La parábola es una sección cónica definida como el lugar geométrico de los puntos equidistantes de una línea llamada directriz y un punto fuera de ella llamado foco. Tiene aplicaciones en trayectorias balísticas y de cuerpos bajo gravedad. La elipse es una curva cerrada simétrica resultante de cortar un cono oblicuamente, y describe órbitas planetarias con el sol en uno de sus focos. Ambas fueron estudiadas por matemáticos griegos como Apolonio de Perge.

1. Ecuación de la parábola
es la sección cónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a su generatriz.nota 1 Se
define también como el lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta
llamada directriz,nota 2 y un punto exterior a ella llamado foco. En geometría proyectiva, la parábola se
define como la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntos homólogos en una
proyectividad semejante o semejanza.
La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas debido a que su forma se corresponde
con las gráficas de las ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, son parábolas las trayectorias ideales de los
cuerpos que se mueven bajo la influencia exclusiva de la gravedad (ver movimiento parabólico y
trayectoria balística
Historia
La tradición reza que las secciones cónicas fueron descubiertas por Menecmo en su estudio del
problema de la duplicación del cubo,1 donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte
de una parábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente por Proclo y Eratóstenes.2
Sin embargo, el primero en usar el término parábola fue Apolonio de Perge en su tratado Cónicas,3
considerada obra cumbre sobre el tema de las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de
las tangentes a secciones cónicas.Si un cono es cortado por un plano a través de su eje, y también es
cortado por otro plano que corte la base del cono en una línea recta perpendicular a la base del
triángulo axial, y si adicionalmente el diámetro de la sección es paralelo a un lado del triángulo axial,
entonces cualquier línea recta que se dibuje desde la sección de un cono a su diámetro paralelo a la
sección común del plano cortante y una de las bases del cono, será igual en cuadrado al rectángulo
contenido por la línea recta cortada por ella en el diámetro que inicia del vértice de la sección y por otra
línea recta que está en razón a la línea recta entre el ángulo del cono y el vértice de la sección que el
cuadrado en la base del triángulo axial tiene al rectángulo contenido por los dos lados restantes del
triángulo. Y tal sección será llamada una parábola
Determinación de la ecuación de una parábola que cumple condiciones prescritas
(a) Encuentra la ecuación de una parábola que tenga vértice en el origen, abra a la derecha y pase por el
punto P(7, -3).
Una ecuación de una parábola con vértice en el origen que abre a la derecha es de forma
para algún número . si P(7, -3) está en la gráfica, entonces podemos sustituir 7 por y -3 por
para encontrar :
, o bien, .
Por tanto, una ecuación de la parábola es .

2. (b) Halla el foco de la parábola.
El foco está a una distancia a la derecha del vértice. Como , tenemos:
.
Así, el foco tiene las coordenadas .
Ejemplo # 1
Encontrar el foco y la directriz de y dibujarla
Foco = Directriz
Ejemplo # 2

3. Elipse
La elipse es una línea curva, cerrada y plana cuya definición más usual es:Una elipse es la curva
simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –
con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.1 Una elipse que gira alrededor
de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje
principal genera un esferoide alargado.
Historia
La elipse, como curva geométrica, fue estudiada por Menecmo, investigada por Euclides, y su nombre se
atribuye a Apolonio de Perge. El foco y la directriz de la sección cónica de una elipse fueron estudiadas
por Pappus. En 1602, Kepler creía que la órbita de Marte era ovalada, aunque más tarde descubrió que
se trataba de una elipse con el Sol en un foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra «focus» y publicó su
descubrimiento en 1609. Halley, en 1705, demostró que el cometa que ahora lleva su nombre trazaba
una órbita elíptica alrededor del Sol.
Elementos de una elipse
La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares entre sí:
El semieje mayor (el segmento C-a de la figura), y
el semieje menor (el segmento C-b de la figura).
Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente.
Ecuación reducida de la elipse
Tomamos como centro de la elipse el centro de coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de
coordenadas. Las coordenadas de los focos son:

4. F'(-c, 0) y F(c, 0)
Cualquier punto de la elipse cumple:
Esta expresión da lugar a:
Realizando las operaciones llegamos a:
Ejemplo
Hallar los elementos característicos y la ecuación reducida de la elipse de focos: F'(-3,0) y F(3, 0), y su
eje mayor mide 10.
Semieje mayor
Semidistancia focal
Semieje menor
Ecuación reducida
Excentricidad