2. RAZONES PROPORCIONES Y PORCENTAJES

3.  Una de las funciones de los métodos estadísticos es la
de resumir todos los datos de una serie de valores, para
poner de manifiesto las características más
importantes de dicha serie. La forma más simple de
cumplir esta función es convertir los datos de valores
absolutos en relativos, esta conversión se hace
necesaria debido a que los valores relativos pueden
contener todas las informaciones que interesan, lo que
no se logra con los absolutos (como para la
comparación de dos poblaciones de cantidades de
diferentes unidades). Para ello debemos conocer el
significado de razón, proporción y porcentaje.

4. Es aquel valor que indica la relación cuantitativa existente entre dos
cantidades.
Ejemplo:
Si en una determinada zona existen 32000 empleados y 8000
desempleados, la razón de empleado a desempleado viene dada
por:
La característica viene dada por el hecho de estar
empleado, luego:

5. 1. El concepto matemático de razón
Una de las situaciones matemáticas más frecuente en todos los
Cuadernos anteriores ha sido, sin duda, la de relacionar dos
cantidades: lo hemos hecho al sumarlas y restarlas, o al
multiplicarlas y dividirlas. En particular, al relacionarlas mediante la
resta y la división, estamos comparándolas. Hay, pues, dos tipos de
comparaciones entre números: las que nos permiten averiguar cuál
es el mayor calculando la diferencia existente entre ambos, o bien,
calculando cuántas veces el mayor contiene al Bmenor. En la
primera situación hablamos de comparaciones o relaciones aditivas
y en la segunda, de relaciones multiplicativas.
Una razón es una relación multiplicativa entre dos números naturales
diferentes de 0.
Hablamos así de la razón “dos a tres”, “1 a 10”, “7 a 4”, etc. Por
ejemplo, si en un grupo de personas hay 18 hombres y 27 mujeres,
diremos que la razón entre el número de hombres y el de mujeres
es de “2 a 3”, es decir, que “hay 2 hombres por cada 3 mujeres”. En
este caso, la razón entre el número de mujeres y el de hombres es la
inversa, de “3 a 2”, es decir, que “hay 3 mujeres por cada 2
hombres”.

6. En conclusión la razón es la comparación entre dos cantidades.
DIFERENCIACION:
Si dicha comparación se realiza mediante una sustracción se llama
razón aritmética
Pero si se realiza mediante una división se llamara razón geométrica
Ejemplo:
Las edades de Eduardo y René son 48 y 12 años se observa que :
a) 48-12= 36 Razón aritmética (Sustracción)
48 excede a 12 en 36 unidades.
b) 48/12=4 Razón geométrica (División)
48 es a 4 veces 12
Por lo tanto si tenemos dos cantidades: a y b.

8. Proporción: es una razón, en la cual el denominador es el número total de
unidades enunciadas. Siguiendo con el ejemplo anterior:
Proporción de empleados:
Proporción de desempleados:
La proporción de un dato estadístico es el número de veces que se presenta
ese dato respecto al total de datos. Se conoce también como frecuencia
relativa y es uno de los parámetros de cálculo más sencillo. Tiene la ventaja
de que puede calcularse para variables cualitativas. Por ejemplo, si se
estudia el color de ojos de un grupo de 20 personas, donde 7 de
ellas los tienen azules, la proporción de individuos con ojos azules es
del 35% (= 7/20).

9. Pues bien, al indicar la igualdad de dos razones estamos creando un
nuevo objeto matemático: la proporción.
Se llama proporción al conjunto de dos razones iguales.
Si las razones iguales son a/b y c/d, la proporción se denota a/b = c/d
ó a : b : : c : d y se lee ”a es a b como c es a d”
Vamos con la nomenclatura relativa a las proporciones. El uso de la
notación a : b : : c : d nos ayuda a identificar a los números a y d
como los extremos de la proporción y a los números b y c como los
medios de la proporción. Por ejemplo, en 2/3 = 4/6, 2 y 6 son los
extremos de la proporción, y 3 y 4, los medios.

10. Una proporción cuyos extremos y medios son diferentes se denomina
discreta; por ejemplo, la anterior. Y continua, si los medios (o los
extremos) son iguales entre sí; su forma sería: a/b = b/c ó a/b = c/a.
Por ejemplo, 2/6 = 6/18. En una proporción discreta, cualquier
término se denomina cuarta proporcional de los otros tres. Así, en el
ejemplo 2/3 = 4/6 decimos que 3 es cuarta proporcional de 2, 4 y 6,
ó que 4 lo es de 2, 3 y 6. En una proporción continua, el término
repetido se denomina media proporcional de los otros dos, y estos
dos últimos, tercia proporcional del otro término. Así, en el ejemplo
2/6 = 6/18, 6 es media proporcional de 2 y 18, y 2 y 18 son tercias
proporcionales de 6.
Las proporciones presentan numerosas propiedades, que ya fueron
estudiadas por los griegos y aparecen en el Libro V de los Elementos
de Euclides. Esta es la fundamental:

15. Porcentaje: se llama tanto por ciento de un número a una o
varias de las 100 partes iguales en que se puede dividir dicho
número. Por ejemplo, el 4% de 80, significa que el 80 se divide
en 100 partes iguales y de ellas se toman 4. También es una
medida que se obtiene al multiplicar por 100 a las
proporciones.
Casos: Hallar un tanto por ciento de un número:
¿Cuál es el 15% de 32?
32 ―100%
x ―15% = 32*15/100
Luego x = 4,8

16. Se puede definir el tanto por ciento como una fracción que tiene
denominador 100. En este caso, el 45% es la fracción decimal.
45/100
Como el porcentaje es una fracción decimal, se puede expresar
también en número decimal. Así, 45% =45/100 = 0,45 (se ha dividido
45 entre 100).
Cualquier porcentaje se puede expresar en forma de fracción o
número decimal y, a su vez, cualquier número decimal o fracción se
puede expresar en porcentaje:
Porcentaje Se lee Fracción Decimal Significado
10% Diez por ciento 10/100 0,1 10 de cada 100
30% Treinta por ciento 30/100 0,3 30 de cada 100
3% Tres por ciento 3/100 0,03 3 de cada 100

17. Cálculo de porcentajes
Existen dos formas para hallar un porcentaje o tanto por ciento
1. Para calcular el porcentaje de una cantidad, multiplicamos la
cantidad por el número que indica el porcentaje y dividimos el
resultado entre 100.
Ejemplo:
El 20% de los estudiantes de un colegio, que tiene 240 alumnos,
practica deporte. ¿Cuántos estudiantes practican deporte?
Para hallar la respuesta multiplicamos 240 por 20 y dividimos el
resultado entre 100:
240 . 20= 4.800 ; 4.800/ 100= 48
Por tanto, el 20% de 240 alumnos = 48 alumnos

18. 2. Para calcular el porcentaje de una cantidad, multiplicamos la
cantidad por la expresión decimal de dicho porcentaje.
Ejemplo:
Observa esta igualdad:
20% = 20/ 100=0.2
Para calcular el 20% de 240, basta con multiplicar 240 por 0,2:
240 · 0,2 = 48

20.  Incrementos
Un incremento se produce cuando a una cantidad se le suma un
porcentaje de la misma para obtener una cantidad mayor.
Ejemplo:
Si una camiseta, sin el 16% de IVA, cuesta 12,00 ¬, para saber
cuánto cuesta con IVA hay que:
Calcular el incremento que sufre el precio de la camiseta. Para
ello, hallamos el porcentaje de la cantidad (16% de 12,00): 12 ·
0,16 = 1,92 (0,16 es la expresión decimal del porcentaje 16%).
Sumar la cantidad (12,00) y su incremento (1,92) para obtener el
precio final: 12,00 + 1,92 = 13,92 ¬
El precio de la camiseta tiene un incremento debido al IVA y, por
tanto, es necesario disponer de un total de 13,92 euros para
comprarla.

21.  Descuentos
 Un descuento se produce cuando a una cantidad se le resta un
porcentaje de la misma para obtener otra cantidad menor.
 Ejemplo:
 Vamos a calcular el precio de un libro que antes costaba 42,00 ¬ y
ahora tiene el 5% de descuento:
 Calculamos el descuento que sufre el precio del libro. Para ello,
hallamos el porcentaje de la cantidad (5% de 42,00): 42,00 · 0,05 =
2,10 (0,05 es la expresión decimal del porcentaje 5%).
 Restamos la cantidad (42,00) menos su descuento (2,10) para
obtener el precio final: 42,00 - 2,10 = 39,90 ¬ El precio del libro tiene
un recuento y, por tanto, habría que disponer de 39,90 euros para
comprarlo

23. EJEMPLO:

25. GRACIAS POR SU ATENCION