problema q nos mostro arancibia el lunes 16-04

1. La función cuadrática
Un problema propuesto por un alumno
Luis Arancibia Morales
Sector Matemática
COLEGIO SAN IGNACIO
Año 2010
El Problema Si sabemos que una parábola tiene un foco y una
directriz, ¿cómo los podemos determinar, si sólo contamos con la
ecuación?

2. Relacionando con lo conocido

3. Relacionando con lo conocido
La parábola se define como el lugar geométrico de los puntos que
equidistan de un punto fijo F y una recta dada d

4. Relacionando con lo conocido
Para la situación canónica está dado su estudio, por lo tanto,
consideraremos un caso no canónico, pero siempre considerando que
trabajamos con una función

5. Relacionando con lo conocido
F (h, k) •
y =d

6. Relacionando con lo conocido
F (h, k) •
y =d
tenemos el punto y la recta

7. Relacionando con lo conocido
F (h, k) •
y =d
Las distancias a un punto del lugar

8. Relacionando con lo conocido
F (h, k) •
y =d
geométrico, quedan dadas por

9. Relacionando con lo conocido
F (h, k) •
y =d

10. Relacionando con lo conocido
• P(x, y)
F (h, k) •
y =d

11. Relacionando con lo conocido
• P(x, y)
F (h, k) •
y =d
La distancia de P a F debe ser igual

12. Relacionando con lo conocido
• P(x, y)
F (h, k) •
y =d
a la distancia de P a la recta

13. Relacionando con lo conocido
• P(x, y)
F (h, k) •
y =d
La cual se considera de P a Q

14. Relacionando con lo conocido
• P(x, y)
F (h, k) •
• y =d
Q

15. Relacionando con lo conocido
• P(x, y)
F (h, k) •
• y =d
Q

16. Relacionando con lo conocido
• P(x, y)
F (h, k) •
• y =d
Q
La medida de PF es (x − h)2 + (y − k)2

17. Relacionando con lo conocido
• P(x, y)
F (h, k) •
• y =d
Q
y la medida de P a la recta es la medida de PQ = |y − d |

18. Relacionando con lo conocido
• P(x, y)
F (h, k) •
• y =d
Q
por condición dada: (x − h)2 + (y − k)2 = |y − d |

19. Apliquemos álgebra

20. Apliquemos álgebra
La igualdad anterior la trabajaremos como una ecuación

21. Apliquemos álgebra
(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d |

22. Apliquemos álgebra
(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d |
(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d | /()2

23. Apliquemos álgebra
(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d |
(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d | /()2
(x − h)2 + (y − k)2 = (y − d )2

24. Apliquemos álgebra
(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d |
(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d | /()2
(x − h)2 + (y − k)2 = (y − d )2
x 2 − 2hx + h2 + y 2 − 2ky + k 2 = y 2 − 2dy + d 2

25. Apliquemos álgebra
(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d |
(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d | /()2
(x − h)2 + (y − k)2 = (y − d )2
x 2 − 2hx + h2 + y 2 − 2ky + k 2 = y 2 − 2dy + d 2
Ordenando esta última expresión nos queda que

26. Apliquemos álgebra
(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d |
(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d | /()2
(x − h)2 + (y − k)2 = (y − d )2
x 2 − 2hx + h2 + y 2 − 2ky + k 2 = y 2 − 2dy + d 2
2(k − d )y = x 2 − 2hx + h2 + k 2 − d 2

27. Apliquemos álgebra
(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d |
(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d | /()2
(x − h)2 + (y − k)2 = (y − d )2
x 2 − 2hx + h2 + y 2 − 2ky + k 2 = y 2 − 2dy + d 2
2(k − d )y = x 2 − 2hx + h2 + k 2 − d 2
1 h h2 + k 2 − d 2
y = f (x) = x2 + x+
2(k − d ) k −d 2(k − d )

28. Apliquemos álgebra
(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d |
(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d | /()2
(x − h)2 + (y − k)2 = (y − d )2
x 2 − 2hx + h2 + y 2 − 2ky + k 2 = y 2 − 2dy + d 2
2(k − d )y = x 2 − 2hx + h2 + k 2 − d 2
1 h h2 + k 2 − d 2
y = f (x) = x2 + x+
2(k − d ) k −d 2(k − d )
la forma es y = f (x) = ax 2 + bx + c

29. Apliquemos álgebra
(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d |
(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d | /()2
(x − h)2 + (y − k)2 = (y − d )2
x 2 − 2hx + h2 + y 2 − 2ky + k 2 = y 2 − 2dy + d 2
2(k − d )y = x 2 − 2hx + h2 + k 2 − d 2
1 h h2 + k 2 − d 2
y = f (x) = x2 + x+
2(k − d ) k −d 2(k − d )
la forma es y = f (x) = ax 2 + bx + c
al asumir que son iguales, nos queda:

30. Apliquemos álgebra
(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d |
(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d | /()2
(x − h)2 + (y − k)2 = (y − d )2
x 2 − 2hx + h2 + y 2 − 2ky + k 2 = y 2 − 2dy + d 2
2(k − d )y = x 2 − 2hx + h2 + k 2 − d 2
1 h h2 + k 2 − d 2
y = f (x) = x2 + x+
2(k − d ) k −d 2(k − d )
la forma es y = f (x) = ax 2 + bx + c
al asumir que son iguales, nos queda:
1 h h2 + k 2 − d 2
a= , b= yc=
2(k − d ) k −d 2(k − d )

31. Apliquemos álgebra
(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d |
(x − h)2 + (y − k)2 = |y − d | /()2
(x − h)2 + (y − k)2 = (y − d )2
x 2 − 2hx + h2 + y 2 − 2ky + k 2 = y 2 − 2dy + d 2
2(k − d )y = x 2 − 2hx + h2 + k 2 − d 2
1 h h2 + k 2 − d 2
y = f (x) = x2 + x+
2(k − d ) k −d 2(k − d )
la forma es y = f (x) = ax 2 + bx + c
al asumir que son iguales, nos queda:
1 h h2 + k 2 − d 2
a= , b= yc=
2(k − d ) k −d 2(k − d )
−b
h está determinado por según se sabe de antes
2a

32. continuamos

33. continuamos
Se conoce h

34. continuamos
Se conoce h
entonces, falta determinar k y d

35. continuamos
Se conoce h
entonces, falta determinar k y d
1
pero sabemos que a =
2(k − d )

36. continuamos
Se conoce h
entonces, falta determinar k y d
1
pero sabemos que a =
2(k − d )
1
de aquí se deduce que = 2a, es decir, la distancia entre k y d
k −d

37. continuamos
Se conoce h
entonces, falta determinar k y d
1
pero sabemos que a =
2(k − d )
1
de aquí se deduce que = 2a, es decir, la distancia entre k y d
k −d
1
es
2a

38. continuamos
Se conoce h
entonces, falta determinar k y d
1
pero sabemos que a =
2(k − d )
1
de aquí se deduce que = 2a, es decir, la distancia entre k y d
k −d
1
es
2a
Conocemos también la ordenada del vértice, la que corresponde a:

39. continuamos
Se conoce h
entonces, falta determinar k y d
1
pero sabemos que a =
2(k − d )
1
de aquí se deduce que = 2a, es decir, la distancia entre k y d
k −d
1
es
2a
Conocemos también la ordenada del vértice, la que corresponde a:
4ac − b 2
f −b =
2a 4a

40. continuamos
Se conoce h
entonces, falta determinar k y d
1
pero sabemos que a =
2(k − d )
1
de aquí se deduce que = 2a, es decir, la distancia entre k y d
k −d
1
es
2a
Conocemos también la ordenada del vértice, la que corresponde a:
4ac − b 2
f −b =
2a 4a
Si V es el vértice, entonces V está en la linea de la distancia de F a la
recta y la dimidia

41. continuamos
Se conoce h
entonces, falta determinar k y d
1
pero sabemos que a =
2(k − d )
1
de aquí se deduce que = 2a, es decir, la distancia entre k y d
k −d
1
es
2a
Conocemos también la ordenada del vértice, la que corresponde a:
4ac − b 2
f −b =
2a 4a
Si V es el vértice, entonces V está en la linea de la distancia de F a la
recta y la dimidia
1
Por lo tanto, desde el vértice medimos hacia arriba y hacia abajo.
4a

42. Un ejemplo

43. Un ejemplo
Sea f (x) = 2x 2 − 5x + 2, función cuadrática

44. Un ejemplo
Sea f (x) = 2x 2 − 5x + 2, función cuadrática
Su gráfica es una parábola

45. Un ejemplo
Sea f (x) = 2x 2 − 5x + 2, función cuadrática
Su gráfica es una parábola
5
Su eje de simetría x =
4

46. Un ejemplo
Sea f (x) = 2x 2 − 5x + 2, función cuadrática
Su gráfica es una parábola
5
Su eje de simetría x =
4
5 −9
Su vértice es ,
4 8

47. Un ejemplo
Sea f (x) = 2x 2 − 5x + 2, función cuadrática
Su gráfica es una parábola
5
Su eje de simetría x =
4
5 −9
Su vértice es ,
4 8
1 1
k −d = =
4a 4

48. Un ejemplo
Sea f (x) = 2x 2 − 5x + 2, función cuadrática
Su gráfica es una parábola
5
Su eje de simetría x =
4
5 −9
Su vértice es ,
4 8
1 1
k −d = =
4a 4
1
Entonces desde V consideramos arriba y otro abajo,
8

49. Un ejemplo
Sea f (x) = 2x 2 − 5x + 2, función cuadrática
Su gráfica es una parábola
5
Su eje de simetría x =
4
5 −9
Su vértice es ,
4 8
1 1
k −d = =
4a 4
1
Entonces desde V consideramos arriba y otro abajo,
8
−9 1
es decir, + = −1 y
8 8

50. Un ejemplo
Sea f (x) = 2x 2 − 5x + 2, función cuadrática
Su gráfica es una parábola
5
Su eje de simetría x =
4
5 −9
Su vértice es ,
4 8
1 1
k −d = =
4a 4
1
Entonces desde V consideramos arriba y otro abajo,
8
−9 1
es decir, + = −1 y
8 8
−9 1 −5
− =
8 8 4

51. Un ejemplo
Sea f (x) = 2x 2 − 5x + 2, función cuadrática
Su gráfica es una parábola
5
Su eje de simetría x =
4
5 −9
Su vértice es ,
4 8
1 1
k −d = =
4a 4
1
Entonces desde V consideramos arriba y otro abajo,
8
−9 1
es decir, + = −1 y
8 8
−9 1 −5
− =
8 8 4
5 −5
Como la parábola está vuelta hacia arriba, F 4 , −1 y d : y =
4

52. La gráfica

53. La gráfica
eje x

54. La gráfica
eje y
eje x

55. La gráfica
eje y
eje x
y =d

56. La gráfica
eje y
F eje x
•
y =d

57. La gráfica
eje y
F eje x
•
y =d