Teoria de conjuntos

1. Introducción a la informática
TEORIA DE CONJUNTOS
SET THEORY
Manuela López Cardona
Departamento de ingenierías, Universidad tecnológica de Pereira, Colombia
Correo-e: manulc1199@gmail.com
Resumen— Esta teoría fue creada por el alemán Georg Cantor,
tardo 23 años en formularla formalmente. Fue desde 1872 a 1895.
Cantor comenzó esta tarea por medio del análisis de las bases de
las matemáticas y explicó todo basándose en los conjuntos. Por
ejemplo: La definición de función se hace estrictamentepormedio
de conjuntos. Este monumental trabajo logró unificar a las
matemáticas y permitió la comprensión de nuevos conceptos. Pero
tambaleo con el surgimiento delas Paradojas 1901, encontraras
por Russell en primermomento, pero después fue descubierta por
mucha, incluso el mismo Cantor
Palabras clave— Conjuntos, Matemáticas, Operaciones, Teoría
Abstract— This theory was created by the German Georg Cantor,
took 23 years to formulate it formally. It was from 1872 to 1895.
Cantorbegan this task by analyzing the bases of mathematics and
explained everything based on the sets. For example: The
definition of function is strictly done by sets. This monumental
work managed to unify mathematics and allowed the
understanding of new concepts. But I staggerwith the emergence
of Paradoxes 1901, you will find by Russell at first, but later was
discovered by many, even Cantor himself
Key Word — Sets, Mathematics, Operations, Theory
I. INTRODUCCIÓN
La teoría de conjuntos es una rama de las matemáticas que
estudia las propiedades y relaciones de los conjuntos:
colecciones abstractas de objetos, consideradas como
objetos en sí mismas. Los conjuntos y sus operaciones más
elementales son una herramienta básica en la formulación de
cualquier teoría matemática.1
La teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como
para construir el resto de objetos y estructuras de interés en
matemáticas: números, funciones, figuras geométricas,...; y,
junto con la lógica, permite estudiar los fundamentos de
aquella. En la actualidad se acepta que el conjunto de
axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para
desarrollar toda la matemática.
Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio
per se, no sólo como herramienta auxiliar, en particular las
propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta
disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades
indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del
continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta
razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran
medida en la lógica.
El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos se atribuye a
Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones
conjuntistas «puras» del infinito en la segunda mitad del
siglo XIX, precedido poralgunas ideas de Bernhard Bolzano
e influido por Richard Dedekind. El descubrimiento de las
paradojas de la teoría cantoriana de conjuntos, formalizada
por Gottlob Frege, propició los trabajos de Bertrand Russell,
Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros a principios del
siglo XX.
La teoría de conjuntos más elemental es una de las
herramientas básicas del lenguaje matemático. Dados unos
elementos, unos objetos matemáticos como números o
polígonos por ejemplo, puede imaginarse una colección
determinada de estos objetos,un conjunto.Cada uno de estos
elementos pertenece al conjunto, y esta noción de
pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica.
Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como
elementos de otros conjuntos.La pertenencia de un elemento
a a un conjunto A se indica como a ∈ A.
Una relación entre conjuntos derivada de la relación de
pertenencia es la relación de inclusión. Una subcolección de
elementos B de un conjunto dado A es un subconjunto de A,
y se indica como B ⊆
II. CONTENIDO
2.1 ALGEBRA DE CONJUNTOS
Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los
conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones
aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:

2. Introduccióna la informática2
2.1.1 Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A
∪ B que contiene cada elemento que está por lo menos en uno
de ellos.
2.1.2 Intersección.La intersección de dos conjuntos A y B es el
conjunto A ∩ B que contiene todos los elementos comunes de
A y B.
2.1.3 Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el
conjunto A B que contiene todos los elementos de A que no
pertenecen a B.
2.1.4 Complemento. El complemento de un conjunto A es el
conjunto A∁ que contiene todos los elementos (respecto de
algún conjunto referencial) que no pertenecen a A.
2.1.5 Diferencia simétrica La diferencia simétrica de dos
conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos
que pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la
vez.

3. Scientia et Technica Año XVIII, No xx, Mesxxde Añoxx. UniversidadTecnológica de Pereira. 3
2.1.6 Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos
conjuntos A y B es el conjunto A × B que contiene todos los
pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento a pertenece a A y
su segundo elemento b pertenece a B.
2.2 TEORIA AXIOMATICA DE CONJUNTOS
La teoría informal de conjuntos apela a la intuición para
determinar cómo se comportan los conjuntos.Sin embargo, es
sencillo plantear cuestiones acerca de las propiedades de estos
que llevan a contradicción si se razona de esta manera, como la
famosa paradoja de Russell. Históricamente ésta fue una de las
razones para el desarrollo de las teorías axiomáticas de
conjuntos,siendo otra el interés en determinar exactamente qué
enunciados acerca de los conjuntos necesitan que se asuma el
polémico axioma de elección para ser demostrados.
Las teorías axiomáticas de conjuntos son colecciones precisas
de axiomas escogidos para poder derivar todas las propiedades
de los conjuntos con el suficiente rigor matemático.
2.3 PROBLEMAS RESUELTOS
De los 100 alumnos de un salón, 70aprobaron el curso “M”, 80
aprobaron “H”y 78 aprobaron el curso “N”. si los 90aprobaron
exactamente 2 cursos;¿Cuántos aprobaron los tres cursos?
a + n + m + x = 70
b + n + p + x = 80
c + m + p + x = 79
(160 – x ) + x + ( 135 - x ) + 30 =300
X= 25
III. BIBLIOGRAFIA
[1]. https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_co
njuntos
[2]. https://es.scribd.com/doc/18561472/Teoria-de-
Conjuntos