Se explican las ecuaciones de la recta. Posición relativa de dos rectas. rectas paralelas y perpendiculares

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1.- ECUACIONES DE LA RECTA
Una recta queda determinada si conocemos: - Un punto y un vector director.
- Dos puntos.
- Un punto y su pendiente.
A) DADOS UN PUNTO Y UN VECTOR
Dado el punto A(xo, yo) y el vector
direccional de la recta v=(v1,v2) y un
punto desconocido X(x,y) de la recta
Nos fijamos OX = OA + AX
OX = OA + t v
( x, y ) = ( xo , yo ) + t (v1 , v2 )
Ec. vectorial de la recta

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Operamos y obtenemos
( x, y ) = ( xo , yo ) + t (v1 , v2 )
 x = xo + tv1
( x, y ) = ( xo , yo ) + (tv1 , tv2 ) Es decir 
( x, y ) = ( xo + tv1 , yo + tv2 )  y = y o + tv2
Ec. paramétricas de la recta
Ahora despejamos la t en las dos ecuaciones
x − xo
tv1 = x − xo → t =
v1 Igualando obtenemos
y − yo
tv2 = y − yo → t = x − xo y − y o
v2 =
v1 v2
La ec. continua de la recta

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Multiplicamos en cruz para eliminar los denominadores
v2 x − v2 xo = v1 y − v1 yo
Pasamos al primer miembro y cambiamos las letras
v2 x − v1 y + v1 y o − v2 xo = 0 Ax + By + C = 0
A B C Ec general, implícita o cartesiana de la recta
Ahora vamos a despejar la y para obtener otra ecuación
By = − Ax − C −A C
y= x− → y = mx + n
B B
− A v2
m= = = tgα m n Ec. explícita de la recta
B v1
Al número m = -A/B se le llama pendiente y nos indica la inclinación de la recta
y al número n= -C/B ordenada en el origen indica el punto de corte con el eje Y

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Ejemplos
1) Encontrar todas las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (1, 2) y
tiene de vector director (1,-1)
2) Dibujar las rectas:
r: 2x – y – 3 = 0
s: y = 2x + 1
t: 2x - 3y + 6 = 0
3) La siguiente gráfica muestra una recta.
a) Escribe la ecuación continua de la recta
b) ¿Pertenece el punto (-6,4) a la recta?

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B) DADOS DOS PUNTOS
Dados los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2)
Yo eligo de referencia el punto A y el vector AB y realizando los mismos pasos se
obtiene la ecuación:
x − x1 y − y1
=
x2 − x1 y 2 − y1
Ec. de la recta que pasa por dos
puntos
Ejemplo – Calcula la ecuación general de la recta que pasa por los puntos (-2, -3) y
(1, -4)

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C) DADOS UN PUNTO Y LA PENDIENTE
De una recta conocemos un punto (xo, yo) y su pendiente m
Entonces la ecuación de la recta es:
y − y o = m( x − x o ) Ec. punto-pendiente
Ejemplos
2) Ecuación explícita de la recta que pasa por el punto (1, -2) y tiene de
pendiente 3. Dibuja dicha recta
3) Calcula la ecuación de la siguiente recta

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2.- POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
Dadas las rectas r: Ax + By + C = 0 y s: A’x + B’y + C’ = 0 para averiguar
su posición resolvemos el sistema formado por ellas y puede suceder:
Sistema
Una solución Sin solución Infinitas soluciones
Rectas secantes Rectas paralelas Rectas coincidentes
r
r s
r=s
s
A B C A B C
A B = ≠ = =
≠ A' B ' C ' A' B ' C '
A' B'

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x + 2 y = 4 2 x + 4 y = 8
3 x − 4 y = −6  
 x + 2 y = 8  x + 2y = 4
 x + 2y = 8
Ejemplo - Halla la posición relativa de la recta y = 3x - 1 con cada una de las
siguientes. A) y = -3x + 2 B) -15x + 5y + 1 = 0

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3.- RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES
Dos rectas son paralelas si tienen la misma inclinación, es decir
mr = ms
Ejemplo – Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (5,1) y es
paralela a la recta x + 2y – 4 = 0
Dos rectas son perpendiculares si se cortan formando cuatro ángulos
rectos, además se cumple
mr · ms = -1
Ejemplo – Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto (5,1) y es
perpendicular a la recta x + 2y – 4 = 0