1. Geometria analitica
La circunferencia

2.  Israel anguiano aceves
 Jose alfredo jimenez reynoso
 Edgar ronaldo pulido vera
 Jose fransisco martines tabares
 Grupo “3”g….

3. Se define como el lugar geometrico
formado por una unidad de puntos
equidistantes de un punto en comun
llamado centro.la distancia entre cada
punto y el centro se denomina radio.se
considera como la figura geometrica
perfecta, debido a que en ella se puede
inscribir cualquier poligino sin importar
el nuumero de lados
La circunferencia

4.  Elementos de la circunferencia
 Secantes, cuerdas y tangentes.
 La mediatriz de una cuerda pasa por el centro de la circunferencia.
 Existen varios puntos, rectas y segmentos, singulares en la circunferencia:
 Centro, el punto interior equidistante de todos los puntos de la circunferencia;
 Radio, el segmento que une el centro con un punto cualquiera de la
circunferencia;
 Diámetro, el mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia
(necesariamente pasa por el centro);
 Cuerda, el segmento que une dos puntos de la circunferencia; (las cuerdas de
longitud máxima son los diámetros)
 Recta secante, la que corta a la circunferencia en dos puntos;
 Recta tangente, la que toca a la circunferencia en un sólo punto;
 Punto de tangencia, el de contacto de la recta tangente con la
circunferencia;
 Arco, el segmento curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia;
 Semicircunferencia, cada uno de los dos arcos delimitados por los extremos
de un diámetro.
Elementos de la circunferencia

5.  La circunferencia y un punto
 Un punto en el plano puede ser:
 Exterior a la circunferencia, si la distancia del
centro al punto es mayor que la longitud del
radio.
 Perteneciente a la circunferencia, si la
distancia del centro al punto es igual a la
longitud del radio.
 Interior a la circunferencia, si la distancia del
centro al punto es menor a la longitud del
radio.
La circunferencia y un punto

6.  Dos circunferencias
 Dos circunferencias, en función de sus posiciones relativas, se denominan:
 Exteriores, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus centros es mayor que la suma de
sus radios. No importa que tengan igual o distinto radio. (Figura 1)
 Tangentes exteriormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una son exteriores a la
otra. La distancia que hay entre sus centros es igual a la suma de sus radios. No importa que tengan igual
o distinto radio. (Figura 2)
 Secantes, si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre sus centros es menor a la suma de sus
radios. No importa que tengan igual o distinto radio. Dos circunferencias distintas no pueden cortarse en
más de dos puntos. Dos circunferencias son secantes ortogonalmente si el ángulo entre sus tangentes en
los dos puntos de contacto es recto. (Figura 3)
 Tangentes interiormente, si tienen un punto común y todos los demás puntos de una de ellas son
interiores a la otra exclusivamente. La distancia que hay entre sus centros es igual al valor absoluto de la
diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra. (Figura 4)
 Interiores excéntricas, si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es mayor que 0
y menor que el valor absoluto de la diferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que
la otra.
 Interiores concéntricas, si tienen el mismo centro (la distancia entre sus centros es 0) y distinto radio.
Forman una figura conocida como corona circular o anillo. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la
otra. (Figura 5)
 Coincidentes, si tienen el mismo centro y el mismo radio. Si dos circunferencias tienen más de dos puntos
comunes, necesariamente son circunferencias coincidentes.
Dos circunferencias

7.  Ángulos en una circunferencia
 Ángulos en la circunferencia.
 Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.
 Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:
 Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de esta. Sus lados contienen a dos radios.
 La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.Ángulo inscrito, si su
vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen dos cuerdas.
 La amplitud de un ángulo inscrito en una semi circunferencia equivale a la mayor parte del
ángulo exterior que limita dicha base. (Véase: arco capaz.)Ángulo semi-inscrito, si su
vértice es un punto de la circunferencia y sus lados contienen una cuerda y una recta
tangente a la circunferencia. El vértice es el punto de tangencia.
 La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.Ángulo
interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.
 La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que
abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones.Ángulo exterior, si
tiene su vértice en el exterior de la circunferencia
Angulos en una circunferencia

8.  Longitud de la circunferencia
 La longitud de una circunferencia es:
 donde es la longitud del radio.
 Pues (número pi), por definición, es el
cociente entre la longitud de la
circunferencia y eldiámetro:
Longitud de la circunferencia

9.  Ecuaciones de la circunferencia
 [editar]Ecuación en coordenadas cartesianas
 En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, la
circunferencia con centro en el punto (a, b) yradio r consta
de todos los puntos (x, y) que satisfacen la ecuación
 .Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación
anterior se simplifica al
 .La circunferencia con centro en el origen y de radio la
unidad, es llamada circunferencia goniométrica,
circunferencia unidad o circunferencia unitaria.
 De la ecuación general de una circunferencia,
 se deduce:
 resultando:
 Si conocemos los puntos extremos de un diámetro: ,
 la ecuación de la circunferencia es:
Ecuaciones de la circunferencia

10.  Ecuación vectorial de la circunferencia
 La circunferencia con centro en el origen y
radio R, tiene por ecuación vectorial: .
Donde es el parámetro de la curva, además
cabe destacar que . Se puede deducir
fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya
que la componente X y la componente Y, al
cuadrado y sumadas deben dar por resultado
el radio de la circunferencia al cuadrado. En
el espacio esta misma ecuación da como
resultado un cilindro, dejando el parámetro Z
libre.
Ecuacion vectorial de la
circunferencia

11.  Ecuación en coordenadas polares
 Cuando la circunferencia tiene centro en
el origen y el radio es c, se describe
en coordenadas polares como
 Cuando el centro no está en el origen,
sino en el punto y el radio es , la
ecuación se transforma en:
Ecuacion de coordenadas polare

12.  Circunferencia en un plano de ejes de referencia no
ortogonales
 Plano oblicuo, Construcción de la Circunferencia.
 Para construir una circunferencia en el plano oblicuo,
no se puede usar la misma ecuación que se usa en un
plano ortogonal, por lo que es necesario introducir
algunos conceptos que nos ayudarán a entender la
construcción de tal ecuación. Tales conceptos son los
de trigonometría.
 Se debe tener presente que en este plano una
ecuación de circunferencia se llamará así si se ve
como tal. Es por esta razón que se descarta la
ecuación anterior, porque en el plano oblicuo no
parecerá circunferencia, sino una elipse.
Circunferencia en un plano de ejes

13.  Construcción de una circunferencia
 Usaremos el mismo razonamiento usado
anteriormente y nos guiaremos por la figura
adjunta. Dijimos que en el plano ortogonal, la
ecuación de la circunferencia cumplía con que
todos los puntos de la función equidistan de
un punto llamadocentro de la
circunferencia. En este plano, las distancias
siguen siendo las mismas, no es un plano en
perspectiva, sólo es un plano inclinado, por lo
tanto el Teorema de Pitágoras sigue siendo
válido si se aplica de manera correcta.
Construccion de una
circunferencia

14.  Área
 Artículo principal: Área de un círculo
 Área del círculo = π × área del cuadrado sombreado.
 El área del círculo delimitado por la circunferencia es:
 Esta última fórmula se deduce sabiendo que el área
de cualquier polígono regular es igual al semiproducto
entre el apotema y el perímetro del polígono, es
decir: .
 Considerando la circunferencia como el caso límite de
un polígono regular de infinitos lados, entonces, el
apotema coincide con el radio, y el perímetro con la
longitud de la circunferencia, por tanto:
Area de la circunferencia

15.  Otras propiedades
 Potencia de un punto: si dos cuerdas se intersecan, el producto
de los segmentos formados en la una, es igual al producto de los
segmentos formados en la otra cuerda, .
 El segundo teorema de Tales muestra que si los tres vértices de
un triángulo están sobre una circunferencia dada, siendo uno de
sus lados el diámetro de la circunferencia, entonces, el ángulo
opuesto a éste lado es un ángulo recto (véase arco capaz).
 Triángulos rectángulos inscritos en una semicircunferencia.
 Dados tres puntos cualesquiera no alineados, existe una única
circunferencia que contiene a estos tres puntos (esta
circunferencia estará circunscrita al triángulo definido por estos
puntos). Dados tres puntos no alineados en el plano cartesiano ,
la ecuación de la circunferencia está dada de forma simple por la
determinante matricial:
Otras propiedades de la
circunferencia

16.  Circunferencia en topología
 En topología, se denomina circunferencia a
cualquier curva cerrada que
sea homeomorfa a la circunferencia usual de
la geometría (es decir, la esfera 1–
dimensional). Se la puede definir como el
espacio cociente determinado al identificar
los dos extremos de un segmento cerrado.6
 Los geómetras llaman 3-esfera a la superficie
de la esfera. Los topólogos se refieren a ella
como 2-esfera y la indican como .7
Circunferencia en topologuia

17.  Ecuación vectorial de la circunferencia
 La circunferencia con centro en el origen y
radio R, tiene por ecuación vectorial: .
Donde es el parámetro de la curva, además
cabe destacar que . Se puede deducir
fácilmente desde la ecuación cartesiana, ya
que la componente X y la componente Y, al
cuadrado y sumadas deben dar por resultado
el radio de la circunferencia al cuadrado. En
el espacio esta misma ecuación da como
resultado un cilindro, dejando el parámetro Z
libre.
Ecuacion vectorial de la
circunferencia

18.  Circunferencia -
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