Vectores en el plano cartesiano de ejes X e Y

1. ÁLGEBRA MATRICIAL
PROF. MARIELA SARMIENTO
SESIÓN 1: VECTORES EN EL PLANO
Enfoque Geométrico:
Definición: Un vector es un segmento de recta orientado que va desde un punto P
hasta un punto Q.
Notación: Denotamos al vector con punto inicial P y punto final Q, por PQ
Elementos de un Vector
Los vectores tienen longitud (medida
del segmento PQ ), dirección (la
misma que tiene la recta que los
contiene) y sentido (según lo indica
la flecha).
Definición: Dos vectores representados por PQ y RS son iguales si tienen la
misma longitud, dirección y sentido.
PQ RS .
Observación: De acuerdo a la definición anterior, para cada vector en el plano
podemos dibujar un vector igual a él con punto inicial en el origen de algún
sistema de coordenadas cartesianas, esto me determina un punto (x , y) del plano
que es el correspondiente punto final del vector. Así, todo vector en el plano se
puede definir analíticamente en términos de números reales.

2. Enfoque Analítico:
Definición: Un vector en el plano es un par ordenado de números reales (x , y).
Los números x y y son las componentes del vector.
Observación: Existe una correspondencia uno a uno entre los vectores del plano
y los puntos del plano
Ejemplo:
Sea A = (a1 , a2) entonces el vector A
se puede representar por el segmento
OA
Definición: La representación de un vector que tenga su punto inicial en el origen
se denomina representación posicional del vector.
Ejemplo:
El vector (2 , 3) tiene como
representación posicional el vector
OA .
La representación de (2 , 3) con
punto inicial (h , k) tiene como punto
final a (h+2 , k+3)
Definición: El vector (0 , 0) se denomina vector nulo y se denota por O = (0 , 0)

3. Observación: Cualquier punto es una representación del vector nulo.
Definición: La magnitud (o norma) de un vector A es la longitud de cualquiera de
sus representaciones y se denota por A .
Teorema : Si A = (a1 , a2) entonces
A a12 a 22 .
La demostración de este teorema se
basa en el Teorema de Pitágoras.
Ejemplo:
El vector A = (4 , 3) tiene
magnitud
A 42 32 25 5
El vector A es la
representación posicional,
por ejemplo, del vector con
punto inicial P = (-1 , 2) y
punto final
Q = (-1+4 , 2+3) = (3 , 5)
Hallemos la magnitud de
PQ , para ello usamos la
fórmula de distancia entre
dos puntos. Esto es
PQ (3 ( 1)) 2 (5 2) 2
42 32 25 5

4. Definición: Elángulo director de cualquier vector distinto del vector nulo es el
ángulo medido desde el lado positivo del eje x en sentido contrario a las agujas
del reloj.
Si A = (a1 , a2) entonces
a
tg 2 , a1 0
a1
a
arctg 2
a1
Si a1 0 y a2 0
2
3
Si a1 0 y a2 0
2
Observación: Dada la magnitud y el a1
Cos a1 A Cos
ángulo director de un vector A
A = (a1, a2), podemos hallar sus a2
componentes, de la siguiente manera: Sen a2 A Sen
A
Ejemplo: Halle el ángulo director del vector (1 , -2)

5. 2
tg 2
1
arctg ( 2) 63,43
Estamos midiendo el ángulo en
sentido de las agujas del reloj,
por ello es negativo ( ). Para
medir a , como indica la
figura, hacemos:
360o 63, 43o 296 , 56 o
OPERACIONES CON VECTORES
1. SUMA
Analíticamente Geométricamente
La suma de dos Usamos el Método del Paralelogramo
vectores A =(a1 , a2) Por el extremo de A trazamos una paralela a B y viceversa.
y B =(b1 , b2) es el Como observas en la figura, las paralelas y los vectores han
vector
formado un paralelogramo, cuya diagonal es el vector suma
A+B=(a1+b1 , a2+b2) A+B.
Como has podido
observar, hemos
sumado las
correspondientes
componentes de los
vectores A y B.
Definición: Si A = ( a1 , a2) entonces el vector (–a1 , –a2) se denomina el negativo
(u opuesto) de A y se denota por –A.

6. Si el vector A
se representa
por
PQ QP
representa al
vector –A
2. RESTA
Definición: La diferencia o resta de dos vectores A y B se denota por A – B y se
define por el vector que se obtiene al sumar a A el negativo de B, esto es,
A– B = A + (-B)
Si A = (a1 , a2) y B = (b1 , b2) entonces
A – B = (a1– b1 , a2– b2)
Observación: Para obtener A-B en
forma geométrica, basta con unir el
extremo de A con el extremo de B (ver
la figura).
3. MULTIPLICACIÓN DE UN VECTOR POR UN ESCALAR
Definición: S es un escalar y A = (a1 , a2) es un vector entonces el producto de
por A es el vector A = (a1 , a2) = ( a1 , a2)
Ejemplo:
O = (0 , 0) = ( 0 , 0) = (0 , 0) = O
0A = 0 (a1 , a2) = (0a1 , 0a2) = (0 , 0) = O
En la siguiente figura podemos observar dos vectores que se han obtenido
luego de multiplicar al vector A por los escalares -2 y 3:

7. EJERCICIOS EJERCICIOS PAGINAS
RESUMEN AUTOEVALUACIÓN
RESUELTOS PROPUESTOS SIMILARES
RESUMEN
Un vector es un segmento de recta orientado que va desde un punto inicial P
hasta un punto final Q.
Al trasladar el vector al origen, obtenemos su representación posicional, que no
es más que el vector con punto inicial en el origen del plano y punto final en
A(a1,a2) tal que PQ y OA , o simplemente A, tienen la misma longitud (magnitud),
dirección y sentido.
La magnitud del vector A viene dada por: A a12 a 22
La dirección del vector A viene dada por elángulo director (ángulo medido desde
a
el eje positivo x hasta el vector A, en sentido positivo): arctg 2 , a1 0
a1
Los vectores pueden sumarse, restarse o multiplicarse por un escalar, así:
Suma : A + B = (a1 , a2) + (b1 , b2) = (a1+b1 , a2+b2)
Resta: A – B = (a1– b1 , a2– b2)
Multiplicación por un escalar: A = (a1 , a2) = ( a1 , a2)
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Halle el vector de posición correspondiente
a. P(1,4) , Q(5,3) b. P(7,-3), Q(-2,4)
Respuesta:
Supongamos que el vector posición tiene componentes A = (a, b) y que

8. P = (h, k), entonces Q = (h+a, k+b).
Sustituyendo las componentes de P y Q, tenemos:
P (h, k) (1, 4) h 1yk 4
Q (1 a,4 b) 1 a 5y 4 b 3
a 4y b -1
a. b.
2. Para los vectores A = (3 , 7), B = (-2 , -1) y C = (-4 , 2); calcule las
expresiones vectoriales siguientes:
a. A + B b. 2A–B
c. 5A–2B+6C d. A– [(B–A)+C]
3. Con los vectores anteriores, halle escalares y de modo que se
satisfaga:
a. B– A=C b. (A–B) = 3 C
(-2 , -1) – (3 , 7) = (-4 , 2) (3+2, 7+1) = 3 (-4 , 2)
(-2 , - ) – (3 , 7 ) = (-4 , 2); (5 , 8 ) = (-12 ,6 )
(-2 – 3 , - – 7 ) = (-4 , 2); 5 12
-2 – 3 = -4 (1) 8 6
-–7 = 2 (2) 12
De (1) Sustituyo en (2):
Multiplicando (2) por -2 y sumándola a 5
(1), tenemos:
11 = -8

9. 8 12
8 6 0
11 5
Sustituimos en (1): 126
8 5
34
2 3 4 0
11 11
4. Halle un vector que tenga punto inicial en A = (2 , -1) y la misma dirección
del vector B =(7 , 6).
El vector tiene punto inicial P (h, k) = (2, -1), la
dirección de B (b1, b2) y punto final está dado por:
Q = (h+b1, k+b2) = (2+7, -1+6) = (9, 5)
5. Halle un vector con dirección contraria al vector A = (-2 , 4) y con punto
final Q =(2 , 0).
El vector tiene punto inicial
P (h, k) , la dirección contraria de A,
esto es, la dirección de -A
-A = (-a1, -a2) = (2 , -4) y punto final
está dado por:
Q = (h+(-a1), k+(-a2)) = (2, 0)
(h+2, k-4) = (2, 0)
h+2 = 2 h=0
k-4 = 0 k=4
Luego P = (0, 4)