Movimiento de proyectiles    Presentación PowerPoint de Paul E. Tippens, Profesor de FísicaSouthern Polytechnic State Univ...
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Estrategia para resolución de problema1. Descomponer la velocidad inicial vo en   componentes:        vo    voy          θ...
Estrategia para el problema (Cont.):3. La posición y velocidad finales se pueden   encontrar a partir de los componentes. ...
Ejemplo 2: Una bola tiene una velocidad      inicial de 160 ft/s a un ángulo de 30o con la      horizontal. Encuentre su p...
Ejemplo 2: (continuación) voy   160 ft/s            2            4                           s            s       30o v   ...
Ejemplo 2 (Cont.): A continuación encuentre    los componentes verticales de la posición    después de 2 s y 4 s.  voy= 80...
(Cont.) Los signos de y indicarán la  ubicación del desplazamiento (arriba + o  abajo – del origen).voy= 80 ft/s          ...
(Cont.): A continuación encuentre los componentes      horizontal y vertical de la velocidad después de 2 y   voy   160 ft...
Ejemplo 2: (continuación)      vy= 80.0 ft/s         v2           g = -32 ft/s2        160 ft/s                           ...
Ejemplo 2: (continuación) vy= 80.0 ft/s                v2                    g = -32 ft/s2       160 ft/sSe mueve arriba  ...
(Cont.): El desplazamiento R2,θ se encuentra a   partir de los desplazamientos componentes x2 y y2                       t...
(Cont.): De igual modo, el desplazamiento R4,θ se   encuentra a partir de los desplazamientos componen   x4 y y4.         ...
(Cont.): Ahora se encuentra la velocidad desp     de 2 s a partir de los componentes vx y vy.  voy= 80.0 ft/s             ...
(Cont.) A continuación, encuentre la velocidad     después de 4 s a partir de los componentes v4x y v  voy= 80.0 ft/s     ...
Ejemplo 3: ¿Cuáles son la altura máxima y   el rango de un proyectil si vo = 28 m/s a 300? voy   28 m/s                   ...
Ejemplo 3(Cont.): ¿Cuál es la altura máxim       del proyectil si v = 28 m/s a 30 0? voy   28 m/s                        v...
Ejemplo 3(Cont.): A continuación, encuentr        el rango del proyectil si v = 28 m/s a 30 0.  voy   28 m/s              ...
Ejemplo 3(Cont.): Primero se encuentra el      tiempo de vuelo tr, luego el rango xr.voy   28 m/s                         ...
Ejemplo 4: Una bola rueda desde lo alto de    una mesa a 1.2 m de altura y aterriza en el    suelo a una distancia horizon...
Ejemplo 4 (Cont.): Ahora use la ecuación     horizontal para encontrar vox al salir de lo al     de la mesa.              ...
Ejemplo 4 (Cont.): ¿Cuál será su rapidez     cuando golpee el suelo?                                 Nota:               t...
Ejemplo 5. Encuentre el “tiempo colgado” para     el balón cuya velocidad inicial es 25 m/s, 60 0.                y = 0; a...
Ejemplo 5 (Cont.) Encuentre el “tiempo de vuelo”  para el balón cuya velocidad inicial es 25 m/s, 60 0                 y =...
Ejemplo 6. Un perro que corre salta con velocidad inicial de 11 m/s a 300. ¿Cuál es el rango?  Dibuje figura y         voy...
Ejemplo 6 (Cont.) Un perro salta con velocidad    inicial de 11 m/s a 300. ¿Cuál es el rango?                           vo...
Resumen de proyectiles:1. Determine los componentes x y y de v0     v0x = v0 cosθ    y   v0y = v0 senθ2. Los componentes h...
Resumen (continuación):3. Los componentes horizontal y vertical de la   velocidad en cualquier tiempo t están dados   por:...
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Movimiento de proyectiles

  1. 1. Movimiento de proyectiles Presentación PowerPoint de Paul E. Tippens, Profesor de FísicaSouthern Polytechnic State University
  2. 2. Objetivos: Después de completar este módulo, deberá: Describir el movimiento de un proyectil al tratar los componentes horizontal y vertical de su posición y velocidad.• Resolver para posición, velocidad o tiempo cuando se dan velocidad inicial y ángulo de lanzamiento.
  3. 3. Movimiento de proyectilesUn proyectil es una partícula que se muevecerca de la superficie de la Tierra sólo bajo lainfluencia de su peso (dirigido hacia abajo). W W W a=g
  4. 4. Movimiento vertical y horizontalSimultáneamente suelte labola amarilla y proyecte labola roja horizontalmente. Dé clic a la derecha paraobservar el movimiento de cada bola.
  5. 5. Movimiento vertical y horizontal Simultáneamente suelte una bola amarilla y proyecte la bola roja horizontalmente. W W ¿Por qué golpean el suelo al mismo tiempo? Una vez comienza el movimiento, el peso Una vez comienza el movimiento, el pesohacia abajo es la única fuerza sobre cada bola.hacia abajo es la única fuerza sobre cada bola.
  6. 6. Bola proyectadahorizontalmente y otra soltada al mismo tiempo:El movimiento vertical es el mismo para cada bola vox 0s vx 1s vy vx vy 2s vy vy vx 3s vy vy
  7. 7. Observe el movimiento de cada bolaEl movimiento vertical es el mismo para cada bola vox 0s 1s 2s 3s
  8. 8. Considere por separado losmovimientos horizontal y vertical: Compare desplazamientos y velocidades 0s vox 1 s 2s 3s 0s vx 1s vy vx La velocidad 2s horizontal no cambia. vy vx 3s Velocidad vertical tal como caída libre. vy
  9. 9. Cálculo de desplazamiento para proyección horizontal:Para cualquier aceleración x = vot + at 1 2 2constante:Para el caso especial de proyecciónhorizontal: 0; a = g v = 0; v = v a =x y oy ox o Desplazamiento horizontal : x = vox t Desplazamiento vertical: y = gt 1 2 2
  10. 10. Cálculo de velocidad para proyección horizontal (Cont.):Para cualquier aceleración v f = vo + atconstante:Para el caso especial de un proyectil: ax = 0; a y = g voy = 0; vox = vo Velocidad horizontal: vx = vox Velocidad vertical: v y = vo + gt
  11. 11. Ejemplo 1: Una bola de béisbol se golpea con una rapidez horizontal de 25 m/s. ¿Cuál es su posición y velocidad después de 2 s? x +50 m 25 m/s y -19.6 mPrimero encuentre los desplazamientos horizontal y vertical : x = vox t = (25 m/s)(2 s) x = 50.0 m x = 50.0 m y = gt = (−9.8 m/s )(2 s) 1 2 2 1 2 2 2 y = -19.6 m y = -19.6 m
  12. 12. Ejemplo 1 (Cont.): ¿Cuáles son los componentes de la velocidad después de 2 25 m/s vx v0x = 25 m/s v0y = 0 vyEncuentre la velocidad horizontal y vertical después de 2 s: vx = vox = (25 m/s) vxx = 25.0 m/s v = 25.0 m/s v y = voy + at = 0 + (−9.8 m/s )(2 s) 2 vyy = -19.6 m/s v = -19.6 m/s
  13. 13. Considere proyectil a un ángulo:Una bola roja se proyecta a un ángulo θ. Al mismo tiempo,Una bola roja se proyecta a un ángulo θ. Al mismo tiempo,una bola amarilla se lanza verticalmente hacia arriba y unauna bola amarilla se lanza verticalmente hacia arriba y unabola verde rueda horizontalmente (sin fricción).bola verde rueda horizontalmente (sin fricción). vx = vox = constante voy vo v y = voy + at θ a = −9.8 m/s 2 voxNote los movimientos vertical y horizontal de las bolas
  14. 14. Cálculos de desplazamiento para proyección general:Los componentes del desplazamiento en el tiempo t son: x = vox t + axt 1 2 2 y = voy t + a y t 1 2 2Para proyectiles: ax = 0; a y = g ; voy = 0; vox = vo Por tanto, los x = vox t componentes x y y para proyectiles son: y = voy t + gt 1 2 2
  15. 15. Cálculos de velocidad para proyección general: Los componentes de la velocidad en el tiempo t son: vx = vox + ax t v y = voy + a y tPara proyectiles: ax = 0; a y = g ; voy = 0; vox = vo Por tanto, los componentes de vx = v0x constante velocidad vx y vy para vy = v0y + gt proyectiles son:
  16. 16. Estrategia para resolución de problema1. Descomponer la velocidad inicial vo en componentes: vo voy θ vox = vo cos θ ; voy = vo sin θ vox2. Encuentre componentes de posición y velocidad final: Desplazamiento: Velocidad: x = vox t vx = v0x y = voy t + gt 1 2 2 vy = v0y + gt
  17. 17. Estrategia para el problema (Cont.):3. La posición y velocidad finales se pueden encontrar a partir de los componentes. R y y θ R= x +y ; 2 2 tan θ = x x voy vo vy θ v = v +v ; 2 x 2 y tan θ = vx vox4. Use los signos correctos. Recuerde: g es negativo o positivo dependiendo de su elección inicial.
  18. 18. Ejemplo 2: Una bola tiene una velocidad inicial de 160 ft/s a un ángulo de 30o con la horizontal. Encuentre su posición y velocidad después de 2 s y de 4 s.voy 160 ft/s vox = (160 ft/s) cos 30 = 139 ft/s 0 30o v voy = (160 ft/s) sin 30 = 80.0 ft/s 0 oxDado que vx es constante, los desplazamientoshorizontales después de 2 y 4 segundos son: x = vox t = (139 ft/s)(2 s) x = 277 ft x = 277 ft x = vox t = (139 ft/s)(4 s) x = 554 ft x = 554 ft
  19. 19. Ejemplo 2: (continuación) voy 160 ft/s 2 4 s s 30o v ox 277 ft 554 ftNota: SÓLO se conoce la ubicación horizontaldespués de 2 y 4 s. No se sabe si va haciaarriba o hacia abajo. x22 = 277 ft x = 277 ft x44 = 554 ft x = 554 ft
  20. 20. Ejemplo 2 (Cont.): A continuación encuentre los componentes verticales de la posición después de 2 s y 4 s. voy= 80 ft/s g = -32 ft/s2 160 ft/s y2 y4 θ 0 1 2 3 4 s s s s sDesplazamiento vertical como función del tiempo: y = voy t + gt = (80 ft/s)t + (−32 ft/s )t 1 2 2 1 2 2 2 Observe unidades y = 80t − 16t 2 consistentes.
  21. 21. (Cont.) Los signos de y indicarán la ubicación del desplazamiento (arriba + o abajo – del origen).voy= 80 ft/s g = -32 ft/s2 160 ft/s 96 ft y2 16 ft y4 θ 0 1 2 3 4 s s s s s Posición vertical: y = 80t − 16t 2y2 = 80(2 s) − 16(2 s) 2 y4 = 80(4 s) − 16(4 s) 2 Cada una arriba dely2 = 96 ft y4 = 16 ft origen (+)
  22. 22. (Cont.): A continuación encuentre los componentes horizontal y vertical de la velocidad después de 2 y voy 160 ft/s vox = (160 ft/s) cos 300 = 139 ft/s 30 o vox voy = (160 ft/s) sin 300 = 80.0 ft/sDado que vxxes constante, vxx= 139 ft/s en todos los tiempos.Dado que v es constante, v = 139 ft/s en todos los tiempos. La velocidad vertical es la misma que si se proyectara verticalmente: vy = v0y + gt; donde g = -32 ft/s2En cualquier tiempo t: vx = 139 ft/s v y = voy − (32 ft/s)t
  23. 23. Ejemplo 2: (continuación) vy= 80.0 ft/s v2 g = -32 ft/s2 160 ft/s v4 θ 0 1 2 3 4 s s s s sEn cualquier tiempo t: vx = 139 ft/s v y = voy − (32 ft/s)t v y = 80 ft/s − (32 ft/s)(2 s) v2y = 16.0 ft/s v2y = 16.0 ft/s v y = 80 ft/s − (32 ft/s)(4 s) v4y = -48.0 ft/s v4y = -48.0 ft/s
  24. 24. Ejemplo 2: (continuación) vy= 80.0 ft/s v2 g = -32 ft/s2 160 ft/sSe mueve arriba Se mueve +16 ft/s abajo -48 ft/s v4 θ 0 1 2 3 4 s s s s sLos signos de vy indican si el movimiento es arriba (+) o abajo (-) en cualquier tiempo t.A 2 s:: v2x = 139 ft/s; v2y = + 16.0 ft/sA 2 s v2x = 139 ft/s; v2y = + 16.0 ft/sA 4 s:: v4x = 139 ft/s; v4y = -- 48.0 ft/sA 4 s v4x = 139 ft/s; v4y = 48.0 ft/s
  25. 25. (Cont.): El desplazamiento R2,θ se encuentra a partir de los desplazamientos componentes x2 y y2 t=2s y R= x +y 2 2 tan θ = x R2 y2 = 96 ft θ 0 x2= 277 ft 2 4 s s s 96 ftR = (277 ft) 2 + (96 ft) 2 tan θ = 277 ft R22 = 293 ft R = 293 ft θ22 = 19.100 θ = 19.1
  26. 26. (Cont.): De igual modo, el desplazamiento R4,θ se encuentra a partir de los desplazamientos componen x4 y y4. t=4s yR= x +y 2 2 tan θ = x R4 y4 = 64 ft θ 0 x4= 554 ft 4 s s 64 ftR = (554 ft) + (64 ft) 2 2 tan θ = 554 ft R44 = 558 ft R = 558 ft θ44 = 6.5900 θ = 6.59
  27. 27. (Cont.): Ahora se encuentra la velocidad desp de 2 s a partir de los componentes vx y vy. voy= 80.0 ft/s v2 g = -32 ft/s2 160 ft/s Se mueve v2x = 139 ft/s arriba +16 ft/s v2y = + 16.0 ft/s θ 0 2 s s 16 ftv2 = (139 ft/s) + (16 ft/s) 2 2 tan θ = 139 ft v22 = 140 ft/s v = 140 ft/s θ22 = 6.5600 θ = 6.56
  28. 28. (Cont.) A continuación, encuentre la velocidad después de 4 s a partir de los componentes v4x y v voy= 80.0 ft/s g = -32 ft/s2 160 ft/s v4x = 139 ft/s v4y = - 48.0 ft/s v4 θ 0 4 s s 16 ftv4 = (139 ft/s) 2 + ( −46 ft/s) 2 tan θ = 139 ft v44 = 146 ft/s v = 146 ft/s θ22 = 341.700 θ = 341.7
  29. 29. Ejemplo 3: ¿Cuáles son la altura máxima y el rango de un proyectil si vo = 28 m/s a 300? voy 28 m/s vox = 24.2 m/s vy = 0 ymax voy = + 14 m/s 30o v ox vox = (28 m/s) cos 30 = 24.2 m/s 0 v0y = (28 m/s) sen 30° = 14 m/sLa máxima coordenada y ocurre cuando vy = 0: v y = voy + gt = 14 m/s + (−9.8 m/s )t = 0 2ymax ocurre cuando 14 – 9.8t = 0 o t = 1.43 s
  30. 30. Ejemplo 3(Cont.): ¿Cuál es la altura máxim del proyectil si v = 28 m/s a 30 0? voy 28 m/s vox = 24.2 m/s vy = 0 ymax voy = + 14 m/s 30o v oxLa máxima coordenada y ocurre cuando t = 1.43 s: y = voy t + gt = 14(1.43) + (−9.8)(1.43) 1 2 2 1 2 2 y = 20 m − 10 m ymax= 10.0 m ymax= 10.0 m
  31. 31. Ejemplo 3(Cont.): A continuación, encuentr el rango del proyectil si v = 28 m/s a 30 0. voy 28 m/s vox = 24.2 m/s voy = + 14 m/s 30o vox Rango xrEl rango xr se define como la distancia horizontalque coincide con el tiempo para el regreso vertical. El tiempo de vuelo se encuentra al hacer y = 0: y = voy t + gt = 0 1 2 2 (continúa)
  32. 32. Ejemplo 3(Cont.): Primero se encuentra el tiempo de vuelo tr, luego el rango xr.voy 28 m/s vox = 24.2 m/s voy = + 14 m/s 30o vox Rango xry = voy t + gt = 0 1 2 2 (Divida por t) voy 2(14 m/s) voy + gt = 0; 1 t= = ; t = 2.86 s 2 − g -(-9.8 m/s ) 2 xr = voxt = (24.2 m/s)(2.86 s); xrr = 69.2 m x = 69.2 m
  33. 33. Ejemplo 4: Una bola rueda desde lo alto de una mesa a 1.2 m de altura y aterriza en el suelo a una distancia horizontal de 2 m. ¿Cuál fue la velocidad cuando dejó la mesa Nota: x = voxt = 2 m R 01.2 m y = voyt + ½ayt2 = -1.2 m 2mPrimero encuentre t a partir y = gt = −1.2 m 1 2 2de la ecuación y: 2(−1.2) ½(-9.8)t2 = -(1.2) t= −9.8 tt = 0.495 s = 0.495 s
  34. 34. Ejemplo 4 (Cont.): Ahora use la ecuación horizontal para encontrar vox al salir de lo al de la mesa. Nota: x = voxt = 2 m R1.2 m y = ½gt2 = -1.2 m 2mUse t = 0.495 s en la ecuación x: vox t = 2 m 2m v ox (0.495 s) = 2 m; vox = 0.495 s La bola deja la mesa v = 4.04 m/s v = 4.04 m/s con una rapidez:
  35. 35. Ejemplo 4 (Cont.): ¿Cuál será su rapidez cuando golpee el suelo? Nota: t = 0.495 s vx = vox = 4.04 m/s1.2 m 0 2m vx vy = vy + gt vyvy = 0 + (-9.8 m/s2)(0.495 s) vy = -4.85 m/s −4.85 mv = (4.04 m/s) + ( −4.85 m/s) 2 2 tan θ = 4.04 m v44 = 146 ft/s v = 146 ft/s θ22 = 309.800 θ = 309.8
  36. 36. Ejemplo 5. Encuentre el “tiempo colgado” para el balón cuya velocidad inicial es 25 m/s, 60 0. y = 0; a = -9.8 m/s2 Inicial vo: vo =25 m/s vox = vo cos θ Tiempo de 600 vuelo t voy = vo sin θ Vox = (25 m/s) cos 600; vox = 12.5 m/s Voy = (25 m/s) sen 600; vox = 21.7 m/sSólo los parámetros verticales afectan al tiempo de vuelo. y = voy t + 1 at 2 ; 0 = (21.7)t + 1 (−9.8)t 2 2 2
  37. 37. Ejemplo 5 (Cont.) Encuentre el “tiempo de vuelo” para el balón cuya velocidad inicial es 25 m/s, 60 0 y = 0; a = -9.8 m/s2 Inicial vo:vo =25 m/s vox = vo cos θ Tiempo de 600 vuelo t voy = vo sen θ y = voy t + at ; 0 = (21.7)t + (−9.8)t 1 2 2 1 2 2 4.9 t2 = 21.7 t 4.9 t = 21.7 21.7 m/s t= tt = 4.42 s = 4.42 s 4.9 m/s 2
  38. 38. Ejemplo 6. Un perro que corre salta con velocidad inicial de 11 m/s a 300. ¿Cuál es el rango? Dibuje figura y voy = 11 sen 300 encuentre v = 11 m/s componentes: vox = 9.53 m/s θ =300 voy = 5.50 m/s vox = 11 cos 300 Para encontrar el rango, primero encuentre t cuando y = 0; a = -9.8 m/s2y = voy t + at ; 0 = (5.50)t + (−9.8)t 1 2 2 1 2 24.9 t2 = 5.50 t 5.50 m/s t= 2 tt = 1.12 s = 1.12 s4.9 t = 5.50 4.9 m/s
  39. 39. Ejemplo 6 (Cont.) Un perro salta con velocidad inicial de 11 m/s a 300. ¿Cuál es el rango? voy = 10 sen 310El rango se encuentra apartir del componente x: v = 10 m/s vx = vox = 9.53 m/s θ =310 x = vxt; t = 1.12 s vox = 10 cos 310La velocidad horizontal es constante: vx = 9.53 m/s x = (9.53 m/s)(1.12 s) = 10.7 m Rango: x = 10.7 m Rango: x = 10.7 m
  40. 40. Resumen de proyectiles:1. Determine los componentes x y y de v0 v0x = v0 cosθ y v0y = v0 senθ2. Los componentes horizontal y vertical del desplazamiento en cualquier tiempo t están dados por: x = vox t y = voy t + gt 1 2 2
  41. 41. Resumen (continuación):3. Los componentes horizontal y vertical de la velocidad en cualquier tiempo t están dados por: vx = vox ; v y = voy + gt4. Luego, si se desea, se pueden encontrar el desplazamiento vectorial o la velocidad a partir de los componentes: y R = x +y2 2 tan θ = x
  42. 42. CONCLUSIÓN: Movimiento de proyectiles

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