Este documento define y explica las características básicas de las cónicas. Explica que una cónica es el lugar geométrico de puntos que cumplen ciertas relaciones de distancias y que incluyen elipses, parábolas e hipérboles. Describe las propiedades clave de cada tipo de cónica, incluidas sus fórmulas, focos, ejes y vértices. También proporciona información importante sobre las propiedades métricas de las cónicas.

1. CÓNICAS
F Á T I M A G U T I É R R E Z 1 5 D E O C T U B R E D E L 2 0 1 5
M O N T S E R R A T I Z Q U I E R D O L I M Ó N 2 ° C P R E P A R A T O R I A

2. ¿QUÉ ES UNA CÓNICA?
• Definición clásica: es la sección obtenida al cortar un cono
por un plano
• Definición analítica: una cónica es el lugar geométrico de
los puntos que verifican una determinada relación de
distancias
También hay diferentes puntos de vista como :
• El histórico: las cónicas deben su nombre a su obtención
mediante diferentes secciones de un cono circular recto

3. • Proyectivo: la proyección de la misma sobre un plano inclinado es una
elipse
• Analítico: Mediante la excentricidad. Lugar geométrico de los puntos P cuya
distancia OP a un punto fijo, llamado foco, es a veces su distancia PK a una
recta fija, llamada directriz, donde e es una constante positiva, llamada
excentricidad
CÓNICA = {P 2 R2 : d(P,O) = e · d(P,K)}, e 0.

4. • ELIPSE: Una elipse es el lugar geométrico de un
punto que se mueve en un plano de tal manera que la
suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese
plano es siempre igual a una constante, mayor que la
distancia entre 10s dos puntos.
• HIPERBOLA: Es el lugar geométrico de los puntos del
plano y su diferencia de distancias a dos puntos fijos
(llamados focos) es constante
• PARÁBOLA: es el lugar geométrico de un punto que
se mueve en un plano de tal manera que su distancia
de una recta fija, situada en el plano , es siempre igual
a su distancia de un punto fijo del plano y que no
pertenece a la recta.

5. FORMULAS

6. PROPIEDADES MÉTRICAS DE LAS CÓNICAS
• Sea C una cónica que no sea una parábola. Entonces:
1. Una recta es un eje de C si y sólo si es un diámetro perpendicular a su
diámetro conjugado.
2. Un punto de C es un vértice si y sólo si está sobre un eje.
• Sea C una cónica. Un eje de C es una recta tal que la reflexión respecto a
ella deja invariante a C. Un foco F de C es un punto tal que los pares de
rectas conjugadas respecto a C que pasan por F son perpendiculares.
• Un vértice de C es un punto de C tal que su tangente es perpendicular al
diámetro que pasa por él.

7. DATOS IMPORTANTES
• Al punto fijo se le llama FOCO y se ubica sobre la directriz
• Una hipérbola o una elipse real o imaginaria que no sea una circunferencia
tiene exactamente dos focos. Ambos están sobre un eje y simétricamente
situados respecto al centro. El eje que contiene a los focos se llama eje
mayor de la cónica, mientras que al otro se le llama eje menor. Si la cónica
es real los focos son puntos interiores.
• La elipse, la parábola y la hipérbola cada una tiene su formula
• Muchas propiedades importantes de la parábola están asociadas con la
tangente en un punto cualquiera de la curva.
• Un elemento importante de una elipse es su excentricidad que se define
como la razón c/a y se representa usualmente por la letra e .
• La hipérbola puede ser equilátera o rectangular.

8. REFERENCIAS
Paginas web
http://www.ehu.eus/~mtpalezp/conicas.pdf
Libros
• Geometría, Carlos Iborra castillo, Pág. 336 a 345
• Geometría analítica, Lehmann, Limusa, Noriega editores pág.. 167 a la 200