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La ec. continua de la recta                Multiplicamos en cruz para eliminar los denominadores     v2 x       v2 xo     ...
Ejemplos1) Encontrar todas las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene devector director (1,-1) 2) Dib...
2.- POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTASDadas las rectas r: Ax + By + C = 0 y s: A’x + B’y + C’ = 0 para averiguar su posici...
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3.- RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARESDos rectas son paralelas si tienen la misma inclinación, es decir                   ...
QUE ES UNA         CIRCUNFERENCIASe llama circunferencia al conjunto de puntoscuya distancia a otro punto llamado centro e...
Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en                     la circunferencia:Centro, el punto interior e...
Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de esta. Sus lados ...
Longitud de la circunferencia La longitud de una circunferencia                  es:   donde es la longitud del radio.Pues...
Ecuación vectorial de la circunferencia La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene  por ecuación vectorial...
CircunferenciaCircunferencia, en geometría, curva plana cerrada en la que cada uno de suspuntos equidista de un punto fijo...
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA ( C(a , b)) :                                                      d (P, C )               r...
Desarrollo de la ecuación
Parábola:Una de las cónicas. Se trata de una curva plana, abierta, que se obtiene al cortar unasuperficie cónica de eje e ...
ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA (Vértice (0,0)):                                                            d (P, F )             ...
Desarrollo de la ecuación
•     DEFINICIÓN DE PARÁBOLA.         Se llama parábola a la curva plana, abierta, y de una sola rama,   que determina el ...
•ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA.•F es el foco de la parábola y s es la directriz.•A la distancia entre la directriz y el foco la...
•    PROPIEDADES DE LA PARÁBOLA. Como hemos visto, la parábola es una curva plana, abierta y de una rama. Dichaparábola, ...
LA ELIPSE• Una elipse es el lugar geométrico de los puntos P (x,y),  cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F’  (f...
ECUACIÓN REDUCIDA DE LA        ELIPSE.
ECUACIÓN REDUCIDA DE LA        ELIPSE.
Elipse - ejemplos
Elipse - excentricidad
Elipse - excentricidad• Mide el grado de achatamiento de la  elipse:
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  1. 1. Una recta queda determinada si conocemos-Un punto y un vector director- Dos puntos.- Un punto y su pendiente. A) DADOS UN PUNTO Y UN VECTOR Dado el punto A(xo, yo) y el vector direccional de la recta v=(v1,v2) y un punto desconocido X(x,y) de la recta Nos fijamos OX OA tv ( x, y ) ( xo , yo ) t ( v1 , v 2 )
  2. 2. Operamos y obtenemos( x, y ) ( xo , yo ) t ( v1 , v 2 ) x xo tv 1( x, y ) ( xo , yo ) ( tv 1 , tv 2 ) Es decir y yo tv 2( x, y ) ( xo tv 1 , y o tv 2 ) Ec. paramétricas de la rectaAhora despejamos la t en las dos ecuaciones x xo tv1 x xo t v1 Igualando obtenemos y yo tv 2 y yo t x xo y yo v2 v1 v2
  3. 3. La ec. continua de la recta Multiplicamos en cruz para eliminar los denominadores v2 x v2 xo v1 y v1 y o Pasamos al primer miembro y cambiamos las letras v2 x v1 y v1 y o v2 xo 0 Ax By C 0 A B C Ec general, implícita o cartesiana de la recta Ahora vamos a despejar la y para obtener otra ecuación By Ax C A C y x y mx n B B A v2 m tg m n Ec. explícita de la recta B v1Al número m = -A/B se le llama pendiente y nos indica la inclinación de la rectay al número n= -C/B ordenada en el origen indica el punto de corte con el eje Y
  4. 4. Ejemplos1) Encontrar todas las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene devector director (1,-1) 2) Dibujar las rectas: r: 2x – y – 3 = 0 s: y = 2x + 1 t: 2x - 3y + 6 = 03) La siguiente gráfica muestra una recta.a) Escribe la ecuación continua de la rectab) ¿Pertenece el punto (-6,4) a la recta?
  5. 5. 2.- POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTASDadas las rectas r: Ax + By + C = 0 y s: A’x + B’y + C’ = 0 para averiguar su posiciónresolvemos el sistema formado por ellas y puede suceder: Sistema Una solución Sin solución Infinitas solucionesRectas secantes Rectas paralelas Rectas coincidentes r r s r=s s A B C A B C A B A B C A B C A B
  6. 6. x 2y 4 2x 4y 8 3x 4y 6 x 2y 8 x 2y 4 x 2y 8Ejemplo - Halla la posición relativa de la recta y = 3x - 1 con cada una de lassiguientes. A) y = -3x + 2 B) -15x + 5y + 1 = 0
  7. 7. 3.- RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARESDos rectas son paralelas si tienen la misma inclinación, es decir mr = m sEjemplo – Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (5,1) y es paralela ala recta x + 2y – 4 = 0Dos rectas son perpendiculares si se cortan formando cuatro ángulos rectos,además se cumple mr · ms = -1Ejemplo – Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (5,1) y esperpendicular a la recta x + 2y – 4 = 0
  8. 8. QUE ES UNA CIRCUNFERENCIASe llama circunferencia al conjunto de puntoscuya distancia a otro punto llamado centro es siempre la misma. Los puntos de lacircunferencia y los que se encuentran dentrode ella forman una superficie llamada círculo.
  9. 9. Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia; Radio, el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia; Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia (necesariamente pasa por el centro); Cuerda, el segmento que une dos puntos de lacircunferencia; (las cuerdas de longitud máxima son los diámetros) Recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;Recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto; Punto de tangencia, el de contacto de la recta tangente con la circunferencia;Arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia; Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos de un diámetro.
  10. 10. Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de esta. Sus lados contienen a dos radios.La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca. Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas. La amplitud de un ángulo inscrito en una semi circunferenciaequivale a la mayor parte del ángulo exterior que limita dicha base. (Véase: arco capaz.) Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia. La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca. Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia. La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones. Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de la circunferencia
  11. 11. Longitud de la circunferencia La longitud de una circunferencia es: donde es la longitud del radio.Pues (número pi), por definición, es el cociente entre la longitud de la circunferencia y el diámetro. .
  12. 12. Ecuación vectorial de la circunferencia La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene por ecuación vectorial: . Donde es el parámetro de la curva, además cabe destacar que . Se puede deducir fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que lacomponente X y la componente Y, al cuadrado y sumadas deben dar por resultado el radio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio esta misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando el parámetro Z libre.
  13. 13. CircunferenciaCircunferencia, en geometría, curva plana cerrada en la que cada uno de suspuntos equidista de un punto fijo, llamado centro. d(P,C)=rdonde P, es un punto cualesquiera perteneciente a la circunferenciaC, es el centro de la circunferenciar, es el radio de la circunferencia. Elementos de la circunferencia
  14. 14. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA ( C(a , b)) : d (P, C ) rP ( x, y ) 2 2 d (P,C ) (x a) (y b) rC (a, b) desarrolla ndo la ecuación ...... 2 2 2 2 2 x a 2 ax y b 2 by r 2 2 2 llamando : A 2a, B 2b, C a b r x2 y2 Ax By C 0 Ecuación general de la circunferencia
  15. 15. Desarrollo de la ecuación
  16. 16. Parábola:Una de las cónicas. Se trata de una curva plana, abierta, que se obtiene al cortar unasuperficie cónica de eje e y ángulo α mediante un plano P que no pasa por el vértice y quecorta a e bajo el mismo ángulo α. La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz. d(P,F)=d(P,s) Elementos de la parábola La directriz que es la recta s. El vértice V. El foco F. Se llama eje de la parábola a la recta perpendicular al eje que pasa por el foco. La distancia entre el foco y la directriz es el parámetro p
  17. 17. ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA (Vértice (0,0)): d (P, F ) d (P, s)P ( x, y ) 2 2 d (P, F ) PF (x c) y p 2 2 pF 0, (x c) y y 2 p 2 d (P, s) y 2 desarrolla ndo la ecuación ...... 2 x py py 2 x 2 py Ecuación de la parábola
  18. 18. Desarrollo de la ecuación
  19. 19. • DEFINICIÓN DE PARÁBOLA. Se llama parábola a la curva plana, abierta, y de una sola rama, que determina el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F llamado foco, y de una recta fija llamada d, llamada directriz. PM=PF Si el plano secante es paralelo a una sola generatriz de la superficie,a esta generatriz no la cortará y la curva será abierta con un punto en elinfinito; la sección que se produce es una parábola.
  20. 20. •ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA.•F es el foco de la parábola y s es la directriz.•A la distancia entre la directriz y el foco la llamamos p.•La reta e que pasa por F y es perpendicular a s es el eje.•El vértice es el punto V, que es la intersección del eje con la parábola.•Si situamos la parábola en unos ejes cartesianos,•con vértice en el origen de coordenadas y cuyo eje es el eje Y, se cumple que: PARÁMETROS DE LA PARÁBOLA.La parábola solo tiene un parámetro, “P” que configura y da forma a la curva. p = FD
  21. 21. • PROPIEDADES DE LA PARÁBOLA. Como hemos visto, la parábola es una curva plana, abierta y de una rama. Dichaparábola, tiene un vértice v y un eje de simetría que pasa por v y por el foco y esperpendicular a la directriz. La tangente en el vértice de la curva es paralela a ladirectriz. La parábola tiene un eje perpendicular a la directriz, que contiene al foco F y alvértice V. El eje de la curva es a su vez eje de simetría. El vértice, como otro punto cualquiera, equidista de la directriz y del foco, por lotanto estará colocado en el punto medio del segmento AF. La directriz es el lugar geométrico de los puntos simétricos del foco respecto decada una de las tangentes de la parábola. La directriz d de la curva hace decircunferencia focal de la parábola, en este caso de radio infinito. La tangente en el vértice, que es una recta, hace de circunferencia principal y sedefine como en las curvas anteriores. El foco equidista del punto de tangencia de una tangente y del punto donde ésta corta al ejede la curva
  22. 22. LA ELIPSE• Una elipse es el lugar geométrico de los puntos P (x,y), cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F’ (focos)es constante.• Para su construcción manual, se toma un segmento de longitud 2a y se sujetan sus extremos en F y F’, los datos, si se mantienen el segmento tirante y se va girando se obtiene el gráfico de la elipse.
  23. 23. ECUACIÓN REDUCIDA DE LA ELIPSE.
  24. 24. ECUACIÓN REDUCIDA DE LA ELIPSE.
  25. 25. Elipse - ejemplos
  26. 26. Elipse - excentricidad
  27. 27. Elipse - excentricidad• Mide el grado de achatamiento de la elipse:

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