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Vectores
    Presentación PowerPoint de
 Paul E. Tippens, Profesor de Física
Southern Polytechnic State University
Vectores




   Los topógrafos usan mediciones
precisas de magnitudes y direcciones
para crear mapas a escala de grandes
              regiones.
Objetivos: Después de completar
   este módulo, deberá:
• Demostrar que cumple las expectativas matemáticas:
  análisis de unidades, álgebra, notación científica y
  trigonometría de triángulo recto.
• Definir y dar ejemplos de cantidades escalares y
  vectoriales.
• Determinar los componentes de un vector dado.
• Encontrar la resultante de dos o más vectores.
Expectativas
• Debe ser capaz de convertir unidades
  de medición para cantidades físicas.

Convierta 40 m/s en kilómetros por hora.
   m       1 km        3600 s
 40--- x ---------- x -------- = 144 km/h
    s 1000 m              1h
Expectativas (cont.):
  • Se supone manejo de álgebra
    universitaria y fórmulas simples.
                 v0 + v f 
Ejemplo:     x =          t       Resuelva para
                 2                vo

                       v f t − 2x
                v0 =
                           t
Expectativas (cont.)
• Debe ser capaz de trabajar en notación
  científica.

Evalúe lo siguiente:

       Gmm’       (6.67 x 10-11)(4 x 10-3)(2)
  F = -------- = ------------
         r 2           (8.77 x 10-3)2

     F = 6.94 x 10-9 N = 6.94 nN
     F = 6.94 x 10-9 N = 6.94 nN
Expectativas (cont.)
• Debe estar familiarizado con prefijos del SI

     metro (m)       1 m = 1 x 100 m
1 Gm = 1 x 109 m     1 nm = 1 x 10-9 m
1 Mm = 1 x 106 m     1 µm = 1 x 10-6 m
1 km = 1 x 103 m     1 mm = 1 x 10-3 m
Expectativas (cont.)
• Debe dominar la trigonometría del
  triángulo recto.
                            y
                    sen θ =     y = R sen θ
                                y = R sen θ
                            R
y          R
                            x
                    cos θ =     x = R cos θ
                                x = R cos θ
                            R
               θ
                            y
       x            tan θ =     R22 = x22 + y22
                                R =x +y
                            x
Repaso de matemáticas
Si siente necesidad de
pulir sus habilidades
matemáticas, intente el
tutorial del Capítulo 2
acerca de matemáticas.
La trigonometría se
revisa junto con los
vectores en este módulo.

Seleccione Capítulo 2 del On-Line Learning
Seleccione Capítulo 2 del On-Line Learning
    Center en Tippens-Student Edition
    Center en Tippens-Student Edition
La física es la ciencia
        de la medición




  Longitud      Peso            Tiemp
                                o

Comience con la medición de longitud:
Comience con la medición de longitud:
      su magnitud y su dirección.
      su magnitud y su dirección.
Distancia: cantidad escalar
 Distancia es la longitud de la ruta
 Distancia es la longitud de la ruta
  tomada por un objeto.
   tomada por un objeto.

                       Una cantidad escalar:
     s = 20 m    B
                       Sólo contiene magnitud
                       y consiste de un
 A
                       número y una unidad.
                       (20 m, 40 mi/h, 10 gal)
Desplazamiento-Cantidad vectorial
•• Desplazamiento es la separación en
    Desplazamiento es la separación en
   línea recta de dos puntos en una
    línea recta de dos puntos en una
   dirección especificada.
    dirección especificada.
                      Una cantidad vectorial:
D = 12 m, 20o   B
                      Contiene magnitud Y
A                     dirección, un número,
       θ              unidad y ángulo.
                      (12 m, 300; 8 km/h, N)
Distancia y desplazamiento
•• Desplazamiento es la coordenada x o y
   Desplazamiento es la coordenada x o y
   de la posición. Considere un auto que
   de la posición. Considere un auto que
   viaja 4 m E, luego 6 m W.
   viaja 4 m E, luego 6 m W.
                           Desplazamiento neto:
     D       4 m, E           D = 2 m, W
                           ¿Cuál es la distancia
x = -2            x = +4   recorrida?
         6 m, W                 ¡¡ 10 m !!
Identificación de dirección
Una forma común de identificar la dirección
 Una forma común de identificar la dirección
es con referencia al este, norte, oeste y sur.
 es con referencia al este, norte, oeste y sur.
(Ubique los puntos
 (Ubique los puntos abajo.)
                        abajo.)

             N              Longitud = 40 m
                            40 m, 50o N del E
     60o      50o
W                    E      40 m, 60o N del W
             60o
       60o
                           40 m, 60o W del S

                           40 m, 60o S del E
             S
Identificación de dirección
Escriba los ángulos que se muestran a continuación
 Escriba los ángulos que se muestran a continuación
con referencias al este, sur, oeste, norte.
con referencias al este, sur, oeste, norte.


            N                           N
                               45o
    W             E
            50o           W                 E
        S
                                    S
     5000 S del E
     50 S del E            4500 W del N
                           45 W del N
      Clic para ver las respuestas...
      Clic para ver las respuestas...
Vectores y coordenadas polares
Las coordenadas polares R, θ son una
Las coordenadas polares ((R, θ)) son una
excelente forma de expresar vectores. Considere,
excelente forma de expresar vectores. Considere,
por ejemplo, al vector 40 m, 5000N del E..
por ejemplo, al vector 40 m, 50 N del E


     90o                      90o
           40 m                     R
 180o       50o            180o         θ
                  0o                        0o
   270o                      270o

 R es la magnitud y θ la dirección.
Vectores y coordenadas polares
Se dan coordenadas polares ((R,, θ)) para
Se dan coordenadas polares R θ para
cada uno de los cuatro posibles cuadrantes:
cada uno de los cuatro posibles cuadrantes:

                   90o
                                    (R, θ) = 40 m, 50o
                   120 o
      210o
        60   o
                     50    o        (R, θ) = 40 m, 120o
180
  o
                               0o
                    60o
             60o                    (R, θ) = 40 m, 210o
        3000

                                    (R, θ) = 40 m, 300o
                   270o
Coordenadas rectangulares
               y                  La referencia se
(-2, +3)                          hace a los ejes x y
                   (+3, +2)       y,     y los números
           +                      + y – indican
                   +              posición en el
                              x
      -                           espacio.
                                  Derecha, arriba = (+, +)
               -                  Izquierda, abajo = (-, -)
                                     (x, y) = (?, ?)
  (-1, -3)             (+4, -3)
Repaso de trigonometría
• Aplicación de trigonometría a vectores

    Trigonometría             y
                      sen θ =     y = R sen θ
                                  y = R sen θ
                              R
y             R               x
                      cos θ =     x = R cos θ
                                  x = R cos θ
                              R
                  θ           y
          x           tan θ =     R22 = x22 + y22
                                  R =x +y
                              x
Ejemplo 1: Encuentre la altura de un
edificio si proyecta una sombra de 90 m
de largo y el ángulo indicado es de 30o.
          La altura h es opuesta a 300 y el lado
          adyacente conocido es de 90 m.
                            op   h
                  tan 30° =    =
                            ady 90 m
     h
            300
                         h = (90 m) tan 30o
          90 m
                              h = 57.7 m
                              h = 57.7 m
Cómo encontrar componentes
   de vectores
Un componente es el efecto de un vector a lo
largo de otras direcciones. A continuación se
ilustran los componentes x y y del vector (R, θ).

                               x = R cos θ
         R                     y = R sen θ
                   y
          θ
         x        Cómo encontrar componentes:
              Conversiones de polar a
Ejemplo 2: Una persona camina 400 m en
     una dirección 30o N del E. ¿Cuán lejos está
     el desplazamiento al este y cuánto al norte?

                             N
 N
        R                    400 m
                 y                      y=?
        θ                        30ο
                                                E
        x            E           x=?


El componente x (E) es ADY:       x = R cos θ
El componente y (N) es OP:        y = R sen θ
Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de 400 m en
  una dirección a 30o N del E. ¿Cuán lejos está
  el desplazamiento del este y cuánto del norte?
  N                       Nota: x es el lado
 400 m                adyacente al ángulo de 300
               y=?
      30ο
                 E      ADY = HIP x cos 300
      x=?
                             x = R cos θ

x = (400 m) cos 30o       El componente x es:
 = +346 m, E                 Rx = +346 m
Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de 400 m en
   una dirección a 30o N del E. ¿Cuán lejos está
   el desplazamiento del este y cuánto del norte?
   N                   Nota: y es el lado opuesto
   400 m                   al ángulo de 300
               y=?
       30ο
                  E      OP = HIP x sen 300
       x=?
                             y = R sen θ

y = (400 m) sen 30o        El componente y es:
  = + 200 m, N                Ry = +200 m
Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de 400 m en
  una dirección a 30o N del E. ¿Cuán lejos está
  el desplazamiento del este y cuánto del norte?
  N
  400 m                     Los
            Ry = +200 componentes x y
     30ο        m     y son cada uno
                 E     + en el primer
   Rx =
                         cuadrante
   +346 m

Solución: La persona se desplaza 346 m al
este y 200 m al norte de la posición original.
Signos para coordenadas
     rectangulares
90o
                    Primer cuadrante:
                    R es positivo (+)
      R    +         0o > θ < 90o
       θ
               0o    x = +; y = +
      +
                      x = R cos θ
                      y = R sen θ
Signos para coordenadas
                rectangulares
           90o
                            Segundo
                           cuadrante:
           R
                        R es positivo (+)
       +         θ
180o                     90o > θ < 180o
                        x=-; y=+
                         x = R cos θ
                          y = R sen θ
Signos para coordenadas
            rectangulares
                    Tercer cuadrante:
                    R es positivo (+)
       θ            180o > θ < 270o
180o
                     x=-    y=-
       -
            R         x = R cos θ
                      y = R sen θ
           270o
Signos para coordenadas
         rectangulares
                           Cuarto cuadrante:
                           R es positivo (+)
θ                           270o > θ < 360o
                  + 360o
                              x=+    y=-

              R              x = R cos θ
                             y = R sen θ
    270   o
Resultante de vectores
                   perpendiculares
Encontrar la resultante de dos vectores perpendiculares
es como cambiar de coordenadas rectangulares a
polares.

            R                   R= x +y  2     2

                     y
            θ
                                          y
            x                     tan θ =
                                          x
   R siempre es positivo; θ es desde el eje +x
Ejemplo 3: Una fuerza de 30 lb hacia el sur y
    una de 40 lb hacia el este actúan sobre un
    burro al mismo tiempo. ¿Cuál es la fuerza
    NETA o resultante sobre el burro?
Dibuje un esquema burdo.    Elija una escala burda:

                              Ej: 1 cm = 10 lb
                40 lb                      40 lb


    Nota: La fuerza tiene direccióncm = 40 lbla
     Nota: La fuerza tiene dirección tal como la
                                  4 tal como
    longitud. Los vectores fuerza se pueden tratar
     longitud. Los vectores fuerza se pueden tratar
                       30 lb
    como si se tuvieran vectores3longitud para
                                     cm = 30 lb
                                   longitud para
     como si se tuvieran vectores
      30 lb
    encontrar la fuerza resultante. ¡El
     encontrar la fuerza resultante. ¡El
Cómo encontrar la resultante (cont.)

Encontrar (R, θ) a partir de (x, y) dados = (+40, -30)
                      40 lb    θ            Rx    40 lb
                                        φ
                                                          Ry

30 lb                                        R         30 lb


   R=       x2 + y2       R=       (40)2 + (30)2 = 50 lb

              -30
  tan φ =                 φ = -36.9o             θ = 323.1oo
                                                 θ = 323.1
              40
Cuatro cuadrantes (cont.)
      30 lb
                R                           R            30 lb
                             R = 50 lb
   Ry                                                       Ry
                         θ
                φ                          θ

                Rx                             Rx 40 lb
        40 lb
   40 lb Rx          θ             θ        Rx      40 lb
                     φ                     φ
 Ry                                                         Ry
                             R = 50 lb
30 lb           R                               R        30 lb

      φ = 36.9oo;; θ = 36.9oo;; 143.1oo;; 216.9oo;; 323.1oo
      φ = 36.9 θ = 36.9 143.1 216.9 323.1
Notación vector unitario (i, j, k)

        y                  Considere ejes 3D (x, y, z)
        j                  Defina vectores unitarios i, j, k
               i       x
    k                          Ejemplos de uso:
z                  40 m, E = 40 i     40 m, W = -40 i
                   30 m, N = 30 j      30 m, S = -30 j
                   20 m, out = 20 k 20 m, in = -20 k
Ejemplo 4: Una mujer camina 30 m, W;
    luego 40 m, N. Escriba su desplazamiento
    en notación i, j y en notación R, θ.

                     En notación i, j se tiene:
+40 m       R            R = R x i + Ry j
             φ       Rx = - 30 m      Ry = + 40 m
          -30 m
                           R = -30 ii + 40 jj
                           R = -30 + 40

        El desplazamiento es 30 m oeste
        El desplazamiento es 30 m oeste         y
                                                y
         40 m norte de la posición de partida.
          40 m norte de la posición de partida.
Ejemplo 4 (cont.): A continuación se
 encuentra su desplazamiento en
 notación R, θ.

                            + 40
                    tan φ =      ; φ = 59.10

 +40     R                  − 30
  m
          φ                θ = 1800 – 59.10
       -30 m
                            θ = 126.9oo
                            θ = 126.9

R = (−30) + (40)
               2       2
                               R = 50 m
                               R = 50 m
        ((R,, θ)) = (50 m, 126.9oo))
          R θ = (50 m, 126.9
Ejemplo 6: La ciudad A está 35 km al sur y
  46 km al oeste de la ciudad B. Encuentre la
  longitud y dirección de la autopista entre las
  ciudades.
                                  46 km
R = -46 i – 35 j
                                        φ=?
R = (46 km) 2 + (35 km) 2 35                  B
                           km
     R = 57.8 km                       R=?
     R = 57.8 km
                                   A
           −46 km
   tan φ =
           −35 km            θ = 1800 + 52.70
  φ = 52.700 S de W.
  φ = 52.7 S de W.              θ = 232.700
                                θ = 232.7
Ejemplo 7. Encuentre los componentes de la
      fuerza de 240 N que ejerce el niño sobre la niña
      si su brazo forma un ángulo de 280 con el suelo.

                                        F = 240 N

                                   Fy       F
                                          280
                                                    Fy
                                           Fx


Fx = -|(240 N) cos 280| = -212 N    O en notación i, j :

Fy = +|(240 N) sen 280| = +113 N   F = -(212 N)i + (113 N)j
Ejemplo 8. Encuentre los componentes de
    una fuerza de 300 N que actúa a lo largo del
    manubrio de una podadora. El ángulo con el
    suelo es de 320.


                                    F = 300 N
              32 o

                                           Fx
      32o                                 320
                                   Fy       F    Fy


Fx = -|(300 N) cos 320| = -254 N        O en notación i,
                                              j:
Fy = -|(300 N) sen 320| = -159 N    F = -(254 N)i - (159 N)j
Método de componentes
1. Inicie en el origen. Dibuje cada vector a escala
   con la punta del 1o a la cola del 2o, la punta del
   2o a la cola del 3o, y así para los demás.
2. Dibuje la resultante desde el origen hasta la
   punta del último vector y note el cuadrante de la
   resultante.
3. Escriba cada vector en notación i, j.

4. Sume algebraicamente los vectores para obtener
   la resultante en notación i, j. Luego convierta a
   (R, θ).
Ejemplo 9. Un bote se mueve 2.0 km al este,
     luego 4.0 km al norte, luego 3.0 km al oeste y
     finalmente 2.0 km al sur. Encuentre el
     desplazamiento resultante.

1. Inicie en el origen.   D     N 3 km, O
Dibuje cada vector a    2 km, S     C       B
escala con la punta del                   4 km, N
1o a la cola del 2o, la
punta del 2o a la cola                A         E
                                    2 km, E
del 3o, y así para los
demás.
2. Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta
del último vector y note el cuadrante de la resultante.
Nota: La escala es aproximada, pero todavía es
claro que la resultante está en el cuarto cuadrante.
Ejemplo 9 (cont.) Encuentre el
      desplazamiento resultante.
3. Escriba cada vector             N
                           D           3 km, O
  en notación i, j:      2 km, S        C         B
  A = +2 i                                       4 km, N

  B=       +4j                                        E
                                          A
  C = -3 i                              2 km, E
  D=       -2j            4. Sume algebraicamente
                            los vectores A, B, C, D
 R = -1 i + 2 j             para obtener la resultante
                            en notación i, j.
 1 km al oeste y 2 km
 1 km al oeste y 2 km      5. Convierta a notación R, θ
 al norte del origen..
 al norte del origen          Vea página siguiente.
Ejemplo 9 (cont.) Encuentre desplazamiento
       resultante.
                                   N
La suma resultante es:     D           3 km, O
                         2 km, S         C         B
 R = -1 i + 2 j                                  4 km, N
Ahora encuentre R, θ
                                                       E
R = (−1) + (2) = 5
          2       2                        A
                                         2 km, E
   R = 2.24 km
          +2 km                         R    Ry = +2
  tan φ =
          −1 km                                km
                                        φ
 φ = 63.40 N del O          Rx = -1 km
Recordatorio de unidades significativas:
                                N
Por conveniencia,          D      3 km
siga la práctica de      2 km      C       B
                                           4 km
suponer tres (3)
cifras significativas                      E
                                      A
para todos los datos                 2 km
en los problemas.
En el ejemplo anterior, se supone que las
distancias son 2.00 km, 4.00 km y 3.00 km.
Por tanto, la respuesta se debe reportar como:

       R = 2.24 km, 63.400 N del O
       R = 2.24 km, 63.4 N del O
Dígitos significativos
              para ángulos
Puesto que una décima
de grado con frecuencia          R           30 lb
puede ser significativa, a                       Ry
veces se necesita un
                                 θ
cuarto dígito.                       Rx 40 lb
Regla: Escriba los
 Regla: Escriba los
ángulos a la décima de
 ángulos a la décima de          Rx      40 lb
                             θ
grado más cercana. Vea
 grado más cercana. Vea
los dos ejemplos
 los dos ejemplos                φ
siguientes:
 siguientes:                                     Ry
                                     R       30 lb
  θ = 36.9 ;; 323.1
           o
  θ = 36.9 323.1
            o       oo
Ejemplo 10: Encontrar R, θ para los tres
    desplazamientos vectoriales siguientes:
 A = 5 m, 00                                    C=       0.5
                                   R                 m
 B = 2.1 m, 200                           B
                               θ              200
 C = 0.5 m, 900
                            A=5m           B = 2.1 m

1. Primero dibuje los vectores A, B y C a escala
   aproximada y los ángulos indicados. (Dibujo burdo)
2. Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta
   del último vector; note el cuadrante de la resultante.
   ( R, θ )
3. Escriba cada vector en notación i, j. (continúa...)
Ejemplo 10: Encuentre R, θ para los tres
    desplazamientos vectoriales siguientes. (Puede
    ser útil una tabla.)
Para notación i, j,                            C=        0.5
encuentre los                      R                m
componentes x, y                         B
                               θ             200
de cada vector A,
B, C.                       A=5m          B = 2.1 m

 Vector    φ componente x (i) componente y (j)
A=5m      00      +5m                   0
B = 2.1 m 200 +(2.1 m) cos 200    +(2.1 m) sen 200
C = 0.5 m 900        0              + 0.5 m
              R x = Ax + Bx + C x Ry = A y + B y + C y
Ejemplo 10 (cont.): Encuentre i, j para
    tres vectores: A = 5 m, 00; B = 2.1 m,
    200; C = 0.5 m, 900.
     componente x (i) componente y (j)
      Ax = + 5.00 m    Ay = 0
      Bx = +1.97 m     By = +0.718 m
      Cx = 0           Cy = + 0.50 m

4. Sume los vectores   A = 5.00 i +    0j
   para obtener la     B = 1.97 i + 0.718 j
   resultante R en
                       C=     0 i + 0.50 j
   notación i, j.
                       R = 6.97 i + 1.22 j
Ejemplo 10 (cont.): Encuentre i, j para tres
    vectores: A = 5 m, 00; B = 2.1 m, 200; C = 0.5
    m, 900.

 R = 6.97 i + 1.22 j              Diagrama
                                  para encontrar
5. Determine R, θ a partir        R, θ :
de x, y:                                 R    Ry
R = (6.97 m) 2 + (1.22 m) 2          θ       1.22 m
                                   Rx= 6.97 m
      R = 7.08 m
      R = 7.08 m
            1.22 m
    tan φ =                   θ = 9.9300 N del E
                              θ = 9.93 N del E
            6.97 m
Ejemplo 11: Un ciclista viaja 20 m, E luego 40 m
  a 60o N del W, y finalmente 30 m a 210o. ¿Cuál
  es el desplazamiento resultante gráficamente?

 C = 30 m                 Gráficamente, se usa
                   B = 40 regla y transportador
       30o
                   m      para dibujar los
                          componentes, luego
             R            se mide la resultante
                 θ 60o R, θ
          φ
                   A = 20 m, E

Sea 1 cm = 10 m         R = (32.6 m, 143.0oo))
                        R = (32.6 m, 143.0
A continuación se proporciona una
     comprensión gráfica de los
     componentes y la resultante:


                              Nota: Rx = Ax + Bx + Cx
Cy
      By   30o                              0
                 C            B    R y = Ay + By + C y
                 R
      Ry             θ
             φ                60o A
           Rx                      Ax
           Cx            Bx
Ejemplo 11 (cont.) Use el método de
     componentes para encontrar la resultante .
                                Escriba cada vector
C   By
                                  en notación i, j.
         30o
y
             C        B         Ax = 20 m, Ay = 0
             R
    Ry                              A = 20 i
             φ   θ    60   A
                               Bx = -40 cos 60o = -20 m
         Rx                A
         C       Bx        x
                               By = 40 sen 60o = +34.6 m
         x
                                   B = -20 i + 34.6 j
Cx = -30 cos 30o = -26 m
Cy = -30 sen 60o = -15 m           C = -26 i - 15 j
Ejemplo 11 (cont.) Método de componentes

                                      Sume
C B                                   algebraicamente:
                                       A = 20 i
   y 30o
y
             C          B
                                      B = -20 i + 34.6 j
             R
    Ry             θ    60    A       C = -26 i - 15 j
             φ
         Rx                   A       R = -26 i + 19.6 j
         C         Bx         x

         x
                             R=   (-26)2 + (19.6)2 = 32.6 m
+19.6         R
                                      19.6
              φ             tan φ =               θ = 143oo
                                                  θ = 143
             -26                      -26
Ejemplo 11 (cont.) Encuentre la resultante.

                                R = -26 i + 19.6 j
 C B
    y 30o
 y
              C        B
              R                   +19.6   R
     Ry           θ                       φ
              φ        60   A
                                          -26
          Rx                A
          C       Bx        x

          x
El desplazamiento resultante del ciclista se proporciona
mejor mediante sus coordenadas polares R y θ.

                  R = 32.6 m; θ = 14300
                  R = 32.6 m; θ = 143
Ejemplo 12. Encuentre A + B + C para los
   vectores que se muestran a continuación.

                                B           Cx
  A = 5 m, 900                              350 Cy
  B = 12 m, 00          A                        y

                                        θ       C
  C = 20 m, -350
                                    R

Ax = 0; Ay = +5 m
                            A = 0 i + 5.00 j
Bx = +12 m; By = 0          B = 12 i + 0 j
Cx = (20 m) cos 350         C = 16.4 i – 11.5 j
Cy = -(20 m) sen -350       R = 28.4 i - 6.47 j
Ejemplo 12 (cont.). Encuentre A + B + C


       B                                 Rx = 28.4 m
                       350                      θ
A
                             C              R
               θ
           R                                  Ry = -6.47 m


R = (28.4 m) + (6.47 m)
                   2                 2
                                         R = 29.1 m
                                         R = 29.1 m
            6.47 m
    tan φ =                      θ = 12.800 S del E
                                 θ = 12.8 S del E
            28.4 m
Diferencia vectorial
Para vectores, los signos indican la dirección. Por
tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar
se debe cambiar el signo (dirección).


   Considere primero A + B gráficamente:
                      R=A+B
          B
                                   R
                                          B
           A                   A
Diferencia vectorial
Para vectores, los signos indican la dirección. Por
tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar
se debe cambiar el signo (dirección).

      Ahora A – B: primero cambie el signo
 (dirección) de B, luego sume el vector negativo.
     B             -B                    A
                                   R’        -B
      A                 A
Suma y resta
La resta resulta en un diferencia significativa tanto
en la magnitud como en la dirección del vector
resultante. |(A – B)| = |A| - |B|


     Comparación de suma y resta de B
                   R=A+B                R’ = A - B
     B
                                            A
                         R
                               B      R’       -B
      A              A
Ejemplo 13. Dados A = 2.4 km N y B = 7.8
    km N: encuentre A – B y B – A.


                   A - B                 B - A
 A – B;
 B-A              +A                             -A
                                        +B
                         -B
                   R                            R

 A      B       (2.43 N – 7.74 S)   (7.74 N – 2.43 S)
2.43 N 7.74 N
                  5.31 km,            5.31 km,
                     S                   N
Resumen para vectores
 Una cantidad escalar se especifica
  completamente sólo mediante su magnitud. (40
  m, 10 gal)
 Una cantidad vectorial se especifica completamente
  mediante su magnitud y dirección. (40 m, 300)


    Componentes de R:
                                    R
                                          Ry
      Rx = R cos θ                  θ
      Ry = R sen θ                  Rx
Continúa resumen:
 Encontrar la resultante de dos vectores
  perpendiculares es como convertir de coordenadas
  polares (R, θ) a rectangulares (Rx, Ry).


  Resultante de vectores:
                                    R
      R= x +y2    2
                                           Ry
                                    θ
              y
      tan θ =                       Rx
              x
Método de componentes                        para
            vectores
 Inicie en el origen y dibuje cada vector en
  sucesión para formar un polígono etiquetado.
 Dibuje la resultante desde el origen hasta la
  punta del último vector y note el cuadrante de
  la resultante.
 Escriba cada vector en notación i, j (Rx, Ry).
 Sume algebraicamente los vectores para
  obtener la resultante en notación i, j. Luego
  convierta a (R, θ).
Diferencia vectorial
Para vectores, los signos indican dirección. Por
tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar
se debe cambiar el signo (dirección).

      Ahora A – B: primero cambie el signo
 (dirección) de B, luego sume el vector negativo.
     B            -B                    A
                                  R’        -B
      A                A
Conclusión - Vectores

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  • 3. Objetivos: Después de completar este módulo, deberá: • Demostrar que cumple las expectativas matemáticas: análisis de unidades, álgebra, notación científica y trigonometría de triángulo recto. • Definir y dar ejemplos de cantidades escalares y vectoriales. • Determinar los componentes de un vector dado. • Encontrar la resultante de dos o más vectores.
  • 4. Expectativas • Debe ser capaz de convertir unidades de medición para cantidades físicas. Convierta 40 m/s en kilómetros por hora. m 1 km 3600 s 40--- x ---------- x -------- = 144 km/h s 1000 m 1h
  • 5. Expectativas (cont.): • Se supone manejo de álgebra universitaria y fórmulas simples.  v0 + v f  Ejemplo: x = t Resuelva para  2  vo v f t − 2x v0 = t
  • 6. Expectativas (cont.) • Debe ser capaz de trabajar en notación científica. Evalúe lo siguiente: Gmm’ (6.67 x 10-11)(4 x 10-3)(2) F = -------- = ------------ r 2 (8.77 x 10-3)2 F = 6.94 x 10-9 N = 6.94 nN F = 6.94 x 10-9 N = 6.94 nN
  • 7. Expectativas (cont.) • Debe estar familiarizado con prefijos del SI metro (m) 1 m = 1 x 100 m 1 Gm = 1 x 109 m 1 nm = 1 x 10-9 m 1 Mm = 1 x 106 m 1 µm = 1 x 10-6 m 1 km = 1 x 103 m 1 mm = 1 x 10-3 m
  • 8. Expectativas (cont.) • Debe dominar la trigonometría del triángulo recto. y sen θ = y = R sen θ y = R sen θ R y R x cos θ = x = R cos θ x = R cos θ R θ y x tan θ = R22 = x22 + y22 R =x +y x
  • 9. Repaso de matemáticas Si siente necesidad de pulir sus habilidades matemáticas, intente el tutorial del Capítulo 2 acerca de matemáticas. La trigonometría se revisa junto con los vectores en este módulo. Seleccione Capítulo 2 del On-Line Learning Seleccione Capítulo 2 del On-Line Learning Center en Tippens-Student Edition Center en Tippens-Student Edition
  • 10. La física es la ciencia de la medición Longitud Peso Tiemp o Comience con la medición de longitud: Comience con la medición de longitud: su magnitud y su dirección. su magnitud y su dirección.
  • 11. Distancia: cantidad escalar  Distancia es la longitud de la ruta  Distancia es la longitud de la ruta tomada por un objeto. tomada por un objeto. Una cantidad escalar: s = 20 m B Sólo contiene magnitud y consiste de un A número y una unidad. (20 m, 40 mi/h, 10 gal)
  • 12. Desplazamiento-Cantidad vectorial •• Desplazamiento es la separación en Desplazamiento es la separación en línea recta de dos puntos en una línea recta de dos puntos en una dirección especificada. dirección especificada. Una cantidad vectorial: D = 12 m, 20o B Contiene magnitud Y A dirección, un número, θ unidad y ángulo. (12 m, 300; 8 km/h, N)
  • 13. Distancia y desplazamiento •• Desplazamiento es la coordenada x o y Desplazamiento es la coordenada x o y de la posición. Considere un auto que de la posición. Considere un auto que viaja 4 m E, luego 6 m W. viaja 4 m E, luego 6 m W. Desplazamiento neto: D 4 m, E D = 2 m, W ¿Cuál es la distancia x = -2 x = +4 recorrida? 6 m, W ¡¡ 10 m !!
  • 14. Identificación de dirección Una forma común de identificar la dirección Una forma común de identificar la dirección es con referencia al este, norte, oeste y sur. es con referencia al este, norte, oeste y sur. (Ubique los puntos (Ubique los puntos abajo.) abajo.) N Longitud = 40 m 40 m, 50o N del E 60o 50o W E 40 m, 60o N del W 60o 60o 40 m, 60o W del S 40 m, 60o S del E S
  • 15. Identificación de dirección Escriba los ángulos que se muestran a continuación Escriba los ángulos que se muestran a continuación con referencias al este, sur, oeste, norte. con referencias al este, sur, oeste, norte. N N 45o W E 50o W E S S 5000 S del E 50 S del E 4500 W del N 45 W del N Clic para ver las respuestas... Clic para ver las respuestas...
  • 16. Vectores y coordenadas polares Las coordenadas polares R, θ son una Las coordenadas polares ((R, θ)) son una excelente forma de expresar vectores. Considere, excelente forma de expresar vectores. Considere, por ejemplo, al vector 40 m, 5000N del E.. por ejemplo, al vector 40 m, 50 N del E 90o 90o 40 m R 180o 50o 180o θ 0o 0o 270o 270o R es la magnitud y θ la dirección.
  • 17. Vectores y coordenadas polares Se dan coordenadas polares ((R,, θ)) para Se dan coordenadas polares R θ para cada uno de los cuatro posibles cuadrantes: cada uno de los cuatro posibles cuadrantes: 90o (R, θ) = 40 m, 50o 120 o 210o 60 o 50 o (R, θ) = 40 m, 120o 180 o 0o 60o 60o (R, θ) = 40 m, 210o 3000 (R, θ) = 40 m, 300o 270o
  • 18. Coordenadas rectangulares y La referencia se (-2, +3) hace a los ejes x y (+3, +2) y, y los números + + y – indican + posición en el x - espacio. Derecha, arriba = (+, +) - Izquierda, abajo = (-, -) (x, y) = (?, ?) (-1, -3) (+4, -3)
  • 19. Repaso de trigonometría • Aplicación de trigonometría a vectores Trigonometría y sen θ = y = R sen θ y = R sen θ R y R x cos θ = x = R cos θ x = R cos θ R θ y x tan θ = R22 = x22 + y22 R =x +y x
  • 20. Ejemplo 1: Encuentre la altura de un edificio si proyecta una sombra de 90 m de largo y el ángulo indicado es de 30o. La altura h es opuesta a 300 y el lado adyacente conocido es de 90 m. op h tan 30° = = ady 90 m h 300 h = (90 m) tan 30o 90 m h = 57.7 m h = 57.7 m
  • 21. Cómo encontrar componentes de vectores Un componente es el efecto de un vector a lo largo de otras direcciones. A continuación se ilustran los componentes x y y del vector (R, θ). x = R cos θ R y = R sen θ y θ x Cómo encontrar componentes: Conversiones de polar a
  • 22. Ejemplo 2: Una persona camina 400 m en una dirección 30o N del E. ¿Cuán lejos está el desplazamiento al este y cuánto al norte? N N R 400 m y y=? θ 30ο E x E x=? El componente x (E) es ADY: x = R cos θ El componente y (N) es OP: y = R sen θ
  • 23. Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de 400 m en una dirección a 30o N del E. ¿Cuán lejos está el desplazamiento del este y cuánto del norte? N Nota: x es el lado 400 m adyacente al ángulo de 300 y=? 30ο E ADY = HIP x cos 300 x=? x = R cos θ x = (400 m) cos 30o El componente x es: = +346 m, E Rx = +346 m
  • 24. Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de 400 m en una dirección a 30o N del E. ¿Cuán lejos está el desplazamiento del este y cuánto del norte? N Nota: y es el lado opuesto 400 m al ángulo de 300 y=? 30ο E OP = HIP x sen 300 x=? y = R sen θ y = (400 m) sen 30o El componente y es: = + 200 m, N Ry = +200 m
  • 25. Ejemplo 2 (cont.): Una caminata de 400 m en una dirección a 30o N del E. ¿Cuán lejos está el desplazamiento del este y cuánto del norte? N 400 m Los Ry = +200 componentes x y 30ο m y son cada uno E + en el primer Rx = cuadrante +346 m Solución: La persona se desplaza 346 m al este y 200 m al norte de la posición original.
  • 26. Signos para coordenadas rectangulares 90o Primer cuadrante: R es positivo (+) R + 0o > θ < 90o θ 0o x = +; y = + + x = R cos θ y = R sen θ
  • 27. Signos para coordenadas rectangulares 90o Segundo cuadrante: R R es positivo (+) + θ 180o 90o > θ < 180o x=-; y=+ x = R cos θ y = R sen θ
  • 28. Signos para coordenadas rectangulares Tercer cuadrante: R es positivo (+) θ 180o > θ < 270o 180o x=- y=- - R x = R cos θ y = R sen θ 270o
  • 29. Signos para coordenadas rectangulares Cuarto cuadrante: R es positivo (+) θ 270o > θ < 360o + 360o x=+ y=- R x = R cos θ y = R sen θ 270 o
  • 30. Resultante de vectores perpendiculares Encontrar la resultante de dos vectores perpendiculares es como cambiar de coordenadas rectangulares a polares. R R= x +y 2 2 y θ y x tan θ = x R siempre es positivo; θ es desde el eje +x
  • 31. Ejemplo 3: Una fuerza de 30 lb hacia el sur y una de 40 lb hacia el este actúan sobre un burro al mismo tiempo. ¿Cuál es la fuerza NETA o resultante sobre el burro? Dibuje un esquema burdo. Elija una escala burda: Ej: 1 cm = 10 lb 40 lb 40 lb Nota: La fuerza tiene direccióncm = 40 lbla Nota: La fuerza tiene dirección tal como la 4 tal como longitud. Los vectores fuerza se pueden tratar longitud. Los vectores fuerza se pueden tratar 30 lb como si se tuvieran vectores3longitud para cm = 30 lb longitud para como si se tuvieran vectores 30 lb encontrar la fuerza resultante. ¡El encontrar la fuerza resultante. ¡El
  • 32. Cómo encontrar la resultante (cont.) Encontrar (R, θ) a partir de (x, y) dados = (+40, -30) 40 lb θ Rx 40 lb φ Ry 30 lb R 30 lb R= x2 + y2 R= (40)2 + (30)2 = 50 lb -30 tan φ = φ = -36.9o θ = 323.1oo θ = 323.1 40
  • 33. Cuatro cuadrantes (cont.) 30 lb R R 30 lb R = 50 lb Ry Ry θ φ θ Rx Rx 40 lb 40 lb 40 lb Rx θ θ Rx 40 lb φ φ Ry Ry R = 50 lb 30 lb R R 30 lb φ = 36.9oo;; θ = 36.9oo;; 143.1oo;; 216.9oo;; 323.1oo φ = 36.9 θ = 36.9 143.1 216.9 323.1
  • 34. Notación vector unitario (i, j, k) y Considere ejes 3D (x, y, z) j Defina vectores unitarios i, j, k i x k Ejemplos de uso: z 40 m, E = 40 i 40 m, W = -40 i 30 m, N = 30 j 30 m, S = -30 j 20 m, out = 20 k 20 m, in = -20 k
  • 35. Ejemplo 4: Una mujer camina 30 m, W; luego 40 m, N. Escriba su desplazamiento en notación i, j y en notación R, θ. En notación i, j se tiene: +40 m R R = R x i + Ry j φ Rx = - 30 m Ry = + 40 m -30 m R = -30 ii + 40 jj R = -30 + 40 El desplazamiento es 30 m oeste El desplazamiento es 30 m oeste y y 40 m norte de la posición de partida. 40 m norte de la posición de partida.
  • 36. Ejemplo 4 (cont.): A continuación se encuentra su desplazamiento en notación R, θ. + 40 tan φ = ; φ = 59.10 +40 R − 30 m φ θ = 1800 – 59.10 -30 m θ = 126.9oo θ = 126.9 R = (−30) + (40) 2 2 R = 50 m R = 50 m ((R,, θ)) = (50 m, 126.9oo)) R θ = (50 m, 126.9
  • 37. Ejemplo 6: La ciudad A está 35 km al sur y 46 km al oeste de la ciudad B. Encuentre la longitud y dirección de la autopista entre las ciudades. 46 km R = -46 i – 35 j φ=? R = (46 km) 2 + (35 km) 2 35 B km R = 57.8 km R=? R = 57.8 km A −46 km tan φ = −35 km θ = 1800 + 52.70 φ = 52.700 S de W. φ = 52.7 S de W. θ = 232.700 θ = 232.7
  • 38. Ejemplo 7. Encuentre los componentes de la fuerza de 240 N que ejerce el niño sobre la niña si su brazo forma un ángulo de 280 con el suelo. F = 240 N Fy F 280 Fy Fx Fx = -|(240 N) cos 280| = -212 N O en notación i, j : Fy = +|(240 N) sen 280| = +113 N F = -(212 N)i + (113 N)j
  • 39. Ejemplo 8. Encuentre los componentes de una fuerza de 300 N que actúa a lo largo del manubrio de una podadora. El ángulo con el suelo es de 320. F = 300 N 32 o Fx 32o 320 Fy F Fy Fx = -|(300 N) cos 320| = -254 N O en notación i, j: Fy = -|(300 N) sen 320| = -159 N F = -(254 N)i - (159 N)j
  • 40. Método de componentes 1. Inicie en el origen. Dibuje cada vector a escala con la punta del 1o a la cola del 2o, la punta del 2o a la cola del 3o, y así para los demás. 2. Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta del último vector y note el cuadrante de la resultante. 3. Escriba cada vector en notación i, j. 4. Sume algebraicamente los vectores para obtener la resultante en notación i, j. Luego convierta a (R, θ).
  • 41. Ejemplo 9. Un bote se mueve 2.0 km al este, luego 4.0 km al norte, luego 3.0 km al oeste y finalmente 2.0 km al sur. Encuentre el desplazamiento resultante. 1. Inicie en el origen. D N 3 km, O Dibuje cada vector a 2 km, S C B escala con la punta del 4 km, N 1o a la cola del 2o, la punta del 2o a la cola A E 2 km, E del 3o, y así para los demás. 2. Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta del último vector y note el cuadrante de la resultante. Nota: La escala es aproximada, pero todavía es claro que la resultante está en el cuarto cuadrante.
  • 42. Ejemplo 9 (cont.) Encuentre el desplazamiento resultante. 3. Escriba cada vector N D 3 km, O en notación i, j: 2 km, S C B A = +2 i 4 km, N B= +4j E A C = -3 i 2 km, E D= -2j 4. Sume algebraicamente los vectores A, B, C, D R = -1 i + 2 j para obtener la resultante en notación i, j. 1 km al oeste y 2 km 1 km al oeste y 2 km 5. Convierta a notación R, θ al norte del origen.. al norte del origen Vea página siguiente.
  • 43. Ejemplo 9 (cont.) Encuentre desplazamiento resultante. N La suma resultante es: D 3 km, O 2 km, S C B R = -1 i + 2 j 4 km, N Ahora encuentre R, θ E R = (−1) + (2) = 5 2 2 A 2 km, E R = 2.24 km +2 km R Ry = +2 tan φ = −1 km km φ φ = 63.40 N del O Rx = -1 km
  • 44. Recordatorio de unidades significativas: N Por conveniencia, D 3 km siga la práctica de 2 km C B 4 km suponer tres (3) cifras significativas E A para todos los datos 2 km en los problemas. En el ejemplo anterior, se supone que las distancias son 2.00 km, 4.00 km y 3.00 km. Por tanto, la respuesta se debe reportar como: R = 2.24 km, 63.400 N del O R = 2.24 km, 63.4 N del O
  • 45. Dígitos significativos para ángulos Puesto que una décima de grado con frecuencia R 30 lb puede ser significativa, a Ry veces se necesita un θ cuarto dígito. Rx 40 lb Regla: Escriba los Regla: Escriba los ángulos a la décima de ángulos a la décima de Rx 40 lb θ grado más cercana. Vea grado más cercana. Vea los dos ejemplos los dos ejemplos φ siguientes: siguientes: Ry R 30 lb θ = 36.9 ;; 323.1 o θ = 36.9 323.1 o oo
  • 46. Ejemplo 10: Encontrar R, θ para los tres desplazamientos vectoriales siguientes: A = 5 m, 00 C= 0.5 R m B = 2.1 m, 200 B θ 200 C = 0.5 m, 900 A=5m B = 2.1 m 1. Primero dibuje los vectores A, B y C a escala aproximada y los ángulos indicados. (Dibujo burdo) 2. Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta del último vector; note el cuadrante de la resultante. ( R, θ ) 3. Escriba cada vector en notación i, j. (continúa...)
  • 47. Ejemplo 10: Encuentre R, θ para los tres desplazamientos vectoriales siguientes. (Puede ser útil una tabla.) Para notación i, j, C= 0.5 encuentre los R m componentes x, y B θ 200 de cada vector A, B, C. A=5m B = 2.1 m Vector φ componente x (i) componente y (j) A=5m 00 +5m 0 B = 2.1 m 200 +(2.1 m) cos 200 +(2.1 m) sen 200 C = 0.5 m 900 0 + 0.5 m R x = Ax + Bx + C x Ry = A y + B y + C y
  • 48. Ejemplo 10 (cont.): Encuentre i, j para tres vectores: A = 5 m, 00; B = 2.1 m, 200; C = 0.5 m, 900. componente x (i) componente y (j) Ax = + 5.00 m Ay = 0 Bx = +1.97 m By = +0.718 m Cx = 0 Cy = + 0.50 m 4. Sume los vectores A = 5.00 i + 0j para obtener la B = 1.97 i + 0.718 j resultante R en C= 0 i + 0.50 j notación i, j. R = 6.97 i + 1.22 j
  • 49. Ejemplo 10 (cont.): Encuentre i, j para tres vectores: A = 5 m, 00; B = 2.1 m, 200; C = 0.5 m, 900. R = 6.97 i + 1.22 j Diagrama para encontrar 5. Determine R, θ a partir R, θ : de x, y: R Ry R = (6.97 m) 2 + (1.22 m) 2 θ 1.22 m Rx= 6.97 m R = 7.08 m R = 7.08 m 1.22 m tan φ = θ = 9.9300 N del E θ = 9.93 N del E 6.97 m
  • 50. Ejemplo 11: Un ciclista viaja 20 m, E luego 40 m a 60o N del W, y finalmente 30 m a 210o. ¿Cuál es el desplazamiento resultante gráficamente? C = 30 m Gráficamente, se usa B = 40 regla y transportador 30o m para dibujar los componentes, luego R se mide la resultante θ 60o R, θ φ A = 20 m, E Sea 1 cm = 10 m R = (32.6 m, 143.0oo)) R = (32.6 m, 143.0
  • 51. A continuación se proporciona una comprensión gráfica de los componentes y la resultante: Nota: Rx = Ax + Bx + Cx Cy By 30o 0 C B R y = Ay + By + C y R Ry θ φ 60o A Rx Ax Cx Bx
  • 52. Ejemplo 11 (cont.) Use el método de componentes para encontrar la resultante . Escriba cada vector C By en notación i, j. 30o y C B Ax = 20 m, Ay = 0 R Ry A = 20 i φ θ 60 A Bx = -40 cos 60o = -20 m Rx A C Bx x By = 40 sen 60o = +34.6 m x B = -20 i + 34.6 j Cx = -30 cos 30o = -26 m Cy = -30 sen 60o = -15 m C = -26 i - 15 j
  • 53. Ejemplo 11 (cont.) Método de componentes Sume C B algebraicamente: A = 20 i y 30o y C B B = -20 i + 34.6 j R Ry θ 60 A C = -26 i - 15 j φ Rx A R = -26 i + 19.6 j C Bx x x R= (-26)2 + (19.6)2 = 32.6 m +19.6 R 19.6 φ tan φ = θ = 143oo θ = 143 -26 -26
  • 54. Ejemplo 11 (cont.) Encuentre la resultante. R = -26 i + 19.6 j C B y 30o y C B R +19.6 R Ry θ φ φ 60 A -26 Rx A C Bx x x El desplazamiento resultante del ciclista se proporciona mejor mediante sus coordenadas polares R y θ. R = 32.6 m; θ = 14300 R = 32.6 m; θ = 143
  • 55. Ejemplo 12. Encuentre A + B + C para los vectores que se muestran a continuación. B Cx A = 5 m, 900 350 Cy B = 12 m, 00 A y θ C C = 20 m, -350 R Ax = 0; Ay = +5 m A = 0 i + 5.00 j Bx = +12 m; By = 0 B = 12 i + 0 j Cx = (20 m) cos 350 C = 16.4 i – 11.5 j Cy = -(20 m) sen -350 R = 28.4 i - 6.47 j
  • 56. Ejemplo 12 (cont.). Encuentre A + B + C B Rx = 28.4 m 350 θ A C R θ R Ry = -6.47 m R = (28.4 m) + (6.47 m) 2 2 R = 29.1 m R = 29.1 m 6.47 m tan φ = θ = 12.800 S del E θ = 12.8 S del E 28.4 m
  • 57. Diferencia vectorial Para vectores, los signos indican la dirección. Por tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar se debe cambiar el signo (dirección). Considere primero A + B gráficamente: R=A+B B R B A A
  • 58. Diferencia vectorial Para vectores, los signos indican la dirección. Por tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar se debe cambiar el signo (dirección). Ahora A – B: primero cambie el signo (dirección) de B, luego sume el vector negativo. B -B A R’ -B A A
  • 59. Suma y resta La resta resulta en un diferencia significativa tanto en la magnitud como en la dirección del vector resultante. |(A – B)| = |A| - |B| Comparación de suma y resta de B R=A+B R’ = A - B B A R B R’ -B A A
  • 60. Ejemplo 13. Dados A = 2.4 km N y B = 7.8 km N: encuentre A – B y B – A. A - B B - A A – B; B-A +A -A +B -B R R A B (2.43 N – 7.74 S) (7.74 N – 2.43 S) 2.43 N 7.74 N 5.31 km, 5.31 km, S N
  • 61. Resumen para vectores  Una cantidad escalar se especifica completamente sólo mediante su magnitud. (40 m, 10 gal)  Una cantidad vectorial se especifica completamente mediante su magnitud y dirección. (40 m, 300) Componentes de R: R Ry Rx = R cos θ θ Ry = R sen θ Rx
  • 62. Continúa resumen:  Encontrar la resultante de dos vectores perpendiculares es como convertir de coordenadas polares (R, θ) a rectangulares (Rx, Ry). Resultante de vectores: R R= x +y2 2 Ry θ y tan θ = Rx x
  • 63. Método de componentes para vectores  Inicie en el origen y dibuje cada vector en sucesión para formar un polígono etiquetado.  Dibuje la resultante desde el origen hasta la punta del último vector y note el cuadrante de la resultante.  Escriba cada vector en notación i, j (Rx, Ry).  Sume algebraicamente los vectores para obtener la resultante en notación i, j. Luego convierta a (R, θ).
  • 64. Diferencia vectorial Para vectores, los signos indican dirección. Por tanto, cuando se resta un vector, antes de sumar se debe cambiar el signo (dirección). Ahora A – B: primero cambie el signo (dirección) de B, luego sume el vector negativo. B -B A R’ -B A A