Políticas de Mantenimiento Preventiva Optimas

1. Políticas de Mantenimiento
Preventivo Optimas
César Arróspide M.
Septiembre 2006

2. Metodologías
En general, existen tres grandes categorías de
desarrollo (enfoques) que son extensamente
usados en mantenimiento:
 Enfoque Basado en la Edad
 Enfoque Markoviano
 Enfoque Parada Optimal
Una adecuada integración de estos enfoques es
beneficiosa

3. Metodologías
Enfoque Basado en la Edad:
La idea básica es describir el deterioro del sistema por un solo
índice, la edad. El procedimiento general de este enfoque es el
siguiente:
Paso1: Proponga una clase de política de mantenimiento, con
una o varias variables de control. Normalmente, las variables de
control son el tiempo re reemplazo preventivo, número de
reparaciones antes del reemplazo de falla, etc.
Paso2: Encontrar explícitamente la función objetivo, por
ejemplo, el costo promedio como una función de las variables
de control.
Paso3: Encontrar la solución optima usando un método uno o
multi-dimensional en la estructura de cálculos.

4. Metodologías
Obs: Aún serios inconvenientes de este enfoque existen,
pues no existe una justificación rigurosa del Paso 1, sobre
la optimalidad de la clase de política propuesta, este
enfoque resulta en un enorme número de políticas que ni
son optimas ni proporcionan mucha idea dentro del
campo.
Una dirección clásica es introducir adicionalmente factores
aleatorios, tales como, el costo de reparación aleatorio, a
los modelos.
Otra posibilidad es la generalización del concepto de edad
a uno nuevo, la edad virtual, originado por Kijima y Sumita
(1986), y Kijima (1989).

5. Metodologías
El concepto de edad virtual, junto con el
concepto de grado de reparación son
usados para describir el efecto de las
acciones de mantenimiento.
La mayor diferencia entre edad y edad
virtual es que la edad virtual no es
largamente monótona, ni determinística.

6. Metodologías
Enfoque Markoviano
La idea básica es que el deterioro del sistema es modelado por el
estado de un proceso de Markov, donde el estado en el próximo
“período de tiempo” depende solamente del estado presente, es decir,
uno necesita solamente tomar en cuenta el estado presente del
sistema para tomar la mejor decisión.
Con horizonte (discreto/continuo) de tiempo, espacio de estados, y
combinaciones conjunto de acciones, el enfoque de Markov tiene gran
poder de modelamiento. Además extensiones de modelos de
Markov que incluyen modelos de Markov ocultos, semi-Markovianos y
modelos de renovación de Markov, aumentan la flexibilidad de este
enfoque.
Todas estas extensiones pueden transformadas equivalentemente a
modelos de Markov Estándar con espacios de estados grandes.

7. Metodologías
 El poder de modelamiento del enfoque de Markov tiene
límites solamente en el sentido de la complejidad
computacional y la ineficiencia de modelamiento, en vez, de
restricciones teóricas.
 Las dos mayores ventajas del enfoque markoviano son; la
flexibilidad con respecto a su poder de modelamiento, y la
madurez y simplicidad con respecto al procedimiento de
toma de decisiones.
 Por otra parte, como la toma de decisiones esta basada
en la información presente en vez de toda la historia, es
difícil llevar a cabo una comparación de políticas entre
diferentes modelo.

8. Metodologías
Enfoque Parada Optimal
La idea básica es que en lugar de utilizar solamente la información acerca
del estado actual del sistema como en el enfoque Markoviano, el enfoque
de parada optimal intenta usar la información completa del pasado al
momento decisión actual.
El problema de parada optima es encontrar la política óptima entre
todas las clases de políticas de tiempos de parada para un criterio
objetivo dado.
Una ventaja atractiva qes que para un filtro dado, el nivel de información,
el optimo es entre todos los tiempos de parada que pertenecen a este
filtro, incluyendo ambos políticas Markovianas y no Markovianas.

9. Metodologías
Una ventaja implícita es que cierta comparación de políticas pueden ser
conducidas por comparación de los modelos con diferentes niveles de
información. Obviamente, niveles de información superiores conlleva
una clase de tiempos de parada mayor, y por tanto, mejor política
óptima.
La limitación mayor del enfoque de parada óptima es que, aunque su
formulación es general, el procedimiento computacional envuelve
algunos supuestos adicionales, tales como cierto tipo de propiedades
Markovianas, o monoticidad, o ambas.
Todas las reglas de parada óptima no markovianas calculables obtenidas
en la literatura poseen muy fuertes condiciones de monoticidad. Como
en muchas situaciones prácticas, estas fuertes condiciones de
monoticidad no son realistas, el supuesto de Markov se hace un
requerimiento para el cálculo numérico.

10. Políticas de Mantenimiento
Preventivo

11. R. Barlow and L. Hunter

12. R. Barlow and L. Hunter
Las Políticas tratadas son:
 Política I: Realizar mantención preventiva
después de t0 horas de operación continua
sin falla.
 Política II: Realizar mantención preventiva
después que ha operado un total de t*
horas sin tomar en cuenta el número de
intervenciones en fallas.

13. R. Barlow and L. Hunter
Se definen:
Caso 1: Se definen las siguientes variables:
programadamantenciónrealizarTiempo:
emergenciademantenciónrealizarTiempo:
tiempoésimo-kelensistemadelfalladeTiempo:
Z
Y
X
k
k
Suponemos que kX , kY son v.a. iid. En otras palabras, suponemos que en cada tiempo
el sistema es reparado y es restaurado a su estado original. Sea F la distribución
acumulativa de kX , y



=
=
=
=
0
0 },min{
tUsiZ
XUsiY
V
tXU
k
kkk
k
kk

14. R. Barlow and L. Hunter
Sea N(T) el número de tiempos que el sistema esta en OFF en [0,T], y TF la fracción de
tiempo que el sistema esta en ON durante [0,T]. Entonces
)()(
)(
)(lim
VEUE
UE
FEEff T
T +
==
∞→
∞
luego, una Política Optima Tipo I es una que maximiza esta expresión para un valor de
0t . Con lo cual se obtiene:
[ ] se
t
se
s
TTsi
TT
T
tFdttFtq >
−
=−−∫ ,)()(1)(
0
0
00
Donde:
programadamantenciónrealizardeesperadoTiempo
emergenciademantenciónrealizardeesperadoTiempo
=
=
s
e
T
T

15. R. Barlow and L. Hunter
Si se TT = , la solución es +∞=0t , es decir, nunca realizar mantención programada.
Si se TT < , la eficiencia límite, T
T
EffEff
∞→
∞ = lim , es máxima para +∞=0t
Una solución única siempre existe si )(tq es estrictamente creciente a infinito.
Tenemos que bajo la Política Optima I,







>
−+
≤
+
=∞
se
se
se
e
TTsi
tqTT
TTsi
T
Eff
)()(1
1
0
µ
µ

16. R. Barlow and L. Hunter
Caso2: Tenemos ahora que
∑=
+=
=
)(
1
*
*
tN
k
k ZYV
tU
Donde U es el largo del tiempo del sistema esta en ON entre períodos de mantención y
V es el tiempo del sistema esta en OFF.
Se consideran los siguientes supuestos:
1. Después de cada falla, solamente se repara minimal, esto hace que el rateo de
falla del sistema no sea perturbado.
2. El sistema es retornado al estado original después de la mantención preventiva.

17. R. Barlow and L. Hunter
Es natural suponer que después de t ( *
0 tt ≤≤ ) horas de operación, la probabilidad de
que ocurra una falla en [t,t+dt] sea dttq )( . El número de fallas N(t), que ocurren después
de t horas de operación y consideradas como una función de t, es un proceso de Poisson
no homogeneo. Esto es:
!
)(
))(( )(
n
tR
entNP
n
tR−
== , donde ∫=
t
dssqtR
0
)()(
Con estos supuestos se obtiene que el límite de eficiencia de una Política Optima II es:
)(1
1
*
tqT
Eff
m+
=∞
donde Tm: tiempo esperado de realizar reparación minimal. El valor t*
para la Política
Optima II satisface:
∫ =′
*
0
)(
t
m
s
T
T
dttqt
Esta ecuación tiene una solución única si q(t) es estrictamente creciente a infinito.

18. R. Barlow and L. Hunter
Política II
Tiempo Te
(horas)
Política I
Tiempo Tm - horas

19. R. Barlow and L. Hunter
Ejemplo: Si F es una distribución de Weibull, entonces:







>
−+
≤
++Γ
+Γ
=
−
∞
se
se
se
e
TTsi
tTT
TTsi
T
Eff
1
0
1
)(1
1
)11(
)11(
β
β
αβ
αβ
β
donde t0 satisface:
se
se
ett t
TTsi
TT
T
edtet >
−
=+ −−−
∫
ββ ααβ
αβ 0
0
0
1
0

20. R. Barlow and L. Hunter
La eficiencia para la Política Optima II esta dada por:
β
βα
β
β
1
)1(
)1(
1
1





 −






−
+
=∞
s
ms
T
TT
Eff
Además,
β
βα
1
*
)1(






−
=
m
s
T
T
t

21. P. Boland and F. Proschan

22. P. Boland and F. Proschan
 Política: Realizar reemplazo o revisión
completa en tiempos T, 2T, 3T,......, en
cualquier otro tiempo cuando el sistema
falle o averíe se asume una reparación
minimal (que se hace en una insignificante
cantidad de tiempo), así que después de
reparar el sistema el rateo de falla no es
alterado.

23. P. Boland and F. Proschan
 Definimos
◦ C0 = Costo de reemplazo (o revisión Completa)
◦ Ck = Costos reparación minimal sobre la k-ésima avería desde el
último reemplazo (o revisión completa).
◦ Ck
*=C1+C2+......+Ck
 Es razonable suponer que la secuencia (Ck) es creciente
en k. La mayoría de los resultados son obtenidos para el
caso en que Ck es de la forma Ck= a + kc, para constantes
a > 0 y c >= 0. Es decir, cada reparación a nuestro sistema
(equipo) adiciona un costo c (posiblemente muy pequeño
relativo a “a”) más que el costo de reparación previo.

24. P. Boland and F. Proschan
 Problema: Encontrar el periodo optimo T en
orden a minimizar el costo esperado.
 Caso 1: Reemplazo periódico optimo sobre un
horizonte de tiempo finito [0,t).
◦ Sea C(T) el costo esperado durante el intervalo [0,t)
cuando seguimos una política de reemplazo (revisión) en
T, 2T, ...., donde 0<T<= t
◦ T = t corresponde a los reemplazos no planeados.

25. P. Boland and F. Proschan
 Proposición: C(T) es continua a la derecha sobre (0,t], y continua
excepto posiblemente en los puntos {t, t/2, t/3, .....}
El número de averías en el intervalo es un proceso de Poisson no homogéneo de
parámetro ∫=
T
dssqTR
0
)()(
0 T 2T kT (k+1)T
*
1
)(
0
!
)(
j
j
j
TR
C
j
TR
eC ∑
∞
=
−
+
Número de Costo avería
averías en (creciente)
el intervalo

26. P. Boland and F. Proschan
Considerando donde, obtenemos
que:
En orden a minimizar C(T) como una función deT,
investigamos C’(T) en puntos {t, t/2, t/3, .....}
ykTt += Ty ≤<0







<
−
++
=++
=
∑∑
∑
∞
=
−−
∞
=
−
∞
=
−
TysiC
j
kTtR
eC
j
TR
ekkC
TysiC
j
TR
ekkC
TC
j
j
j
kTtR
j
j
j
TR
j
j
j
TR
*
1
)(*
1
)(
0
*
1
)(
0
!
)(
!
)(
!
)(
)1(
)(

27. P. Boland and F. Proschan
Corolario: Suponga que la función distribución de vida F
del sistema tiene un rateo de falla creciente, y que el j-
ésimo costo de reparación minimal del sistema es de la
forma Cj = a + jC, j=1,2,....... Entonces la función C(T) es
minimizada en uno de los puntos {t, t/2, t/3, .....}.
Luego minimizar C(T) se reduce a
},2,1,0{
12
)1(
1
))(1(
1
2
0
∈






+
+
+





+
+++=





+
k
k
t
CR
k
k
t
RCakkC
k
t
CMin

28. P. Boland and F. Proschan
Ejemplos:
Distribución 0=C
Iguales costos de Reparación
Minimal
0>C
Exponencial
k
takCMin λ+0
Solución Optima: 0=k , se
sigue una política de no
reemplazo
k
k
tC
CakCMin
)1(
)(
2
)(
2
0
+
+++
λ
λ
Solución Optima:
,2,1,0,1
2 0
=−= k
C
C
tk λ
Weibull
k
ktakCMin ββ
α −
++ 1
0 )1(
Solución Optima:
,1
)1(
0
−







 −
= β
βα
C
a
tk
,2,1,0=k
k
kt
C
ktCakCMin ββαββα 21)1(22
2
1)1()(0
−++−+++
Solución Optima:
,3,2,1,0
1
)21(2)1()()1)((
)21(
1
0
22
=
−








−−−+±−+−
−
=
k
CCCaCa
tC
k
ββ
βββ
βα

29. P. Boland and F. Proschan
Caso 2: Reemplazo (revisión) períodico en
tiempos T, 2T, 3T, ..... Sobre un horizonte de tiempo
infinito.
En este caso el costo promedio en el largo plazo
por unidad de tiempo esta dado por:
T
C
j
TR
eC
E
E
T
TC
TC
j
j
j
TR
T
∑
∞
=
−
∞→
+
===
1
*)(
0
!
)(
)ciclolargo(
)ciclocosto()(
lim)(

30. P. Boland and F. Proschan
Proposición: )(TC es continua sobre ),0( ∞ . Además, asumiendo el j-ésimo costo de
reparación minimal jCaCj += , tenemos que
[ ]
2
0
2
2
)(
)()()()()(
)(
T
C
TR
TRTTqCTRTTqCa
TC
−








−+−+
=′
Corolario: Sea F una distribución con función de rateo de falla creciente y continua q. Si
C>0, entonces existe una solución a 0)( =′ TC . Si )(Tq es no acotada, entonces una
solución a 0)( =′ TC existe. Finalmente, )(Tq es diferenciable con derivada positiva,
entonces existe una solución única 0T a 0)( =′ TC y esta solución es el punto mínimo de
)(TC .

31. P. Boland and F. Proschan
Ejemplo:
Distribución 0=C
Iguales costos de Reparación
Minimal
0>C
Exponencial
T
C
aTC 0
)( += λ
Solución Optima: ∞=0T , se sigue
una política de reemplazo
Solución Optima:
β
βα
1
0
0
)1(






−
=
a
C
T
Weibull
T
C
T
C
CaTC 20
2
)()( λλ +++=
Solución Optima:
C
C
T 0
0
21
λ
=
Solución Optima:
β
βα
βββ
1
0
22
0
)
2
1(2
)
2
1(4)1()()1)((










−
−+−++−+−
=
C
CCCaCa
T

32. FIN
Muchas Gracias…….