4. Una recta queda determinada si conocemos
-Un punto y un vector director
- Dos puntos.- Un punto y su pendiente.
A) DADOS UN PUNTO Y UN VECTOR
Dado el punto A(xo, yo) y el vector
direccional de la recta v=(v1,v2) y
un punto desconocido X(x,y) de la
recta
Nos fijamos
OX OA tv
( x, y ) ( xo , yo ) t ( v1 , v 2 )
5. Operamos y obtenemos
( x, y ) ( xo , yo ) t ( v1 , v 2 )
x xo tv 1
( x, y ) ( xo , yo ) ( tv 1 , tv 2 ) Es decir
y yo tv 2
( x, y ) ( xo tv 1 , y o tv 2 )
Ec. paramétricas de la recta
Ahora despejamos la t en las dos ecuaciones
x xo
tv1 x xo t
v1 Igualando obtenemos
y yo
tv 2 y yo t x xo y yo
v2
v1 v2
6. La ec. continua de la recta
Multiplicamos en cruz para eliminar los denominadores
v2 x v2 xo v1 y v1 y o
Pasamos al primer miembro y cambiamos las letras
v2 x v1 y v1 y o v2 xo 0 Ax By C 0
A B C Ec general, implícita o cartesiana de la recta
Ahora vamos a despejar la y para obtener otra ecuación
By Ax C A C
y x y mx n
B B
A v2
m tg m n Ec. explícita de la recta
B v1
Al número m = -A/B se le llama pendiente y nos indica la inclinación de la recta
y al número n= -C/B ordenada en el origen indica el punto de corte con el eje Y
7. Ejemplos
1) Encontrar todas las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (1, 2) y tiene de
vector director (1,-1)
2) Dibujar las rectas:
r: 2x – y – 3 = 0
s: y = 2x + 1
t: 2x - 3y + 6 = 0
3) La siguiente gráfica muestra una recta.
a) Escribe la ecuación continua de la recta
b) ¿Pertenece el punto (-6,4) a la recta?
8. 2.- POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
Dadas las rectas r: Ax + By + C = 0 y s: A’x + B’y + C’ = 0 para averiguar su posición
resolvemos el sistema formado por ellas y puede suceder:
Sistema
Una solución Sin solución Infinitas soluciones
Rectas secantes Rectas paralelas Rectas coincidentes
r
r s
r=s
s
A B C A B C
A B
A' B' C' A' B' C'
A' B'
9. x 2y 4 2x 4y 8
3x 4y 6
x 2y 8 x 2y 4
x 2y 8
Ejemplo - Halla la posición relativa de la recta y = 3x - 1 con cada una de las
siguientes. A) y = -3x + 2 B) -15x + 5y + 1 = 0
10. 3.- RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
Dos rectas son paralelas si tienen la misma inclinación, es decir
mr = m s
Ejemplo – Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (5,1) y es paralela a
la recta x + 2y – 4 = 0
Dos rectas son perpendiculares si se cortan formando cuatro ángulos rectos,
además se cumple
mr · ms = -1
Ejemplo – Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (5,1) y es
perpendicular a la recta x + 2y – 4 = 0
11.
12. QUE ES UNA
CIRCUNFERENCIA
Se llama circunferencia al conjunto de puntos
cuya distancia a otro punto llamado centro es
siempre la misma. Los puntos de la
circunferencia y los que se encuentran dentro
de ella forman una superficie llamada círculo.
13. Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en
la circunferencia:
Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos
de la circunferencia;
Radio, el segmento que une el centro con un punto
cualquiera de la circunferencia;
Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la
circunferencia (necesariamente pasa por el centro);
Cuerda, el segmento que une dos puntos de la
circunferencia; (las cuerdas de longitud máxima son los
diámetros)
Recta secante, la que corta a la circunferencia en dos
puntos;
Recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo
punto;
Punto de tangencia, el de contacto de la recta tangente
con la circunferencia;
Arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a
la circunferencia;
Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos
delimitados por los extremos de un diámetro.
14. Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:
Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de esta. Sus lados
contienen a dos radios.
La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.
Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y
sus lados contienen dos cuerdas.
La amplitud de un ángulo inscrito en una semi circunferencia
equivale a la mayor parte del ángulo exterior que limita dicha base.
(Véase: arco capaz.)
Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de la
circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta
tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.
La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco
que abarca.
Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la
circunferencia.
La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos
medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que
abarcan sus prolongaciones.
Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de la
circunferencia
15.
16.
17.
18. Longitud de la circunferencia
La longitud de una circunferencia
es:
donde es la longitud del radio.
Pues (número pi), por definición, es
el cociente entre la longitud de la
circunferencia y el diámetro.
.
19. Ecuación vectorial de la circunferencia
La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene
por ecuación vectorial: . Donde es el parámetro de la
curva, además cabe destacar que . Se puede deducir
fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya que la
componente X y la componente Y, al cuadrado y sumadas
deben dar por resultado el radio de la circunferencia al
cuadrado. En el espacio esta misma ecuación da como
resultado un cilindro, dejando el parámetro Z libre.
20. Circunferencia
Circunferencia, en geometría, curva plana cerrada en la que cada uno de sus
puntos equidista de un punto fijo, llamado centro.
d(P,C)=r
donde P, es un punto cualesquiera perteneciente a la circunferencia
C, es el centro de la circunferencia
r, es el radio de la circunferencia. Elementos de la circunferencia
21. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA ( C(a , b)) :
d (P, C ) r
P ( x, y )
2 2
d (P,C ) (x a) (y b) r
C (a, b)
desarrolla ndo la ecuación ......
2 2 2 2 2
x a 2 ax y b 2 by r
2 2 2
llamando : A 2a, B 2b, C a b r
x2 y2 Ax By C 0
Ecuación general de la
circunferencia
24. Parábola:
Una de las cónicas. Se trata de una curva plana, abierta, que se obtiene al cortar una
superficie cónica de eje e y ángulo α mediante un plano P que no pasa por el vértice y que
corta a e bajo el mismo ángulo α.
La parábola es el lugar geométrico de los puntos
del plano que equidistan de un punto fijo
llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
d(P,F)=d(P,s)
Elementos de la parábola
La directriz que es la recta s.
El vértice V.
El foco F.
Se llama eje de la parábola a la recta
perpendicular al eje que pasa por el foco.
La distancia entre el foco y la directriz es el
parámetro p
25. ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA (Vértice (0,0)):
d (P, F ) d (P, s)
P ( x, y )
2 2
d (P, F ) PF (x c) y
p 2 2 p
F 0, (x c) y y
2 p 2
d (P, s) y
2
desarrolla ndo la ecuación ......
2
x py py
2
x 2 py
Ecuación de la parábola
27. • DEFINICIÓN DE PARÁBOLA.
Se llama parábola a la curva plana, abierta, y de una sola rama,
que determina el lugar geométrico de los puntos del plano que
equidistan de un punto fijo F llamado foco, y de una recta fija llamada
d, llamada directriz.
PM=PF
Si el plano secante es paralelo a una sola generatriz de la superficie,
a esta generatriz no la cortará y la curva será abierta con un punto en el
infinito; la sección que se produce es una parábola.
28. •ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA.
•F es el foco de la parábola y s es la directriz.
•A la distancia entre la directriz y el foco la llamamos p.
•La reta e que pasa por F y es perpendicular a s es el eje.
•El vértice es el punto V, que es la intersección del eje con la parábola.
•Si situamos la parábola en unos ejes cartesianos,
•con vértice en el origen de coordenadas y cuyo eje es el eje Y, se cumple que:
PARÁMETROS DE LA PARÁBOLA.
La parábola solo tiene un parámetro, “P” que configura y da forma a la curva.
p = FD
29. • PROPIEDADES DE LA PARÁBOLA.
Como hemos visto, la parábola es una curva plana, abierta y de una rama. Dicha
parábola, tiene un vértice v y un eje de simetría que pasa por v y por el foco y es
perpendicular a la directriz. La tangente en el vértice de la curva es paralela a la
directriz.
La parábola tiene un eje perpendicular a la directriz, que contiene al foco F y al
vértice V. El eje de la curva es a su vez eje de simetría.
El vértice, como otro punto cualquiera, equidista de la directriz y del foco, por lo
tanto estará colocado en el punto medio del segmento AF.
La directriz es el lugar geométrico de los puntos simétricos del foco respecto de
cada una de las tangentes de la parábola. La directriz d de la curva hace de
circunferencia focal de la parábola, en este caso de radio infinito.
La tangente en el vértice, que es una recta, hace de circunferencia principal y se
define como en las curvas anteriores.
El foco equidista del punto de tangencia de una tangente y del punto donde ésta corta al eje
de la curva
30.
31. LA ELIPSE
• Una elipse es el lugar geométrico de los puntos P (x,y),
cuya suma de distancias a dos puntos fijos F y F’
(focos)es constante.
• Para su construcción manual, se toma un segmento de
longitud 2a y se sujetan sus extremos en F y F’, los
datos, si se mantienen el segmento tirante y se va
girando se obtiene el gráfico de la elipse.
