Polinomios
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  • 1. PolinomiosMaria José Morralla Nicolau Darío Rozalén Badal
  • 2. Situación de los polinomios en la enseñanza secundaria ARITMÉTICA ALGEBRA (Iniciación) GEOMETRIA Interpretación geométrica Fórmulas POLINOMIO S Igualdades notables Operaciones básicas Factorización Valor numérico Ruffini Raíces Teorema del resto Teorema del factor Teorema fundamental Funciones del álgebra Resolución de ecuaciones Expresiones racionales Gráficas
  • 3. ¿Qué es un polinomio? -Pues una suma de monomios.¿Y qué es un monomio?¿Son monomios las siguientes expresiones? 4x5 πr2 3x2 = 27 3xy2 A= πr2 5x anxn P(x)=4x xy kzrf f(x)=4x abcd
  • 4. Definición e interpretación geométricaDefinición: Un polinomio es una suma de monomios. Un monomio es una expresión algebraica enla que solo aparece la multiplicación por un numero y la potenciación natural de números generalizados.Ejemplos: 3 x 2 ,4 xy 3 , ax n monomios 4 x 3 + 3 x 2 − x − 6, a3 x 3 + a2 x 2 + a1 x + a0 polinomios Se llama grado del polinomio al mayor exponente de la x Se llama termino independiente al sumando sin xInterpretación geométrica: x x 1 x x x 1 1 x 1 1 1 2 x +2 x +3 x +4 3 2
  • 5. Notas sobre la interpretación geométrica:Solo podemos dibujar figuras geométricas de hasta 3 dimensiones, por tanto la interpretacióngeométrica se reduce a los polinomios de grado menor que 4.¿Representamos de la misma manera polinomios de distintos grados? NOUn polinomio de grado 3 necesita 3 dimensiones pero uno de 2 no, aunque siempre podamos darleprofundidad 1. Así, el siguiente polinomio lo podemos representar de varias maneras distintassegún nos convenga:P(x) = 2x2 + x + 2 O x O x 1 O 1 1 x Y el polinomio 2x + 1: O O x 1
  • 6. Operaciones básicas con polinomiosSuma y resta: Dos polinomios se suman agrupando los términos de uno y otro y simplificandolos monomios semejantes (del mismo grado).Para sumar P(x) = 2x3+2x2+3x+4 con Q(x) = x3 + 2x2 + x + 3 se procede así:P(x) + Q(x) = (2x3+2x2+3x+4) + (x3 + 2x2 + x + 3) = (2+1)x3 + (2+2)x2 + (3+1)x + (4+3)P(x) + Q(x) = 3x3 + 4x2 + 4x + 7Interpretación geométrica de la suma: P(x) + Q(x)P(x) + Q(x)Todo polinomio tiene un opuesto, que se obtiene cambiando el signo de todos sus monomios.Si a un polinomio le sumamos su opuesto se obtiene el número 0 (polinomio neutro).Se llama diferencia de dos polinomios, P(x) – Q(x) , al resultado de sumarle a P(x) el opuesto de Q(x). Texto:Página web de Silvia Sokolovsky
  • 7. Producto: Para multiplicar dos polinomios se multiplica término a término cada monomio de unopor cada monomio del otro y, posteriormente, se simplifican los monomios semejantes.Por ejemplo: P(x)=2x + 3 , Q(x)=x2 + 3x + 2 P(x)Q(x) = (2x + 3)(x2 + 3x + 2) = 2x3 + 6x2 + 4x +3x2 + 9x + 6 = 2x3 + 9x2 + 13x + 6Interpretación geométrica: P(x) Q(x) P(x)Q(x) Texto:Página web de Silvia Sokolovsky
  • 8. División de polinomios: División entera: Sean dos polinomios P(x) (dividendo) y Q(x) (divisor) tales que el grado del primero (N) es mayor que el del segundo (M) y P(x) múltiplo de Q(x), buscamos el polinomio C(x) (cociente) tal que P(x)=Q(x)C(x) , con grado N-M. Interpretación geométrica: Si tenemos el siguiente polinomio y lo queremos dividir por este otro, notemos que estamos buscando la “altura” que hay que darle al segundo para obtener el primero, así, obtendremos éste
  • 9. División no entera: Dados dos polinomios P(x) (dividendo) y Q(x) (divisor) de modo queel grado de P(x) sea mayor que el grado de Q(x) y Q(x) 0 siempre hallaremos dos polinomiosC(x) (cociente) y R(x) (resto) tal que: P(x) = Q(x) . C(x) + R(x)El grado de C(x) está determinado por la diferencia entre los grados de P y Q, mientras que elgrado de R(x) será, como máximo, un grado menor que Q.Para obtener los polinomios cociente y resto a partir de los polinomios dividendo y divisor seprocede como en el ejemplo siguiente, con P(x) = 5x3 + 7x2 - 3 y Q(x) = x2 + 2x - 1: 5x3 + 7x2 - 3 | x2 + 2x - 1 -5x3-10x2+5x 5x – 3 / -3x + 5x – 3 2 3x2 + 6x – 3 / 11x – 6 El cociente es C(x) = 5x – 3, y el resto, R(x) = 11x – 6. La descripción del proceso es la siguiente: El primer monomio del cociente se obtiene dividiendo el monomio de mayor grado del numerador por el del denominador: 5x3: x2 = 5x. Se multiplica 5x por el divisor y el resultado se resta del dividendo. Una vez obtenida la diferencia se inicia el proceso como si ésta fuera el dividendo. El proceso concluye cuando la diferencia es de grado inferior al divisor. Texto:Página web de Silvia Sokolovsky
  • 10. Valor numérico: Es el número que se obtiene al sustituir la x por un valor dado y efectuar,luego, las operaciones indicadas.Ejemplo: sea P(x) = x2 + 3x – 4 hallar P(2)  P(2) = 22 + 3.2 – 4  P(2) = 4 + 6 – 4  P(2) = 6 Texto:Página web de Silvia SokolovskyRaíces: Un número a es una raíz del polinomio P(x) si el valor numérico de P(x) para x=aes cero.Ejemplo: a=1 es raiz de P(x)= x2 + 3x – 4, porque P(1)=1 + 3 - 4 = 0Factorizar: Factorizar un polinomio es descomponerlo en dos o más polinomios, no constantes,de manera que su producto sea el polinomio dado. Nos interesa factorizar los polinomios en binomios del tipo x – a.Para ello resulta muy útil la regla de Ruffini, que veremos a continuación.Ejemplos: (x-1),(x+1) son factores del polinomio x2-1. Es decir podemos factorizar x2-1 en elproducto de los otros dos: x2-1 = (x-1)(x+1) O también: 2x3 +4x2-2x-4 = (x2-1)(2x+4)
  • 11. Paolo RUFFINI (1765 - 1822) : Matemático y médico italiano, nacido en Roma, desarrollando toda su actividad en Módena, donde murió. Dedicó muchos años al estudio del problema de demostrar la imposibilidad de encontrar una expresión con radicales que resuelva una ecuación de quinto grado (problema que ocupó a generaciones de matemáticos), consiguiendo resolverlo, al igual que el matemático Niels H. Abel. Lo demostró, aunque deficientemente. El teorema sobre la imposibilidad de encontrar una fórmula para resolver las ecuaciones de quinto grado fue enunciado por primera vez por Ruffini en el libro Teoria generale delle equazioni, publicado en Bolonia en 1798. La demostración de Ruffini fue, sin embargo, incompleta. Esta formulación, denominada teorema Abel-Ruffini, fue demostrada definitivamente por el matemático noruego Niels Henrik Abel. Es muy conocida su regla para la división de un polinomio en x por el binomio x - a.
  • 12. Regla de Ruffini VS Algoritmo de la división: Sea el polinomio generalizado P(x)=anxn + ... + a1x + a0 , vamos a dividirlo por el binomio x – α , con α real. Regla de Ruffini: Se debenel segundocoeficiente delbajado y se continúa el por coeficiente con el multiplica αprocesocoeficiente dividendo. "baja" colocar todoshasta terminar del suma el primer el los coeficientes con los coeficientes. coloca el anterior. de mayor a menor grado y si dividendoresultado debajo del segundo coeficiente resultado ordenados (el signo de α será positivo si el divisor es del tipo falta el de algún grado intermedio colocar un 0. (x- α) y negativo si el divisor es del tipo (x+ α). Algoritmo de la división:Una vez obtenida la diferencia seSe resultado se nresta del dividendoEl primer monomiopor cociente inicia elPlanteamos laadivisión el divisorse obtiene multiplica xn-1 del anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 | x – αproceso como si ésta fuera el dividendo.dividiendo el monomio de mayor grado del -anxn + α anxn-1 anxn-1+(an-1+α an)xn-2 +... = CEl proceso por el del denominador: anxn : esnumerador concluye cuando la diferenciax = anxn-1 / (an-1+α an)xn-1 + ... + a1x + a0de grado inferior al divisor. R(x) = an α n + an-1 α n-1 + ... + a1 α + a0 C = anxn-1 +(an-1+α an)xn-2 + ... + (an α n-1 + an-1 α n-2 + ... + a2 α + a1) C = bn-1xn-1 + bn-2 xn-2 + ... + b0
  • 13. Teorema del resto: El resto de dividir un polinomio P(x) por x – α es igual al valor numérico del polinomio en x = αDemostración de los algoritmos de la pagina anterior, tenemos: R(x) = an α n + an-1 α n-1 + ... + a1 α + a0 que es exactamente el polinomio evaluado en α.Otra demostración como el cociente es x – α (grado 1), sabemos que el resto será de grado 0, es decir, un número. Sabemos también que P(x) = Q(x) . (x - α) + R. Entonces si en esa ecuación hacemos x = α, nos queda: P(α) = Q(α) . (α - α) + R  P(α) = Q(α) . 0 + R  P(α) = R El resto es igual al valor del polinomio en α. Teorema del factor: Un polinomio P(x) tiene como factor x – α si el valor numérico del polinomio en x = α es cero.Demostración P(α)= 0  Por el teorema del resto la división es exacta  x – α es factor.
  • 14. Propiedad: Las raíces enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del término independiente. Demostración Si α es raiz de P(x) , el resto R(x) = an α n + an-1 α n-1 + ... + a1 α + a0 = 0   a0= - (an α n + an-1 α n-1 + ... + a1 α) = - α (an α n-1 + an-1 α n-2 + ... + a1)  a0  = - (an α n-1 + an-1 α n-2 + ... + a1) donde ai y α son enteros  α  α divide de forma entera a a0Ejemplo: Para factorizar x3 – 7x +6 utilizando la regla de Ruffini probaremos con todos los divisoresdel termino independiente. 6 es divisible por: 1,-1,2,-2,3,-3,6 y –6Veamos que no todos son raíces, pero que todas las raíces enteras son de ese grupo. 1 0 -7 6 1 0 -7 6 1 1 1 -6 -1 -1 1 6 1 1 -6 0 1 -1 -6 12
  • 15. 1 0 -7 6 1 0 -7 62 2 4 -6 -2 -2 4 6 1 2 -3 0 1 -2 -3 12 1 0 -7 6 1 0 -7 63 3 9 6 -3 -3 9 -6 1 3 2 12 1 -3 2 0 1 0 -7 6 1 0 -7 66 6 36 174 -6 -6 36 -174 1 6 29 180 1 -6 29 -168
  • 16. Teorema fundamental del álgebra:El teorema fundamental del álgebra establece lo siguiente:Todo polinomio de grado n, con coeficientes complejos, tiene exactamente n raíces, no forzosamentedistintas, es decir contadas con su orden de multiplicidad.Por ejemplo, el polinomio real (y por lo tanto también complejo) X3 - 2X2 - 4X + 8 = (X-2)2(X+2)tiene 2 como raíz doble, y -2 como raíz simple, lo que da en total tres raíces.En otras palabras, todo P(X) = anXn +an-1 Xn-1 + ... + a1 X + a0 se puede factorizar completamente, así :an(X – z0) (X – z1) ... (X – zn) , con los zi complejos, y an ≠ 0. Para los reales el teorema se queda en: Todo polinomio de grado n, con coeficientes reales, se podrá factorizar en a lo sumo n factores.