen diferentes problemas de
optimización, que los podemos dividir
en dos gran- des grupos de acuerdo
al número de objetivos que se tratan
de resolver: los problemas de
optimización simple y los problemas
de optimización multiobjetivo. La
diferencia más grande que se
podría encontrar entre los
anteriores es que los de
optimización simple buscan obtener
el mejor diseño o decisión, el cual es
regularmente un máximo o mínimo
global, según sea el caso de
maximizar o minimizar. En cambio en
la optimización multiobjetivo puede
no existir una solución que sea la
mejor con respecto a todos los
objetivos.
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3. DEFINICIÓN DEL
PROBLEMA DE
RED
CONCEPTOS BÁSICOS
Se considera un grafo dirigido o digrafico G = (N, A), donde N =
{1, 2, . . . , m} es el conjunto finito de nodos (vértices o puntos) y
A = {(i, j), (k, l), . . . , (s, t)} el conjunto de arcos dirigidos que
unen pares de nodos en N . Si (i, j) pertenece al conjunto A se
dice
j es un nodo adyacente a i. En una red R = (N, A, f ) es un grafo
dirigido donde además se cuenta con una función f : A → R que
asigna a cada arco un valor determinado, que representa la
distancia o el costo de viajar de un nodo a otro adyacente.
variedad de panoramas de redes tales como ruta más corta, flujo
máximo, y problemas de flujo con costos mínimos. Las redes son
muy útiles para describir muchos problemas. Uno de los modelos introducidos en la
literatura es el problema de flujo de costos
mínimos que se puede utilizar como punto
de partida para representar flujo máximo,
el problema de la ruta más corta y modelos
de transporte. Para esto consideremos una
red que tiene m nodos y n arcos. Cada
nodo i se asocia a un numero bi,
representante de la oferta de un articulo si
es positivo o la demanda si es negativo.
Cada arco (i, j) tiene asociado xij , que es
la cantidad de flujo sobre el arco y cij que
es el costo unitario de embarque a lo largo
del arco.
El problema de flujo de costo mínimo es embarcar la oferta disponible a través de la red a fin de
satisfacer la demanda a un costo mínimo. La representación matemática siguiente es utilizada
como un acercamiento de programación lineal para describir este proceso de optimización
m m
Minimizar
cijxij i=1 m j=1 m
sujeto a
xij − . xki = b(i)i = 1, . . . , m
j=1 k=1
xij ≥ 0 i, j = 1, . . . , m
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4. Este modelo es muy útil para identificar todas las variables implicadas
en el proceso de la optimización. El modelo representa un sistema de
las ecuaciones que tienen como un objetivo la minimización del
costo total incurrido al transportar artículos a partir de un nodo a
otro. También demuestra las restricciones que se aplican a las
diversas variables. En el modelo, xij representa el uso de un arco
particular en la trayectoria. En este caso xij tiene limitaciones en la
capacidad. En la mayoría de los casos, los limites más bajos en flujos
del arco son cero. El costo de mover los artículos para la mayoría de
los modelos determinísticos es una constante pero en este caso
podemos cambiar esa constante por funciones con diversas
distribuciones discretas o continuas. La definición básica de la red no
cambia pero la información entre nodos si.
EL PROBLEMA DE RUTA CORTA
De forma general, en el problema de ruta corta se tiene una
red, R que tiene m nodos que representan ciudades, con n
arcos o caminos de ciudad a ciudad y los costos cij
asociados con cada arco (i, j), tratándose de encontrar la
trayectoria más corta (o la menos costosa) que vaya de un
origen a un destino deseado (que puede ser el nodo m). El
costo total de la ruta es la suma de los costos de los arcos
de la ruta, y las xij = 0, 1 indican que cada arco esta o no en
la ruta. El planteamiento maten ático es el siguiente:
m m
Minimizar
cijxij i=1 m j=1 m
1 si i = 1
sujeto a
xij − . Xki= 0 si i ƒ= 1 y i ƒ= m
j=1 k=1
−1 si i = m
xij ∈ {0, 1} i, j = 1, 2, . . . , m
Este problema es uno de los más estudiados en el área de optimización, dado que existen muchos algoritmos que lo resuelven, dadas ciertas
condiciones. Por ejemplo, el algoritmo de Dijkstra lo resuelve cuando todos los costos son constantes no negativas con el objetivo de minimizar la
distancia.
3CONCEPTOS BÁSICOS

5. CONCEPTOS BÁSICOS
PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN MULTIOBJETIVO
Un problema de optimización multiobjetivo (en inglés Multiobjective Optimization Problem, MOP), también llamado optimización multicriterio o
problemas de optimización vectorial, se puede definir en palabras como un vector de variables de decisiones que satisface ciertas restricciones y
optimiza una función vector cuyos elementos representan las funciones objetivo. Estas funciones representan matemáticamente los criterios desea-
dos que regularmente están en conflicto uno con otro, por ejemplo minimizar los costos y maximizar las ganancias. Es por esto que el termino
optimizar significa encontrar una solución tal que proporcione valores para todas las funciones objetivo aceptables para la persona que decide.
Matemáticamente un MOP se puede plantear de la siguiente manera: Encontrar un vector de variables de decisión ˙x∗ =
[x∗ , x∗ , . . . , x∗ ]T ∈ F 1 2n donde n es el número de funciones objetivo y F es el conjunto de todos los puntos de soluciones factibles, que
satisfaga m restricciones de la forma
gi(˙x) ≥ 0 ∀ i = 1, 2, . . . , m
y p restricciones de la forma
hi(˙x) = 0 ∀ i = 1, 2, . . . , p
y que optimiza una función vector de la forma
f˙(˙x) = [f1(˙x), f2(˙x), . . . , fk (˙x)]T
y lo que se busca es determinar dentro del conjunto F de todos los vectores que satisfagan las restricciones, el
conjunto de valores x∗ , x∗, . . . , x∗ con el que se obtenga un
1 2 n
valor “´optimo” para las funciones objetivo. Como los objetivos son diversos y tal vez contradictorios entre si,
no es fácil definir un solo ´optimo. Este problema se estudia con atención en la sección 2.6.
Existen ya muchos trabajos en los que se resuelven problemas multiobjetivo, utilizando sobre todo algoritmos
genéticos.
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6. CONCEPTOS BÁSICOS
MÍNIMOS
&
MÁXIMOS
El vector ˙x∗ = [x∗ , x∗, . . . , x∗ ]T que minimiza la función objetivo f (˙x) es
llamado 1 2 n punto mínimo y el valor correspondiente de f (˙x∗) es el
valor mínimo de la función objetivo. Si la función objetivo no es unimodal,
entonces ˙x∗ podría ser un mínimo global o local, dependiendo de la forma de la
función. Un mínimo global es aquel punto ˙x∗ ∈ X que toma una función que esta
definida sobre un conjunto cerrado X ∈ RN , si f (˙x) ≥ f (˙x∗) ∀ ˙x ∈ X. Así, el
mínimo local es aquel punto x∗, para el cual existe una vecindad donde la función
evaluada en ´el es el mínimo.
OPTIMO DE
PARETO
Como se menciono en la sección anterior, en problemas que tienen varios objetivos, cada uno encontrara su ´optimo en
diferentes puntos, por lo que es muy importante integrar el concepto de Optimalidad de Pareto, para poder comparar las
diferentes soluciones obtenidas de un problema multiobjetivo. Para poder introducir este concepto, es necesario conocer el
de dominancia. Se dice que un vector ˙u = (u1, u2, . . . , uk) domina a ˙v = (v1, v2, . . . , vk ) denotado por ˙u Ç ˙v si y
solo si ˙u es parcialmente menor que ˙v por ejemplo,∀ i ∈ {1, 2, . . . , k} , ui ≤ vi ∧ ∃ i ∈ {1, 2, . . . , k} : ui < vi. En un
problema de optimización multiobjetivo, f˙(˙x), el conjunto ´optimo de Pareto, denotado por P ∗, esta definido como:
P ∗ := ,˙x ∈ F | ƒ ∃ ˙x′ ∈ F, f˙(˙x′) Ç f˙(˙x), .
Es por lo anterior que se dice que un vector de variables de decisiones ˙x∗ ∈ F es un ´optimo de Pareto si no
existe otro ˙x ∈ F tal que fi(˙x) ≤ fi(˙x∗)∀ i = 1, 2, . . . , k y fj (˙x) < fj (˙x∗) para por lo menos una j. En palabras ˙x∗ es un
´optimo de Pareto si no existe ningún vector factible de variables de decisión ˙x ∈ F que haga decrecer algún criterio
sin causar simultáneamente un incremento en por lo menos otro criterio. O en otras palabras, la optimalidad de Pareto esta
definida como un conjunto donde cada elemento es una solución al problema para la que ninguna otra solución puede ser
mejor dentro del problema.
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7. ALGORITMOS GENÉTICOS
Los Algoritmos Genéticos o en
inglés llamados Genetic
Algorithms (GA) son parte de la
computación evolutiva, que es un
área de la inteligencia artificial,
que esta creciendo rápidamente.
Los Algoritmos Genéticos están
ideados en la teoría de la
evolución de Darwin, que propone
que los problemas son resueltos
por un proceso evolutivo a partir
de sus soluciones.
6CONCEPTOS BÁSICOS

8. PROCEDIMIENTO GENERAL PARA RESOLVER UN PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN
Para resolver un problema de optimización, lo
primero es construir la función a maximizar o
minimizar, y conseguir que ésta dependa de una sola
variable.
Si en el contexto del problema aparecen más de una
variable, habrá que buscar alguna relación entre
ellas de entre los datos que nos aporte el problema.
Una vez encontrada esta relación, se tiene que
despejar y sustituir en la función para que esta sí
dependa ya de una sola variable.
Los valores candidatos a ser solución de un problema
de optimización se obtienen derivando la función,
igualando a cero la derivada y resolviendo la
ecuación.
Esos valores se llaman puntos críticos de la función.
Para comprobar si es la solución, aplicamos la regla
de la segunda derivada o el estudio de la monotonía
para comprobar si es máximo o mínimo.
En muchos problemas, hay que examinar los
extremos del verdadero dominio dentro del contexto
y comparar el valor en esos puntos con el que hemos
obtenido en el extremo relativo.
PASOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
1 Se plantea la función que hay que maximizar o minimizar.
2 Se plantea una ecuación que relacione las distintas variables
del problema, en el caso de que haya más de una variable.
3 Se despeja una variable de la ecuación y se sustituye
en la función de modo que nos quede una sola variable.
4 Se deriva la función y se iguala a cero, para hallar los
extremos locales.
5 Se realiza la 2ª derivada para comprobar el resultado
obtenido.
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9. FORMAS DE LA FUNCIÓN OBJETIVO
FUNCIÓN OBJETIVO
La función objetivo es la
ecuación que será optimizada
dadas las limitaciones o
restricciones determinadas y
con variables que necesitan ser
minimizadas o maximizadas
usando técnicas de
programación lineal o no lineal.
FUNCIÓN OBJETIVO
La programación lineal consiste en optimizar (maximizar o
minimizar) una función objetivo, que es una función lineal de
varias variables:
f(x,y) = ax + by.
RESTRICCIONES
La función objetivo está sujeta a una serie de restricciones,
expresadas por inecuaciones lineales:
a1x + b1y ≤ c1
a2x + b2y ≤c2
... ... ...
anx + bny ≤cn
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10. Cada desigualdad del sistema de restricciones
determina un semiplano.
9FORMAS DE LA FUNCIÓN OBJETIVO

11. SOLUCIÓN FACTIBLE
El conjunto intersección, de todos los semiplanos
formados por las restricciones, determina un
recinto, acotado o no, que recibe el nombre de
región de validez o zona de soluciones factibles.
FORMAS DE LA FUNCIÓN OBJETIVO
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12. SOLUCIÓN ÓPTIMA
El conjunto de los vértices del recinto se denomina
conjunto de soluciones factibles básicas y el vértice
donde se presenta la solución óptima se llama
solución máxima (o mínima según el caso).
FORMAS DE LA FUNCIÓN OBJETIVO
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13. FORMAS DE LA FUNCIÓN OBJETIVO
VALOR DEL PROGRAMA LINEAL
El valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima se
llama valor del programa lineal.
PASOS PARA RESOLVER UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL
1. Elegir las incógnitas.
2. Escribir la función objetivo en función de los datos del problema.
3. Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.
4. Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando gráficamente
las restricciones.
5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de soluciones factibles (si
son pocos).
6. Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver en cuál de ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida
el problema (hay que tener en cuenta aquí la posible no existencia de solución si el recinto no está acotado).
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14. Métodos de la OPTIMIZACIÓN
MÉTODO SIMPLEX
El método Simplex es un
algoritmo de solución muy
utilizado para resolver programas
lineales. Un algoritmo es una serie
de pasos para cumplir con una
tarea determinada.
El método gráfico es una forma fácil y rápida para la solución de problemas de Programación Lineal, siempre y cuando el modelo conste de dos variables. Para modelos con tres o
más variables, el método gráfico es imposible.
Consiste en representar geométricamente las restricciones, condiciones técnicas y función objetivo .
Los pasos necesarios para realizar el método son:
1. hallar las restricciones del problema
2. Las restricciones de no negatividad Xi ≥ 0 confían todos los valores posibles.
3. sustituir ≥ y ≤ por (=) para cada restricción, con lo cual se produce la ecuación de una línea recta.
4. trazar la línea recta correspondiente a cada restricción en el plano. La región en cual se encuentra cada restricción, el área correspondiente a cada restricción lo define el signo
correspondiente a cada restricción (≥ ó ≤) se evalúa un punto antes y después de la recta trazada, el punto que cumpla con la inecuación indicara el área correspondiente
5. el espacio en el cual se satisfacen las tres restricciones es el área factible
Cada punto situado en la frontera del espacio del área factible, es decir que satisfacen todas las restricciones, representa un punto factible.
6. Las líneas paralelas que representan la función objetivo se trazan mediante la asignación de valores arbitrarios a fin de determinar la pendiente y la dirección en la cual crece o
decrece el valor de la función objetivo.
7. la solución óptima puede determinarse al observar la dirección en la cual aumenta la función objetivo, se procede a graficar la función objetivo, si es un problema de
minimización la solución optima es el primer punto factible que toque la función Z, y si por lo contrario es un problema de maximización, será entonces el último de los puntos
factibles que toque la función Z
MÉTODO DE SOLUCIÓN GRÁFICA
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15. Métodos de la OPTIMIZACIÓN
MÉTODO HÚNGARO
El algoritmo desarrollado por Kuhn está basado fundamentalmente en los primeros trabajos de
otros dos matemáticos Húngaros: Dénes König y Jenő Egerváry
Este algoritmo se usa para resolver problemas de minimización, ya que es más eficaz que el
empleado para resolver el problema del transporte por el alto grado de degeneración que pueden
presentar los problemas de asignación.
El problema de asignación tiene que ver con la asignación de tareas a empleados, de territorios a
vendedores, de contratos a postores o de trabajos a plantas. Al aplicar el método de transporte y
el método de asignación la gerencia está buscando una ruta de distribución o una asignación que
optimizará algún objetivo; éste puede se la minimización del costo total, la maximización de las
utilidades o la minimización del tiempo total involucrado.
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16. Métodos de la OPTIMIZACIÓN
El algoritmo MODI conocido como el método de los costes ficticios, consiste en añadir a la matriz de costes
una fila y una columna que recogen unos costes ficticios determinados arbitrariamente (los números MODI),
tal que permite calcular los índices de mejora para las celdas (casillas) no utilizadas.MÉTODO
MODI
El método de la esquina es un método de programación lineal hecho a mano para encontrar una solución inicial factible del modelo, muy conocido por ser el
método mas fácil al determinar una solución básica factible inicial, pero al mismo tiempo por ser el menos probable para dar una solución inicial acertada de
bajo costo, debido a que ignora la magnitud relativa de los costos. es un proceso utilizado para resolver problemas de transporte o asignación, si bien es un
método no exacto tiene la ventaja de poder resolver problemas manualmente y de una forma rápida, muy cercano al valor óptimo. Cada problema debe
representarse en forma de matriz en donde las filas normalmente representan las fuentes y las columnas representan los destinos.MÉTODO ESQUINA
NOROESTE
El método de Vogel, o aproximación de Vogel, es un método que permite llegar
a una solución inicial factible del problema de transporte.MÉTODO DE
VOGUEL
El método del cruce del arrollo también llamado algoritmo de Stepping –Stone, es un método de programación lineal
que consiste en calcular cuál sería la variación del costo del envío de una unidad de cierto producto por cada una de las
ruta posibles, es decir asignar cierta cantidad de artículos desde varios origines (fabricas) a un conjunto de destinos
(clientes) de tal manera que se disminuyan los costos, hasta optimizar la función objetivo.
MÉTODO DEL
CRUCE DEL
ARROLLO
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