,

2. 
 Las circunferencias son figuras de muy frecuente aparición en la
vida cotidiana y que desde el punto de vista de las matemáticas se
prestan a multitud de razonamientos que pueden servir para
despertar la curiosidad y fomentar la creatividad de los estudiantes
ingeniería.
 Después de la recta, la línea más familiar del estudiante es la
circunferencia, pues la conoce desde sus primeros estudios de
geometría elemental. En esta exposición haremos un estudio
detallado de la ecuación de la circunferencia y deduciremos
algunas de sus propiedades especiales.
 La circunferencia es una curva plana cerrada formada por todos los
puntos del plano que equidistan de un punto interior, llamado
centro de la circunferencia. La distancia común se llama radio
INTRODUCCION

3. Se conoce como circunferencia a la línea cerrada de formato curvo
y apariencia plana en la cual los puntos resultan equidistantes del
punto central que se localiza en el mismo plano.

4. 
 En geometría, el radio de una circunferencia es cualquier segmento
que une el centro a cualquier punto de dicha circunferencia.
 La longitud del radio es la mitad de la del diámetro. Todos los
radios de una figura geométrica poseen la misma longitud.
Radio

5. 
 segmento de recta que compone un par de radios
alineados
Diámetro

6. 
 El arco de la circunferencia es cada una de las partes en
que una cuerda divide a la circunferencia.
Arco
Cuerda
Es un segmento que une dos puntos de la
circunferencia sin pasar por su centro. Una cuerda
define un arco.

7.  Es la recta que
corta al círculo en
dos partes, con la
propiedad de que
toda recta secante,
que pasa por el
centro, es un eje de
simetría.
Recta
secante
Recta
tangente
• Es la recta que toca
al círculo en un
solo punto; es
perpendicular al
radio cuyo extremo
es el punto de
tangencia.

8. 

9. 

10. 

12. CIRCUNFERENCIA CONCÉNTRICA.
 Son aquellas que tiene el mismo centro. En la ecuación general
se diferencian únicamente en el último número.
 Las circunferencias concéntricas no tienen ningún punto.
 Una circunferencia puede ser concéntrica a un polígono si el
centro del polígono coincide con el centro de la circunferencia
CLASIFICACIÓN DE LA
CIRCUNFERENCIA.

13. 
CIRCUNFERENCIAS SECANTES.
 La circunferencia tiene dos puntos en común. Es
decir que dos circunferencias son secantes si se
cortan (se intersectan) una a la otra en dos puntos.
 La distancia entre los centros es mayor que la
diferencia de los radios.

14. 
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES.
 EXTERIOR. La distancia entre los centros es igual a
la suma de los radios.
 El centro de cada circunferencia es exterior a la otra y
tienen un punto en común, punto de tangencia.

15. 
INTERIOR. La distancia entre los centros es igual a la
diferencia entre los radios.
 El centro de una de las circunferencias está dentro de
la otra. Tienen un punto en común.

16. 
CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.
 La distancia entre los centros, d, es mayor que la
suma de los radios.
 Las circunferencias no tienen puntos en común.

17. 
CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.
 La distancia entre los centros es mayor que cero y
menor que la diferencia entre los radios.
 Una circunferencia está dentro de la otra, y por tanto
no tienen puntos en común.

18. 
CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA
 Es la circunferencia que pasa por todos los vértices de una figura
plana y contiene completamente a dicha figura en su interior.
 El centro de la circunferencia circunscrita se llama circuncentro y
su radio circunradio.
 Un polígono que tiene una circunferencia circunscrita se llama
polígono cíclico. Todos los polígonos simples regulares, todos los
triángulos y todos los rectángulos son cíclicos.
 En todo polígono cíclico, el circuncentro se halla en el punto de
intersección de las mediatrices de los lados del polígono

19. 
CIRCUNFERENCIA INSCRITA
 Una circunferencia inscrita en un polígono regular es
aquella que, siendo interior, es tangente a todos sus lados.
Al radio de una circunferencia inscrita en un polígono se
le denomina inradio.
 Las bisectrices de los ángulos internos del triángulo se
intersecan en un punto del mismo llamado incentro, que
es el centro de la circunferencia inscrita a dicho triángulo.
Es uno de los elementos secundarios del triángulo.

21. 
Ecuación en coordenadas
cartesianas
Dados las coordenadas del centro de la circunferencia C
(h;k) y el radio "r" de la misma, podemos utilizar la
siguiente ecuación para determinar el valor de "y"
correspondiente a un valor de "x".
𝑥 − ℎ 2
+ 𝑦 − 𝑘 2
= 𝑟2

22. 
Ecuación Canónica de la
Circunferencia
Sean ahora las coordenadas del centro de la
circunferencia C(0;0) y el radio "r", podemos utilizar la
siguiente ecuación para determinar el valor de "y"
correspondiente a un valor de "x".

23. 
La circunferencia con centro en el origen y de radio la
unidad, es llanada circunferencia goniométrica,
circunferencia unidad o circunferencia unitaria.

24. 
Ecuación vectorial de la
circunferencia
La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene por
ecuación vectorial:
Donde es el parámetro de la curva, además cabe destacar que

25. 
Ecuación en
coordenadas polares
Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y el radio es c, se
describe en coordenadas polares como: 𝑟, 𝜃
Cuando el centro no está en el origen, sino en el punto y
el radio es c, la ecuación se transforma en:

26. 
Ecuación paramétrica
de la circunferencia
La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con
funciones trigonométricas como:
y con funciones racionales como
, donde t recorre todos los valores reales y se llama parámetro.

27. 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0

28. • Para llegar ala ecuación general de la recta partiremos de la
ecuación ordinaria.
𝑥 − ℎ ² + 𝑦 − 𝑘 2 = 𝑟²(1)
• Desarrollando la ecuación , obtendremos:
𝑥2
+ 𝑦2
− 2ℎ𝑥 − 2𝑘𝑦 + ℎ2
+ 𝑘2
− 𝑟2
= 0
• La cual puede escribirse de la forma
𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0(2) ;
𝐷 = −2ℎ, 𝐸 = −2𝑘 𝑦 𝐹 = ℎ2 + 𝑘2 − 𝑟2
DETERMINACIÓN DE LA
ECUACIÓN

29. 
PROBLEMÁTICA
¿Cómo saber que la ecuación de la forma general forma una circunferencia?
Para ello pasaremos la ecuación general a la ordinaria, por el método de
completar el cuadrado.
• Reordenamos la ecuación general
𝑥2
+ 𝐷𝑥 + 𝑦2
+ 𝐸𝑦 = −𝐹
• sumando
𝐷2
4
+
𝐸2
4
a ambos miembros
𝑥2 + 𝐷𝑥 +
𝐷2
4
+ 𝑦2 + 𝐸𝑦 +
𝐸2
4
=
𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹
4 ;
𝑥 +
𝐷
2
2
+ 𝑦 +
𝐸
2
2
=
𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹
4
(3)

30. 
PUNTOS A CONSIDERAR
a) Si 𝐷2
+ 𝐸2
− 4𝐹 > 0 => Existe circunferencia
b) Si 𝐷2+ 𝐸2 − 4𝐹 = 0 => Existe un punto de r = 0 (circulo punto)
c) Si 𝐷2
+ 𝐸2
− 4𝐹 < 0 => No existe ningún lugar geométrico
C −
𝐷
2
, −
𝐸
2
y R = 1
2 𝐷2 + 𝐸2 − 4𝐹

31. 
 La ecuación general de una circunferencia
x2+y2+Ax+Bx+C=0 tiene 3 parámetros a determinar
que son A, B y C.
 Así pues, los 3 puntos dados que sabemos que son
de la circunferencia los debemos sustituir en la
ecuación general y de eso resultarán tres ecuaciones
con incógnitas A, B y C.
Ecuación de la Circunferencia
que pasa por 3 puntos

32. 
La ecuación general de la circunferencia es:
x²+y²+Ax+Bx+C=0
La cual tiene 3 parámetros a determinar que son A, B y C.
Por ende se hace un sistema de ecuaciones de 3x3
Para el punto 1 , se sustituye para obtener
(x1)²+(y1)²+Ax1+Bx1+C=0
POR RESOLUCIÓN DE SISTEMA DE
ECUACIONES

33. 
Para el punto 2 , se sustituye para obtener:
(x2)²+(y2)²+Ax2+Bx2+C=0
Para el punto 3 , se sustituye para obtener:
(x3)²+(y3)²+Ax3+Bx3+C=0
Reescribiendo se tiene un sistema de la forma:
Ax1+Bx1+C= -(x1)²-(y1)²
Ax2+Bx2+C= -(x2)²-(y2)²
Ax3+Bx3+C=-(x3)²-(y3)²
Sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Se resuelve por el
método deseado y las soluciones encontradas D, E y F se
reemplazan en la ecuación general.

34. Circunferencias que reúnen uno,
dos o tres parámetros iguales.

35. 
CIRCUNFERENCIAS QUE
TIENEN EL MISMO CENTRO
• Familia de circunferencias concéntricas
• Ecuación 𝑥2
+ 𝑦2
= 𝑟2
• Un parámetro r > 0

36. 
CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A
UNA RECTA EN UN PUNTO FIJO
• Familia de circunferencias tangentes a
los ejes coordenados
• Centro C(h, h)
• Ecuación 𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − ℎ 2 = ℎ²
• Un parámetro h > 0

37. 
CIRCUNFERENCIAS QUE
PASAN POR EL ORIGEN
• Familia formada por todas las
circunferencias que pasan por el origen
de coordenadas
• Ecuación 𝑥2+𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 = 0
• Dos parámetros: D ∧ E ∈ R

38. 
CIRCUNFERENCIAS QUE PASAN POR LAS
INTERSECCIONES DE DOS
CIRCUNFERENCIAS
• Familia de circunferencias que pasan por
los puntos de intersección de dos
circunferencias
• Ecuación 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐷1 𝑥 + 𝐸1 𝑦 + 𝐹1 +
𝑘 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝐷2 𝑥 + 𝐸2 𝑦 + 𝐹2 = 0
• Eje radical

40. 
Recta tangente a una circunferencia
en un punto de la misma
La recta tangente o también llamada recta exterior a una
circunferencia de centro O que pasa por un punto T de la misma es
la recta perpendicular al radio OT que pasa por el punto T.

41. 
Rectas tangentes a una circunferencia
desde un punto exterior

42. 