Sucesiones de numeros reales

1. 1
UNEFM
Sucesión de Números Reales
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL
“FRANCISCO DE MIRANDA”
ÁREA DE EDUCACIÓN
UNIDAD CURRICULAR: MATEMÁTICA III
Clase 1: Sucesiones de Números Reales.
Prof. Miguel García

2. 2
CONTENIDO
1.- Sucesiones
2.- Teoremas
3.- Ejercicios
4.- Clasificación de las Sucesiones
5.- Limite de una Sucesión
6.- Convergencia y Divergencia
Matemáticas III

3. o Sucesión
o Definición
o Teoremas
o Ejercicios
o Clasificación
o Limite de una
Sucesión
o Convergencia
oDivergencia
3
Matemáticas III
Definición
Una sucesión infinita de números reales es una función cuyo
dominio es N. Desde el punto de vista de esta definición,
debería designarse una sucesión mediante una simple letra
tal como a, y los valores particulares como:
𝑎(1), 𝑎(2), 𝑎(3), 𝑎(4), … … . . , … . .
Pero la notación con subíndices 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, …….,…
es la que se usa casi siempre, y la misma sucesión se suele
designar mediante un símbolo tal como 𝑎 𝑛 .

4. 4
Al definir sucesiones con frecuencia es conveniente enlistar en
orden los términos de la sucesión, deteniéndose cuando la
regla de formación parece evidente.
Así pues se puede escribir, x=(2,4,6,8,….) para la sucesión de
los números naturales pares.
Z=(
1
12 ,
1
22 ,
1
32 ,
1
42 , . . . .) para la sucesión de los recíprocos de los
cuadrados de los números naturales.
Un método más satisfactorio es especificar una fórmula para
el término general de la sucesión como:
𝑋 = (2𝑛: 𝑛 ∈ 𝑁)
Z=(
1
𝑠2 : 𝑠 ∈ 𝑁)
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o Definición
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o Ejercicios
o Clasificación
o Limite de una
Sucesión
o Convergencia
oDivergencia

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¿Qué es una Sucesión?
Una sucesión infinita de números es una función cuyo dominio es
el conjunto de enteros positivos.
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o Definición
o Teoremas
o Ejercicios
o Clasificación
o Limite de una
Sucesión
o Convergencia
oDivergencia

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La regla
Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el
valor de cada término.
Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada
vez:
Entonces, ¿cuál sería la regla para la sucesión {3, 5, 7, 9, ...}?
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Sucesión
o Convergencia
oDivergencia

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Matemáticas III
Así mismo es importante destacar que las sucesiones pueden
describirse escribiendo las reglas que especifiquen sus
elementos.
Ejemplo: Dadas las siguiente sucesiones encuentre los primeros
términos de cada una de las sucesiones.
a) 𝒂 𝒏 = 𝒏 b) 𝒃 𝒏 = −𝟏 𝒏+𝟏 𝟏
𝒏
b) c) 𝒄 𝒏 =
𝒏−𝟏
𝒏
d) 𝒅 𝒏 = (−𝟏) 𝒏+𝟏
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oDivergencia

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Notación
Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo
hacemos así:
Posición del término
Es normal usar xn para los términos, donde:
 xn es el término
 n es la posición de ese término
Así entonces para referirnos al "quinto término“ sólo tenemos
que escribir: x5
¿Cómo podríamos escribir la regla para la sucesión {3, 5, 7, 9, ...}
en forma de ecuación general?
¿Si queremos calcular el 10º término, como lo hacemos?
¿Puedes calcular el 50º término? ¿Y el 500º?
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Si 𝑋 = 𝑥 𝑛 y Y=(𝑦 𝑛) son sucesiones de números reales, entonces
su suma se define como la sucesión: 𝐗 + 𝐘 = (𝒙 𝒏 + 𝒚 𝒏; 𝒏 ∈ 𝑵).
Su diferencia como la sucesión: 𝐗 − 𝐘 = (𝒙 𝒏 − 𝒚 𝒏; 𝒏 ∈ 𝑵).
Su producto como la sucesión: 𝐗 ∗ 𝐘 = (𝒙 𝒏 ∗ 𝒚 𝒏; 𝒏 ∈ 𝑵).
Si C ∈ 𝑅, se define el múltiplo de x por C como la sucesión:
C*X=(𝑪𝒙 𝒏; 𝒏 ∈ 𝑵).
Por último si 𝑍 = (𝑧 𝑛) es una sucesión de números reales con
𝑧 𝑛 ≠ 0 para toda 𝑛 ∈ 𝑁, entonces se define el cociente de 𝑋 y
𝑍 como la sucesión 𝑋/𝑍 como 𝑿/𝒁 = 𝒙 𝒏/𝒛 𝒏; 𝒏 ∈ 𝑵).
Ejemplo: Si 𝑋 y 𝑌 son las sucesiones 𝑋 = (2,4,6, … … , 2𝑛) y
𝑌 = (3,6,9,12, … . . , 3𝑛) encuentre las sucesiones que se generan
al aplicar el teorema anterior.
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Finita o infinita
Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita,
si no es una sucesión finita
Ejemplos
a) {1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión
infinita)
b) {20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita
c) {1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y
es una sucesión finita)
d) {1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos
doblando cada término.
Nota:
Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los
términos en orden (y el mismo valor sí puede aparecer muchas
veces).
Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0 y 1. El
conjunto sería sólo {0,1}
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Sucesiones aritméticas
El ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesión
aritmética (o progresión aritmética), porque la diferencia entre
un término y el siguiente es una constante.
Ejemplos: Determine la regla o sucesión general para las
sucesiones dadas:
a) 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, …
b) 3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, …
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n-1√

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Sucesiones geométricas
En una sucesión geométrica cada término se calcula
multiplicando el anterior por un número fijo.
Nota: Para obtener la razón en una sucesión geométrica lo más
sencillo es dividir un término cualquiera entre el termino anterior,
sin embargo existen ocasiones donde no tenemos términos
consecutivos, en ese caso utilizamos la siguiente fórmula
𝑛 − 1
𝑎 𝑛
𝑎1
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Dadas las siguiente sucesiones determine la regla o sucesión
general para cada una de ellas.
a) 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, …
b) 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, …
c) 4, 2, 1, 0.5, 0.25, . .
d) 5, 15, 45, 135, 405, …
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Ejemplos: Determine cual es la razón de cada una de las
siguientes sucesiones e indique cual es la regla general para
cada una de ellas.
a) 1, 2, 4, 8, 16, …
b) 5, 10, 20, 40, …
c) 12, 3, 0.75, 0.1875, …
d) 3, −6, 12, −24, …
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Sucesiones especiales
Números triangulares
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, …
Esta sucesión se genera a partir de una pauta de puntos en un
triángulo.
Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos
el siguiente número de la sucesión.
¿Cual será la regla para esta sucesión?
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El límite de una sucesión es el número al cual se van
aproximando los términos de una sucesión.
1,
1
2
,
1
3
,
1
4
,
1
5
, . . . . ,
1
n
, . . . . .
𝑎1 = 1
𝑎2 = 0.5
𝑎1000 = 0.001
𝑎1000 000 = 0.000001
∴ El límite es 0.
Ejemplo: a) Sea la sucesión
1
2
,
2
3
,
3
4
,
4
5
, . . . . ,
𝑛+1
n
, . . . . . indique
cuanto es el limite.
b) Se la sucesión 5, 7, 9, 11, 13, . . . ., 2n+3. Indique cual es el
limite de esta sucesión.
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En ocasiones los números en una sucesión se aproximan a un
solo valor conforme el índice n crece. Esto ocurre en la
sucesión: 1,
1
2
,
1
3
,
1
4
,
1
5
, . . . . ,
1
n
, . . . . .
cuyos términos se aproximan a ???? Cuando n se hace
grande, y en la sucesión 𝟎,
𝟏
𝟐
,
𝟐
𝟑
,
𝟑
𝟒
,
𝟒
𝟓
, . . . . , 𝟏 −
𝟏
𝒏
, . . . . .
cuyos términos se aproximan a ????. Por otra parte tenemos
sucesiones como:
1, 2, 3, . . . . . , 𝑛, . . . . .
Tienen términos que se hacen más grandes que cualquier
número a medida que n aumenta y las sucesiones como
1, −1, 1, −1, 1, −1, . . . . . . , −1 𝑛+1
, . . . . . que saltan de 1 a - 1
y viceversa, nunca convergen en un solo valor.
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Definición (Convergencia, divergencia, límite)
La sucesión 𝑎 𝑛 converge al numero L si para todo numero
positivo 𝜺 existe un entero N tal que para toda n
𝑛 > 𝑁 → 𝑎 𝑛 − 𝐿 < 𝜀.
Si no existe tal numero L, decimos que 𝑎 𝑛 diverge
Si 𝑎 𝑛 converge a L, escribimos lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 𝐿, o simplemente
𝑎 𝑛 → 𝐿, y llamamos a L el limite de la sucesión.
Si una sucesión tiene un limite, se dice que la sucesión es
convergente en caso contrario diremos que es divergente.
Matemáticas II
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Sean 𝑎 𝑛 y 𝑏 𝑛 sucesiones de números reales y sean A y B
números reales. Las reglas siguientes se cumplen si lim
𝑛→∞
𝑎 𝑛 = 𝐴 y
lim
𝑛→∞
𝑏 𝑛 = 𝐵.
1.- Regla de la suma: lim
𝒏→∞
(𝒂 𝒏 + 𝒃 𝒏) = 𝑨 + 𝑩
2.- Regla de la diferencia: lim
𝒏→∞
𝒂 𝒏 − 𝒃 𝒏 = 𝑨 − 𝑩
3.- Regla del producto: lim
𝒏→∞
𝒂 𝒏. 𝒃 𝒏 = 𝑨. 𝑩
4.- Regla de la multiplicación por una constante: lim
𝒏→∞
(𝒌. 𝒃 𝒏) = 𝒌𝑩
5.- Regla del cociente: lim
𝒏→∞
𝒂 𝒏
𝒃 𝒏
=
𝑨
𝑩
Si 𝐵 ≠ 0
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Ejemplos: Apliquemos los teoremas
a) lim
𝒏→∞
−
𝟏
𝒏
b) lim
𝒏→∞
𝒏−𝟏
𝒏
c) lim
𝒏→∞
𝟓
𝒏 𝟐 d) lim
𝒏→∞
𝟒−𝒕𝒏 𝟔
𝒏 𝟔+𝟑
Aplique la regla de L`hôpital, demuestre que:
a) lim
𝒏→∞
𝒍𝒏 𝒏
𝒏
= 𝟎 b) lim
𝒏→∞
𝟐 𝒏
𝟓𝒏
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