Este documento presenta información sobre fractales y cómo construir algunos fractales comunes como el conjunto de Cantor, la curva de Koch, el triángulo de Sierpinski y la alfombra de Sierpinski utilizando el software GeoGebra. Explica las propiedades de los fractales y los pasos iterativos para construir cada fractal, incluidas las herramientas necesarias en GeoGebra. También incluye una discusión sobre cómo representar estas funciones fractales en GeoGebra.

1. Secuencias para el aula
Fractales…más allá de las imágenes
Profesora Silvia Notarfrancesco de Lomas del Mirador, partido de la
Matanza, provincia de Buenos Aires
Profesora Graciela Freda del Partido de Gral. San Martín en la provincia de
Buenos Aires

2. Usa este patrón fractal para contestar las preguntas y considera que el área del cuadrado de la Etapa 0 es 1.
1. Describe el patrón y dibuja la Etapa 3 utilizando la herramienta 5 de Geogebra.
2. ¿Cuál es el área del cuadrado más pequeño en la Etapa 3? Escríbelo en forma exponencial.
3. ¿Cuál es el área total de los cuadrados sin sombrear en la Etapa 2? ¿En la Etapa 3?
4. ¿Cuál es el área total de los cuadrados sombreados en la Etapa 2? ¿En la Etapa 3?
5. Escribe una expresión general para el área total de los cuadrados sin sombrear y otra para el área total de
los cuadrados sombreados.
6. ¿Puedes decir cuál es el número de la Etapa que corresponde a este resultado?
7. ¿Cuál es mayor en cada Etapa, el área total de los cuadrados sombreados o el área total de los
cuadrados sin sombrear?

3. 8. ¿Crees que existe un número de etapa para la cual el área total sin sombrear sea igual a cero?, dicho de
otra manera, ¿en algún paso de este procedimiento el área sombreada completará el cuadrado original?
9. Escribe la fórmula de la función que expresa en cada Etapa el área total sombreada
10. Escribe la fórmula de la función que expresa en cada Etapa el área total no sombreada
11. Utiliza Geogebra y representa en un mismo sistema de ejes cartesianos ambas funciones.
12. ¿Qué valores toma la función cuando el número de la etapa es cada vez mayor en cada una de las
funciones representadas?
13. Escribe todas las conclusiones que consideres de interés que surgen de esta actividad.

4. Alfombra de Sierpinski
Trabajo en GeoGebra
Cada uno de los cuadrados en cada etapa, se construyen con el comando:
Polígono [extremo de lado, extremo de lado, cantidad de vértices (número)]
Cada vértice se obtiene trasladando el vértice A del cuadrado de la etapa 0, según un vector
que resulta de la suma entre un vector de la forma i ⃗ y otro de la forma j ⃗⃗, siendo i y j una
fracción del lado del cuadrado de la etapa 0
Por ejemplo para obtener el cuadrado de vértices M y N se introduce
Polígono [A+4/9u+1/9v,A+5/9u+1/9v,4]
La lista completa para los 8 cuadrados es:
1/9u+1/9v 2/9u+1/9v
1/9u+4/9v 2/9u+4/9v
1/9u+7/9v 2/9u+7/9v
4/9u+1/9v 5/9u+1/9v
4/9u+7/9v 5/9u+7/9v
7/9u+1/9v 8/9u+1/9v
7/9u+4/9v 8/9u+4/9v
7/9u+7/9v 8/9u+7/9v
Lo observado es:
 Todos los denominadores son iguales a
 Los numeradores del primer término de la primer suma son: 1; 4 y 7

5.  Los numeradores del segundo término de la primer suma son: 1; 4 y 7
 Los numeradores del primer término de la segunda suma son: 2; 5 y 8
 Los numeradores del segundo término de la segunda suma son: 1; 4 y 7
Por lo tanto los numeradores son sucesiones aritméticas de diferencia 3, cuyas fórmulas son:
y para n=1, n=2 y n=3
Una primera aproximación a la fórmula general nos da:
Si consideramos todas las etapas podemos generalizar usando un deslizador n (número de
etapa) y el comando secuencia:
Debemos tener en cuenta que los denominadores de cada etapa son potencias de 3 en orden
igual al de la etapa y que los valores de i y de j varían en un orden menor.
Seleccionamos un color adecuado y “activa rastro”.
Esta forma de generar la alfombra tiene una falla, ¿cuál es?.......
Graciela Freda

6. FRACTALES
La palabra fractal, referida a conjuntos matemáticos, apareció por primera vez en el
año 1977 cuando Benoit Mandelbrot la utilizó en su libro (Benoit B. Mandelbrot, The
Fractal Geometry of Nature, W.H. Freeman and Co., San Francisco, 1977) para
referirse a ciertos conjuntos con todas o algunas de las siguientes propiedades:
 Tienen detalles a todas las escalas, entendiendo por esto que mirados a
cualquier nivel de escala (zoom) manifiestan detalles ya observados a nivel
global.
 Son autosemejantes, es decir, que están formados por partes que son
semejantes al conjunto total.
 Tienen una descripción algorítmica simple, entendiendo por ello que su
construcción se basa en un algoritmo sencillo.
Los cuatro conjuntos que aparecen en la figura ¿verifican las tres propiedades
descritas?
Conjunto de Cantor
El conjunto de Cantor es el fractal por antonomasia, y también el primero conocido.
Fue ideado por Georg Cantor en 1883 como ejemplo de conjunto de longitud cero
cuyos puntos se pueden identificar uno a uno con todos los puntos de una recta (que
tiene longitud infinita).
Para su construcción se parte de un segmento de longitud 1. Se divide en tres partes
iguales y se elimina la parte central abierta (es decir, sin incluir los extremos). Cada
una de las otras dos se divide en tres partes iguales y se eliminan las partes centrales
(abiertas) en cada una de ellas. Se procede igual con cada uno de los cuatro
segmentos que quedan. Y se repite el proceso infinitas veces.

7. Construcción con GeoGebra:
1. Construir una herramienta que divida un segmento en tres partes iguales:
 se dibuja un segmento y aplicando, por ejemplo, el Teorema de Thales, se
obtienen los dos puntos que lo dividen en tres partes iguales. El objeto de
entrada de la herramienta es el segmento original y el objeto de salida los
dos puntos obtenidos.
2. Construir una herramienta, que llamaremos cantor asociada al algoritmo:
 se dibuja un segmento al que se le aplica la herramienta thales que lo
divide en tres partes iguales y, de los tres segmentos obtenidos,
dibujamos los dos de los extremos. El objeto de entrada de la
herramienta es el segmento original y el objeto de salida los dos
segmentos de los extremos.
Objeto de entrada herramienta thales objeto de salida
Para la visualización correcta del algoritmo es conveniente que se use eliminar o
dibujar de un color claro (casi invisible) el segmento original.
Construcción del conjunto de Cantor
Se dibuja un segmento inicial al que se aplica la herramienta cantor para obtener los
dos segmentos del primer paso de la construcción del conjunto de Cantor. Aplicando
repetidamente la herramienta cantor a estos segmentos y a sus descendientes se
puede avanzar tanto como se desee en la construcción del conjunto de Cantor.

8. La curva de Koch
La curva de Koch fue ideada por Helge von Koch en 1904 como ejemplo de curva de
longitud infinita contenida en un recinto acotado y sin tangente en cualquier punto. Su
construcción se hace mediante un proceso similar al del conjunto de Cantor.
Se parte de un segmento de longitud 1. El primer paso consiste en dividirlo en tres
segmentos iguales, construir un triángulo equilátero sobre el segmento central y
suprimir la base de dicho triángulo, como indica la figura. El segundo paso de la
construcción consiste en hacer lo mismo que hemos hecho en el primer paso sobre
cada uno de los cuatro segmentos que han resultado. Y se repite el proceso infinitas
veces. La curva de Koch es la curva a la que se van aproximando las sucesivas
poligonales que resultan en cada paso.
Construcción con GeoGebra:
1. Construir una herramienta, que llamaremos koch asociada al algoritmo:
 se dibuja un segmento al que se le aplica la herramienta thales que lo
divide en tres partes iguales, y sobre el segmento central se construye
un triángulo equilátero. El objeto de entrada de la herramienta es el
segmento original y el objeto de salida son los dos segmentos de los
extremos y los dos lados superiores del triángulo.
Objeto de entrada herramienta thales objeto de salida
Para la visualización correcta del algoritmo es conveniente eliminar o dibujar de un
color claro (casi invisible) el segmento original.
Construcción de la curva de Koch
Se dibuja un segmento inicial al que se aplica la herramienta koch para obtener los
cuatro segmentos del primer paso de la construcción de la curva de Koch. Aplicando
repetidamente la herramienta koch a estos segmentos y a sus descendientes se
puede avanzar tanto como se desee en la construcción de la curva de Koch.

9. El triángulo de Sierpinski
El triángulo de Sierpinski fue ideado por Waclaw Sierpinski en 1915. Su construcción
se hace mediante un proceso similar al de los conjuntos anteriores.
Se parte de un triángulo equilátero de lado 1. El primer paso consiste en dividirlo en
cuatro triángulos equiláteros iguales (lo que se consigue uniendo los puntos medios de
los lados) y eliminar el triángulo central, es decir nos quedamos con los tres triángulos
equiláteros de los vértices. El segundo paso de la construcción consiste en hacer lo
mismo que hemos hecho en el primer paso sobre cada uno de los tres triángulos
obtenidos en el paso anterior. Y se repite el proceso infinitas veces, obteniendo como
resultado final el triángulo de Sierpinski.
Construcción con GeoGebra:
1. Construir una herramienta, que llamaremos sierpinski asociada al algoritmo:
se dibuja un triángulo equilátero, se hallan los puntos medios de los lados y
se dibujan los tres triángulos de los vértices, que se rellenan de cierto color.
El objeto de entrada de la herramienta es el triángulo original y el objeto de
salida son los tres triángulos de los extremos.
Objeto de entrada Puntos medios Objeto de salida
Construcción del Triángulo de Sierpinski
Se dibuja un triángulo inicial al que se aplica la herramienta sierpinski para obtener los
tres triángulos del primer paso de la construcción. Aplicando repetidamente la
herramienta sierpinski a estos triángulos y a sus descendientes se puede avanzar
tanto como se desee en la construcción del triángulo de Sierpinski.
Observación: En el triángulo de Sierpinski, el hecho de considerar triángulos equiláteros es irrelevante. Siempre que
para la construcción de los triángulos de los extremos se utilicen los puntos medios de los lados, se obtienen resultados
análogos usando cualquier tipo de triángulos.

10. La alfombra de Sierpinski
Se parte de un cuadrado de lado 1. El primer paso consiste en dividirlo en nueve
cuadrados iguales (lo que se consigue dividiendo cada lado en tres partes iguales) y
eliminar el cuadrado central, es decir nos quedamos con ocho cuadrados. El segundo
paso de la construcción consiste en hacer lo mismo que hemos hecho en el primer
paso sobre cada uno de los ocho cuadrados obtenidos en el paso anterior. Y se repite
el proceso infinitas veces, obteniendo como resultado final el objeto fractal conocido
como alfombra de Sierpinski.
Construcción con GeoGebra:
1. Construir una herramienta, que llamaremos alfombra asociada al
algoritmo: se dibuja un cuadrado, se aplica la herramienta thales a sus
cuatro lados y se dibujan los ocho cuadrados de la frontera, que se
rellenan de cierto color. El objeto de entrada de la herramienta es el
cuadrado original y el objeto de salida son los ocho cuadrados de la
frontera.
Objeto de entrada herramienta thales Objeto de salida
Construcción de la alfombra de Sierpinski
Se dibuja un cuadrado inicial al que se aplica la herramienta alfombra para obtener los
ocho cuadrados del primer paso de la construcción. Aplicando repetidamente la
herramienta alfombra a estos cuadrados y a sus descendientes se puede avanzar
tanto como se desee en la construcción de la alfombra de Sierpinski.
Bibliografía: http://www.uam.es/proyectosinv/estalmat/ReunionMadrid2009/fractales.pdf
Graciela Freda
.

11. Actividad Copo de nieve aplicando semejanza

12. El gráfico muestra como quedaría el Triángulo de Sierpinski