Ptofijonewton2 variables

UNIVERSIDAD PRIVADA “ALAS PERUANAS”
MÉTODOS NUMÉRICOS CON SOFTWARE MATLAB
ECUACIONES SIMULTÁNEAS NO LINEALES
TEOREMA H. BANACH.-(Caso N-dimensional)
Sea F : IR n  IR n , D  IR n cerrado y se cumple:
a) F ( D)  D
b) Existe L  0 ; 1  con F ( x)  F ( y )  L. x  y x ; y  D (convergencia en el sentido de
Lipschitz), entonces la sucesión xk  F ( xk 1 ) converge al punto fijo único x* de F con F ( x* )  x* , para
cada valor inicial x0  D.

Definición1.- (Caso bidimensional)
 x  g1 ( x ; y )
Un punto fijo del sistema de dos ecuaciones  …………………… (1)
 y  g2 ( x ; y)
es un punto (p ; q) tal que p  g1 ( p, q) y q  g 2 ( p, q) .

Definición2.- (Caso tridimensional)
 x  g1 ( x ; y ; z )

Un punto fijo del sistema de tres ecuaciones  y  g 2 ( x ; y ; z ) ………………….. (2)
z  g (x ; y ; z)
 3

es un punto (p ; q ; r) tal que p  g1 ( p, q, r ) ; q  g 2 ( p, q, r ) y r  g 3 ( p, q, r )

Definición3.- (Caso bidimensional)
 p  g1 ( pk 1 ; qk 1 )
El método de iteración del punto fijo es  k  k  1,2,3, …………(3)
qk  g 2 ( pk 1 ; qk 1 )
Análogamente para el caso tridimensional tenemos:
 pk  g1 ( pk 1 ; qk 1 ; rk 1 )

qk  g 2 ( pk 1 ; qk 1 ; rk 1 )  k  1,2,3, …………………..(4)
r  g ( p ; q ; r )
k 3 k 1 k 1 k 1

Definición4.-(Iteración de punto fijo)
Supongamos que las funciones de (1) y (2) así como sus derivadas parciales son contínuas en una región
que contiene un punto fijo (p,q) o (p,q,r), respectivamente. Entonces tenemos los siguientes casos :
Caso Bidimensional.- Si ( p0 ; q0 ) está suficientemente cerca de (p,q) y
g1 ( p , q ) g1 ( p , q )
 1
x y ………………….(5)
g 2 ( p , q ) g 2 ( p, q )
 1
x y
Entonces la iteración del punto fijo descrita en (3) genera una sucesión convergente al punto fijo (p,q).

Mg. Soria Quijaite Juan Métodos Numéricos Lic. Málaga Soria Ericka

Caso tridimensional.- Si ( p0 ; q0 ; r0 ) está suficientemente cerca de (p,q,r) y
g1 ( p , q, r ) g1 ( p, q, r ) g1 ( p, q, r )
  1
x y z
g 2 ( p , q , r ) g 2 ( p, q, r ) g 2 ( p, q, r )
  1 …………………….(6)
x y z
g 3 ( p, q, r ) g 3 ( p, q , r ) g 3 ( p , q , r )
  1
x y z
Entonces la iteración de punto fijo descrita en (4) genera una sucesión convergente al punto fijo (p,q,r).
Si las condiciones (5) y (6) no se cumplen, entonces la iteración podría ser divergente. Esto es lo que
suele ocurrir cuando la suma de los tamaños de las derivadas parciales es mucho mayor que 1.
ECUACIÓN LOGÍSTICA
%fractales2
%ejemplo r=3.3, x1=0.1, n=20
function logistica
clear all;
close all;
r = input('Introduce parámetro de bifurcación r (0 < r < 4): ');
figure(1);
axis([0 1 0 1]); hold on;
s = 0 : 0.01 : 1; % red en el intervalo unidad para x
plot(s,s,'g'); % dibuja la diagonal y = x
y = r*s.*(1-s);
plot(s,y,'b') % traza la imagen de : y = r*x*(1-x)
x=input('Introduce el valor inicial x1 (0 < x1 < 1): ');
n=input('Introduce el número total de iteraciones de la sucesión n (0 < n < 50):');
for k = 1:n
x(k+1) = r*x(k)*(1 - x(k)); % extensión automática de escalar al vector x
end
plot([x(1), x(1)],[x(1),x(2)],'r'); % primer trazo vertical de la figura
for k = 2 : n
plot([x(k-1),x(k)],[x(k),x(k)],'r'); % segment horizontal
plot([x(k),x(k)],[x(k),x(k+1)],'r'); % segmento vertical
pause(1); % pausa intermedia entre cada iteración
end
title('Iteración de la ecuación logística');
xlabel('x_k'); ylabel('x_{k+1}'); hold off;

%DIAGRAMAS DE BIFORCACIONES
%Bifurcación en F(x)=kx(1-x)
function biforcación
hold on
for k=1.26:.0025:4
x=.5;
K=k*ones(1,200);


colormap(hsv)
for n=1:100
x=k*x*(1-x);
end
X=zeros(1,0);
for m=1:200
x=k*x*(1-x);
X=[X,x];
end
plot(K,X,'.r','Markersize',4)
end
grid on
colormap(hot)
xlabel('EJE DE ABSCISAS')
ylabel('EJE DE ORDENADAS')
title('Biforcación en k=1.26:0.0025:4')


MÉTODOS NUMÉRICOS CON SOFTWARE MATLAB 7.0
MÉTODO DEL PUNTO FIJO EN 2D
E-1) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones no lineales
 f1 ( x; y)  x 2  2 x  y  0.5

 ……………………….(i)
 f 2 ( x; y )  x 2  4 y 2  4

Resolución

 f ( x, y )  0
Queremos resolver el sistema no lineal  1 ………………………..(ii)
 f 2 ( x, y )  0
Las ecuaciones f1 ( x, y ) y f 2 ( x, y ) definen implícitamente sendas curvas en el plano XOY; por tanto,
una solución del sistema (ii) es un punto (p,q) en el que ambas curvas de cruzan. Las curvas del sistema
(i) son conocidas :
 x 2  2 x  y  0.5  0 parábola

 2 ………………………..(iii)
x  4 y2  4  0
 elipse

En la figura podemos ver que hay dos puntos de corte entre ambas curvas y que estos puntos están,
respectivamente, cerca de (-0.2 ; 1.0) y de (1.9 ; 0.3).
Debemos desarrollar una método que genere una sucesión {( pk ; qk )} convergente a una de las soluciones.
En la primera ecuación de (iii) podemos despejar directamente x; sin embargo, para despejar y en la
segunda, añadimos un múltiplo adecuado de y a cada miembro, en este caso -8y, para obtener
x 2  4 y 2  8 y  4  8 y .Tenemos entonces el sistema equivalente de ecuaciones:
 x 2  y  0.5
 x  g1 ( x, y )
 2
 2 2
 y   x  4 y  8 y  4  g ( x, y )

 8
2

Ahora usamos estas ecuaciones para escribir fórmulas recursivas: empezando con un punto inicial
( p0 ; q0 ) , construimos la sucesión {( pk ; qk )} mediante el esquema iterativo :
pk  g1 ( pk 1; qk 1 )
qk  g 2 ( pk 1 ; qk 1 ) ………………………………(iv)
Si usamos como punto inicial ( p0 ; q0 )  (0 ; 1) entonces la sucesión converge a la solución :
(-0.2222146 ; 0.9938084).


El esquema de iteración dado en (iv) no puede usarse para dar una aproximación a la segunda solución
(1.900677 ; 0.3112186) . Para hallar este punto necesitamos un par de fórmulas de iteración distintas de
las de (iv). Si añadimos -2x a la primera ecuación de (iii) y -11y a la segunda, obtenemos :
x 2  4 x  y  0.5  2 x ; x 2  4 y 2  11y  4  11y a partir de las cuales generamos las fórmulas de
iteración :
  x 2  4 x  y  0 .5
 x  g1 ( x, y )
 2
 2 2
 y   x  4 y  11y  4  g ( x, y )

 11
2

Si usamos como punto inicial ( p0 ; q0 )  ( 2 ; 0) entonces la sucesión converge a la solución :
(1.900677 ; 0.3112186)

%USANDO EL PROGRAMA DEL PUNTO FIJO EN 2D RESOLVER EL SISTEMA
2

 f1 ( x, y )  x  2 x  y  0.5  0

 f 2 ( x, y )  x 2  4 y 2  4  0

Resolución
 x 2  2 x  y  0.5  0 parábola

Plotea el contorno de las curvas :  2
x  4 y2  4  0
 elipse
%guardarlo como contorno.m
clear, clg ,clf, hold off
x1=-3:0.01:3;
y1=-3:0.01:3;
[x,y]=meshgrid(x1,y1);
g1=f1(x,y);
g2=f2(x,y);
contour(x1,y1,g1,[0.00, 0.00],'k')
hold on
contour(x1,y1,g2,[0.00, 0.00],'b')
grid on
zoom on
gtext('x^2+4y^2=4')
gtext('y=x^2-2x+0.5')
title('f1=x.^2-2*x-y+0.5;f2=x.^2+4*y.^2-4')
…………………………………………………………………………………………………..
%guardarlo como f1.m
function f=f1(x,y)
f=x.^2-2*x-y+0.5;
………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
%guardarlo como f2.m
function f=f2(x,y)
f=x.^2+4*y.^2-4;


…………………………………………………………………………………………………………….
%PROGRAMA PUNTO FIJO EN 2D
%CALCULA LA SOLUCIÓN DE UN SISTEMA NO LINEAL
function [P,iter]=ptofijo2d(G,P,delta,max1)
%G es el sistema no lineal, archivado como G.m
%P es el punto inicial
%delta es la tolerancia
%max1 es el número de iteraciones
N=length(P)
for k=1:max1
X=P;
%X es la k-ésima aproximación a la solución
for j=1:N
A=feval('G',X)
%Las coordenadas de X se actualizan conforme se calculan
X(j)=A(j);
end
err=abs(norm(X-P));
relerr=err/(norm(X)+eps);
P=X;
iter=k;
if (err<delta)|(relerr<delta)
break
end
end
.................................................................................................................................................................
%Ingresa el sistema no lineal teniendo en cuenta
%que z(1)=g1(x,y) , z(2)=g2(x,y) .
%crear la función G y guardarlo como G.m
function Z=G(X)
x=X(1) ; y=X(2);
Z=zeros(1,2);
Z(1)=0.5*(x.^2-y+0.5);
Z(2)=(-1/8)*(x.^2+4*y.^2-8*y-4);
………………………………………………………………………………………………………….
%Compilarlo como:
>> ptofijo2d('G',[0 1],0.0005,9)
N=2
A = -0.2500 1.0000
A = -0.2188 0.9922
A = -0.2148 0.9922
A = -0.2230 0.9942
A = -0.2240 0.9942
A = -0.2220 0.9937
A = -0.2218 0.9937
A = -0.2223 0.9938
A = -0.2223 0.9938
A = -0.2222 0.9938
A = -0.2222 0.9938
A = -0.2222 0.9938

ans = -0.2222 0.9938
Luego conjunto solución es {( - 0.2222 ; 0.9938 )}
LABORATORIO CON MATLAB 7.0

E-1) Determine una región en el plano XOY tal que la iteración de punto fijo aplicada al sistema
 x2  y 2  x  3
 x  g1 ( x, y ) 
 3
 sea convergente para cualquier punto inicial ( p0 ; q0 ) de dicha
 y  g ( x, y )  x  y  1


2
3
Región (use un argumento similar al empleado en el ejemplo 1 )

E-2) Dado el sistema no lineal
 8x  4 x 2  y 2  1
 x  g1 ( x, y ) 
 8
 2 2
 y  g ( x, y )  2 x  x  4 y  y  3


2
4
Use la aproximación inicial ( p0 ; q0 )  (1.1 ; 2.0) y calcule las cinco siguientes aproximaciones al punto
fijo con la fórmula (3)

E-3) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones no lineales :
2 2 x 2 2 4

 f ( x; y)  1  x  y  e cos( y ) 
 f ( x; y)  xy  x y  x  3
a)  1 b)  1
 f 2 ( x; y )  2 xy  e x sen( y )
  f 2 ( x; y )  x3 y 52 x5 y  x 2  2


 f1 ( x, y )  sen( x 2 )  cos( x 2 )  exp( xy)
  f 1 ( x, y )  sen( x  y )  x. y
c)  d) 
 f 2 ( x, y )  tan 1 ( x  y )  xy  sen( x 2 )
  f 2 ( x, y )  cos( x  y )  x. y

3 2

 f1 ( x, y )  7 x  10 x  y  1 
 f1 ( x, y)  x  y  0.5
e)  f) 
 f 2 ( x, y )  8 y 3  11 y  x  1
  f 2 ( x, y )  x 2  5 xy  y


 f1 ( x, y )  ( x  2)2  ( y  3  2 x)2  5
  f1 ( x, y )  x 2  4 y 2  0.1e xy

g)  h)  2
 f 2 ( x, y)  2( x  3) 2  ( y / 3) 2  4
  f 2 ( x, y )  xe xy  0.2  e y  2


 f1 ( x, y )  x 2  3 y 2  0.1e x  2 y
  f1 ( x, y )  x 2  y 2  xe3 x  y  x 3  5

i)  2
j)  2 2
 f 2 ( x, y )  ye xy  0.2  e x  4
  f 2 ( x, y )  e xy  x  xe y  2

2
 f1 ( x, y )  x 2  y 2  xe2 x  y  x3  7
  f1 ( x, y )  xe xy  0.8  e y  3

k)  2 2
l) 
 f 2 ( x, y )  e xy  x  xe y  3
  f 2 ( x, y)  x 2  y 2  0.5e xy



ECUACIONES SIMULTÁNEAS NO LINEALES
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON BIDIMENSIONAL
u  f1 ( x, y )
Consideremos el sistema  …………………………… (1)
v  f 2 ( x, y )
Que puede verse como una transformación del plano XOY en el plano UOV. Si estamos interesados en el
comportamiento de esta transformación cerca del punto ( x0 ; y0 ) cuya imagen es el punto (u0 ; v0 ) , y si las
funciones tienen derivadas parciales continuas, entonces podemos usar la diferencial del sistema para escribir un
sistema de aproximaciones incrementales lineales válidas cerca del punto ( x0 ; y0 ) en cuestión:
  f1 ( x0 ; y0 )  f1 ( x0 ; y0 )
u  u0  x
( x  x0 ) 
y
( y  y0 )

 …………………………….(2)
v  v   f 2 ( x0 ; y0 ) ( x  x )   f 2 ( x0 ; y0 ) ( y  y )
0 0 0

 x y
El sistema (2) es una aproximación lineal local que nos da una idea del efecto que pequeños cambios en las
variables independientes producen el variables dependientes. Si usamos la matriz Jacobiana J ( x0 ; y0 ) , esta
relación se escribe de la forma:
 f1 ( x0 ; y0 )f1 ( x0 ; y0 ) 
u  u0   x y  x  x 
0
 v  v    f ( x ; y ) 
f 2 ( x0 ; y0 )   y  y0 
…………………………….. (3)
 0  2 0 0  

 x y 

Si escribimos el sistema (1) como una función vectorial V  F ( X ) , entonces la matriz Jacobiana J ( x ; y ) es al
análogo bidimensional de la derivada , porque la relación (3) queda :

F  J ( x0 ; y0 ) . X ……………………………… (4)
Usaremos la aproximación (4) para desarrollar el método de Newton bidimensional. Consideremos el sistema de
ecuaciones que resulta de igualar u y v a cero en (1)
0  f1 ( x, y )
 ………………………………(5)
0  f 2 ( x, y)
0  f1 ( p, q )
Supongamos que (p; q) es una solución de (5) ; es decir ,  ………………………….. (6)
0  f 2 ( p, q )
Si consideramos pequeños cambios de las funciones cerca de un punto inicial ( p0 ; q0 ) próximo a la solución
( p ; q) :
 u  u  u0 ,  p  x  p0
 ……………………………… (7)
 v  v  v0 ,  q  y  q0
Ponemos ( x ; y)  ( p ; q ) en (1) y usamos (6), de manera que (u ; v)  (0 ; 0) , entonces los cambios en las
variables dependientes son
u  u0  f1 ( p ; q )  f1 ( p0 ; q0 )  0  f1 ( p0 ; q0 )
 …………………………… (8)
v  v0  f 2 ( p ; q )  f 2 ( p0 ; q0 )  0  f 2 ( p0 ; q0 )


Ahora usamos los resultados de (8) en la aproximación lineal (3) y obtenemos
 f1 ( p0 ; q0 ) f1 ( p0 ; q0 ) 
 x y   p   f1 ( p0 ; q0 ) 
        ………………………….(9)
 f 2 ( p0 ; q0 ) f 2 ( p0 ; q0 )   q   f 2 ( p0 ; q0 )

 x y 

Si la matriz Jacobiana J ( p0 ; q0 ) que aparece en (9) es invertible, entonces podemos despejar
 P   P  P    p q  '  p0 q0  ' de manera que :
'

P   J ( p0 ; q0 ) 1 F ( p0 ; q0 ) ………………………. (10)
Esto nos proporciona la siguiente aproximación P a la solución P   p q  :
1

P  P0   P  P0  J ( p0 ; q0 ) 1. F ( p0 ; q0 )
1 ………………………. (11)

Esquema del método de Newton-Raphson Bidimensional
Supongamos que hemos obtenido Pk .
 f1 ( pk ; qk ) 
Paso 1. Evaluamos la función F ( Pk )   
 f 2 ( pk ; qk )
 f1 ( pk ; qk ) f1 ( pk ; qk ) 
 x y 
Paso 2. Evaluamos la matriz Jacobiana J ( Pk )   
 f 2 ( pk ; qk ) f 2 ( pk ; qk ) 

 x y 

Paso 3. Calculamos  P resolviendo el sistema lineal J ( Pk ) .P   F ( Pk )
Paso 4. Calculamos el siguiente punto Pk 1  Pk   P .
Y se repite el proceso.

ITERACIÓN DE NEWTON BIDIMENSIONAL
2
 f1 ( x ; y)  x.e( x. y  0.8)  e y  3

E-1) Resolver el sistema no lineal bidimensional : 
 f 2 ( x ; y )  x 2  y 2  1 e x. y
 2
i) GRÁFICA DEL CONTORNO DE f1(x;y) y f2(x;y)
x1=-4:0.05:4;
y1=-4:0.05:4;
f1=x.^2-y.^2-0.5*exp(x.*y);
contour(x,y,f1,[0.00 0.00],'r')
hold on
f2=x.*exp(x.*y+0.8)+exp(y.^2)-3;
contour(x,y,f2,[0.00 0.00],'b')
grid on
title('Contorno de f1(x,y) y f2(x,y) ')
gtext('f1=x.^2-y.^2-0.5*exp(x.*y)')
gtext('f2=x.*exp(x.*y+0.8)+exp(y.^2)-3')
gtext('RAIZ 1')
gtext('RAIZ 2')
gtext('RAIZ 3')

-----------------------------------------------------------------------------------
%Programa de Newton 2D
clear, fprintf('n')
dx=0.01;
dy=0.01;
x = input('¿Estimación inicial de xo?');
y = input('¿Estimación inicial de yo?');

for n=1:50
s=[x,y];
xp=x+dx;
yp=y+dy;
J(1,1) = (f1(xp,y)-f1(x,y))/dx;
J(1,2) = (f1(x,yp)-f1(x,y))/dy;
J(2,1) = (f2(xp,y)-f2(x,y))/dx;
J(2,2) = (f2(x,yp)-f2(x,y))/dy;
F(1) = f1(x,y);
F(2) = f2(x,y);
ds=-JF';
x = x + ds(1);
y = y + ds(2);
fprintf('n=%2.0f, x=%12.5e, y=%12.5e ',n,x,y)
fprintf('F(1)=%10.2e, F(2)=%10.2en', F(1), F(2))
if (abs(F(1)) < 1.0e-9 & abs(F(2)) < 1.0e-9)
break
end
end
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Resultados de la solución del sistema no lineal, tomando los inicios en x0  1 ; y0  1
newton2D
¿Estimación ínicial de x?1
¿Estimación ínicial de y?1
n= 1, x=9.23751e-001, y=5.82860e-001 F(1)= 5.77e+000, F(2)=-1.36e+000
n= 2, x=8.08697e-001, y=3.29574e-001 F(1)= 1.93e+000, F(2)=-3.43e-001
n= 3, x=7.75482e-001, y=2.00952e-001 F(1)= 4.64e-001, F(2)=-1.07e-001
n= 4, x=7.74805e-001, y=1.72914e-001 F(1)= 5.81e-002, F(2)=-2.33e-002
n= 5, x=7.74973e-001, y=1.71648e-001 F(1)= 1.92e-003, F(2)=-1.26e-003
n= 6, x=7.74976e-001, y=1.71631e-001 F(1)= 2.24e-005, F(2)=-1.82e-005
n= 7, x=7.74976e-001, y=1.71631e-001 F(1)= 2.69e-007, F(2)=-2.30e-007
n= 8, x=7.74976e-001, y=1.71631e-001 F(1)= 3.31e-009, F(2)=-2.87e-009
n= 9, x=7.74976e-001, y=1.71631e-001 F(1)= 4.10e-011, F(2)=-3.58e-011
x=0.7749 ; y= 0.1716
raíz(1)=(0.7749 ; 0.1716)

Resultados de la solución del sistema no lineal, tomando los inicios en x0  1 ; y0  1
Newton2D
¿Estimación ínicial de x?1
¿Estimación ínicial de y?-1
n= 1, x=9.86353e-001, y=-8.81522e-001 F(1)= 5.37e-001, F(2)=-1.84e-001
n= 2, x=9.69510e-001, y=-8.48996e-001 F(1)= 9.53e-002, F(2)=-1.38e-002
n= 3, x=9.68780e-001, y=-8.47684e-001 F(1)= 3.43e-003, F(2)=-3.75e-004
n= 4, x=9.68789e-001, y=-8.47710e-001 F(1)=-6.65e-005, F(2)= 1.98e-005
n= 5, x=9.68789e-001, y=-8.47709e-001 F(1)= 1.45e-006, F(2)=-3.67e-007
n= 6, x=9.68789e-001, y=-8.47709e-001 F(1)=-3.14e-008, F(2)= 8.20e-009
n= 7, x=9.68789e-001, y=-8.47709e-001 F(1)= 6.82e-010, F(2)=-1.77e-010
x=0.9687 ; y= - 0.8477
raíz(2)=(0.9687 ; - 0.8477)

Resultados de la solución del sistema no lineal, tomando los inicios en x0  1 ; y0  2
newton2D
¿Estimación inicial de x?-1
¿Estimación inicial de y?2
n= 1, x=-2.01478e+000, y=1.76931e+000 F(1)= 5.13e+001, F(2)=-3.07e+000
n= 2, x=-1.58199e+000, y=1.53188e+000 F(1)= 1.98e+001, F(2)= 9.15e-001

n= 3, x=-1.34817e+000, y=1.31827e+000 F(1)= 7.14e+000, F(2)= 1.12e-001
n= 4, x=-1.22811e+000, y=1.18374e+000 F(1)= 2.18e+000, F(2)=-4.83e-003
n= 5, x=-1.19795e+000, y=1.14445e+000 F(1)= 4.21e-001, F(2)=-9.82e-003
n= 6, x=-1.19605e+000, y=1.14147e+000 F(1)= 2.85e-002, F(2)=-1.61e-003
n= 7, x=-1.19603e+000, y=1.14141e+000 F(1)= 5.04e-004, F(2)=-5.66e-005
n= 8, x=-1.19603e+000, y=1.14141e+000 F(1)= 6.91e-006, F(2)=-7.96e-007
n= 9, x=-1.19603e+000, y=1.14141e+000 F(1)= 9.42e-008, F(2)=-1.08e-008
n=10, x=-1.19603e+000, y=1.14141e+000 F(1)= 1.28e-009, F(2)=-1.47e-010
n=11, x=-1.19603e+000, y=1.14141e+000 F(1)= 1.75e-011, F(2)=-2.01e-012
x=-1.19603 ; y= 1.14141
raíz(3)=(-1.19603 ; 1.14141)
Práctica de Laboratorio con MATLAB 7.0
I.- Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas no lineales por el método de Newton-
Raphson Bidimensional utilizando los programas respectivos:
 f1 ( x, y)  sen( x 2 )  cos( x 2 )  exp( xy)
  f1 ( x, y )  sen ( x  y )  x. y
1)  2) 
 f 2 ( x, y )  tan 1 ( x  y )  xy  sen( x 2 )
  f 2 ( x, y )  cos( x  y )  x. y
3
 f1 ( x, y )  7 x  10 x  y  1
  f1 ( x, y)  x 2  y  0.5

3)  3
4) 
 f 2 ( x, y )  8 y  11 y  x  1
  f 2 ( x, y )  x 2  5 xy  y

2 2
 f1 ( x, y )  ( x  2)  ( y  3  2 x)  5
  f1 ( x, y )  x 2  3 y 2  0.1e x  2 y

5)  2 2
6)  2
 f 2 ( x, y)  2( x  3)  ( y / 3)  4
  f 2 ( x, y )  ye xy  0.2  e x  4


Tarea Domiciliaria
II.-Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas no lineales por el método de Newton-
Raphson Bidimensional utilizando los programas respectivos.

2 2

 f1 ( x, y )  x  xy  10 
 f1 ( x, y )  x  y  0.5  x
1)  2) 
 f 2 ( x, y )  y  3 xy 2  57
  f 2 ( x, y)  x 2  5 xy  y

 f1 ( x, y)  ( x  4) 2  ( y  4)2  4
  f1 ( x , y )  x 2  y  1
3)  4) 
 f 2 ( x, y )  x 2  y 2  16
  f 2 ( x, y )  3 cos( x)  y
 f1 ( x, y )  cos( x)  y  f1 ( x, y)  x  e  y

5)  6) 
 f 2 ( x, y )  x  sen( y )  f 2 ( x, y )  e  x  y

 f1 ( x, y)  xe y  1
  f1 ( x, y)  x 2 sen( y)  y 2  1

7)  2 2
8) 

 f 2 ( x, y )  x  4 y  4  f 2 ( x, y )  x 2 cos( y)  y 2  1

 f1 ( x, y )  x  0.1x 2  sen( y )
  f1 ( x, y )  2 x  4 cos( y)
9)  10) 
 f 2 ( x, y)  y  cos( x)  0.1 y 2
  f 2 ( x, y)  4 xsen( y)
2

 f1 ( x, y )  x  y  0.2  f1 ( x , y )  x 2  y 2  2
11)  12) 
 f 2 ( x, y)  y 2  x  0.3
  f 2 ( x, y )  xy  1
 f1 ( x , y )  x 2  x  y 2  z 2  5  f1 ( x, y )  9 x 2  36 y 2  4 z 2  36
 
13)  f 2 ( x, y )  x 2  y 2  y  z 2  4 14)  f 2 ( x, y )  x 2  2 y 2  20 z
 2 2 2  3 2 2
 f 3 ( x, y )  x  y  z  z  6  f 3 ( x, y )  16 x  x  2 y  16 z
2
 f1 ( x, y )  x 2  y 2  xe3 x  y  x 3  5
  f1 ( x, y )  xe xy  0.8  e y  3

15)  2 2
16) 
 f 2 ( x, y )  e xy  x  xe y  2
  f 2 ( x, y)  x 2  y 2  0.5e xy




ESQUEMA DEL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON BIDIMENSIONAL
Supongamos que hemos obtenido Pk .
 f1 ( pk ; qk ) 
Paso 1. Evaluamos la función F ( Pk )   
 f 2 ( pk ; qk ) 
 f1 ( pk ; qk ) f1 ( pk ; qk ) 
 x y 
Paso 2. Evaluamos la matriz Jacobiana J ( Pk )   
 f 2 ( pk ; qk ) f 2 ( pk ; qk ) 

 x y 

Paso 3. Calculamos  P resolviendo el sistema lineal J ( Pk ) .P   F ( Pk )
Paso 4. Calculamos el siguiente punto Pk 1  Pk   P .
Y se repite el proceso.
ITERACIÓN DE NEWTON- RAPHSON BIDIMENSIONAL
2
 f1 ( x ; y)  x.e( x. y  0.8)  e y  3

E-1) Resolver el sistema no lineal bidimensional por Newton Raphson : 
 f 2 ( x ; y )  x 2  y 2  1 e x. y
 2
i) PLOTEO DE LAS SUPERFICIES:

ii)
INT
ER
SE
CCI
ÓN
DE
LA
S
SU
PE
RFI
CIE
S:

iii) CONTORNOS DE f1(x ; y) y f2(x ; y)
x1=-4:0.05:4;

y1=-4:0.05:4;
f1=x.*exp(x.*y+0.8)+exp(y.^2)-3;
contour(x,y,f1,[0.00 0.00],'r')
hold on
f2=x.^2-y.^2-0.5*exp(x.*y);
contour(x,y,f2,[0.00 0.00],'b')
grid on
title('Contorno de f1(x,y) y f2(x,y) ')
gtext('f1=x.*exp(x.*y+0.8)+exp(y.^2)-3')
gtext('f2=x.^2-y.^2-0.5*exp(x.*y)')
gtext('RAIZ 1')
gtext('RAIZ 2')
gtext('RAIZ 3')
iv)CREAR LOS ARCHIVOS DE LAS FUNCIONES f1 y f2
a) %Guardarlo con f1.m
function f = f1(x,y)
f=x.*exp(x.*y+0.8)+exp(y.^2)-3;
b) %Guardarlo con f2.m
function f=f2(x,y)
f=x.^2-y.^2-0.5*(exp(x.*y));
v) PROGRAMA NEWTON-RAPHSON 2D
%progama de Newton 2D
clear
dx=0.01;
dy=0.01;
x = input('ingrese el punto inicial x0=');
y = input('ingrese el punto inicial y0=');
fprintf('n')
fprintf ('iter. aprox."x" aprox."y" f1(x;y) f2(x;y) n');
for n=1:50
s=[x,y];
xp=x+dx;
yp=y+dy;
J(1,1)=(f1(xp,y)-f1(x,y))/dx;
J(1,2)=(f1(x,yp)-f1(x,y))/dy;
J(2,1)=(f2(xp,y)-f2(x,y))/dx;
J(2,2)=(f2(x,yp)-f2(x,y))/dy;
F(1)=f1(x,y);
F(2)=f2(x,y);
ds=-JF';
x=x+ds(1);
y=y+ds(2);
fprintf('n=%2.0f, x=%12.5e, y=%12.5e ',n,x,y)
fprintf('F(1)=%10.2e, F(2)=%10.2en', F(1), F(2))
if (abs(F(1)) < 1.0e-9 & abs(F(2)) < 1.0e-9)
break
end
end
fprintf('La raíz es x=%10.9fn',x);
fprintf('La raíz es y=%10.9fn',y);

vi) COMPILACIÓN PARA HALLAR LA RAIZ 1
Compilarlo con newton2D

>> newton2D
ingrese el punto inicial x0=1
ingrese el punto inicial y0=1
%CUYOS RESULTADOS SON:

iter. aprox."x" aprox."y" f1(x;y) f2(x;y)
n= 1, x=9.23751e-001, y=5.82860e-001 F(1)= 5.77e+000, F(2)=-1.36e+000
n= 2, x=8.08697e-001, y=3.29574e-001 F(1)= 1.93e+000, F(2)=-3.43e-001
n= 3, x=7.75482e-001, y=2.00952e-001 F(1)= 4.64e-001, F(2)=-1.07e-001
n= 4, x=7.74805e-001, y=1.72914e-001 F(1)= 5.81e-002, F(2)=-2.33e-002
n= 5, x=7.74973e-001, y=1.71648e-001 F(1)= 1.92e-003, F(2)=-1.26e-003
n= 6, x=7.74976e-001, y=1.71631e-001 F(1)= 2.24e-005, F(2)=-1.82e-005
n= 7, x=7.74976e-001, y=1.71631e-001 F(1)= 2.69e-007, F(2)=-2.30e-007
n= 8, x=7.74976e-001, y=1.71631e-001 F(1)= 3.31e-009, F(2)=-2.87e-009
n= 9, x=7.74976e-001, y=1.71631e-001 F(1)= 4.10e-011, F(2)=-3.58e-011
La raíz es x=0.774976013
La raíz es y=0.171630952
Luego la Raíz1 es ( x* , y* ) =(0.774976013 ; 0.171630952 )

vii) COMPILACIÓN PARA HALLAR LA RAIZ 2
>> newton2D
ingrese el punto inicial x0= 1
ingrese el punto inicial y0=-1
n= 1, x=9.86353e-001, y=-8.81522e-001 F(1)= 5.37e-001, F(2)=-1.84e-001
n= 2, x=9.69510e-001, y=-8.48996e-001 F(1)= 9.53e-002, F(2)=-1.38e-002
n= 3, x=9.68780e-001, y=-8.47684e-001 F(1)= 3.43e-003, F(2)=-3.75e-004
n= 4, x=9.68789e-001, y=-8.47710e-001 F(1)=-6.65e-005, F(2)= 1.98e-005
n= 5, x=9.68789e-001, y=-8.47709e-001 F(1)= 1.45e-006, F(2)=-3.67e-007
n= 6, x=9.68789e-001, y=-8.47709e-001 F(1)=-3.14e-008, F(2)= 8.20e-009
n= 7, x=9.68789e-001, y=-8.47709e-001 F(1)= 6.82e-010, F(2)=-1.77e-010
La raíz es x=0.968788768
La raíz es y=-0.847709410
Luego la Raíz2 es ( x* , y* ) =( 0.968788768; -0.847709410)

viii) COMPILACIÓN PARA HALLAR LA RAIZ 3
>> newton2D
ingrese el punto inicial x0=-1
ingrese el punto inicial y0=1
n= 1, x=-1.23066e+000, y=1.17390e+000 F(1)=-1.10e+000, F(2)=-1.84e-001
n= 2, x=-1.19737e+000, y=1.14333e+000 F(1)= 3.21e-001, F(2)= 1.86e-002
n= 3, x=-1.19604e+000, y=1.14144e+000 F(1)= 1.80e-002, F(2)=-6.91e-004
n= 4, x=-1.19603e+000, y=1.14141e+000 F(1)= 2.90e-004, F(2)=-3.51e-005
n= 5, x=-1.19603e+000, y=1.14141e+000 F(1)= 3.97e-006, F(2)=-4.48e-007
n= 6, x=-1.19603e+000, y=1.14141e+000 F(1)= 5.41e-008, F(2)=-6.23e-009
n= 7, x=-1.19603e+000, y=1.14141e+000 F(1)= 7.37e-010, F(2)=-8.45e-011
La raíz es x=-1.196031325
La raíz es y=1.141412114
Luego la Raíz3 es ( x* , y* ) =(-1.196031325;1.141412114)


PRÁCTICA DE LABORATORIO CON MATLAB 7.0
I.- Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas no lineales por el método de Newton-
Raphson Bidimensional utilizando los programas respectivos:
 f1 ( x, y)  sen( x. y )  f1 ( x, y )  x 2sen( y )  y 2  1

1)  2
2) 
 f 2 ( x, y)  x  4 cos( y )  f 2 ( x, y)  x 2 cos( y )  y 2  1

2 2 2 2

 f1 ( x, y )  sen( x )  cos( x )  exp( xy) 
 f1 ( x, y )  ( x  2)  ( y  3  2 x)  5
3)  4) 
 f 2 ( x, y )  tan 1 ( x  y )  xy  sen( x 2 )
  f 2 ( x, y)  2( x  3) 2  ( y / 3) 2  4


 f1 ( x, y )  sen ( x  y )  x. y  f1 ( x, y )  7 x 3  10 x  y  1

5)  6) 
 f 2 ( x, y )  cos( x  y )  x. y  f 2 ( x, y )  8 y 3  11 y  x  1

2 2

 f1 ( x, y )  x  y  0.5 
 f1 ( x, y )  x  xy  10
7)  8) 
 f 2 ( x, y )  x 2  5 xy  y
  f 2 ( x, y )  y  3 xy 2  57

2
 f1 ( x, y )  x 2  y 2  xe3 x  y  x 3  5
  f ( x, y )  xe xy  0.8  e y  3

9)  2 2
10)  1
 f 2 ( x, y)  e xy  x  xe y  2
  f 2 ( x, y )  x 2  y 2  0.5e xy


TAREA DOMICILIARIA
II.-Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones simultáneas no lineales por el método de Newton-
Raphson Bidimensional utilizando los programas respectivos.

2 2

 f1 ( x, y )  x  xy  10 
 f1 ( x, y )  x  y  0.5  x
1)  2) 
 f 2 ( x, y )  y  3 xy 2  57
  f 2 ( x, y )  x 2  5 xy  y


 f1 ( x, y)  ( x  4) 2  ( y  4)2  4
  f1 ( x, y)  x 2  y  1
3)  4) 
 f 2 ( x, y )  x 2  y 2  16
  f 2 ( x, y )  3 cos( x)  y

 f1 ( x, y )  cos( x)  y  f1 ( x, y )  x  e y

5)  6) 
 f 2 ( x, y )  x  sen( y )  f 2 ( x, y )  e  x  y


y 2 2

 f1 ( x, y)  xe  1 
 f1 ( x, y )  x sen( y )  y  1
7)  2 2
8)  2 2

 f 2 ( x, y )  x  4 y  4 
 f 2 ( x, y )  x cos( y )  y  1

 f1 ( x, y )  x  0.1x 2  sen( y )
  f1 ( x, y )  2 x  4 cos( y)
9)  10) 
 f 2 ( x, y)  y  cos( x)  0.1 y 2
  f 2 ( x, y)  4 xsen( y)

2

 f1 ( x, y)  x  y  0.2  f1 ( x , y )  x 2  y 2  2
11)  12) 
 f 2 ( x, y )  y 2  x  0.3
  f 2 ( x, y )  xy  1

 f1 ( x , y )  x 2  x  y 2  z 2  5  f1 ( x, y)  9 x 2  36 y 2  4 z 2  36
 
13)  f 2 ( x, y )  x 2  y 2  y  z 2  4 14)  f 2 ( x, y )  x 2  2 y 2  20 z
 2 2 2  3 2 2
 f 3 ( x, y )  x  y  z  z  6  f 3 ( x, y )  16 x  x  2 y  16 z


ECUACIONES NO LINEALES - MÉTODOS ITERATIVOS
Método de punto fijo
Definición.- (Punto fijo)
Un punto fijo de una función g(x) es un número real P tal que P=g(P).
Geométricamente hablando, los puntos fijos de una función g(x) son los puntos de intersección de la
curva y=g(x) con la recta y=x.

Definición.-(Iteración del punto fijo)
La iteración pn 1  g ( pn ) para n=0; 1; 2 ;… se llama iteración de punto fijo.

Si la ecuación por resolver, f(x)=0 se puede escribir en la forma

x = g(x) …………………… (1)

Entonces se puede escribir un esquema iterativo en la forma :

xn  g ( xn 1 ) ……………………. (2)

donde, n es el número de pasos de iteración y x0 es una estimación inicial. Este método de denomina de
sustituciones sucesivas o de iteración del punto fijo.
La ventaja de este método es su sencillez y la flexibilidad para escoger la forma de g(x). Por otro lado,
tiene la desventaja de que la iteración no siempre converge para una forma de g(x) elegida
arbitrariamente. Si queremos asegurar la convergencia de la iteración, deberemos satisfacer la siguiente
condición

g ' ( x)  1
……………………… (3)

Puede verse que la convergencia es asintótica si 0  g '  1 , y oscilante si  1  g '  0 . En caso
contrario, la iteración diverge.
La rapidez de convergencia aumenta conforme g ' se aproxima a cero.


Teorema 1.- Supongamos que g es una función continua y que pn n 0 es una sucesión generada por
iteración de punto fijo. Si Lim pn  P ,entonces P es un punto fijo de g(x).
n

Teorema2.- Supongamos que g  C [a, b ] .
i) Si la imagen de la aplicación y=g(x) verifica que y  [a, b] para cada punto
x  [a, b ] , entonces g tiene un punto fijo en [ a, b ]
ii) Supongamos, además, que g ' ( x) está definida en (a ; b) y que g ' ( x)  1 ; x  a , b  ,
entonces g tiene un único punto fijo P en [a , b] .

Teorema3.- (Teorema del punto fijo) Supongamos que :
i) g ; g '  C[a ; b ]
ii) K es una constante positiva (K>0)
iii) p0  a ; b 


Mg. SORIA QUIJAITE JUAN

iv) g ( x)  C[a ; b] ; x  [a; b]
Entonces hay un punto fijo P de g en [a; b].
1) Si g ' ( x)  K  1 ; x  [ a, b] , entonces P es el único punto fijo de g en [a; b] y la iteración
pn  g ( pn 1 ) converge a dicho punto P.
En este caso , se dice que P es un punto atractivo.
2) g ' ( P )  1 ; y p0  P entonces la iteración pn  g ( pn 1 ) no converge a P. En este caso, se dice
que P es un punto fijo repulsivo y la iteración presenta divergencia local.

Interpretación gráfica de la iteración de Punto fijo
a) Convergencia monótona cuando 0  g ' ( P)  1

y

yx

( p1 ; p1 ) [ p0 ; g ( p0 )]

P
y  g (x)

x
0 P p2 p1 p0

b) Convergencia monótona cuando  1  g ' ( P)  0

y

yx

y  g (x)
[ p0 ; g ( p0 )]
( p1 ; p1 )

P

x
0 p0 p2 P p1


c) Divergencia monótona si 1  g ' ( P )

y
y  g (x)
yx

[ p0 ; g ( p0 )]

P

x
0 P p0 p1 p2

d) Divergencia oscilante g ' ( P)  1
y y  g (x)

yx

P

P x
0 p2 p0 p1 p3

ALGORITMO DEL MÉTODO DE PUNTO FIJO
Punto Fijo
repeat
x0  x ;
x  G ( x0 )
until x1  x2  Error
retorno raíz es x
end Punto Fijo


----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mg. SORIA
QUIJAITE JUAN
ECUACIONES NO LINEALES - MÉTODOS ITERATIVOS
Método de punto fijo
Problema : Hallar los ceros de la función f ( x)  cos( x)  x 2  3
PLOTEO DE LA CURVA f 1( x)  cos( x) ; f 2( x)  x 2  3

x=-3:0.05:3;
f1=cos(x);
f2=x.^2-3;
plot(x,f1,'k',x,f2,'b')
title('Gráficas f1=cos(x) ; f2=x.^2-3 ')
grid on
gtext('f1=cos(x)')
gtext('f2=x.^2-3')

------------------------------------------------------------------
%Programa del punto fijo para hallar ceros de f ( x)  cos( x)  x 2  3
%PROGRAMA DE PUNTO FIJO
function puntofijo
nombre_f=input(' Ingrese la función asociada f(x)=','s');
nombre_f=input(' Ingrese la función del punto fijo g(x)=','s');
x0=input(' ingrese el valor inicial xo= ');
fprintf ('n');
fprintf (' it aprox g(x) error n');
i=1; e=1;
while e>=3E-6 & i<=18
x=x0;
r=eval(nombre_f);
e=abs((r-x0)/r);
fprintf ('%3.0f %10.6f %10.6f %10.6fn',i,x0,r,e);
x0=r;
i=i+1;
end
fprintf('La raíz es :%10.9fn',x0);
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
%Compilarlo como puntofijo
%Resultados
puntofijo
Ingrese la función asociada f(x)=cos(x)-x.^2+3
Ingrese la función del punto fijo g(x)=sqrt(3+cos(x))
ingrese el valor inicial xo= 1.5
it aprox g(x) error
1 1.500000 1.752352 0.144008
2 1.752352 1.679119 0.043614
3 1.679119 1.700556 0.012606

4 1.700556 1.694286 0.003700
5 1.694286 1.696120 0.001082
6 1.696120 1.695584 0.000317
7 1.695584 1.695741 0.000093
8 1.695741 1.695695 0.000027
9 1.695695 1.695708 0.000008
10 1.695708 1.695704 0.000002
La raíz es :1.695704209

I.-PRÁCTICA DIRIGIDA DE LABORATORIO CON “MATLAB”
Encuentre los ceros de las funciones utilizando el método de punto fijo para
las siguientes funciones :
1.- f ( x)  x5  3x 3  2 x 2  2
2.- g ( x)  cos(sen( x))
3.-  ( x)  x 2  sen( x  0.15)
x  cos( x )
4.-  ( x )  x
5.- f ( x)  Ln( x)  x  2
6.- f ( x)  x  cos( x)  x
7.- f ( x)  x 2  3x  e x  2
x
8.- f ( x)  ee  5
1  log( x)
9.- f ( x)  2
1  log( x)
10.- f ( x)  tan( 10 )  9.2e  x
x
x  3;4 

II.- TAREA
1.- La ecuación x 2  2 x  3  0 puede reformularse para el método del punto fijo
como sigue :
x2  3
a) x 
2
b) x  2 x  3
2x  3
c) x 
x
d) x  x  (0.2).( x 2  2 x  3)
Las raíces de la ecuación son x=3 y x=-1. Determine gráficamente cuáles de las fórmulas anteriores
convergen cuando se utilizan para encontrar la raíz x=-1 por el método del punto fijo. Repita el análisis
para la raíz x=3.
2.- Investigue la naturaleza de la iteración de punto fijo cuando g ( x)  4  4 x  1 x 2
2
a) Resuelva g(x)=x y pruebe que P=2 y P=4 son puntos fijos.
b) Tome como valor inicial p0  1.9 y calcule p1 , p2 y p3
c) Tome como valor inicial p0  3.8 y calcule p1 , p2 y p3
d) Halle los errores absolutos Ek y los errores relativos Rk de los valores pk obtenidos
en los apartados (b) y (c)
e) ¿Qué conclusiones pueden deducirse usando el teorema del punto fijo ?


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