dos circulos

1. RecopilaciónrealizadaporIng.DianaMora Abril
Segundaclase de círculo
Posiciónrelativa de dos circunferenciasenel plano
La posiciónrelativaentre doscircunferenciasvienedeterminadaporladistanciaentre suscentros
(d) y el valorde sus radiosR y R'.
Se tienenloscasossiguientes:
Exteriores Secantes Interiores
La distanciaentre los centros,d, es
mayor que la suma de los radios.
Las circunferencias no tienen
puntos en común.
La distanciad es menor que la suma
de los radiosy mayor que su
diferencia.
Tienen dos puntos en común.
La distanciaentre los
centros es mayor que cero
y menor que la diferencia
entre los radios.
Una circunferencia está
dentro de la otra, y por
tanto no tienen puntos en
común.
Tangentes Exteriores Tangentes Interiores Concéntricas
La distancia entrelos centros es igual
a la suma de los radios.
El centro de cada circunferencia es
exterior a la otra y tienen un punto
en común, punto de tangencia.
La distancia entrelos centros es igual
a la diferencia entre los radios. El
centro de una de las circunferencias
está dentro de la otra. Tienen un
punto en común.
Tienen el mismo centro. La
distancia d=0. No tienen
puntos en común, salvo que
R=R', en este caso son la
misma circunferencia.

2. RecopilaciónrealizadaporIng.DianaMora Abril
Definiciones:
Cuerda común esel segmentode rectaque une lospuntosde intersecciónde doscircunferencias
secantes.
 El segmentoque une loscentrosde doscircunferenciasse llamalíneade loscentros.
Teorema
La líneade loscentrosde los círculossecantesesla mediatrizde lacuerdacomún.
Dato o hipótesis: - O y O´ centro de círculos que se cortan
- AB cuerdacomún
- OO´ líneade los centros
Tesisa demostrar: - OO´ perpendicularbisectrizde AB
Recta tangente común a dos circunferencias
Dadas dos circunferencias cuya distancia entre centros es d, podemos trazar rectas tangentes a
ambas circunferencias simultaneamente. Dependiendo de si estas tangentes cruzan o no la recta
que une loscentros,lasllamaremos rectastangentescomunesinterioryexteriorrespectivamente.
En la gráficaAB tangente externayCDtangente interna.Dependiendode laposiciónrelativade las
circunferenciasse podrántazar4, 3, 2 o ningunatangente común. Ejemplo:endoscircunferencias
C y C’, tangentes externas, se pueden trazar 3 tangentes comunes, una interna y dos externas.

3. RecopilaciónrealizadaporIng.DianaMora Abril
TEOREMA
Si dos círculos son tangentes, la línea de los centros pasa por el punto de contacto.
Dato o hipótesis: - O y O´ centro de círculos tangentesenP
Tesisa demostrar: - OO´ pasa por P
Aplicaciones:
1. Demostrar que las tangentes externas comunes y también las internas son iguales.
Tesis: AB=CD ; EF=GH
2. Demostrar que la línea de los centros pasa por el punto de corte de las rectas tangentes
comunes.

4. RecopilaciónrealizadaporIng.DianaMora Abril
3. Demostrarque la tangente internacomúnde loscircunferenciastangentesexternas biseca
la tangente externa común.
4. H : PQ tangente externa común y PM=MQ
T : <1 =?
5. H: AC tangente a circulo O2
T: <X=?
Tarea:
1. Si por los puntos de corte P y Q , de dos círculos secantes se
trazan dos secantes comunes cualquieras, a las dos
circunferencias,lossegmentosque unensusextremosencada
circunferencia son paralelos.
2. Dos circunferenciasigualesOy O´ se cortan en A y B, por el punto A se
traza la secante común CAD. Demostrar que el triángulo CBD es
isósceles.
3. DoscircunferenciasOyO´tangentesexternasenA.Setraza lasrectas
BAE y BD tangente a las Circunferencia O´. la cual corta a la
circunferenciaOenC.Demostrarque ADesbisectrizdel ánguloCAE.
4. H: AB paralela a DC
T: demostrar que ABDC es paralelogramo

5. RecopilaciónrealizadaporIng.DianaMora Abril
5. H: círculos O1 y O2 tangentes
AC tangente aO2
T: <BDC = 45°
POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA
Cuando un polígono tiene todos sus vértices en la circunferencia, el polígono recibe el nombre
de polígono inscrito en una circunferencia. En el caso de que todos los lados del polígono sean
tangentes a la circunferencia, el polígono se llama circunscrito.
Ejemplo:
Una propiedadimportante de lospolígonosregularesesque siempre puedenserinscriptiblesy
circunscriptibles,existeunarelacióndirectaentre lalongituddel radiodel círculocircunscrito,el
radiode círculo inscrito,llamadoapotemadel polígonoy el ladodel polígonoregular. Asípor
ejemplo:
Apotema(radiodel círculoinscrito) del triánguloequilátero,yel radiodel círculocircunscrito.
El Lado de un triánguloequiláteroinscrito es:
La alturadel triánguloes ℎ = 𝑙2 − (
𝑙
2
)2
ℎ = √
3
4
𝑙 =
√3
2
𝑙
El apotemaesla terceraparte de laaltura por larazón de divisiónde
la medianaporel baricentro

6. RecopilaciónrealizadaporIng.DianaMora Abril
Aplicamos el teoremade Pitágoras yobtnemos
Aplicación:
 Si se tiene un polígono regular de n lados de longitud l, de perímetro P y apotema a,
descomponiéndolo en n triángulos iguales con base l y altura a se obtendría el área del
polígono con la relación:
Area =
𝑛(𝑙𝑎)
2
=
𝑃𝑎
2
El círculo como límite: si tomamos un polígonoregular inscrito de n lados y volvemos a n variable
haciéndolocrecerindefinidamente,entonceselperímetro yel áreadelpolígonose vuelventambién
variablescreciendoindefinidamente,el límite del perímetroeslacircunferencia,yde igual manera
el límite del área del polígono es el círculo.
El perímetrode lacircunferenciaesigual a 2 π r endonde π (pi) eslarelaciónentre lalongitudde
una circunferenciaysudiámetro,engeometríaeuclidiana.Esunnúmeroirracional yuna de las
constantesmatemáticasmásimportantes.Se empleafrecuentemente enmatemáticas,físicae
ingeniería.El valornuméricode π, truncadoa susprimerascifras,esel siguiente:
Entoncesel límite del perímetrodel polígonoconntendiendoal infinitoesigual a 2r.
lim
𝑛→∞
( 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜) = 2 𝜋 𝑟

7. RecopilaciónrealizadaporIng.DianaMora Abril
Cuandoel númerode ladosde polígonocrece al infinitoel valorde radiode círculoinscritoo
apotemacrece aproximándose cadavezmásal radiodel círculo circunscrito.
Y el área del polígonotiende al áreadel círculo,entoncesel límite del áreadel
polígonocon n tendiendoal infinitoesigual al áreade la circunferencia.
Áreael circulo= lim
𝑛→∞
( 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜)
Área el circulo=
𝑃𝑎
2
=
2πr∗r
2
, de donde
Área del circulo = π r2
Figuras circulares:
Sector circular: Se denomina sector circulara la porción de círculo comprendido
entre un arco de circunferencia y sus respectivos radios delimitadores.
Área del sector circular: si llamamos al ángulocentral del sector circularpara determinarel área
del sectorhacemosunareglade tres:si para un ángulocentral de 2radianesse tiene unaáreade
2r2
, para un ángulo de enradianes, qué área se tendrá, obteniéndose:
Área(sectorcircular) =
𝑟2Ɵ
2
(enradianes
Cuandoel ángulocentral estaexpresadoengradostendríamos:
Área(sectorcircular) =
π 𝑟2Ɵ
360°
(engrados
Segmento circular: En geometría, un segmento circular (osegmento de un
círculo) es la porción de un círculo limitada por una cuerday
el arco correspondiente.
Área: el área del segmentocircularse obtienecomodiferenciaentre lasáreasdel sectorcirculary
del triánguloisóscelescorrespondiente.
Con el valorde enradianes.
Corona o anillo circular: Es el espaciocomprendidoentre doscírculosconcéntricos.

8. RecopilaciónrealizadaporIng.DianaMora Abril
Aplicaciones:
La Circunferenciaestáinscritaenel cuadradode lado8 cm. Calcularel área
sombreadade lafigura.
Determine el áreasombreada,si O:centrode la circunferencia,r =85 cm y
α esigual a la mitaddel suplementode 110°.
Calcule el áreaachurada enel rectánguloABDCsi,
AB= 2 cm y BD= 35 cm
En la figura se muestra cuatro semicírculos de radio 9cm. El entro de
los semicírculos son los puntos medios de los lados del cuadrado,
¿Cuál es el área del circulo interior que es tangente a los cuatro
semicírculos?
Tarea:
1. El cuadrado de la figura tiene perímetro 48u. y las cuartas
circunferencias tiene radio 9u cada una determinar el área
sombradas.

9. RecopilaciónrealizadaporIng.DianaMora Abril
2. Dos circunferencias C(O, r), C(O′, r) donde r = 1 y cada una de ellas pasando por el
centro de la otra, se cortan en A y B,
Hallar:
a) Las medidas de los ángulos BCO′, O′AB
b) La longitud del perímetro del rombo OAO′B
c) El área del rombo.
d) La superficie común a los dos círculos.
3. Demostrar que la suma de las áreas de las lúnulas
(áreas sombreadas) construidas sobre un triángulo
rectángulo es igual al área de dicho triangulo.
4. ¿Cuál es el valor del área sombreada?, si el arco AB es
el arco de una cuarta circunferencia de radio 4, los
puntos C y D son los puntos medios de OA y OB
respectivamente, y E es el punto donde se cortan los
segmentos BC y AD.