Utilicemos Proporcionalidad, Unidad No. 5 del Programa de Estudio de Matemática de Séptimo Grado de Educación Básica de la República de El Salvador

1. UTILICEMOS PROPORCIONALIDAD La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles. Es uno de los escasos conceptos matemáticos ampliamente difundido en la población. Esto se debe a que es en buena medida intuitiva y de uso muy común. La proporcionalidad directa es un caso particular de las variaciones lineales. El factor constante de proporcionalidad puede utilizarse para expresar la relación entre cantidades.

2. Razón y proporción Razón Dados dos números a y b una razón es el cociente entre esos números Proporción.Dadas dos razones y diremos que están en proporción si = En esta proporción, los términos a y d se denominan extremos mientras que b y c son los medios.

3. En toda proporción GEOMETRICA el producto de los extremos es igual al producto de los medios a·d = b·c Partiendo de acá, se pueden establecer las dos reglas generales siguientes: REGLA 1: En una proporción geométrica, para encontrar un extremo se multiplican los dos medios y se divide el resultado entre el extremo conocido. REGLA 2: En una proporción geométrica, para encontrar un medio se multiplican los dos extremos y se divide el resultado entre el medio conocido.

4. Existen también las proporciones ARITMÉTICAS, para las cuales se pueden establecer las dos reglas generales siguientes: REGLA 1: En una proporción aritmética, para encontrar un extremo, se suman los medios y se resta el extremo conocido. REGLA 2: En una proporción aritmética, para encontrar un medio, se suman los extremos y se resta el medio conocido.

5. Una proporción aritmética se plantea de la siguiente manera: a-b=c-d y se lee de la siguiente manera: “a es a b como c es a d” En toda proporción aritmética la suma de los extremos es igual a la suma de los medios.

6. EJEMPLOS DE PROPORCIONES GEOMETRICAS 5 : x : : 8 : 25 SOLUCIÓN: Un medio es igual al producto de los extremos dividido entre el medio conocido. x = (5 * 25 ) / 8 x = 125/8 x = 15.625 Entonces, la proporción ya resuelta nos quedaría así: 5 : 15.625 : : 8 : 25 o también expresado como fracción: 5 : 125/8 : : 8 : 25

7. EJEMPLOS DE PROPORCIONES GEOMETRICAS x : 10 : : 8 : 5 SOLUCIÓN: Un extremo es igual al producto de los medios dividido entre el extremo conocido. x = (10 * 8 ) / 5 x = 80/5 x = 16 Entonces, la proporción ya resuelta nos quedaría así: 16 : 10 : : 8 : 5

8. EJEMPLOS DE PROPORCIONES ARITMETICAS 5 - x = 8 - 25 SOLUCIÓN: Un medio es igual a la suma de los extremos menos el medio conocido. x = (5 + 25 ) - 8 x = 30-8 x = 22 Entonces, la proporción ya resuelta nos quedaría así: 5 – 22 = 8 - 25

9. EJEMPLOS DE PROPORCIONES ARITMETICAS x - 10 = 8 - 2 SOLUCIÓN: Un extremo es igual a la suma de los medios menos el extremo conocido. x = (10 + 8 ) - 2 x = 18-2 x = 16 Entonces, la proporción ya resuelta nos quedaría así: 16 - 10 = 8 - 2

10. Proporcionalidad directa Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar una, aumenta la otra en la misma proporción. Por ejemplo si un ciclista va en su bicicleta, entre más tiempo tarde, recorrerá una mayor distancia. Si una ama de casa va al mercado a comprar víveres, entre más víveres compre, gastará mayor cantidad de dinero, pero si compra menos víveres, gastará menos dinero.

11. Regla de tres simple directa Dadas dos magnitudes, se conocen la equivalencia entre un valor de una y el valor de la otra. Entonces para cada nuevo valor que se de a una magnitud calculamos el valor proporcional de la segunda magnitud

12. EJEMPLO: El precio de tres bolígrafos es de $ 4.5 ¿Cuánto cuestan 7 bolígrafos?

13. Proporcionalidad inversa Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una, disminuye la otra en la misma proporción. Tres pintores tardan 10 días en pintar un tapial. ¿Cuánto tardarán seis pintores en hacer el mismo trabajo? Al aumentar el número de pintores disminuye el tiempo que se tarda en pintar el tapial, como el número de pintores se multiplica por 2, el número de días que se emplean en pintar se divide por 2. Así tardarán 5 días.

14. Regla de tres simple inversa.Dadas dos magnitudes, se conocen la equivalencia entre un valor de una y el valor de la otra. Entonces para cada nuevo valor que se de a una magnitud, calculamos el valor proporcional inverso de la segunda magnitud

15. En una granja avícola hay 300 gallinas que se comen un camión de grano en 20 días. Si se compran 100 gallinas más ¿En cuanto tiempo comerán la misma cantidad de grano?

16. EJERCICIOS: Un señor compra 37 gallinas por $ 200.00. Cuánto pagará por 200 gallinas? La sra. María Pérez corta 500 libras de café en 4 horas. Cuanto había cortado en la primer hora? Don Serapio Morán necesita construir una zanja de 175 m. 3 personas la harán 3.72 días. En cuanto la hará una sola persona? Un vehículo recorre 12 km en 13 minutos. Cuántos km recorrerá en una hora? Una máquina hace una cuneta de 150 m en 3 horas. Si se contrataran 4 máquinas más, ¿En cuánto tiempo la terminarían?

17. Plano cartesiano Un sistema de ejes coordenados se forma cuando dos líneas rectas se intersectan. Si las rectas son perpendiculares entre sí, se tiene un sistema de ejes coordenados rectangulares o, denominado también, sistema de coordenadas cartesianas (en honor a su creador, el matemático y filósofo francés René Descartes (1596-1650)).

19. PLANO CARTESIANO

20. SIGNOS DE LOS PUNTOS DE CADA UNO DE LOS CUADRANTES

21. Coordenadas de un punto: establecido en un plano un sistema de ejes coordenados, a cada punto del plano le corresponde un par ordenado de números reales, una abscisa y una ordenada, que se llaman coordenadas del punto. A la derecha de la letra correspondiente del punto se escriben, entre paréntesis y separados por una coma, las coordenadas de éste, primero el valor de la abscisa y luego el de la ordenada. Por ejemplo, si A es un punto en el plano cartesiano, cuya abscisa es 3 y cuya ordenada es 5: se tiene A(3, 5).

22. Existen dos casos: Caso1: dado un punto sobre el plano, hallar sus coordenadas. Para determinar dichas coordenadas, se trazan por el punto paralelas a los ejes y se determinan los valores donde estas paralelas cortan a los ejes. Caso2: dadas las coordenadas de un punto, ubicar el punto en el plano. Se traza una recta perpendicular por la abscisa y otra por la ordenada del punto, la intersección entre estas rectas sitúa al punto en el plano. Nota:el origen, coordenado, del plano está representado por O(0, 0). Los puntos donde la abscisa es 0, quedan ubicados sobre el eje y; y, los puntos con ordenadas iguales a 0, se encuentran en el eje x.

23. Grafica de proporciones directas e inversas. Grafico de y = ax, y = –ax Proporción directa: si una magnitud aumenta, aumenta la otra. Si una magnitud disminuye, disminuye la otra.

24. Proporción inversa: si una magnitud aumenta, la otra disminuye, y si una disminuye, la otra aumenta. 6 Días 5 4 3 2 1 1 0 2 3 4 5 6 Personas

25. TANTO POR CIENTO (%) Porcentaje, o tanto por ciento, es la fracción de un número entero expresada en centésimas. El término se deriva del latín per centum, que siginifica “por ciento”, pues representa fracciones cuyo denominador es 100. Así, 20 por ciento significa 20/100. Normalmente se representa con el símbolo %. Los cálculos de porcentajes se utilizan a menudo en la industria y las finanzas, y en el mundo científico para evaluar resultados.

26. Para calcular el porcentaje de un número (4) con relación a otro (16), se divide el primero por el segundo y el resultado se multiplica por 100; así 4÷16 = 0.25, o 25 por ciento, El cual también se escribe así 25%

27. Tanto por ciento de un Número Encuentre el 30% de 80 100% 80 30% x Como cuando los porcentajes aumentan, las cantidades aumentan, diremos que son directamente proporcionales, tenemos entonces que: x = 80 * 30% 100% x = 2400 100 x = 24 Por tanto el 30% de 80 es 24.

28. Tanto por ciento de un Número De qué número 60 es el 30%. En este caso sabemos que 60 es el 30%, por lo tanto tenemos que encontrar el 100% 30% 60 100% x x = 60 * 100% 30% x = 6000 30 x = 200 Por tanto 60 es el 30% de 200.

29. Tanto por ciento más Encuentre el 20%+ de 80 100% 80 120% x Entonces: x = 80 * 120% 100% x = 9600 100 x = 96 Por tanto el 120% de 80 es 96.

30. Tanto por ciento más De qué número 50 es el 20%+ 120% 50 100% x Entonces: x = 50 * 100% 120% x = 5000 120 x = 41⅔ Por tanto el 50 es el 20%+ de 41⅔.

31. Tanto por ciento menos Encuentre el 20%- de 80 100% 80 80% x Entonces: x = 80 * 80% 100% x = 6400 100 x = 64 Por tanto el 20%- de 80 es 64.

32. Tanto por ciento menos De qué número 80 es el 25%- 75% 80 100% x Entonces: x = 80 * 100% 75% x = 8000 75 x = 106⅔ Por tanto 80 es el 25%- de 106 ⅔.

33. REGLA DE TRES COMPUESTA