El desarrollo del pensamiento geométrico de los niños a través de múltiples estrategias didácticas, se ha transformado en los últimos años en una de las intenciones de las prácticas de enseñanza de las matemáticas en la escuela.
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Guia del triángulo de sierpinski
1. EL TRIÁNGULO DE SIERPINSKI
El matemático polaco Waclav Sierpinski Óscar Leonardo Cárdenas Forero
Docente
(1882-1969), creó varios objetos fractales, entre
ellos, el conocido triángulo de Sierpinski. La
construcción se deriva a partir de un triángulo
rectángulo inicial con lados de longitud 1 (objeto
iniciador), se unen los puntos medios de cada lado y
se extrae el triángulo central interno (proceso
generador). Así se obtienen tres triángulos iguales.
Con estos tres triángulos, se aplica el mismo
proceso generador en cada uno de ellos, para así
obtener tres nuevos triángulos por cada uno, lo cual
produce finalmente 9 triángulos equiláteros. Se
continúa el proceso.
• Escribe la cantidad de triángulos que aparece en cada figura
4. • Constrúyelo en casa con pitillos. Intenta hacerlo en tres dimensiones.
LAS CARPETAS DE SIERPINSKI
5. Las carpetas son un ejemplo de fractal que Óscar Leonardo Cárdenas Forero
Docente
se construye siguiendo el patrón con el que
se generó el triángulo de Sierpinski. Las
carpetas parten de un cuadrado (objeto
iniciador), que se subdivide en nueve
pequeños cuadrados para extraer el
cuadrado central y en cada uno de los ocho
restantes se vuelve a efectuar este proceso,
hasta obtener al final la llamada carpeta de
Sierpinski.
Actividad: Sobre la cuadrícula dibuja la
carpeta de Sierpinski.
Inténtalo también sobre los puntos
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7. La esponja de Karl Menger se construye bajo el mismo Óscar Leonardo Cárdenas Forero
Docente
principio que el triángulo de Sierpinski, pero no con un
triángulo sino con un cubo en 3 dimensiones. La
Esponja de Menger se crea con unas pocas
iteraciones:
1. Crear un cubo normal y corriente.
2. Dividir cada cara en forma de cuadricula 3×3.
3. Hundir el cuadrado central hasta formar un cubo.
4. Repetir 2 con cada una de las nuevas cuadriculas.
Otra forma de entender la esponja de Menger es
partiendo de alfombra de Sierpinski, pero en el plano
tridimensional.
Actividad: Sobre el siguiente cubo, dibuja la esponja de
Menger
8. • Constrúyela en casa en 3D.
LA CURVA DE KOCH
Óscar Leonardo Cárdenas Forero
Docente
La curva de Koch o el Copo de Nieve de Koch fue descrita por
Koch en 1906, es una de las figuras fractales más conocidas
debido a sus curiosa forma, que recuerda a un copo de nieve.
Tiene la peculiaridad de que se trata de una curva de longitud
infinita que encierra una superficie finita. Se construye de la
siguiente forma:
Paso 1: Un triángulo equilátero inscrito en un círculo (no
mostrado) es la primera iteración de este patrón. El largo de
cada lado es 1, el perímetro = 3.
Paso 2: Divida cada lado del triángulo en 3 partes iguales y dibuje
otro triángulo equilátero en el segmento central. Así resulta una
estrella de seis esquinas como segunda iteración. Su perímetro =
3 x 4/3
Paso 3: En la tercera iteración del patrón, P = 3 x 4/3 x 4/3.
Teóricamente usted puede repetir los pasos, dibujando
triángulos equiláteros infinitamente. Siga calculando el
perímetro. Lo interesante es notar que el perímetro sigue
creciendo, conforme el copo crece, mientras que el área no
sobrepasa la del círculo exterior.
9. Existen muchas variantes sobre la construcción de la curva de Koch. A continuación
aparece la curva de Koch exterior, que parte originalmente de un hexágono, en vez de un
triángulo equilátero:
Luego, se observan dos versiones más que parten de un cuadrado. Se denominan fractales
de Cesaro.
Actividad: En la siguiente cuadrícula dibuja cualquiera de los anteriores fractales
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EL ÁRBOL PITAGÓRICO
Óscar Leonardo Cárdenas Forero
Docente
Se genera a partir de un cuadrado dibujando un triángulo
rectángulo e isósceles (isorrectángulo) de forma que la
hipotenusa esté sobre uno de los lados del cuadrado. Sobre
cada cateto del triángulo se dibuja un cuadrado y se repite el
proceso para cada cuadrado que se genere en la etapa anterior.
La construcción del árbol de Pitágoras se hace a partir de un
objeto inicial, conocido como el iniciador, éste es un cuadrado.
Sobre este cuadrado son construidos dos demás cuadrados,
cada uno más pequeño de un factor ½√2, tales que los rincones
de los cuadrados sean en contacto. El procedimiento es
aplicado recurrentemente a cada cuadrado, hasta el infinito. La
ilustración aquí-debajo ilustra las primeras iteraciones de la
construcción.
0 1 2 4
Actividad: Sobre la siguiente cuadrícula dibuja un árbol pitagórico
13. • Constrúyela en casa en 3D usando palitos de paleta.
E
Ilustración de fractal pitagóricos, que da una idea
básica de la generación de fractales mediante el proceso iterativo.
14. El Triángulo de Sierpinski
VERSIONES DE LA CURVA DE KOCH: LA COSTA
Óscar Leonardo Cárdenas Forero
Docente
• Colorea la costa
15. Actividad: Sobre la siguiente cuadricula dibuja la imagen de la costa y coloréala.
• Constrúyela en casa en 3D con palillos.
16. LA CAJA FRACTAL
Óscar Leonardo Cárdenas Forero
Docente
La caja fractal es otro de los fractales clásicos. Fue inventada por Thamas Viscek, un
matemático dedicado en la actualidad a la investigación en el área de geométrica fractal
y los sistemas dinámicos. Este fractal se basa en un proceso de construcción muy sencillo
cuyo resultado una figura realmente bella. Es una figura sorprendente por el carácter
paradójico que posee; pues su superficie tiene un área cero, mientras que por otro, su
perímetro es infinito. Una figura de longitud infinita y perímetro cero no es usual
encontrar, sobre todo cuando esta se forma a partir de una superficie. Este fractal surge
de un objeto iniciador, un cuadrado, a partir del cual se inicia la iteración.
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LA CURVA DE HILBERT
Óscar Leonardo Cárdenas Forero
Docente
En 1890, Giuseppe Peano dio la construcción de una curva que rellenaba todo el cuadrado
unidad. Su construcción sigue el mismo mecanismo que la de la curva de Koch.
Comenzando con un intervalo de longitud 1, éste se sustituye por una curva poligonal
autointersecante formada por 9 segmentos iguales. Esta construcción se repite en cada
uno de estos nueve segmentos continuando el proceso indefinidamente. Un año después
que Peano, David Hilbert daría una versión más sencilla de una curva que también rellena
todo el intervalo unidad. Para construirla consideramos la siguiente curva generadora:
21. y la vamos reemplazando por cuatro copias de la misma, situadas como se ve en la figura y
unidas por segmentos en los puntos que se indican:
La curva de Hilbert es el límite de iterar este proceso indefinidamente. Las siguientes
curvas son sucesivas aproximaciones de la curva de Hilbert.
Actividad: En el siguiente geoplano dibuja la curva de Hilbert
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Actividad: Con palillos inténtala construir.
EL DRAGÓN DE HIGHWAY·LÉVY
Esta curva, que es el borde de la imagen, fue construida alrededor de 1967 por el físico de
la N.A.S.A. John E. Heighway. Heighway ilustró la construcción mediante el doblado
conveniente de una hoja de papel. Su dimensión topológica es 1.
Se origina partiendo de un segmento que se repite, gira 90º y se añade a un extremo del
anterior, la imagen formada se repite, gira 90º y se añade al extremo de la anterior, y así
sucesivamente.
23. La curva del dragón es un fractal que puede construirse así:
• A partir de un segmento, se construye el triángulo rectángulo e isósceles, como lo muestra
las dos primeras figuras. Luego se borra el segmento inicial.
• Se repite un sinfín de veces el proceso de remplazar un segmento por otros dos para cada
línea de la curva, alternando siempre la orientación de los triángulos.
La figura siguiente muestra los trece primeros pasos:
24. Agrandando la imagen y después de una veintena de iteraciones, se obtiene la curva del
dragón:
