1) El documento discute diferentes concepciones filosóficas sobre la naturaleza de las matemáticas, incluyendo el platonismo, logicismo, formalismo, intuicionismo y constructivismo. 2) También explora cómo estas concepciones influyen en los modelos de enseñanza de las matemáticas y 3) Resalta la importancia de considerar las matemáticas como una construcción humana que surge para resolver problemas, en lugar de objetos abstractos e independientes.

1. Reflexiones sobre la Filosofía de las
Matemáticas y la educación matemática
«Lineamientos curriculares»
Recopilado por GERMÁN GAMBA LÓPEZ

2. ¿QUE SON LAS MATEMATICAS?
 “Las matemáticas son la ciencia del orden, los
patrones, las estructuras y las relaciones lógicas”.
Keith Devlin.
 “Las matemáticas, son bellas, importantes y están
conectadas, tanto con la ciencia, como con la
cultura”. Hyman Bass.
¿CÓMO APRENDEN LOS SERES HUMANOS?
¿CÓMO APRENDEN LOS SERES HUMANOS MATEMATICAS?

3. Aunque la epistemología o teoría del conocimiento se refiere a una
rama de la filosofía, se está reconociendo la importancia que tiene una
visión adecuada de la naturaleza de las matemáticas como
condicionante de los distintos modelos de instrucción.
Si se piensa, por ejemplo, que los objetos matemáticos tienen una
existencia idealista, independiente del sujeto y de la realidad a la que
se aplican, e incluso de la cultura, entonces quedaría justificada una
instrucción basada en la presentación formal de estos objetos, los
cuales estarían determinados por sus definiciones y enunciados
respectivos.
Las aplicaciones, los problemas matemáticos, serían, en esta
concepción, un apéndice que se trataría después de que el alumno ya
ha aprendido las matemáticas y en cierto modo serían un "adorno".
En gran medida, la práctica de la enseñanza de las matemáticas en los
últimos años ha estado dominada por esta concepción.

4. Por el contrario,
Si se considera que las matemáticas son una construcción
humana que surge como consecuencia de la necesidad y
curiosidad del hombre por resolver cierta clase de problemas o
disposiciones del entorno;
Que, asimismo, en la invención de los objetos matemáticos
tiene lugar un proceso de negociación social y que estos
objetos son falibles y sujetos a evolución, entonces el
aprendizaje y la enseñanza debe tener en cuenta estos
procesos.
Esta última es la posición de las teorías psicológicas
constructivistas, que están apoyadas en un constructivismo
social como filosofía de las matemáticas, tal y como es descrito
por Paul Ernest (1991).

5. ORÍGENES DE LAS CONCEPCIONES ACERCA DEL CONOCIMIENTO
MATEMÁTICO ESCOLAR
PLATÓN SE PREGUNTABA
¿Hasta qué punto son reales los objetos de los que
se ocupan las matemáticas?
¿Son simples conceptos construidos por la mente
humana, inspirándose en ciertos objetos posibles?
¿Se trata de puras invenciones?
Los objetos matemáticos existen?
Los objetos matemáticos son abstractos?
Los objetos matemáticos son independientes de tu actividad racional?
Las verdades matemáticas se descubren o se inventan?

6.  EL PLATONISMO:
 Considera las matemáticas como un sistema de verdades que han
existido desde siempre e independientemente del ser humano
 Para Platón las Matemáticas están dotadas de un carácter de
necesidad divina, lo que sintetiza en la máxima «Dios
siempre hace Geometría»
 El platonismo matemático (rama del realismo filosófico) afirma
que los objetos y conceptos tratados por las matemáticas
no son simples invenciones existentes únicamente en la
mente de los matemáticos, sino que son realidades
inmateriales y atemporales.

7. El platonismo matemático es la posición de aquellos que mantienen que
los objetos matemáticos existen, que son abstractos y que son
independientes de nuestras actividades racionales.
Por ejemplo, un platónico podría afirmar que el número pi existe fuera
del espacio y el tiempo y que tiene las características que tiene
independientemente de cualquier actividad, física o mental, de los seres
humanos.
Así, de la misma forma que los electrones y los planetas existen
independientemente de nosotros, existirían los números y los conjuntos.
Y, al igual que las afirmaciones acerca de los electrones y los planetas
se hacen verdaderas o falsas al confrontarlas con los objetos a los que
hacen referencia y sus características perfectamente objetivas, las
afirmaciones acerca de los números y los conjuntos serán verdaderas o
falsas por el mismo procedimiento.
Consecuentemente, para el platónico las verdades matemáticas se
descubren, no se inventan.

8. EL LOGICISMO:
Las matemáticas son una rama de la
lógica, con vida propia , y son parte
de una disciplina universal que rige
todas las formas de argumentación.
La doctrina logicista tuvo su primer antecedente en
Gottfried Leibniz.
Sin embargo, el primer intento serio y detallado de
reducir la matemática a la lógica tuvo que esperar hasta
el siglo XIX, cuando Richard Dedekind y Giuseppe Peano
articularon los principios básicos de la matemática, y
Gottlob Frege desarrolló el primer sistema de lógica de
predicados.
B. Russell escribió junto con Alfred North Whitehead
(1861-1947) una obra fundamental en la lógica y la
filosofía de la matemática del siglo XX: Principia
Mathematica.
Gottfried Leibniz

9. Una de las tareas fundamentales del logicismo es la “logificación” de
las matemáticas, es decir, la reducción de los conceptos matemáticos
a los conceptos lógicos.
El primer paso fue la logificación del concepto de número. La
aritmética no sería mas que una lógica bien desarrollada; Todo
teorema aritmético sería una ley lógica derivada, y la aplicación de la
aritmética a la explicación de los fenómenos naturales sería un
tratamiento lógico de los hechos observados.
Frege hizo grandes aportes a lo que hoy conocemos como lógica
matemática: cálculo proposicional, reglas para el empleo de los
cuantificadores universales y existenciales, y el análisis lógico de la
prueba de inducción matemática.
1.Friedrich Ludwig Gottlob Frege fue un matemático, lógico y filósofo
alemán, padre de la lógica matemática y la filosofía analítica. Frege
es ampliamente reconocido como el mayor lógico desde Aristóteles
hasta la llegada de Kurt Gödel. Wikipedia

10. EL FORMALISMO:
Las matemáticas son una creación de la mente humana.
Considera que consisten solamente en axiomas, definiciones
y teoremas como expresiones formales que se ensamblan a
partir de símbolos que son manipulados o combinados de
acuerdo con ciertas reglas o convenios preestablecidos.
David Hilbert afirma que la matemática no se puede reducir a la lógica,
que otros axiomas y principios no lógicos deben añadirse.
En ese sentido aunque parte del tratamiento axiomático-formal del
logicismo, no está preocupado por las condiciones que imponen un
reduccionismo logicista.
La presencia de axiomas extra lógicos no son fuente de problemas en su
filosofía. Más aún, para él la presencia de nociones y elementos "ideales''
que no representan percepciones intuitivas no es contradictorio con la
consistencia de la matemática, para lo cual se basa en la tradición
clásica de las matemáticas (irracionales, complejos, etc.).

11. Los formalistas trataron de crear técnicas matemáticas mediante
las cuales probar que las matemáticas estaban libres de
contradicciones. Este fue el propósito inicial del formalismo.
Hay que destacar que, tanto formalistas como logicistas,
formalizaron las diversas ramas de las matemáticas, pero por
razones de distinta índole.
Los logicistas buscaban esa formalización para mostrar que la rama
de las matemáticas en cuestión pertenecía a la lógica; los
formalistas, por su parte, hicieron lo propio para probar que esa
rama específica de las matemáticas estaba libre de
contradicciones.
Entendidas así las dos escuelas (formalizadas), aparentemente, una
se confunde con la otra.
Véase
http://www.matematicasyfilosofiaenelaula.info/Epistemologia%202009/David%20HIlbert%20y%20el%20Formalismo.pdf

12. EL INTUICIONISMO
Considera las matemáticas como el fruto de la
elaboración que hace la mente a partir de lo que
percibe a través de los sentidos y también como el
estudio de esas construcciones mentales cuyo
origen o comienzo puede identificarse con la
construcción de los números naturales.
El principio básico del Intuicionismo es que
“Las matemáticas se pueden construir”
Que han de partir de lo intuitivamente dado, de lo
finito, y que sólo existe lo que en ellas haya sido
construido mentalmente con ayuda de la intuición.
Luitzen Brouwer

13. EL FUNDADOR DEL INTUICIONISMO MODERNO ES
LUITZEN BROUWER
Consideraba que en matemáticas la idea de
existencia es sinónimo de constructividad y que la
idea de verdad es sinónimo de demostrabilidad.
Si decimos que un enunciado matemático es
verdadero es porque tenemos una idea constructiva
de el.
Y si afirmamos que es falso es porque significa que si
suponemos que es verdadero tenemos una prueba
constructiva de que caemos en una contradicción
como la que uno es el mismo dos

14. EL CONSTRUCTIVISMO
Está muy relacionado con el Intuicionismo pues también
considera que las matemáticas son una creación de la mente
humana, y que únicamente tienen existencia real aquellos
objetos matemáticos que pueden ser construidos por
procedimientos finitos a partir de objetos primitivos.
Con las ideas constructivistas van muy bien algunos
planteamientos de Georg Cantor (1845-1918):
“La esencia de las matemáticas es su libertad.
Libertad para construir, libertad para hacer
hipótesis ”
(Davis, Hersh,1988: 290).

15. El Constructivismo matemático es muy coherente con la
Pedagogía Activa y se apoya en la Psicología Genética;
Se interesa
• Por las condiciones en las cuales la mente realiza
la construcción de los conceptos matemáticos.
• Por la forma como los organiza en estructuras y
• Por la aplicación que les da;
Todo ello tiene consecuencias inmediatas en el papel que
juega el estudiante en la generación y desarrollo de sus
conocimientos.
No basta con que el maestro haya hecho las
construcciones mentales; cada estudiante necesita a su
vez realizarlas; en eso nada ni nadie lo puede
reemplazar.

16. Paul Ernest ha propuesto una reconceptualización
del papel de la filosofía de las matemáticas, que
tenga en cuenta la naturaleza, justificación y
génesis tanto del conocimiento matemático como
de los objetos de las matemáticas, las
aplicaciones de éstas en la ciencia y en la
tecnología, y el hacer matemático a lo largo de la
historia.
Este planteamiento ha llevado a considerar que el
conocimiento matemático está conectado con la
vida social de los hombres, que se utiliza para
tomar determinadas decisiones que afectan a la
colectividad y que sirve como argumento de
justificación.
El constructivismo
social expone que
el ambiente de
aprendizaje más
óptimo es aquel
donde existe una
interacción
dinámica entre los
instructores, los
alumnos y las
actividades que
proveen
oportunidades para
los alumnos de
crear su propia
verdad, gracias a la
interacción con los
otros

17. EL SABER MATEMÁTICO Y LA
TRANSPOSICIÓN DIDÁCTICA
El saber constituido se presenta
bajo formas diversas,
por ejemplo la forma de preguntas
y respuestas.

18. La presentación axiomática es una presentación clásica de las
matemáticas. Además de las virtudes científicas que se le
conocen, parece estar maravillosamente adaptada para la
enseñanza.
Permite definir en cada instante los objetos que se estudian
con ayuda de las nociones introducidas precedentemente y,
así, organizar la adquisición de nuevos conocimientos con el
auxilio de adquisiciones anteriores.
Promete pues al estudiante y a su profesor un medio para
ordenar su actividad y acumular en un mínimo de tiempo un
máximo de “conocimiento” bastante cercano al “conocimiento
erudito”.
Evidentemente, debe estar complementada con ejemplos y
problemas cuya solución exige poner en acción esos
conocimientos.

19. Pero esta presentación elimina completamente la historia de esos
conocimientos.
Es decir, la sucesión de dificultades y problemas que han
provocado la aparición de los conceptos fundamentales.
Su uso para plantear nuevos problemas
La intrusión de técnicas y problemas nacidos de los progresos de
otros sectores.
El rechazo de ciertos puntos de vista que llevan a malentendidos, y
las innumerables discusiones al respecto.
Enmascara el “verdadero” funcionamiento de la ciencia, imposible
de comunicar y describir fielmente desde el exterior, para poner en
su lugar una génesis ficticia.

20. Para facilitar la enseñanza, aísla ciertas nociones y propiedades del
tejido de actividades en donde han tomado su origen, su sentido, su
motivación y su empleo.
Ella los transpone en el contexto escolar.
Los epistemólogos llaman transposición didáctica a esta
operación.
Ella tiene su utilidad, sus inconvenientes y su papel, aun
para la construcción de la ciencia.
Es a la vez inevitable, necesaria y en un sentido deplorable.
Debe mantenérsele vigilada

21. EL TRABAJO DEL MATEMÁTICO
Antes de comunicar lo que piensa haber
hallado, un investigador debe primero
determinarlo:
No es fácil distinguir en el laberinto de las
reflexiones, aquellas que son susceptibles de
convertirse en un saber nuevo e interesante
para los demás; las demostraciones
obtenidas son raramente las de las
conjeturas consideradas; debe emprenderse
todo un reordenamiento de los conocimientos
vecinos, anteriores o nuevos.
KARL FRIEDRICH
GAUSS (Brunswick,
actual Alemania, 1777 -
Gotinga, id., 1855)

22. Es preciso también suprimir todas las reflexiones inútiles, la
huella de los errores cometidos y de los procederes
erráticos.
Hay que ocultar las razones que han llevado en esta
dirección y las condiciones personales que han conducido al
éxito, problematizar hábilmente las notas, aun aquellas un
poco banales, pero evitar las trivialidades...
Hay también que buscar la teoría más general en la que
los resultados siguen siendo valederos....
ARQUIMEDES (Siracusa, actual Italia, h. 287 a.C.-id., 212 a.C.)

23. De esta manera, el productor del conocimiento despersonaliza,
descontextualiza y destemporaliza lo más posible sus
resultados
Ese trabajo es indispensable para que el
lector pueda tomar conciencia de esos
resultados y convencerse de su validez
sin seguir el mismo camino para su
descubrimiento, beneficiándose de las
posibilidades que se le ofrecen para su
utilización.
Sir Isaac Newton
(4 de enero, 1643 – 31 de marzo, 1727)
Entonces otros lectores transforman a su vez esos resultados, los
reformulan, los aplican, los generalizan, si son esas sus necesidades. Si
llega el caso los destruyen, ya sea identificándolos con conocimientos ya
existentes, ya sea incluyéndolos en resultados más importantes, o
simplemente olvidándolos... y hasta mostrándolos falsos.

24. De esta manera la organización de los
conocimientos depende, desde su origen, de las
exigencias impuestas a su autor para su
comunicación.
Ella no cesa de ser a continuación modificada
por los mismos motivos, hasta el punto de que su
sentido cambia muy profundamente:
La transposición didáctica se desarrolla en gran
parte en la comunidad científica y se prosigue en
los medios cultivados.
Esta comunidad funciona sobre la base de las
relaciones que sostienen el interés y el
compromiso, tanto personales como
contextuales de cuestiones matemáticas y la
pérdida de este interés hacia la producción de un
texto del conocimiento tan objetivo como sea
posible.
EVARISTE GALOIS
Nació : 25 de Octubre de
1811 en Bourg La Reine,
París, Francia
Falleció : 31 de Mayo de
1832 en París, Francia

25. EL TRABAJO DEL ALUMNO
El trabajo intelectual del alumno debe por
momentos ser comparable a esta actividad
científica.
Saber matemáticas no es solamente
aprender definiciones y teoremas, para
reconocer la ocasión de utilizarlas y
aplicarlas;
sabemos bien que hacer matemáticas
implica que uno se ocupe de problemas,
pero a veces se olvida que resolver un
problema no es más que parte del trabajo;
encontrar buenas preguntas es tan
importante como encontrarles soluciones.

26. Una buena reproducción por parte del alumno
de una actividad científica exigiría que él actúe,
formule, pruebe, construya modelos, lenguajes,
conceptos, teorías, que los intercambie con
otros, que reconozca las que están conformes
con la cultura, que tome las que le son útiles,
etcétera.
Para hacer posible semejante actividad, el
profesor debe imaginar y proponer a los
alumnos situaciones que puedan vivir y en las
que los conocimientos van a aparecer como la
solución óptima y descubrible en los problemas
planteados.

27. EL TRABAJO DEL PROFESOR
El trabajo del profesor es en cierta medida inverso
al trabajo del investigador, él debe hacer una
recontextualización y una repersonalización de
los conocimientos.
Ellos van a convertirse en el conocimiento de
un alumno, es decir en una respuesta bastante
natural a condiciones relativamente
particulares, condiciones indispensables para
que tengan un sentido para él.
Cada conocimiento debe nacer de la adaptación a
una situación específica, pues las probabilidades
se crean en un contexto y en unas relaciones con
el medio, diferentes de aquellos en donde se
inventa o se utiliza la aritmética o el álgebra.

28. “El profesor debe pues simular en su clase una micro
sociedad científica, si quiere que los conocimientos
sean medios económicos para plantear buenos
problemas y para solucionar debates, si quiere que
los lenguajes sean medios de dominar situaciones de
formulación y que las demostraciones sean pruebas.”
•Pero debe también dar a los alumnos los medios
para encontrar en esta historia particular que les ha
hecho vivir, lo que es el saber cultural y comunicable
que ha querido enseñarles.

29. Los alumnos deben a su turno
redescontextualizar y
redespersonalizar su saber
con el fin de identificar su
producción con el saber que
se utiliza en la comunidad
científica y cultural de su
época.
Claro está, se trata de una
simulación que no es la
“actividad científica”, así como
el conocimiento presentado de
manera axiomática no es el
“conocimiento”. (Brousseau, 1986).

30. Por transposición didáctica se designa, en sentido estricto,
“el paso de un contenido de saber preciso a una
versión didáctica de este objeto de saber” (Chevallard,1985).
Se puede recurrir al siguiente esquema para ilustrar esta
definición:
Saber disciplinar
Saber objeto de enseñanza
Saber en la escuela
(citado por Jean Portugais), en Didactique des mathematiques et formation des
enseignants, París, Peter Lang, 1995.

31. Una nueva visión del conocimiento matemático
en la escuela
El conocimiento matemático en la escuela es considerado
hoy como una actividad social que debe tener en cuenta los
intereses y la afectividad del niño y del joven.
Como toda tarea social debe ofrecer respuestas a una
multiplicidad de opciones e intereses que permanentemente
surgen y se entrecruzan en el mundo actual.
Su valor principal está en que organiza y da sentido a una
serie de prácticas, a cuyo dominio hay que dedicar esfuerzo
individual y colectivo.
La tarea del educador matemático conlleva entonces una gran
responsabilidad, puesto que las matemáticas son una
herramienta intelectual potente, cuyo dominio proporciona
privilegios y ventajas intelectuales.

32. Estas reflexiones han dado lugar a que la comunidad de educadores
matemáticos haya ido decantando una nueva visión de las matemáticas
escolares basada en:
 Aceptar que el conocimiento matemático es resultado de una evolución histórica,
de un proceso cultural, cuyo estado actual no es, en muchos casos, la
culminación definitiva del conocimiento y cuyos aspectos formales constituyen
sólo una faceta de este conocimiento.
 Valorar la importancia que tienen los procesos constructivos y de interacción
social en la enseñanza y en el aprendizaje de las matemáticas.
 Considerar que el conocimiento matemático (sus conceptos y estructuras),
constituyen una herramienta potente para el desarrollo de habilidades de
pensamiento.
 Reconocer que existe un núcleo de conocimientos matemáticos básicos que debe
dominar todo ciudadano.
 Comprender y asumir los fenómenos de transposición didáctica.
 Reconocer el impacto de las nuevas tecnologías tanto en los énfasis curriculares
como en sus aplicaciones.
 Privilegiar como contexto del hacer matemático escolar las situaciones
problemáticas.

33. Las nuevas tecnologías amplían el campo de indagación sobre el cual
actúan las estructuras cognitivas que se tienen, enriquecen el
currículo con las nuevas pragmáticas asociadas y lo llevan a
evolucionar.
El uso de los computadores en la educación matemática ha hecho más
accesible e importante para los estudiantes temas de la geometría, la
probabilidad, la estadística y el álgebra.
Las nuevas tecnologías amplían el campo de indagación sobre el cual
actúan las estructuras cognitivas que se tienen, enriquecen el
currículo con las nuevas pragmáticas asociadas y lo llevan a
evolucionar.
El uso efectivo de las nuevas tecnologías aplicadas a la educación es
un campo que requiere investigación, desarrollo y formación de los
docentes.