1. RAFAEL MORA / 3 de Febrero del 2013

2. CONCEPTO DE FILOSOFIA DE LA
MATEMATICA
 Es una rama de la filosofía que trata de
comprender y explicar los requisitos, el objeto, el
método y la naturaleza de las matemáticas.
 En esta rama se intentan responder las
siguientes preguntas:
 ¿Cómo sabemos que nuestras teorías matemáticas
son verdaderas?
 ¿Sobre qué son las matemáticas? En otras palabras, si
un enunciado matemático es verdadero, ¿qué lo hace
verdadero? ¿En virtud de qué es verdadero?
 ¿Las verdades matemáticas son verdaderas por
necesidad? Y, si lo son, ¿cuál es la fuente de esta
necesidad?

3. INTRODUCCION
 La imagen tradicional de las matemáticas (formal e
infalible) fue cuestionada a raíz de la llamada "crisis
de los fundamentos de las matemáticas", que
sucedió en el siglo XIX. Dicha "crisis" se origino
principalmente por dos descubrimientos: primero el
de las geometrías no euclidianas y, segundo, el de la
teoría de los conjuntos.“
 En tanto la teoría de conjunto iba a ser utilizada para
asegurar la base de todo el edificio matemática, era
necesario revisar bien la teoría conjuntista. Pero
sucedió que se hallaron algunas dificultades que más
tarde serían conocidas como “paradojas lógica”.

4. PARADOJA DE CANTOR
 Sea A un conjunto, digamos de 2 elementos:
 A={1, 2}
 Sabemos que su conjunto potencia es el conjunto de todos los
subconjuntos de A
 Pot (A) = {φ, A, {1}, {2}}
 Este Pot (A) tiene más elementos que A
 Card (A) < Card (Pot (A)) (Teorema de Cantor)
 Ahora bien, sabemos que el conjunto universo contiene a todos los
conjuntos incluso a sí mismo. A su vez, sabemos que cuando un conjunto
A incluye a otro conjunto B, la cardinalidad de A es mayor o igual que la
cardinalidad de B. Es decir,
 Si A incluye a B, entonces Card(A) > Card(B) (relación de inclusión)
 ¿Qué sucede con el conjunto universo y su conjunto potencia?
 Por el teorema: Card (U) < Card (Pot (U))
 Por la relación: Card (U) > Card (Pot (U))

5. PARADOJA DE RUSSELL
 Hay conjuntos normales que no se contienen a sí
mismos
 Hay conjuntos anormales que se contienen a sí
mismos
 Formamos R que es el conjunto de todos los
conjuntos que no contienen a sí mismos.
 Si R es normal entonces R no contiene a sí
mismo, por lo cual R sería elemento de R
 Pero si R es elemento de R, entonces esto
significa que se contiene a sí mismo por lo cual R
sería anormal y no debería estar en R.

6. LOGICISMO
 Rep: Frege, Russell
 Plantea que la matemática es reducible a la lógica. Frege inició el programa
logicista pero este fue continuado por Bertrand Russell y Alfred North Withehead
en Principia Mathematica. La tesis logicista considera que las Matemáticas pueden
“derivarse de la lógica” en el siguiente sentido:
 1) Todos los conceptos de las Matemáticas pueden definirse basado en
definiciones de la lógica pura.
 2) Todos los teoremas de las Matemáticas pueden deducirse de estas definiciones
por medio de los principios de la lógica.
 La lógica, a la que los logicistas pretenden reducir las Matemáticas, supone la
existencia de una dicotomía que divide el conocimiento en “a priori” (no empírico)
y “a posteriori”
 Los logicistas consideraban las proposiciones matemáticas como conocimiento a
priori, que prescinde de las demostraciones empíricas.
 Este proyecto estaba engarzado con el ya realizado proyecto de la aritmetización
del análisis. Así Peano propuso un sistema de axiomas:
 1. El 0 es un número
 2. Cada número tiene por lo menos uno y a lo más un sucesor que también es un número
 3. El 0 no es el sucesor de ningún número
 4. No hay dos números que tengan el mismo sucesor
 5. Lo que sea verdad del 0, también es verdad para el sucesor de cualquier otro número, y si
es verdad para ese número, es verdad de todos los números

7. LOGICISMO
 Frege había logrado mostrar la posibilidad de reducir el concepto de
número natural al concepto de clase o conjunto y derivar todas las
propiedades de los números naturales de las propiedades de las
multiplicidades. Dice que el número 2, por ejemplo ,es el conjunto de
todos los conjuntos que tienen 2 elementos.
 Asimismo, se encarga de aclarar la naturaleza del número. Cuando digo
que Sócrates es uno y que la Santísima Trinidad son tres, ¿de qué se está
predicando el “uno” y el “tres”? De inmediato queda claro que los
números no son una propiedad de los objetos: de Sócrates no se predica
la unidad. Si fuera este el caso, se podría inferir de las premisas que
Sócrates es uno y que Platón es uno, que Sócrates y Platón son uno. La
respuesta a esto se sugiere por la teoría de la cuantificación. Frege
argumenta que cuando digo que un hombre existe, no predico la
existencia de un hombre, sino que mas bien, predico el concepto hombre:
lo que estoy diciendo es que el concepto hombre tiene por lo menos una
instancia. (La existencia es un predicado de predicados). En forma similar
los números se predican de conceptos: decir que hay cinco hombres
sabios, es decir que el concepto hombre sabio se instancia cinco veces.
 Russell para evitar la aparición de paradojas impuso ciertas restricciones
a la formación de expresiones lógico matemáticas. Estas restricciones se
determinan mediante la famosa teoría de los tipos lógicos.

8. FORMALISMO
 Rep: Hilbert, Ackermann
 Considera que el lenguaje matemático, puede reducirse a operar con signos. El formalismo
entiende las matemáticas como un juego basado en un cierto conjunto de reglas para
manipular cadenas de caracteres: el programa del formalismo matemático consiste en
construir la Matemática como un sistema lógico-formal puro, cuya condición fundamental
es la ausencia de contradicción, prescindiendo de todo tipo de contenido; se trata, pues, de
un sistema formal vacío.
 Se puede comprender mejor el razonamiento de Hilbert considerando una analogía. Los
número irracionales no tienen significado intuitivo como tales números. Aunque podamos
introducir longitudes cuyas medidas sean irracionales, las propias longitudes no
proporcionan ningún significado intuitivo a los números irracionales, pero ell0s son
necesarios incluso para las matemáticas elementales. Hilbert hizo la misma observación al
respecto de los números complejos. Esto no tienen contrapartidas reales inmediatas, pero
hacen que sean posibles teoremas generales como el de que toda ecuación polinómica de
grado n tiene exactamente n raíces. Independiente de que los símbolos representen o no
objetos con un significado intuitivo, todos los signos y símbolos de conceptos y
operaciones están libres de significado. Para el propósito de los fundamentos, los
elementos del pensamiento matemático son los símbolos y las proposiciones, que son
combinaciones o cadenas de símbolos. Así se lograba la certeza al precio de tratar a la
matemática como símbolos vacíos de significado.

9. FORMALISMO
 Hilbert intenta un nuevo planteamiento de la consistencia utilizando el
concepto de demostraciones absolutas, sin contradicciones para lo cual
necesitará validar el uso del tercio excluso: “Quitar a los matemáticos el
principio del tercio excluso es como prohibir el telescopio a los astrónomos y
el uso de sus puños a los boxeadores. Negar los teoremas de existencia que
utilizan el principio del tercio excluso es tanto como renunciar de golpe a la
ciencia de las matemáticas”. Pretendía lograr este tipo de demostraciones
construyendo un sistema de signos formales, vacíos de significados, con
reglas manifiestas de cómo manipular estos signos. Así, se derivan teoremas
a partir de axiomas mediante combinaciones y transformaciones sígnicas de
acuerdo a reglas de operación que funcionan bajo el principio de un
razonamiento explícito. A este sistema Hilbert lo llamó “metamatemática” .
La metamatemática o teoría de la demostración es la disciplina que
partiendo del conocimiento de la estructura y el funcionamiento de las teorías
matemáticas tiene por objeto probar la consistencia de estas teorías.
 “La Matemática en sentido estricto puede sustituirse por un método puramente
mecánico de derivar fórmulas, método que no tiene nada que ver con la
significación de interpretación de los símbolos usados”.
 “Se toman como premisas algunas agregados de símbolos; éstos son los
axiomas, y a partir de ellos se derivan otros grupos de signos, de acuerdo con
reglas fijas y de un modo puramente mecánico; o sea, sin utilizar conclusiones
obtenidas de su interpretación; los nuevos grupos son los teoremas
demostrables”.

10. AXIOMATISMO
 Rep: Zermelo
 Llamado también conjuntismo. Esta escuela no intenta desentrañar la
esencia del conocimiento matemático. Propone limitar los conjuntos
mediante axiomas que imposibiliten la aparición de paradojas. Por
ejemplo, reemplaza el axioma de comprehensión por el axioma de la
separación que sostiene que para que una propiedad pueda determinar un
conjunto es necesario que se aplique a elementos de otro conjunto
preexistente cuya existencia esté asegurada de antemano. Así se logra
frenar a la aparición de paradojas.
 Zermelo creía que las paradojas de la teoría de conjuntos venían de que
Cantor no había restringido el concepto de conjunto. Zermelo esperaba,
por consiguiente, que unos axiomas claros y explícitos clarificarían lo que
se entendía por conjunto y las propiedades que los conjuntos debían tener.
Él buscaba en particular limitar el tamaño de los conjuntos.
 El sistema de axiomas de Zermelo fue perfeccionado por Abraham A.
Fraenkel. Zermelo no había distinguido entre la propiedad de un conjunto
y el propio conjunto. La distinción fue hecha por Fraenkel en 1922.

11. AXIOMATISMO
 Estos son algunos de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-
Fraenkel.
 1. Dos conjuntos son idénticos si tienen los mismos elementos
 2. Existe el conjunto vacío
 3. Si x e y son conjuntos, entonces el par no ordenado (x,y) es un
conjunto
 4. La unión de un conjunto de conjuntos es un conjunto
 5. Existen conjuntos infinitos
 6. Cualquier propiedad que pueda ser formalizada en el lenguaje de la
teoría de conjuntos puede utilizada para definir conjuntos
 7. Se puede formar el conjunto potencia de cualquier conjunto; esto es,
la colección de todos los subconjuntos de cualquier conjunto dado es un
subconjunto
 8. El axioma de eleccíón
 9. x no pertenece a x
 Sin embargo, no logra ofrecer una garantía indubitable contra el
hallazgo de nuevas paradojas.

12. AXIOMATISMO
 Los conjuntistas piensan que no se pueden obtener
paradojas poruqe se ha constriudo una jerarquía de
conjuntos que evitaba la ambigüedad. Pero la consistencia
de la teoría de conjuntos no ha sido demostrada. Según
Poincaré: “Hemos puesto una cerca alrededor del rebaño
para protegerlo de los lobos, pero no sabemos si dentro de
la cerca han quedado encerrados algunos lobos”
 Si se aceptan los axiomas de la teoría de conjuntos se
pueden construir todas las matematicas sobre ellos. La
lógica esta subordinada a los axiomas de las matematicas.
La lógica no controla lo que son o lo que hacen las
matematicas. La lógica es la gramatica del lenguaje que
usamos, un lenguaje que tuvo que existir antes de que se
pudiera construir la gramatica

13. PLATONISMO MATEMÁTICO
 Rep: Kurt Gödel
 Llamado también objetivismo. Consiste en la creencia de
que los objetos y conceptos matemáticos (las entidades
referidas por los símbolos matemáticos), así como los
hechos matemáticos (los expresados por las proposiciones
matemáticas), no son de nuestra creación, sino que existen
objetivamente con total independencia de la existencia y el
funcionamiento de nuestra mente. Es decir, los objetos y
conceptos tratados por las matemáticas no son simples
invenciones existentes únicamente en la mente de los
matemáticos, sino que son realidades ingénitas,
universales, inmateriales, imperecederas, inmutables y
atemporales. tanto los "objetos matemáticos" (números,
figuras geométricas, etc) como las leyes matemáticas no se
inventan, sino que se descubren. Por ejemplo, los axiomas
lejos de crear el concepto de conjunto lo desarrollan y este
seria anteriormente dado a nuestra percepción de lo
abstracto o intuición matemática

14. PLATONISMO MATEMÁTICO
 Según Gödel:
 “Me parece que la asunción de tales objetos es tan totalmente
legítima como la asunción de cuerpos físicos, y existen las
mismas razones para creer en su existencia. Son necesarios para
obtener un sistema satisfactorio de matemática en el mismo
sentido en que los cuerpos físicos son necesarios para una teoría
satisfactoria de nuestras percepciones sensibles”
 Aunque es cierto que las proposiciones matemáticas no dicen
nada sobre la realidad espacio-temporal, tienen sin embargo un
contenido objetivo, que radica en que dicen algo sobre relaciones
objetivas entre conceptos objetivos
 Puesto que conocemos muchas proposiciones sobre números
naturales que son verdaderas, y como estamos convencidos de
que muchas conjeturas relacionadas con ellos tienen sentido,
entonces deben existir hechos objetivos sobre los números
naturales y tales hechos deben referirse a objetos que son
inmutables en el tiempo. La lógica y la matemática deben tener
un contenido real, que puede verse estudiando teoría de
números, donde hallamos hechos que son independientes de las
convenciones arbitrarias.

15. TEOREMAS GÖDELIANOS
 El primer teorema de incompletud de Gödel (1931)
demuestra que la aritmética elemental no puede ser
completamente axiomatizada en el sentido de
completud deductiva, es decir, no puede
axiomatizarse de modo consistente y completo. El
segundo teorema dice que si una teoría aritmética T
es consistente, entonces la consistencia de T no
puede probarse en T, es decir, es imposible
demostrar la consistencia de una teoría o sistema
formal que incluya la aritmética elemental con los
propios recursos de la teoría. Es decir, la consistencia
de una teoría aritmética no puede probarse con sus
propios medios.

16. PLATONISMO MATEMÁTICO
 Si las matemáticas fueran enteramente hipótesis existentes tan sólo en
nuestras mentes, cualquier verdad matemática podría ser formulada y
demostrada, cosa imposible por los teoremas gödelianos. Por el
contrario, si los conceptos matemáticos son preexistentes la única tarea
que realiza el matemático es percibir dicha verdad objetiva y describirla.
Tampoco la matemática puede reducirse a un sistema formal de sintaxis
lógica de lenguaje pues, por los resultados de gödel, ningún sistema
similar podría realizar una tarea semejante a menos que contase con
conceptos igualmente potentes que los que pretenden reducirse, de
modo que cualquier intento por esa línea sería inútil por principio.
 Los matemáticos con toda su maquinaria operativa y simbólica tan sólo
pueden hacer teorías matemáticas subjetivas con una alta aproximación
a las verdades matemáticas objetivas, pero sin llegar a conocer éstas en
su totalidad. Según esto, las matemáticas objetivas son imperecederas,
no varían ni desaparecen independientemente de que alguien las
conciba o no. Logramos reconocer los objetos y las verdades
matemáticas que se encuentran en las "esferas celestiales de las ideas“
mediante la intuición matemática que, de manera similar a un órgano
sensorial, hace que los seres humanos percibamos partes de ese otro
mundo. La matemática es inagotable, de modo que no podemos hacer
matemática sin recurrir a la intuición, que no puede reemplazarse por
métodos puramente algorítmicos.

17. INTUICIONISMO
 Rep: Brouwer, Heyting
 El constructivismo cree que la única concepción de la verdad matemática es la idea de
prueba o demostración. Nuestras teorías matemáticas son constructos intelectuales. Todo
lo que hay es la prueba. Asimismo, los números no existen hasta que se los “construye”, a
través de operaciones que los generan en un número finito de pasos. No hay números allá
afuera, a la espera de ser descubiertos; todos los números que existen están contenidos en
los libros y artículos de los matemáticos. Decir que los números existen es decir que hay
pruebas válidas implicando numerales.
 Todo objeto matemático es considerado producto de la mente humana, y, por ende, la
existencia de un objeto es equivalente a la posibilidad de su construcción. Esto contrasta
con el enfoque clásico, que formula que la existencia de un objeto puede ser demostrada
refutando su falsedad. Para los Intuicionistas esto no es válido; la refutación de la falsedad
de un objeto matemático no significa que es posible hallar una prueba constructiva de su
existencia.
 Para un intuicionista una construcción es una entidad mental y en ningún caso se pueden
identificar con entidades lingüísticas. El conocimiento matemático se basa en la
aprehensión -que antecede cualquier lenguaje o lógica- de algunos conceptos
matemáticos básicos
 Se basa en la intuición primordial de los números naturales ( 1, 2, 3... ). Cada uno de esos
números puede, a partir de la intuición básica del 1, ser "construido" agregando 1 al
anterior.
 A partir de lo anterior, el resto de la matemática puede (y debe) ser construida de forma
explícita y rigurosa, lo que requiere un método claro y preciso. Solo entidades cuya
existencia (positiva o negativa) haya sido demostrada de tal manera, o por medio de tal
método, tienen validez matemática . Se podría decir que, desde el punto de vista
intuicionista, las verdades matemáticas no se descubren, se crean.

18. INTUICIONISMO
 Para los intuicionistas un (cualquier) ente es valido si y solo si
puede ser construido por medio de un procedimiento
especificado y con un número finito de pasos o operaciones. Pero
¿cual procedimiento específico y finito puede generar el infinito?
Cualquier procedimiento que escojamos solo nos dará algún
número concreto. Consecuentemente, el infinito intuicionista es
solo potencial, a diferencia del "infinito oficial" que lo concibe
como "una totalidad completa y acabada.“
 Una proposición matemática es verdadera solo si hay una prueba
de ella; en forma similar, es falsa solo si hay prueba de su
negación. Pero, ¿qué ocurre si no hay pruebas para ninguna de
las dos alternativas? Esta seria indecidible y tendríamos que
romper con la ley del tercero excluido. Como ejemplo, tenemos
la conjetura de Goldbach:
 Todo número par mayor que 2 puede expresarse como la suma
de dos números primos.

19. DIALETEISMO
 Rep: Graham Priest
 Dialeteismo es la creencia de que existen ciertas contradicciones
verdaderas, o dialetheias. En forma más especifica, los dialeteistas creen
que para cierta proposición P, tanto P como su negación, no-P, son
simultáneamente verdaderas. Sostiene que existen proposiciones
verdaderas cuyas negaciones son también verdaderas
 El dialeteismo no es en si mismo un sistema de lógica formal, pero
adherir al dialeteismo sin aceptar algún tipo de lógica paraconsistente es
aceptar cualquier cosa, trivialismo.
 Para Priest, la necesidad de postular la existencia de contradicciones
verdaderas proviene en primer lugar de la lógica, de la paradoja del
mentiroso y similares. En segundo lugar, de la teoría de conjuntos, ya
que los axiomas más intuitivos resultan en la paradoja de Russell, un
conjunto que pertenece y no pertenece a sí mismo. Y en tercer lugar, de
asuntos empíricos como el movimiento, las contradicciones legales y el
cambio. Su idea es que las teorías lógicas que evitan las contradicciones
por medio de restricciones (como la teoría de Alfred Tarski o la de
Bertrand Russell) se alejan cada vez más del uso que hacemos de
conceptos básicos como «verdad», y aun así no pueden evitar del todo
inconsistencias.
 A pesar de que la lógica del dialeteismo parece incompatible con la
clásica, todos los teoremas de la lógica clásica serán verdades en la
lógica del dialeteismo (aunque claro, a veces esas verdades serán
también falsedades).

20. DIALETEISMO
 Gödel mostró que en la teoria consistente de la aritmética habian sentencias
que ni elllas ni su negación se podían probar. Una teoría consistente que
contenga enunciados aritmetico no puede probar su consistencia en ella misma.
Para confundir aún más Gödel demostró que dada una teoría intuitivamente
correcta algunas sentencias improbables en el mismo sistema se podrían
demostrar que eran verdaderas.
 Las paradojas de la teoría de conjuntos constituyen pruebas para el dialeteismo.
Las soluciones que se han dado consisten en restringir el esquema de
comprensión. Aquí pasa lo mismo que en las paradojas semánticas.
 Pero un punto de vista dialeteico ni altera el esquema de comprensión ni niega
las contradicciones. Recordemos que una lógica es paraconsistente si no
permite la explosión, es decir, si sólo algunas fórmulas son verdaderas de tal
modo que no haya trivialidad.
 El primer teorema de Gödel dice que cualquier teoría consistente de la aritmética
es incompleta. La paraconsistencia muestra que esto es absolutamente
necesario.
 Demos ahora el segundo teorema de la aritmética: Si una teoría de la aritmética
es consistente, la consistencia de la teoría no puede ser probada en la teoría
misma. Se piensa que la consistencia y la no-trivialidad son iguales. Pero en la
lógica paraconsistente esto no es así. T por ejemplo es inconsistente pero no
trivial. Un problema serio sería considerar si la no-trivialidad de una
inconsistente pero no trivial teoría puede ser probada en la misma teoría es algo
real.

21. DIALETEISMO
 ¿Qué pasa con el programa de Hilbert? Si bien este programa requiere una entera
formalización de la matemática, las motivaciones de Hilbert no necesitan de la formalización
para ser consistente. Instrumentalmente, no importa lo que suceda fuera del núcleo. El punto
es que una extensión sea conservativa sobre el área nuclear. En este sentido, la teoría
inconsistente es compatible con el programa de Hilbert. Sin embargo, en este caso lo buscado
no es lo mismo que lo proporcionado.
 La paraconsistencia no destruye los Teoremas de Gödel. Supuesta la consistencia de una
teoría ella socaba cualquier consecuencia discutible. Pero estamos interesados en las teorías
verdaderas. Desde que el dialeteismo es tenido en cuenta no podemos asumir que cualquier
teoría matemática verdadera es consistente. ¿Qué pasa con la Aritmética? ¿podemos suponer
que es inconsistente?
 Por el teorema de Gödel mencionado ya: dada una axiomática e intuitivamente correcta teoría
de la aritmética; hay una sentencia que no es probable en la teoría, pero que puede ser
verdadera por un razonamiento intuitivo. Es la fórmula que dice de sí misma que no es
probable.
 γ = ¬π(<γ>)
 Al igual que los estudiantes aprenden matemáticas por absorción y de pronto reconocen
sentencias coherentes y las distinguen de las falsas; de la misma manera, podemos reconocer
un número infinito de oraciones gramaticales con sentido. Consideremos γ para este sistema
de prueba. Por el teorema, si es sistema es consistente, no podemos probarla en el sistema.
Pero (por el mismo teorema) podemos probarla en una forma intuitiva. Luego por modus
ponens, se sigue que el sistema es inconsistente. Este es un nuevo argumento a favor del
dialeteismo.
 La aritmética es inconsistente, pues podemos probar ciertas contradicciones como γ. De
hecho, ella es como la paradoja del mentiroso: “Esta oración no es demostrable”. Si es
probable, es verdadera y luego será no probable. Pero justamente lo que hemos demostrado
es que es demostrable. Esta será la paradoja de Gödel.

22. BIBLIOGRAFÍA
 Rodríguez Consuegra, Francisco (2007)
“Filosofía general y filosofía de la matemática
en Gödel” en Analítica, Nº 1, Lima, 2007, pp.
167-186.