Las secciones cónicas como la elipse, parábola e hipérbola han sido estudiadas desde la antigüedad por matemáticos como Menecmo, Euclides y Arquímedes. Apolonio de Pergamo las estudió en profundidad y estableció sus definiciones formales. En el siglo XVII, Descartes introdujo el estudio analítico de las cónicas mediante ecuaciones, mientras que Kepler descubrió que los planetas se mueven en órbitas elípticas. Hoy en día, las secciones cónicas

1. Evolución Histórica
de la Matemática

2. Evolución Histórica del concepto

3. En el siglo IV a.C. Entre otros, surge
Menecmo como el primer geómetra
que trabajo con secciones cónicas

4. También Euclides escribió cuatro
libros sobre secciones cónicas pero
se perdió completamente

5. Arquímedes también las estudio y hallo
La relación que hay El área del segmento
entre el área de un parabólico (arriba) es
círculo y la de la elipse
igual a 4/3 de la del
triángulo inscrito (abajo)

6. Sin embargo, nadie llego a trabajarlas
tanto como Apolonio de Pergamo
Conocido como Escribió ocho libros de
“El Gran Geómetra” secciones cónicas

7. ¿ Cómo las halla ?

8. A él se deben las siguientes definiciones
Superficie Cónica
Generatriz
Vértice y eje
Cono (Recto y Oblicuo)
Parábola
Hipérbola
Elipse
Circunferencia

9. En el siglo IV d.C. Pappus demostró que la
excentricidad de cualquier cónica
Pappus de Alejandría
La razón entre las distancias de
cualquier punto de una cónica
a una recta fija (directriz) y a un
punto fijo (foco) es constante

10. Clasificación de las cónicas según
su excentricidad
Si e < 1
Se trata de una Elipse
Si e = 1
Se trata de una
Parábola
Si e > 1
Se trata de una
Hipérbola

11. Hasta el siglo XVII no hubo mayores
aportes, ya que es en él precisamente que
surge la llamada Geometría Analítica
René Descartes Pierre Fermat

12. La Teoría de basa en dos conceptos:
Ubicación de puntos
Unir álgebra y geometría
en ejes cartesianos

13. Descartes examino la clase de curvas
del plano que están representadas por
ecuaciones de segundo grado con dos
variables; cuya expresión general es:
Llegando las siguientes conclusiones
Una Elipse si
Una Parábola si
Una Hipérbola si

14. Estudiando las observaciones hechas por
Tycho Brahe sobre el movimiento del
planeta Marte
Kepler descubrió que los planetas giran alrededor
del Sol descubriendo trayectorias elípticas y de
modo tal que el Sol, se encuentra ubicado
precisamente en uno de sus focos

15. En 1809 Gauss Publico su
segunda obra maestra
“Teoría del movimiento de los
cuerpos celestres que giran
alrededor del sol en
secciones cónicas”

16. Analicemos sus propiedades

17. ELIPSE
Es el lugar geométrico de los puntos del
plano cuya suma de distancias a dos
puntos fijos llamados focos es constante
Como curva geométrica, fue estudiada
por Menecmo, investigada por Euclides, y su
nombre se atribuye a Apolonio de Perge.
El foco y la directriz de la elipse fueron
estudiadas por Pappus

18. Construcción por Papiroflexia
Tomar un papel y dibuja en él una circunferencia lo más
grande posible (utilizar papel de calcar)
Pintar un punto dentro de la circunferencia (lejos de su
centro)
Plegar el papel de manera que, mirando a
trasluz, coincida un punto de la circunferencia con el
punto pintado dentro de ella

19. Elementos que la componen

20. Excentricidad

21. PARÁBOLA
Es un lugar geométrico de los puntos del plano
cuya distancia a un punto fijo, llamado foco es
igual a la distancia a una recta fija,
llamada directriz
El primero en usar el término parábola fue Apolonio
de Perge en su tratado Cónicas, donde se desarrolla
el estudio de las tangentes a secciones cónicas.
También fue estudiada por Arquímedes, en la
búsqueda de una solución para un problema famoso:
la cuadratura del círculo, dando como resultado el
libro Sobre la cuadratura de la parábola

22. Construcción por Papiroflexia
Pintar una recta (cerca de borde
corto del papel y paralela al mismo)
Pinta un punto no demasiado
lejos de la recta en el lado que
tienes más espacio y lejos de los
bordes
Pliega el papel haciendo que al
trasluz coincida un punto de la
recta con el que has pintado. Marca
bien el pliegue

23. Elementos que la componen
Al segmento de recta comprendido por la
parábola, que pasa por el foco y es paralelo a
la directriz, se le conoce como lado recto. Su
longitud es siempre 4 veces la distancia focal

24. Semejanza
Dado que la parábola es una sección
cónica, puede describirse como la única que
tiene excentricidad e = 1. La unicidad se refiere a
que todas las parábolas son semejantes, es
decir, tienen la misma forma, salvo su escala.
Un argumento geométrico informal es que al ser
la directriz una recta infinita, al tomar cualquier
punto y efectuar la construcción, se obtiene
siempre la misma curva, salvo su escala, que
depende de la distancia del punto a la directriz

25. HIPÉRBOLA
La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos
del plano cuya diferencia de distancias a dos
puntos fijos, llamados focos es constante
Aplicaciones en óptica
El sistema de navegación Loran
Trayectoria de los cometas
El reloj solar

26. Construcción por Papiroflexia
Se procede de la misma manera que con la elipse
pero pintando el punto fuera de la circunferencia en
lugar de dentro
Los focos de la hipérbola resultante también son el
punto dibujado y el centro de la circunferencia.

27. Las asíntotas de la hipérbola se muestran
como líneas discontinuas azules que se
cortan en el centro de la hipérbola , C.
Los dos puntos focales se
denominan F1 y F2, la línea negra que los
une es el eje transversal. La delgada línea
perpendicular al eje transversal son las
dos directrices, D1 y D2. La
excentricidad e (e>1), es igual al cociente
entre las distancias (en verde) desde un
punto P de la hipérbola a uno de los
focos y su correspondiente directriz. Los
dos vértices se encuentran en el eje
transversal a una distancia ±a con
respecto al centro

28. Características importantes
Si la excentricidad es grande los focos están
cerca del centro y las ramas de la hipérbola son
casi rectas verticales. Si la excentricidad es
cercana a uno los focos están lejos del centro y
las ramas de la hipérbola son más puntiagudas.
La propiedad reflectora de la hipérbola afirma
que un rayo dirigido a uno de los focos de ella se
refleja en el otro

29. El hombre preocupado por
establecer siempre un equilibrio en
la dualidad estética y funcionalidad
a optado por recurrir a formas cada
vez más sofisticadas y uno de los
recursos que cuenta para definir
patrones en los campos de
arquitectura, ingeniería, diseños de
mueble son las secciones cónicas

32. Aplicaciones en general
Astronomía
Orbita de los cometas
Medicina
Cd
Numeración de las armas
Circunferencia en el transporte

33. Tradicionalmente, el estudio de las
cónicas es de tipo analítico, destinado a
obtener ecuaciones o graficas

34. Un enfoque práctico, permite visualizar la
belleza que esconden estas curvas al estudiar
sus propiedades por métodos geométricos

35. "LA CIENCIA ES UNA DE LAS GRANDES
AVENTURAS DE LA RAZA HUMANA,
TAN FANTASTICA Y EXIGENTE COMO
LOS CUENTOS DE HÉROES Y DIOSES,
NACIONES Y ESTADOS, ESCRITORES Y
POETAS... ESA ES MI CONVICCIÓN Y
PIENSO QUE LA CIENCIA PODRÍA Y
DEBERÍA SER ENSEÑADA DE MANERA
TAL QUE SE TRANSMITA UNA
SOSPECHA DE ESE ESPÍRITU A LA
MENTE DEL ESTUDIANTE"
(MAX BORN)