Este documento describe varias curvas planas importantes, incluyendo la bruja de Agnesi, el caracol de Pascal, la cardioide, las cónicas (elipse, parábola e hipérbola), la cisoide, la cicloide, la catenaria y la circunferencia. Proporciona las ecuaciones paramétricas y cartesianas de cada curva así como algunas de sus propiedades geométricas fundamentales.

1. CURVAS EN EL PLANO
LA BRUJA DE AGNESI
****La ecuación genérica de la bruja de Agnesi en coordenadas cartesianas es:
y = 8a3/(x2 + 4a2)
La ecuación genérica de la bruja de Agnesi en ecuaciones paramétricas es:
x = 2a cot θ
y = a(1 - cos 2θ )
CARACOL DE PASCAL
*** La ecuación genérica del caracol de pascal en coordenadas polares es:
r = b + a cos θ
CARDIOIDE
***Es la curva descrita por un un punto P de una circunferencia de radio a que rueda por
fuera de otra circunferencia de radio a.
Es un caso particular del caracol de Pascal.
La ecuación genérica de la cardioide en coordenadas cartesianas es:
(x2 + y2 - 2ax)2 = 4a2(x2 + y2)
La ecuación genérica de la cardioide en coordenadas polares es:
r = 2a(1 + cosθ)
CÓNICAS
*** Las curvas (como elipse, la parábola y la hipérbola) que se obtienen al seccionar un cono por
un plano se llaman cónicas.
Si desarrollamos la ecuación (ax + by + c)2 = 0 podemos expresarla de esta forma:

2. a00 + 2a01x + 2a02y + a11x2 + 2a12xy + a22y2 = 0
Esta es la ecuación general de cualquier cónica.
Esta ecuación se puede expresar elegantemente en forma matricial:
Si el determinante de la matriz de coeficientes es igual a cero, se dice que la cónica es degenerada
y no degenerada en caso contrario.
La ecuación general puede simplificarse (girando y trasladando los ejes coordenados) de forma
que sólo queden los términos elevados al cuadrado y el término independiente. Esta forma de la
ecuación se llama ecuación reducida o canónica de la cónica.
Haciendo los cambios oportunos la ecuación general se puede transformar en una de los
siguientes:
x2 / a2 + y2 / b2 = 1 (elipse, cuando a = b circunferencia).
x2 / a2 + y2 / b2 = -1 (elipse imaginaria).
x2 / a2 + y2 / b2 = 0 (par de rectas imaginarias que se cortan en un punto real).
x2 / a2 - y2 / b2 = 1 (hipérbola).
x2 / a2 - y2 / b2 = 0 (par de rectas reales que se cortan).
x2 - 2py = 0 (parábola).
y2 - 2px = 0 (parábola).
x2 - a2 = 0 (par de rectas reales paralelas).
x2 + a2 = 0 (par de rectas imaginarias paralelas).
x2 = 0 (par de rectas reales coincidentes).
Conversión de la ecuación general a su forma reducida o
canónica
Sea a00 + 2a01x + 2a02y + a11x2 + 2a12xy + a22y2 = 0 la ecuación que tenemos que convertir a su forma
reducida.
Haciendo un giro de ángulo a, las nuevas coordenadas (x ', y ') quedarían de acuerdo con las
fórmulas de giro de coordenadas (ver Coordenadas rectangulares)
x = x'cosa - y'sena
y = x'sena + y'cosa
Sustituyendo en la ecuación general las fórmulas del giro de coordenadas y operando nos queda
a00 + 2a'01x' + 2a'02y' + a'11x'2 + 2a'12x'y' + a'22y'2 = 0
Los más atentos se habrán dado cuenta que a00 no tiene el ' y puede que crean que es un error.
Pues no. a00 no cambia (se dice que es un invariante).
Los más valientes que hagan las operaciones comprobarán lo anterior y también que 2a'12 = - (a11 -
a22)sen(2a) + 2a12cos(2a).
Para que nos desaparezca el término en x'y' tenemos que hacer a'12 = 0, entonces:

3. (a11 - a22)sen(2a) = 2a12cos(2a) . Dividiendo todo por 2a12cos(2a) y despejando queda:
tan(2a) = 2a12 / (a11 - a22)
Por lo tanto, eligiendo el ángulo de giro de tal forma que la tangente del doble del ángulo sea igual
al cociente indicado nos desaparece el término en xy y la ecuación nos queda así:
a00 + 2a'01x' + 2a'02y' + a'11x'2 + a'22y'2 = 0
Ahora haciendo una traslación de los ejes (los nuevos serán x'', y'') eliminaremos los términos en x'
e y'. Las fórmulas de traslación son (ver Coordenadas rectangulares):
x' = x'' + h
y' = y'' + k
Sustituyendo en la ecuación general las fórmulas de la traslación de coordenadas y operando nos
queda
a''00 + 2a''01x'' + 2a''02y'' + a'11x''2 + a'22y''2 = 0
Los valientes que lo hagan verán que a''01 = a'11h + a'01 y que a''02 = a'22k + a'02
Para que a''01 = 0 tenemos que hacer h = - a'01/a'11 . Claro que esto sólo se puede hacer si a'11 no es
cero.
Para que a''02 = 0 tenemos que hacer k = - a'02/a'22 . Claro que esto sólo se puede hacer si a'22 no es
cero
LA CISOIDE.
*** La cisoide es el lugar geométrico de los puntos M, tal que OM = PQ. (ver dibujo)
La ecuación genérica de la cisoide de Diocles en coordenadas cartesianas es:

4. y2 = x3 /(a -x)
La ecuación en coordenadas polares es:
ρ = a sen2 θ /cos θ
La ecuación genérica de la cisoide de Diocles en ecuaciones paramétricas es:
x = a sen2 θ
y = a sen3 θ /cos θ
La asíntota es:
x=a
El área entre la curva y la asíntota es:
A = 3/4 πa2

5. CICLOIDE
***Esta curva es la curva descrita por un punto P de una circunferencia de radio a cuando rueda sin
resbalar sobre el eje x.
Esta curva se empezó a estudiar para resolver el problema de la cuadratura del círculo. Galileo
estudió la cicloide con intensidad.
La ecuación genérica de la cicloide en forma paramétrica es:
x = a(θ - sen θ)
y = a(1 - cos θ)
Si el punto P es exterior a la circunferencia, la curva que se genera se llama cicloide alargada, y si
el punto P es interior a la circunferencia la curva se llama cicloide alargada o trocoide.
El área bajo el arco de la cicloide es 3 veces la superficie del círculo que genera la cicloide.
LA CATENARIA
***La catenaria es la curva que describe una cadena suspendida por sus extremos.
Los primeros matemáticos que abordaron el problema supusieron equivocadamente que la curva
era una parábola. Huygens, a los 17 años, demostró que no era una parábola, pero no encontró la
ecuación.

6. En 1691, en respuesta a un reto de Jacob Bernoulli, Leibnitz, Huygens, por métodos geométricos,
y Johann Bernoulli encontraron la ecuación. Este reto de Jackob Bernoulli, resuelto por Johann, fue
el comienzo de la rivalidad entre ellos.
El nombre de catenaria se debe a Huygens.
Johann Bernoulli resolvió el problema de la siguiente manera:
Consideró el trozo de cadena OA. Las fuerzas que actúan sobre ese trozo son el peso P, la fuerza
F (que depende del lado izquierdo de la cadena y por lo tanto es constante) y G.
Siendo α el ángulo que forma G con la horizontal, tenemos que, como el trozo OA está en
equilibrio:
P = G sen α
F = G cos α
Dividiendo ambas ecuaciones tenemos: tg α = P/F
pero tg α también es igual a dy/dx
Pero como la cadena es homogénea, el peso P = k.l (siendo k el peso de la cadena por unidad de
longitud y l, la longitud del arco OA)
dy/dx = P/F = kl / F
Como k y F son constantes, podemos hacer F/k = b y nos queda:
dy/dx = l / b
Derivando esta ecuación respecto a x, nos queda:
d2y/dx2 = 1/b dl /dx
pero dl = raíz (dx2 + dy2) = raíz (1 + (dy/dx)2)
haciendo dy/dx = z, nos queda:

7. dz/dx = 1/b raíz (1 + z2)
Integrando queda: z = senh x/b + C
Para calcular la constante C, aplicamos la ecuación en el origen y vemos que C = 0
Deshaciendo en cambio z = dy/dx nos queda:
y = cosh x/b - b
La ecuación genérica de la catenaria en coordenadas cartesianas es: y = a/2(ex/a + e-x/a) =
a.cosh(x/a). Siendo a la distancia desde el origen hasta la curva.
La longitud de la catenaria se calcula mediante la integral (ver Cálculo de longitudes de arcos
mediante integrales) que en este caso concreto es de muy fácil integración.
L = a(ex/a - e-x/a)

8. CIRCUNFERENCIA.
*** La propiedad básica de la circunferencia es que todos los puntos de la circunferencia están a
la misma distancia del centro.
La demostración de la ecuación de una circunferencia de centro el origen y radio R es muy
sencilla.
Sea (x, y) un punto cualquiera de la circunferencia. Como veis en la figura se forma un triangulo
rectángulo y entonces x2 + y2 = R2. Esa es la ecuación de la circunferencia.
Si dividimos esta ecuación por R2, queda x2/R2 + y2/R2 = 1.
La longitud de la circunferencia es L = 2πR.
El área de la superficie que está dentro de la circunferencia (círculo) es A = π R2.
Potencia de un punto respecto a una circunferencia
Desde un punto P, exterior a una circunferencia, trazamos dos segmentos que cortan a la
circunferencia en los puntos A, B, C y D.
Se cumple que PA.PB = PC.PD
La potencia de un punto P de coordenadas x, y respecto a
una circunferencia de centro (a,b) y radio
R es (x0 - a)2 + (y0 - b)2 - R2
Eje radical de dos circunferencias
Dadas dos circunferencias, el lugar geométrico de los puntos del plano que tienen la misma
potencia respecto a ambas circunferencias, es una recta y se llama eje radical.
Siendo las ecuaciones de las circunferencias:
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
x2 + y2 + A'x + B'y + C' = 0
la ecuación del eje radical es: (A - A')x + (B - B')y + (D - D') = 0
LA ELIPSE.
*** La elipse, la parábola y la hipérbola se llaman secciones cónicas. La razón de este nombre es
que estas curvas se forman al seccionar un cono por un plano.

9. Otra forma de definir estas curvas (en vez de como secciones de un cono) es como la curva que
describe un punto que se mueve en un plano de manera que el cociente entre las distancias de
ese punto a un punto fijo (foco) y a una recta (directriz) es constante (excentricidad).
Si esta constante está comprendida entre cero y uno, la curva es una elipse. Si es igual a uno, es
una parábola y si es mayor que uno es una hipérbola.
Menaechmo, un discípulo de Platon y Eudoxo, estudió la elipse.
Euclides también estudió esta curva, pero ha pasado a la historia de la mano de Apolonio, al que
debe su nombre.
Esta es la razón del nombre de la elipse:
La parábola se puede expresar por esta ecuación y2 = kx, siendo k = 2b2/a. Esto quiere decir que
en cualquier punto de la parábola podemos construir un cuadrado de lado y (la ordenada del punto)
y un rectángulo de lados x (la abscisa del punto) y k, y las áreas del cuadrado y el rectángulo
siempre serán iguales.
Si hacemos lo mismo en una hipérbola el cuadrado siempre será mayor y en una parábola el
cuadrado siempre es menor.
Resulta que una de las acepciones de parábola en griego era equiparable, de elipse deficiencia y
de hipérbola exceso. De ahí los nombres.
Otros muchos matemáticos la estudiaron: Keppler (descubrió que la trayectoria de los planetas al
rededor del sol son elipses).
<![endif]> Esto es una elipse. La propiedad de esta
curva es que la suma de las distancias de cualquier
punto de la curva a dos puntos fijos (F1 y F2) es
constante.
Los puntos F1 y F2 se llaman focos.
Los ejes se llaman eje mayor y eje menor.
Los puntos A, B, C y D se llaman vértices.
El 'achatamiento' (el nombre correcto es
excentricidad) de la elipse se mide por el cociente
entre c y a (e = c/a).
c 2 = a2 - b2
La ecuación de la elipse es x2/a2 + y2/b2 = 1.
La ecuación paramétrica de la elipse es:
x = a·cosφ
y = b·senφ

10. Estas ecuaciones se deducen de la anterior teniendo en cuenta que cos2φ + sen2φ = 1.
Las ecuaciones de las rectas directrices son:
x = a2/c
x = - a2/c
Como veis la ecuación de la elipse es muy parecida a la de la circunferencia.
La longitud de la elipse no tiene una fórmula sencilla y la resolución de la integral que se necesita
para calcular la longitud de la elipse es bastante difícil.
El área de la superficie comprendida dentro de la elipse es A = π ab.
La ecuación de una elipse con centro en (x0,y0) y eje mayor paralelo al eje x es:
(x - x0)2/a2 + (y - y0)2/b2 = 1
HIPÉRBOLA.
La elipse, la parábola y la hipérbola se llaman secciones cónicas. La razón de este nombre es que
estas curvas se forman al seccionar un cono por un plano.

11. Otra forma de definir estas curvas (en vez de como secciones de un cono) es como la curva que
describe un punto que se mueve en un plano de manera que el cociente entre las distancias de
ese punto a un punto fijo (foco) y a una recta (directriz) es constante (excentricidad).
Si esta constante está comprendida entre cero y uno, la curva es una elipse. Si es igual a uno, es
una parábola y si es mayor que uno es una hipérbola.
Menaechmo, un discípulo de Platon y Eudoxo, estudió un caso especial de la hipérbola (xy = ab
llamado hipérbola rectangular).
Euclides también estudió esta curva, pero ha pasado a la historia de la mano de Apolonio de
Perga, al que debe su nombre.
Esta es la razón del nombre:
La parábola se puede expresar por esta ecuación y2 = kx, siendo k = 2b2/a. Esto quiere decir que
en cualquier punto de la parábola podemos construir un cuadrado de lado y (la ordenada del punto)
y un rectángulo de lados x (la abscisa del punto) y k, y las áreas del cuadrado y el rectángulo
siempre serán iguales.
Si hacemos lo mismo en una hipérbola el cuadrado siempre será mayor y en una parábola el
cuadrado siempre es menor.
Resulta que una de las acepciones de parábola en griego era equiparable, de elipse deficiencia y
de hipérbola exceso. De ahí los nombres.
<![endif]>Esto es una hipérbola (la figura en negro).
La propiedad de esta curva es que la diferencia de
las distancias de cualquier punto de la hipérbola a
dos puntos F1 y F2 (que se llaman focos) es
constante.
El eje que pasa por los puntos A y B se llama eje
real.
El eje que pasa por los puntos C y D se llama eje
imaginario.
Los puntos A y B se llaman vértices.
Las rectas de color verde se llaman asíntotas (no sólo las hipérbolas tienen asíntotas).
La ecuación de la hipérbola es x2/a2 - y2/b2 = 1
Las ecuaciones de las rectas directrices son:
x = a2/c
x = - a2/c
Las asíntotas de la hipérbola son:

12. y = b/a x
y = -b/a x
La ecuación paramétrica de la hipérbola es:
x = a·chφ
y = b·snφ
Estas ecuaciones se deducen de la anterior teniendo en cuenta que ch2φ - sh2φ = 1.
Cuando a = b la hipérbola se llama equilátera. En ese caso la ecuación es x2 - y2 = a2 y las
asíntotas son perpendiculares. Si utilizamos las asíntotas como ejes de coordenadas, la ecuación
queda xy = a2/2.
<![endif]>Este dibujo representa una rama de una hipérbola equilátera.
La ecuación de la hipérbola equilátera es la ecuación de la proporcionalidad inversa (dos variables
son inversamente proporcionales cuando si dividimos una de ellas por una cantidad, la otra se
multiplica por la misma cantidad. Supongamos la ecuación xy = 80, esto quiere decir que si x = 20,
y = 4, si dividimos x por 10, y se tiene que multiplicar por 10, para que se siga manteniendo la
igualdad).
La hipérbola equilátera tiene otra propiedad notable: si calculamos el área comprendida entre la
hipérbola, el eje x y las verticales levantadas en dos puntos cualesquiera (a y b en el dibujo) y el
área comprendida entre la hipérbola, el eje x y dos puntos situados n veces los anteriores (3a y 3b
en el dibujo) veremos que son iguales.
Otra propiedad importante: Si calculamos el área comprendida entre la hipérbola, la recta y = 2 y el
eje Y, veremos que es infinito, sin embargo si calculamos el volumen generado por esa superficie
al girar alrededor del eje Y, veremos que es finito.
La ecuación de una hipérbola con centro en (x0,y0) y eje mayor paralelo al eje x es:
(x - x0)2/a2 - (y - y0)2/b2 = 1

13. PARÁBOLA.
La elipse, la parábola y la hipérbola se llaman secciones cónicas. La razón de este nombre es que
estas curvas se forman al seccionar un cono por un plano.
Otra forma de definir estas curvas (en vez de como secciones de un cono) es como la curva que
describe un punto que se mueve en un plano de manera que el cociente entre las distancias de
ese punto a un punto fijo (foco) y a una recta (directriz) es constante (excentricidad).
Si esta constante está comprendida entre cero y uno, la curva es una elipse. Si es igual a uno, es
una parábola y si es mayor que uno es una hipérbola.
Menaechmo, un discípulo de Platon y Eudoxo, estudió la parábola para resolver el problema de la
duplicación del cubo (se trataba de construir un cubo de volumen doble de otro conocido, utilizando
los artilugios de la época, o sea, regla y compás).
Euclides también estudió esta curva, pero ha pasado a la historia de la mano de Apolonio de
Perga, al que debe su nombre.
Esta es la razón del nombre:
La parábola se puede expresar por esta ecuación y2 = kx, siendo k = 2b2/a. Esto quiere decir que
en cualquier punto de la parábola podemos construir un cuadrado de lado y (la ordenada del punto)
y un rectángulo de lados x (la abscisa del punto) y k, y las áreas del cuadrado y el rectángulo
siempre serán iguales.
Si hacemos lo mismo en una hipérbola el cuadrado siempre será mayor y en una parábola el
cuadrado siempre es menor.
Resulta que una de las acepciones de parábola en griego era equiparable, de elipse deficiencia y
de hipérbola exceso. De ahí los nombres.
Otros muchos matemáticos la estudiaron: Pappus (el foco y la directriz), Pascal (que la consideró
como la proyección de una circunferencia), Galileo (descubrió que los proyectiles describen esta
curva), Newton (descubrió que los rayos de luz que se reflejan en una parábola coinciden en el
foco).
La ecuación genérica de la parábola, cuyo eje es paralelo al eje y, en coordenadas cartesianas es:

14. y = ax2 + bx + c
La ecuación genérica de la parábola, cuyo eje es paralelo al eje x, en coordenadas cartesianas es:
(y - y0)2 = 4a(x - x0)
Siendo ( x0, y0) el vértice de la parábola y a la distancia del vértice al foco de la parábola.
La ecuación de la directriz de una parábola es x = - p/2 (si la parábola es del tipo y2 = 2px) o y = -
p/2 (si la parábola es del tipo x2 = 2py).
El área de un segmento de parábola es 4/3 el área de un triángulo con la misma base y el mismo
vértice.
El área de un segmento de parábola es 2/3 el área del paralelogramo circunscrito.
CURVAS TRIGONOMÉTRICAS.
COSECANTE.
La gráfica de la función cosecante es
COSENO.

15. La gráfica de la función coseno es
COTANGENTE.
La gráfica de la función cotangente es
SECANTE.
La gráfica de la función secante es
SENO.
y = sen x
La gráfica de la función seno es

16. TANGENTE.
La gráfica de la función tangente es

17. EPICICLOIDE.
Esta es la curva descrita por un punto P de una circunferencia de radio b cuando rueda sin resbalar
por el exterior de otra circunferencia de radio a.
La ecuación genérica de la epicicloide en coordenadas paramétricas es:
x = (a + b) cos θ - b cos ((a +b)/b) θ
y = (a + b) sen θ - b sen ((a +b)/b) θ
ESPIRAL DE ARQUIMIDES.
Es la curva que describe un punto que se mueve, con velocidad constante, sobre una recta que, a
su vez, gira con velocidad constante.
La ecuación genérica de la espiral de Arquímedes en coordenadas polares es:
r = aθ

18. ESPIRAL LOGARITMICA.
Esta curva fue estudiada por Jackob Bernoulli.
La curva está relacionada con la navegación porque la espiral logarítmica es la proyección, sobre
un plano, de la línea de rumbo (también conocida como loxodrómica) trazada sobre una esfera.
Su ecuación en coordenadas polares es
ρ = C ekα
Siendo C una constante no nula.
De esta ecuación se deduce que cuando α aumenta según una progresión aritmética, ρ aumenta
siguiendo una progresión geométrica.
Esta curva tiene varias propiedades sorprendentes: Su evoluta es otra espiral logarítmica. Su curva
pedal con respecto a su polo es otra espiral logarítmica. Su cáustica de reflexión para los rayos
que parten de su polo es otra espiral logarítmica. Su cáustica de refracción para los rayos que
parten de su polo es otra espiral logarítmica.
La espiral logarítmica tiene una propiedad curiosa: Da infinitas vueltas y no obstante, tiene longitud
finita.
EVOLUTA DE UNA ELIPSE.
La evoluta de una curva es el lugar geométrico de los centros de curvatura de la misma.
La ecuación genérica de la evoluta de una elipse en coordenadas cartesianas es:
(ax)2/3 + (by)2/3 = (a2 - b2)2/3
La ecuación genérica de la evoluta de una elipse en ecuaciones paramétricas es:
ax = (a2 - b2) cos3 θ
by = (a2 - b2) sen3 θ

19. EVOLUTA.
La evoluta de una curva es el lugar geométrico de los centros de curvatura de la misma.
Por lo tanto a cada curva le corresponde una evoluta.
Sea la curva y = f(x). A cada punto (x, y) le corresponderá un centro de curvatura de coordenadas
X, Y
X = x - (y'(1 + y'2))/y''
Y = y - (1 + y'2)/y''
LOGARITMO NEPERIANO.
La función logaritmo neperiano está definida para x > 0 y es creciente. La función inversa
de logaritmo neperiano es la función exponencial.
FUNCIÓN EXPONENCIAL.
La función exponencial es la inversa de la función logaritmo neperiano.

20. FOLIO.
El nombre de esta curva se debe a su parecido con las hojas de los árboles (folium en latín
significa hoja)
La ecuación genérica del folio en coordenadas cartesianas es:
(x2 + y2)(y2 + x (x + b))= 4axy2
La ecuación genérica del folio en coordenadas polares es:
r = -b cos θ + 4a cos θ sen2θ
Cuando b = 4a la curva se llama folio simple, si b = 0 la curva se llama folio doble y
cuando b = a folio triple o trifolio.

22. FOLIO DE DESCARTES.
La ecuación genérica del folio de Descartes en coordenadas cartesianas es:
x3 + y3 = 3axy
La ecuación genérica del folio de Descartes en ecuaciones paramétricas es:
x = 3at/(1 + t3)
y = 3at2/(1 + t3)
HIPOCICLOIDE DE CUATRO PUNTAS
Esta es la curva descrita por un punto P de una circunferencia de radio a/4 cuando rueda
interiormente sin resbalar sobre una circunferencia de radio a.
La ecuación genérica del hipocicloide de cuatro puntas en coordenadas cartesianas es:
x2/3 + y2/3 = a2/3
La ecuación genérica del hipocicloide de cuatro puntas en forma paramétrica es:
x = a cos3 θ
y = a sen3 θ
INVOLUTA DE UNA CIRCUNFERENCIA.
Esta es la curva descrita por el punto extremo P de una cuerda enrollada en una circunferencia de
radio a a medida que se desenvuelve mientras se mantiene tirante.
La ecuación genérica de la involuta de una circunferencia en ecuaciones paramétricas es:

23. x = a(cos θ + θ sen θ)
y = a(sen θ − θ cos θ)
LEMNISCATA.
La lemniscata puede considerarse como un caso particular de los óvalos de Cassini estudiados por
Cassini en 1680.
Jackob y Johann Bernoulli descubrieron la curva al estudiar un problema planteado por Leibniz. El
problema era encontrar la isócrona paracéntrica (la curva que describe un punto que se mueve de
modo que la distancia a un punto fijo O, varía proporcionalmente al tiempo empleado en recorrer el
arco de dicha curva).
Si llamamos P al punto de coordenadas (a, 0), P' al punto de coordenadas (-a, 0) y X al punto de
coordenadas (x, y), la lemniscata cumple la siguiente ecuación: XP . XP' = a2.
Desarrollando se obtiene la ecuación genérica de la lemniscata en coordenadas cartesianas es:
(x2 + y2)2 = 2a2(x2 - y2)
La ecuación genérica de la lemniscata en coordenadas polares es:
r2 = 2a2cos 2θ
ÓVALOS DE CASSINI
Esta curva fue estudiada por Cassini en 1680 al estudiar el movimiento relativo de la Tierra y el Sol.
Esta es la curva descrita por un punto P que se mueve de tal manera que el producto de las
distancias entre P y dos puntos fijos (situados entre si a una distancia 2a) es una constante b2.
La ecuación genérica de los óvalos de Cassini en forma polar es:
r4 + a4 - 2a2r2 cos 2θ = b4

24. La ecuación genérica de los óvalos de Cassini en coordenadas cartesianas es:
(x2 + y2)2 - 2a2(x2 - y2) - a4 + b4 = 0
La forma de la curva depende de la relación b/a. Si es mayor que 1 la curva tiene dos lazos, si es
1, la curva es la Lemniscata de Bernoulli y si es menor que 1 la curva sólo tiene un lazo.
RECTA EN EL PLANO.
Si en una ecuación de esta forma: ax + by + c = 0, damos valores a x e y que cumplan la
ecuación, y representamos estos puntos en una gráfica, veremos que la gráfica es una recta.
Si despejamos la 'y', la ecuación se convierte en: y = mx + n, m representa la pendiente de
la recta (la pendiente es el cociente entre lo que sube o baja entre dos puntos de la recta y la
distancia horizontal entre ellos, dicho matemáticamente es la tangente del ángulo que forma
la recta con otra recta horizontal) y n es el punto del eje y por donde pasa la recta.
Si m = 0 la recta es horizontal (paralela al eje x). Si y = 0, la recta es perpendicular. Si n = 0
la recta pasa por el origen.
Es muy frecuente encontrar fórmulas para hallar la ecuación de la recta que pasa por un
punto y tiene una pendiente dada, o para hallar la ecuación de la recta que pasa por dos

25. puntos. Tengo una buena noticia para los que tienen mala memoria: NO SON
NECESARIAS.
Si nos dicen, por ejemplo, que una recta tiene una pendiente de 2 y que pasa por el punto
(1,3), sólo tenemos que sustituir estos valores en la ecuación general y nos quedaría: 3 = 2·1
+ n, y despejando n, queda n = 1. Por lo tanto la ecuación de esa recta será: y = 2x + 1
Como veis es muy fácil. A algunos profesores también les parece muy fácil y para hacerlo
más difícil en vez de decir la pendiente dicen el ángulo que forma la recta con el eje x o con
la horizontal. Es igual de fácil, la pendiente es la tangente de ese ángulo. Otros profesores
(que pretenden que nos equivoquemos, ya sabéis que hay profesores de todo tipo) dicen el
ángulo que forma la recta con el eje 'y' o con la vertical, en este caso el ángulo que tenemos
que utilizar es el complementario (90 - ángulo).
Si nos dicen que la recta pasa por el punto (1,3) y (2,5), sólo tenemos que sustituir estos
valores en la ecuación general y obtendremos dos ecuaciones con dos incógnitas:
3 = m·1 + n
5 = m·2 + n
Paralelismo
Saber si dos rectas son paralelas es muy fácil: Sólo tenemos que calcular sus pendientes, si
son iguales las rectas son paralelas.
Perpendicularidad
Saber si dos rectas son perpendiculares es muy fácil: Sólo tenemos que calcular sus
pendientes, m y m', y multiplicarlas, si el resultado es -1, las rectas son perpendiculares.
Ángulo de dos rectas que se cortan
La forma más fácil es calcular los ángulos que forman cada una de las rectas con el eje x
(esto es muy fácil: sólo tenemos que ver la pendiente de la recta y recordar que la pendiente
es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje x) y restarlos.
Distancia de un punto a una recta
Los malos profesores te hacen estudiar fórmulas, los buenos te enseñarán a razonar.
Seguramente tendrás una fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta. No la
necesitas si sabes pensar:
La distancia de un punto a una recta es la medida sobre una recta perpendicular a la anterior
y que pase por el punto (lógicamente).

26. Como nos darán la ecuación de la recta, sabremos la pendiente de la recta (sea m esta
pendiente), entonces la pendiente de las rectas perpendiculares a esta tendrán pendiente -
1/m. Como además esa recta tiene que pasar por el punto que nos dicen, nos será muy fácil
calcular la ecuación de esa recta.
Ya tenemos entonces las ecuaciones de las dos rectas. Si resolvemos el sistema de
ecuaciones formado por las ecuaciones de las dos rectas, obtendremos el punto en el que se
cortan las rectas.
Ya tenemos entonces las coordenadas de dos puntos (uno el punto original y otro sobre la
recta, este punto es el mas cercano al primero), y entonces si hacemos un dibujo de los dos
puntos y ponemos las coordenadas de los puntos sabremos calcular la distancia.
Nombres de las distintas formas de expresar la ecuación de una recta
Supongamos que tenemos la ecuación de una recta y haciendo las modificaciones
oportunas, la ponemos en esta forma: y = mx + n. Esta forma se llama forma explicita. En
este caso m es la pendiente de la recta.
Si la ponemos en esta forma: y - y0 = m(x - x0), decimos que está en forma punto-pendiente.
En este caso m es la pendiente de la recta y x0,y0 las coordenadas de un punto cualquiera de
la recta.
Si la ponemos en esta forma: x/a + y/b = 1 decimos que está en la forma canónica o
segmentaria. En este caso, a es la distancia desde el origen de coordenadas al punto donde la
recta corta al eje X y b es la distancia desde el origen de coordenadas al punto donde la
recta corta al eje Y.
Si la ponemos en esta forma ax + by + c = 0, decimos que está en forma general. En este
caso, el vector (a, b) se llama vector característico de la recta y es perpendicular a la recta.
Posición relativa de dos rectas
Dos rectas pueden:
1 Cortarse en un punto.
Para saber las coordenadas del punto de corte de dos rectas, sólo tenemos que resolver el
sistema de ecuaciones formado por las ecuaciones de las dos rectas.
Sean las rectas y = 2x e y = x - 5. Para calcular el punto donde se
cortan esas rectas, resolvemos el sistema. Sustituyendo en la segunda
ecuación el valor de y de la primera tenemos: 2x = x - 5. Luego x = - 5 e
y = -10.

27. Lo que hemos hecho al resolver el sistema de ecuaciones es buscar unos valores de x e y
que satisfagan las dos ecuaciones simultáneamente, que es la condición que tiene el punto
de corte: pertenece a las dos rectas.
2 Ser paralelas.
Dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales.
3 Ser coincidentes.
Esto significa que la recta es la misma. Ocurre que a veces, nos dan la ecuación de la recta
en distinta forma, pero en realidad se refieren a la misma recta.
HAZ DE RECTAS.
Imaginémonos todas las rectas que pasan por un punto. Eso es un haz de rectas.
Sea Ax + By + C = 0 y A'x + B'y + C' = 0 las ecuaciones de dos rectas que se cortan en un punto.
La ecuación de una recta cualquiera del haz de rectas a las que pertenecen las ecuaciones
anteriores será:
a(Ax + By + C) + b(A'x + B'y + C') = 0. Siendo a y b números reales.
Esta ecuación expresa la ecuación de cualquier recta del haz, como combinación lineal de dos
rectas cualesquiera del haz.
ROSA DE TRES PÉTALOS
La ecuación genérica de la rosa de tres pétalos en coordenadas polares es:
r = a cos 3θ

28. ROSA DE CUATRO PÉTALOS
La ecuación genérica de la rosa de cuatro pétalos en coordenadas polares es:
r = a cos 2θ
TRACTIZ.
Esta es la curva descrita por el punto extremo P de una cuerda tirante PQ de longitud a a medida
que el otro extremo Q se mueve a lo largo del eje x.
Otra definición: Es la curva que tiene la propiedad de que la longitud del segmento de tangente
comprendido entre el punto de tangencia y el punto de corte con el eje OY es constante.

29. El eje OY es una asíntota.
Al girar la tractríz alrededor de su asíntota genera una superficie parecida a un embudo o la parte
final de una trompeta (esa superficie se llama seudoesféra)
La ecuación genérica de la tractriz en ecuaciones paramétricas es:
x = a ln (cot θ /2 - cos θ )
y = a sen θ
TROCOIDE.
Es la curva descrita por un punto P situado a una distancia b del centro de una circunferencia de
radio a a medida que esta rueda sin resbalar sobre el eje x.
Λα εχυαχι⌠ν γενριχα δε λα τροχοιδε εν εχυαχιονεσ παραµτριχασ εσ:
ξ = α θ - b sen θ
y = a - b cos θ