Leyes de Conservación Matemática Aplicada

1. UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
Leyes de Conservaci´on
Matematica Aplicada
Profesor: Ing. Paul Tocto
Integrantes
Tapia Coronado Alfredo
Larico Barzola Michel
Chamaya Galjuf Angelo
4 de octubre de 2013

2. ´Indice general
1. Introducci´on 2
2. Modelos Matem´aticos 4
2.1. Proceso de modelado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2. Condiciones adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3. M´etodos para resolver o analizar ecuaciones diferenciales . . . . . 6
3. Modelo aplicando las leyes de conservaci´on 7
3.1. Un modelo b´asico de ley de conservaci´on escalar . . . . . . . . . . 7
3.2. La ecuacin del transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.3. Un modelo de propagaci´on de ondas ac´usticas . . . . . . . . . . . 14
4. Conclusiones 17
Bibliograf´ıa 17
1

3. Cap´ıtulo 1
Introducci´on
Muchas ecuaciones fundamentales en las ciencias f´ısicas y naturales se ob-
tienen de las leyes de conservaci´on. Las leyes de conservaci´on son las leyes de
equilibrio, o ecuaciones que expresan el hecho de que alguna cantidad se equi-
libra todo un proceso. En termodin´amica, por ejemplo, la primera ley dice que
el cambio en la energ´ıa interna de un sistema dado es igual o se equilibran con
la cantidad total de calor aadido al sistema, m´as el trabajo realizado sobre el
sistema. As´ı, la primera ley de la termodin´amica es una ley de equilibrio de la
energ´ıa, o la ley de conservaci´on. Como otro ejemplo, considere un fluido que
fluye en alguna regi´on del espacio que se compone de especies qu´ımicas se so-
meten a reacci´on qu´ımica. Para una especie qu´ımica dada, la tasa de tiempo de
cambio de la cantidad total de ese producto qu´ımico en la regi´on debe ser igual a
la velocidad a la que el producto qu´ımico fluye en la regi´on, menos la velocidad
a la que fluye hacia fuera, adem´as de la velocidad a la que la especie se crea,
o se consume, por las reacciones qu´ımicas. Esta es una declaraci´on verbal de
una ley de conservaci´on de la cantidad de las especies qu´ımicas que se indican.
Equilibrios parecidos o leyes de conservaci´on se producen en todas las ramas de
la ciencia. En ecolog´ıa de la poblaci´on, por ejemplo, la tasa de cambio de una
2

4. poblaci´on animal dado en una regi´on determinada debe ser igual a la tasa de
natalidad, menos el ´ındice de mortalidad, m´as la tasa de migraci´on al interior o
fuera de la regi´on.
3

5. Cap´ıtulo 2
Modelos Matem´aticos
Un modelo matem´atico es la descripci´on matem´atica de un sistema o fen´omeno
de la vida real.
La formulaci´on de un modelo matem´atico implica:
Identificar las variables causantes del cambio de un sistema.
Establecer un conjunto de hip´otesis razonables acerca del sistema (leyes
emp´ıricas aplicables).
Las hip´otesis de un sistema implican con frecuencia la raz´on o tasa de cambio de
una o m´as variables que intervienen. El enunciado matem´atico de esas hip´otesis
es una o ms ecuaciones donde intervienen derivadas, es decir, ecuaciones diferen-
ciales.
2.1. Proceso de modelado
En muchos casos la construcci´on o creaci´on de modelos matem´aticos ´utiles
sigue una serie de fases o proceso bien determinados:
4

6. Identificaci´on de un problema: o situaci´on compleja que necesita ser simula-
da, optimizada o controlada y por tanto requerir´ıa un modelo matem´atico
predictivo.
Elecci´on del tipo de modelo: esto requiere precisar qu´e tipo de respuesta
u output pretende obtenerse, cuales son los datos de entrada o factores
relevantes, y para qu´e pretende usarse el modelo. Esta elecci´on debe ser
suficientemente simple como para permitir un tratamiento matem´atico ase-
quible con los recursos disponibles. Esta fase requiere adem´as identificar el
mayor n´umero de datos fidedignos, rotular y clasificar las inc´ognitas (va-
riables independientes y dependientes) y establecer consideraciones, f´ısicas,
qu´ımicas, geom´etricas, etc. que representen adecuadamente el fen´omeno en
estudio.
Formalizaci´on del modelo: en la que se detallar´an qu´e forma tienen los datos
de entrada, qu tipo de herramienta matem´atica se usar´a, como se adaptan
a la informaci´on previa existente. Tambi´en podr´ıa incluir la confecci´on
de algoritmos, ensamblaje de archivos inform´aticos, etc, etc. En esta fase
posiblemente se introduzcan tambi´en simplificaciones suficientes para que
el problema matem´atico de modelizaci´on sea tratable computacionalmente.
Comparaci´on de resultados: los resultados obtenidos como predicciones ne-
cesitan ser comparados con los hechos observados para ver si el modelo
est´a prediciendo bien. Si los resultados no se ajustan bien, frecuentemente
se vuelve a la fase 1.
Es importante mencionar que la inmensa mayor´ıa de modelos matem´aticos
no son exactos y tienen un alto grado de idealizaci´on y simplificaci´on, ya que
una modelizaci´on muy exacta puede ser m´as complicada de tratar de una sim-
plificaci´on conveniente y por tanto menos ´util. Es importante recordar que el
5

7. mecanismo con que se desarrolla un modelo matem´atico repercute en el desarro-
llo de otras t´ecnicas de conocimientos enfocadas al ´area sociocultural.
2.2. Condiciones adicionales
En el proceso de modelado, con bastante frecuencia, aparecen condiciones
adicionales que se deben a˜nadir al problema que se plantea. En el caso de las
reacciones del ejemplo anterior, las concentraciones iniciales de los elementos son
datos del problema que se consideran en la formulaci´on de ´este.
2.3. M´etodos para resolver o analizar ecuacio-
nes diferenciales
Una vez que tenemos formulado el modelo matem´atico, el problema est´a en
resolverlo, que en la mayor´ıa de las ocasiones no es f´acil. Los m´etodos de estudio
de modelos los podemos resumir en:
M´etodo anal´ıtico: m´etodo de bsqueda de soluciones a las ecuaciones dife-
renciales.
An´alisis cualitativo: se utiliza la ecuaci´on diferencial como fuente de infor-
maci´on de las propiedades de las posibles soluciones.
An´alisis num´erico: aproximaci´on a los valores de la soluci´on.
6

8. Cap´ıtulo 3
Modelo aplicando las leyes de
conservaci´on
3.1. Un modelo b´asico de ley de conservaci´on
escalar
Consideremos una cantidad u(x, t) que puede representar la densidad de una
determinada magnitud. Para simplificar supondremos que se distribuye de for-
ma uniforme en cada seccin de un tubo de seccin transversal constante A. Las
dimensiones de u son:
[U] = magnitud/volumen.
Si consideramos un segmento arbitrario del tubo VI, siendo I = [a, b], la can-
tidad total de u en VI es
VI
u(x, t)dxdydz =
b
a
u(x, t)Adx = A
b
a
u(x, t)dx
7

9. Suponemos ahora que hay un movimiento de las part´ıculas en el tubo y que
denotamos por f=f(x, t) el flujo de u en x y en el instante t, es decir, f mide la
cantidad de u que cruza la secci´on x en el instante t por unidad de volumen y
tiempo. Por lo tanto las dimensiones de f ser´an:
f =
magnitud.longitud
volumen.tiempo
= densidad.velocidad
Suponemos que el flujo es positivo si es hacia la derecha y negativo si es hacia
la izquierda. Entonces, en el instante t, la cantidad total de y que entra enVI, es
la cantidad total que entra en x=a, menos la que sale en x=b. Esto es,
Flujo total de cantidad de u enVI en el instante t = Af(a, t) − Af(b, t) (2,3)
Supongamos finalmente que u puede ser creada o destruida en la secci´on x
en el instante t, y que esta creaci´on o destrucci´on viene dada por una funci´on
g = g(x, t). Las dimensiones de la fuente o sumidero g son:
g = magnitud
volmen.tiempo
(2,4)
Dada g podemos calculas la creacin/disminucin de u en VI por integracin:
tasa de creaci´on/disminuci´on de u en VI =
b
a
g(x, t)Adx (2,5)
Con todos los c´alculos y razonamientos realizados, la ley de conservaci´on para
u se puede formular para cualquier intervalo espacial I como:
tasa de cambio de u en I =
flujo total de cantidad de u en I + tasa de creaci´on/disminuci´on de u en I
Por lo tanto:
∂
∂x
b
a
u(x, t)Adx = Af(a, t) − Af(b, t) +
b
a
g(x, t)Adx (2,6)
8

10. Por ser A constante se puede simplificar la relaci´on anterior:
∂
∂x
b
a
u(x, t)dx = f(a, t) − f(b, t) +
b
a
g(x, t)dx (2,7)
Esta relacin es una ley de conservaci´on integral, v´alida tambi´en para
funciones poco regulares. Si las funciones u, f y g son m´as regulares, por ejemplo
si verifican:
i)
b
a
fx(x, t)dx = f(a, t) − f(b, t) (2,8)
ii) ∂
∂t
b
a
u(x, t)dx =
b
a
ut(x, t)dx (2,9)
Entonces la ley de conservaci´on se puede escribir como:
b
a
[ut(x, t) + fx(x, t) − g(x, t)]dx = 0, ∀I = [a, b] (2,10)
Al cumplirse para todo intervalo [a, b], el integrando debe anularse, por tanto
ut(x, t) + fx(x, t) − g(x, t) = 0, ∀x , t > 0 (2,11)
Se trata de una ley de conservaci´on diferencial. Observaciones
Se considera que f y g son funciones de x y t, pero tambi´on se pudo haber
supuesto que dependen expl´ıcitamente de u, la variable conservativa. Esta
hip´otesis conduce a modelos no lineales..
Se tienen dos inc´ognitas u y f, y una sola ecuaci´on. Por lo tanto, se precisa
otra ecuaci´on, que se conoce como ecuaci´on de estado, que relaci´on u y f.
Si despejamos para el segundo miembro el t´ermino g,
ut(x, t) + fx(x, t) = g(x, t), ∀x , t > 0 (2,12)
El t´ermino de ley de conservaci´on se usa normalmente cuando g=0, por lo
tanto se suele precisar cuando este t´ermino es no nulo: ley de conservaci´on gene-
ralizada o con t´ermino fuente o con segundo miembro g.
9

11. 3.2. La ecuacin del transporte
La ecuaci´on del transporte lineal es un modelo en el cual el flujo es propor-
cional a la densidad:
f(w) = λw, (2,13))
Siendo λ una constante que se puede interpretar como una velocidad de pro-
pagaci´on. Haciendo un an´alisis adimensional:
[f] = magnitud × longitud
volumen×tiempo
, (2,14)
[λw] = [λ][w] = [λ]magnitud
volumen
, (2,15)
Por lo tanto:
[λ] = longitud
tiempo
(2,16)
La ley de conservaci´on correspondiente es:
∂w
∂t
(x, t) + λ∂w
∂x
(x, t) = 0 (2,17)
Y dada la condici´on inicial
w(x, 0) = w0(x), −∞ < x < ∞ (2,18)
La soluci´on de esta ecuaci´on viene dada por
w(x, t) = w0(x − λt), −∞ < x < ∞, t [0, +∞ > (2,19)
Esta soluci´on se puede obtener f´acilmente mediante las curvas caracter´ısticas
y comprobando que la soluci´on es constante a lo largo de las mismas. Por lo
tanto, para conocer el valor de la soluci´on es un punto x y en un instante t,
es suficiente calculas la caracter´ıstica que pasa por dicho punto del plano xt y
10

12. obtener su punto de corte con el eje t=0. La solucin en (x, t) se corresponde con
el valor de la condici´on inicial en el punto de corte calculado. El procedimiento
formal para obtener la soluci´on es el siguiente:
i) Introduciendo las curvas caracter´ısticas:
t → X(t), dX
dt
(t) = λ (2,20)
ii) Comprobaci´on de que la soluci´on es constante a lo largo de las caracter´ısti-
cas:
dw
dt
(X(t), t) = ∂w
∂t
(X(t), t)dX
dt
(t) + ∂w
∂t
(X(t), t) = ∂w
∂x
(X(t), t)λ + ∂w
∂t
(X(t), t) =
0 (2,21)
Donde la segunda igualdad se tiene como consecuencia de la ecuacin que
verifican las curvas caracter´ısticas (2.20) y la tercera del hecho de que w sea
soluci´on de la ecuaci´on del transporte (2.17).
iii) Calculando la soluci´on en un punto arbitrario (x*, t*) del plano xt. Se
denota por X*(t) la caracter´ıstica que pasa por dicho punto que satisface el
problema de valor inicial:
Siendo su expresi´on:
X∗
(t) = X∗
(t∗
) + λ(t − t∗
), (2,23)
Y por tanto su punto de corte con el plano t=0 (ver Fig. 2.1) es
X∗
(0) = x∗
− λt∗
, (2,24)
iv) Calculamos la soluci´on teniendo en cuenta (2.21) y el valor de la condicin
inicial (2.24)
11

13. w(x∗
, t∗
) = w(X∗
(0), 0) = w0(X∗
(0)) = w0(x∗
− λt) (2,25)
Por lo tanto, la funci´on w0 se traslada a lo largo del tiempo a la velocidad
sin deformarse. Si ahora consideramos una condici´on inicial w0 discontinua
w0(x) =



wl si x ≤ 0
wr si x > 0
(2,26)
La soluci´on de la ley de conservaci´on lo es en el sentido de las distribuciones.
La discontinuidad inicial en x=0 se propaga a una distancia d=λt en el tiempo
t. La curva caracterstica X(t)=t separa aquellas curvas caracter´ısticas que est´an
a su izquierda y sobre las cuales la soluci´on vale wl, de las que est´an a su derecha
y sobre las que vale wr. El problema de valor inicial asociado a estas condiciones
se conoce como Problema de Riemann y en este caso su soluci´on es simplemente:
w(x, t) = w0(x − λt) =



wl si x < 0
wr si x > 0
(2,27)
Relacin de dispersi´on, coeficiente de amplificaci´on Las relaciones que se ver
a continuaci´on las verifican las ondas arm´onicas que son soluci´on de la ecuaci´on
del transporte y son importantes al estudiar las propiedades de los m´etodos
num´ericos que se utilicen para su resoluci´on. Se considera una onda arm´onica de
la forma
w(x, t) = ei(wt−kx)
(2,28)
Es inmediato comprobar que dicha onda verifica la ecuacin del transporte si se
tiene la relaci´on
w − kλ = 0 (2,29)
12

14. Que se conoce como relacin de dispersin. Esta relaci´on indica que si la fase
permanece constante (wt-kx=cte) la velocidad de fase Vp es precisamente la
velocidad de propagaci´on :
Vp = dx
dt
= w
k
= λ (2,30)
Y es por lo tanto independiente del nmero de onda k. Adem´as, la velocidad de
grupo VG tambi´en coincide con
VG = dw
dk
= x
t
= λ (2,31)
y de nuevo es independiente del n´umero de onda
El an´alisis de la fase en el esquema num´erico va a estar relacionado con la dis-
persi´on del esquema. Para obtener el factor de amplificaci´on del esquema consi-
deremos la condici´on inicial:
w0(x) = eikx
(2,32)
La soluci´on w(x, t) dada por (2.27) es igual a
w(x, t) = w0(x − λt) = eik(x−λt)
= eikx
e−ikλt
= w0(x)e−ikλt
=
w0(x)G(k, t) (2,33)
Donde
G(k, t) = e−ikλt
es el coeficiente o factor de amplificaci´on y tiene m´odulo exactamente 1. Es decir,
se produce un desfase igual a Kλt pero no se introduce ninguna amortiguaci´on. El
an´alisis del factor de amplificaci´on del esquema num´erico va a estar relacionado
con una caracter´ıstica del esquema que se conoce como disipaci´on, que representa
un decrecimiento de las oscilaciones de altas frecuencias y supone una p´erdida de
precisi´on a la hora de aproximar las discontinuidades. Los errores en la amplitud o
en el factor de amplificaci´on van a estar relacionados con la difusi´on del esquema
num´erico.
13

15. 3.3. Un modelo de propagaci´on de ondas ac´usti-
cas
Se ha visto que en la ecuaci´on del transporte las curvas caracter´ısticas juegan
un papel muy importante al definir las soluciones de las mismas. En esta parte se
considera un ejemplo ms complejo propuesto y desarrollado por S.K. Godunov,
para un sistema:
∂w1
∂t
(x, t) + λ1
∂w1
∂x
(x, t) = 0 (2,34)
∂w2
∂t
(x, t) + λ2
∂w2
∂x
(x, t) = 0 (2,35)
Formado por dos soluciones independientes, con expresiones de la forma:
w1(x, t) = w0
1(x − λ1t), w2(x, t) = w0
2(x − λ2t) (2,36)
Si ambas condiciones iniciales w10 y w20 est´an definidas en un intervalo [a,b],
entonces tiene sentido hablar de la soluci´on del sistema en el tri´angulo ABC( ver
fig 2.2) siendo C el punto de corte en el plano xt de las caracter´ısticas: x-1t=cte
que pasa por B, y x-2t=cte que pasa por A. Solamente dentro de dicho tri´angulo
la solucin es ´unica.
∂
∂t
( p
ρ0C0
) + C0
∂u
∂x
= 0
14

16. Figura 3.1: Notaci´on asint´otica
A continuaci´on se mostrar´a cmo se puede reducir a este modelo un sistema
que a primera vista puede parecer m´as complicado y que corresponde con un
problema f´ısico: Este sistema describe la propagaci´on de ondas ac´usticas planas
( de pequeas perturbaciones) en un medio en reposo:
beginitemize
U velocidad del medio perturbado.
P presi´on del medio perturbado,
0 densidad del medio en reposo,
C0 compresibilidad del medio en reposo. enditemize
Veremos que estas ecuaciones se pueden transformar en un modelo sencillo
como el presentado anteriormente. Para ello multiplicamos la segunda ecuaci´on
por 1/ 0 C0:
∂
∂t
(u + p
ρ0C0
) + C0
∂
∂x
(u + p
ρ0C0
) = 0
15

17. Si a la relacin anterior le sumamos (2.37) se tiene:
∂
∂t
(u − p
ρ0C0
) − C0
∂
∂x
(u − p
ρ0C0
) = 0
Si las restamos se llega a una relacin an´aloga:
v1 = u + p
ρ0C0
, v2 = u − p
ρ0C0
(2,39)
Definimos unas nuevas variables v1 y v2 mediante las expresiones
v1(x, t) =
v0
1(x−c0t)+v0
2(x+c0t)
2
(2,41)
p = ρ0C0
v0
1(x−c0t)+v0
2(x+c0t)
2
(2,42)
Entonces v1 y v2 verifican un sistema lineal donde λ1 = c, λ1 = −c y la soluci´on
general tiene la forma
u − p
ρ0C0
= v0
2(x + c0t)
Que constituyen la soluci´on general de las ecuaciones de propagaci´on del sonido.
Supongamos que son conocidas las distribuciones de la presin p y la velocidad u en
el momento inicial en alg´un intervalo [x1, x2]. Dichas distribuciones determinarn
de manera nica la solucin en el tringulo caracterstico de base [x1, x2] y que
est´a definido por las desigualdades t > 0, x − c0t > x1, x + c0t > x2 Las
magnitudes up/0c0 se llaman invariantes de Riemann y permanecen constantes
a lo largo de las curvas caracter´ısticas. Adem´as la frmula
u + p
ρ0C0
= v0
1(x − c0t)
Muestra que la distribucin de este invariante de Riemann se desplaza a la derecha
con velocidad c0, sin distorsionar su forma. Esta es la motivacin de que c0 se
conozco como velocidad de propagaci´on de las ondas ac´usticas o velocidad del
sonido. An´alogamente, la f´ormula
Muestra que la distribuci´on del otro invariante de Riemann se desplaza a la
izquierda, nuevamente a velocidad c0.
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18. Cap´ıtulo 4
Conclusiones
Del trabajo acerca de las leyes de conservaci´on podemos concluir que ´estas
tienen una gran utilidad en diversas ´areas como por ejemplo en la f´ısica,
ecolog´ıa, econom´ıa, etc.
Las leyes de conservaci´on pueden ser aplicadas a diferentes modelos ma-
tem´aticos. El modelo de propagaci´on de las ondas ac´usticas pareciera ser
complicado, pero hemos observado que su soluci´on es sencilla, al utilizar la
ecuaci´on diferencial de la ley de conservaci´on.
En particular en este modelo, se llega a conocer a como la velocidad de
propagaci´on de las ondas ac´usticas o velocidad del sonido.
Con una buena investigaci´on se realizan modelos matem´aticos ´optimos que
nos ayudan a resolver problemas, aplicando diferentes herramientas ma-
tem´aticas, como en nuestro caso las ”leyes de conservaci´on”
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19. Bibliograf´ıa
[1] David Logan, Introducci´on al m´etodo de vol´umenes finitos.
[2] www.imal.santafe-conicet.gov.ar: Matematica Aplicada
[3] www2.uca.es: Modelo de crecimiento exponencial.
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