Presentación de Aspectos Básicos de la Optimización de Funciones.

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior
I.U.P Santiago Mariño
Maracay. Edo-Aragua
Profesora: Alumno:
Ysabel Flores Victor Herrera
Ci: 21.312.275
Sección: SL
Maracay, Noviembre 2016.

2. Al momento en que se toma la decisión relevante de aplicar la optimización en
un proceso industrial, se ha de requerir tres componentes básicos para la
formulación del problema en características matemáticas:
• El modelo matemático que rige el problema, además de una definición de las
variables del proceso que pueden ser manipuladas o controladas.
• Un modelo factible para el proceso. Esto quiere decir una formula o ecuación
que incluye las utilidades obtenidas con la venta del producto y los costos
asociados al proceso productivo, es decir, materia prima, costos de operación,
costos de administración, gastos generales, entre otros.
• Un procedimiento de optimización para la manipulación de las variables
independientes del proceso, que maximice las utilidades o minimice los
costos determinados por el modelo económico, restringido por el modelo del
proceso.
Formulación de Problemas de Optimización

3. En el siguiente apartado simplificado de optimización y control en la industria, se
desea mostrar la relación de las actividades del proceso controlado y los niveles de
optimización.
Debido a la complejidad de las grandes empresas, los modelos del proceso se deben
simplificar, usando ecuaciones de simulación para mantener los costos de programación
y el uso del computador dentro de los límites razonables. Sin embargo, dentro de cada
proceso en particular es posible crear modelos más detallados para especificar
condiciones de operación óptimas, es decir, temperaturas, precisiones, mano de obra,
energía, entre otros. Para asegurar una operación óptima en la unidad.
Existen diferentes técnicas de
optimización, las cuales tienen
dos divisiones muy claras
Una es la programación
matemática cuyo objetivo es
ubicar el mejor punto
x(x1,.., xn) que optimice el modelo
económico.
La otra, muestra los métodos
variaciones, cuyo objetivo es
ubicar la mejor función y(x)
que optimice el modelo
económico del proceso.

4. Función Objetivo
La función objetivo es una relación matemática entre las variables de decisión,
parámetros y una magnitud que representa el objetivo o producto del sistema.
Por ejemplo si el objetivo del sistema es minimizar los costos de operación, la función
objetivo debe expresar la relación entre el costo y las variables de decisión.
La solución optima se obtiene cuando el valor del costo sea mínimo para un conjunto
de valores factibles de las variables. Es decir hay que determinar las variables x1, x2,..., xn
que optimicen el valor de Z = f(x1, x2,..., xn) sujeto a restricciones de la forma g(x1, x2,...,
xn) ? b. Donde x1, x2,..., xn son las variables de decisión Z es la función objetivo, f es una
función matemática.

5. Ejemplo de Función Objetivo
En una empresa se fabrican dos productos, cada producto debe pasar por una máquina
de ensamblaje A y otra de terminado B ,antes antes de salir a la venta. El producto 1 se
vende a $60 y el otro a $50 por unidad. La siguiente tabla muestra el tiempo requerido
por cada producto:
Producto Maquina A Maquina B
1 2 H 3 H
2 4 H 2 H
Total disponible 48 H 36 H
Para representar el modelo de este problema primero se debe determinar las variables
de decisión:
Sea Xi: La cantidad a fabricar del producto 1 y 2 (i=1,2), entonces X1: cantidad a fabricar
del producto 1, X2: cantidad a fabricar del producto2, luego el modelo quedaría de la
siguiente manera:
MaxZ = 60X1+ 50X2 (máximo ingreso por ventas)
S.A: 2X1+ 4X2 <= 48 (disponibilidad horas _maquina A)
3X1+ 2X2 <= 36 (disponibilidad horas _maquina B)
X1, X2 >= 0 (Restricciones de no negatividad)

6. Los Métodos de Optimización y el Procedimiento para
Resolver un Problema de Optimización
Los métodos de optimización es un área de las matemáticas que consistente en
el uso de modelos matemáticos, estadísticos y algoritmos con objeto de realizar un
proceso de toma de decisiones.
De manera frecuente trata del estudio de complejos sistemas reales, con la
finalidad de mejorar (u optimizar) su funcionamiento. La investigación de
operaciones permite el análisis de la toma de decisiones teniendo en cuenta la
escasez de recursos, para determinar cómo se puede optimizar un objetivo
definido, como la maximización de los beneficios o la minimización de costos.
Los métodos para determinar los máximos y mínimos de las funciones se
pueden aplicar a la solución de problemas prácticos, para resolverlos tenemos
que transformar sus enunciados en formulas, funciones o ecuaciones.
Debido a que hay múltiples tipos de ejercicios no hay una regla única para sus
soluciones, sin embargo puede desarrollarse una estrategia general para
abordarlos, la siguiente es de mucha utilidad.

7. Estrategia para Resolver Problemas Aplicados a la Optimización
1. Identificar los hechos dados y las cantidades desconocidas que se tratan de
encontrar.
2. Realizar un croquis o diagrama que incluya los datos pertinentes introduciendo
variables para las cantidades desconocidas.
3. Enunciar los hechos conocidos y las relaciones entre variables.
4. Determinar de cuál de las variables se desea encontrar el máximo o el mínimo y
expresa esta variable como función de una de las otras variables.
5. Encontrar los valores críticos de la función obtenida.
6. Utilizar el criterio de la primera o de la segunda derivada para determinar si esos
valores críticos son máximos o mínimos.

8. Ejemplo: De todos los triángulos isósceles de 12 m de perímetro, hallar los lados del
que tome área máxima.
La función que tenemos que maximizar es el área del triángulo:
Relacionamos las variables:
2 x + 2 y = 12
x = 6 − y
Sustituimos en la función:

9. Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.
Realizamos la 2ª derivada y sustituimos por 2, ya que la solución y = 0 la descartamos
porque no hay un triángulo cuyo lado sea cero.
Por lo que queda probado que en y = 2 hay un máximo.
La base (2y) mide 4m y los lados oblicuos (x) también miden 4 m, por lo que el
triangulo de área máxima sería un triangulo equilátero.