1. CAPÍTULO 11
Procesos de Separación por Membranas
11.1.- INTRODUCCIÓN
En general, para llevar a cabo un proceso de separación o concentración es
necesario aportar cantidades elevadas energía. Sin embargo, en los denominados
procesos de separación por membrana el consumo de energía requerido para
realizar una separación es bajo, por lo que estos procesos han ido adquiriendo cierta
importancia en los últimos años. En estos procesos se logran separar ciertos
componentes de una mezcla utilizando una membrana porosa, la cual es selectiva al
paso de algunos de los componentes de la mezcla. Entre estos procesos cabe
destacar la ósmosis inversa y la ultrafiltración, que se basan en lograr la separación
mediante una membrana semipermeable. La diferencia entre ambas es difícil de
discernir, aunque en la ósmosis inversa la membrana suele retener moléculas de bajo
peso molecular; mientras que en la ultrafiltración suelen ser las moléculas de pesos
moleculares más elevados las que quedan retenidas. En la Figura 11.1 se muestra
una clasificación de las operaciones de separación según sea el tamaño de partícula
retenida.
En general, una etapa basada en la separación por membranas puede
representarse según el esquema de la Figura 11.2. El alimento F con una
concentración C0 de cierto componente se introduce en el sistema, en el que una
parte permea a través de la membrana, obteniéndose una corriente denominada
permeado (P) con una concentración Cp en el componente considerado. Cierta
parte de la alimentación no pasa a través de la membrana, lo que da una corriente de
retenido (S) con una concentración CS.
Resulta conveniente realizar ciertas definiciones previas que se utilizan en los
procesos de membrana, y que a continuación se exponen.
Retención o Rechazo:
C
P
C
PC
C
C
C
CC
R −=
−
= 1 (11.1)
El punto de retención de una membrana es aquél que corresponde al peso
molecular por encima del cual se retienen todas las moléculas. Este concepto en
ultrafiltración se denomina corte ("cut-off"). El que se dé un valor a este parámetro
no quiere decir que todas las moléculas con tamaño inferior vayan a atravesar la
membrana, sino que cierta cantidad de ellas van a quedar retenidas. Por ello, cuando
se da el valor de corte debe especificarse qué porcentaje de moléculas menores de
este valor son rechazadas.
31
2. FIGURA 11.1. Clasificación de los procesos de membrana (Adaptado de
Cheryan,1992)
FIGURA 11.2. Unidad básica de separación por membrana
Factor de concentración (FC): Es el cociente entre la concentración de la
concentración de la corriente de retenido y la de alimentación:
F
S
C
C
C
F = (11.2)
Factor de recuperación (Q): Es la relación entre la cantidad de permeado
obtenido y la cantidad de alimento:
32
3. F
P
Q = (11.3)
El fenómeno de transferencia de materia a través de una membrana ya fue
observado en 1748 por el abate Nollet, en una experiencia en que guardaba vino en
botas fabricadas con estómago de animales, sumergiéndolas en agua. Al cabo de
cierto tiempo el vino quedaba diluido debido al paso de agua hacia el interior de la
bota.
Este fenómeno es conocido como ósmosis, y se basa en el hecho de que al poner
dos soluciones de distinta concentración, separadas por una membrana
semipermeable, existe una transferencia del disolvente desde la solución más diluida
hacia la más concentrada. Ello hace que exista un aumento en la presión
hidrostática, conocida como presión osmótica. Este proceso puede visualizarse en
la Figura 11.3A. Si en la zona de la solución concentrada se ejerce una presión
suficiente para vencer la osmótica, el flujo de disolvente se invierte, es decir, pasa de
la solución concentrada a la diluida. Este proceso es conocido como ósmosis
inversa (Figura 11.3B).
Para el cálculo de la presión osmótica se utiliza la ecuación de van't Hoff, dada a
conocer en 1860, que se corresponde con la expresión:
π = iCRT (11.4)
en la que π es la presión osmótica, C la concentración molar de soluto de la
disolución, i el número de iones para solutos ionizables, R la constante de gases y T
la temperatura absoluta.
Para fluidos alimentarios que contengan constituyentes de bajo peso molecular,
su presión osmótica resulta más elevada. En la tabla 11.1 se dan las presiones
osmóticas de algunos de estos fluidos.
Tabla 11.1.- Presión osmótica de ciertos fluidos alimentarios a temperatura
ambiente
Alimento Concentración Presión osmótica (kPa)
Ácido láctico 1 % (p/v) 552
Café (extracto) 28 % sólido totales 3.450
Cloruro sódico 1 % (p/v) 862
Lactosa 5 % (p/v) 380
Leche 9 % sólidos no grasos 690
Suero 6 % sólidos totales 690
Zumos
Manzana 15 % sólidos totales 2.070
Naranja 11 % sólidos totales 1.587
Uva 16 % sólidos totales 2.070
Fuente: Cheryan (1986)
33
4. FIGURA 11.3. Esquema de los fenómenos de ósmosis (A) y de ósmosis
inversa (B)
11.1.1.- ETAPAS EN LA TRANSFERENCIA DE MATERIA
En los procesos de Ultrafiltración y Osmosis Inversa los componentes que se
transfieren a través de la membrana semipermeable deben atravesar una serie de
resistencias desde la solución más concentrada a la más diluida. Esto supone que en
la transferencia global de masa aparecen una serie de etapas sucesivas que pueden
resumirse en las cuatro que a continuación se exponen:
1).- Transferencia desde el seno de la solución concentrada hasta la pared de la
membrana.
2).- Paso del componente de la solución a la membrana.
3).- Transferencia a través de las diferentes capas de la membrana, desde la pared
en contacto con la solución concentrada hasta la pared en contacto con la
solución diluida.
4).- Transferencia desde la pared de membrana hasta el líquido menos
concentrado.
34
5. Como se verá más adelante, a estas etapas será necesario añadir alguna más. Ello es
debido a que puede formarse una capa de polarización.
11.1.2.- POLARIZACIÓN POR CONCENTRACIÓN
En los procesos de separación por membranas, la transferencia de materia es
prácticamente selectiva para el disolvente, es decir, el disolvente es el que se
transfiere a través de la membrana. Como en la primera etapa de transferencia de
materia, desde el seno de la solución concentrada hasta la pared de la membrana, se
transfiere soluto, y éste no atraviesa la membrana, sino que sólo lo hace el
disolvente; el efecto final que se produce es un aumento de la concentración de
soluto en las inmediaciones de la pared de la membrana. Esta capa de mayor
concentración se la denomina "capa de polarización".
Si Cm es la concentración de soluto en las inmediaciones de la membrana y CC la
correspondiente al seno de la solución, se define el factor de polarización como el
cociente entre ambas concentraciones:
C
m
P
C
C
F = (11.5)
El efecto de esta capa es desfavorable en el proceso global de transferencia de
materia, ya que el aumento de concentración de esta capa (Cm > CC) provoca
corrientes difusivas desde esta capa hacia el seno de la disolución. Al mismo tiempo
provoca un aumento de la presión osmótica, con lo que el flujo de permeado
disminuirá, tal como se verá más adelante. Otro factor negativo es que debido al
aumento de la concentración se produzcan precipitaciones del soluto sobre la pared
de la membrana, lo que interferirá en el proceso global de transferencia de materia.
Para evitar estos efectos nocivos, en el diseño de los procesos de separación por
membranas se incorpora agitación, o bien se hace circular el fluido en régimen
turbulento. A pesar de todo ello, no se logra eliminar por completo la capa de
polarización.
11.2.- MODELOS DE TRANSFERENCIA A TRAVÉS DE LA
MEMBRANA
Para explicar la transferencia de materia a través de la membrana se han
desarrollado diferentes modelos, de entre los cuales, a continuación se exponen
algunos de una forma somera.
11.2.1.- MODELO DE SOLUCIÓN-DIFUSIÓN
En este modelo se supone que los diferentes componentes de la disolución
(disolvente y solutos) cuando llegan a la pared de la membrana se disuelven en ella
para luego difundir a su través de forma independiente.
La etapa de disolución se realiza de acuerdo con una ley de distribución de
equilibrio, pudiéndose hablar de un coeficiente de partición análogo al de otras
operaciones básicas (p.ej.: extracción líquido-líquido). Según esta ley de
distribución la membrana resulta selectiva a la disolución de ciertos componentes.
La etapa de difusión a través de la membrana viene impulsada por gradientes de
presión y concentración entre los dos lados de las paredes de la membrana.
35
6. El flujo de cada componente de la disolución a través de la membrana viene dado
por una expresión del tipo:
( )
+−=−= iii
i
iii
i
ii
i PVC
C
μ
TR
CD
μ
TR
CD
J gradgradgrad
∂
∂
(11.6)
en la que: Ji = Densidad de flujo de componente i
Di = Coeficiente de difusión del componente i en la membrana
Ci = Concentración del componente i en la membrana
µi = Potencial químico
iV = Volumen molar parcial
Pi = Presión aplicada
11.2.2.- MODELO SIMULTÁNEO DIFUSIÓN Y FLUJO CAPILAR
En este modelo se supone que los dos mecanismos que intervienen son la
difusión y flujo capilar a través de la membrana, de forma simultánea.
La difusión de los componentes se realiza de modo análogo al descrito en el
modelo anterior, de tal forma que la difusión a través de la membrana es debida a la
existencia de un gradiente de potencial químico. A este mecanismo de transferencia
debe sumársele el debido a que la solución pasa desde la pared en contacto con la
disolución concentrada hacia la otra a través de los canales existentes en el seno de
la membrana. Este flujo adicional es proporcional al gradiente de presión existente
entre ambos lados de la membrana, y ocurre de tal modo que la concentración no
varía.
El hecho que el flujo de disolvente sea mayor al de los solutos es debido a que el
coeficiente de difusión del primero es mucho mayor que el correspondiente a los
solutos:
DDisolvente >> DSoluto
En este modelo los flujos para disolvente y soluto vendrán dados por la
expresión:
Ji = JDifusión + JCapilar
en la que JDifusión puede obtenerse según la expresión dada para el modelo solución-
difusión; mientras que JCapilar es la componente capilar que puede calcularse según
la expresión:
JCapilar = K Ci grad P
en la que K = Constante
Ci = Concentración del componente i
P = Presión aplicada
36
7. 11.2.3.- MODELO SIMULTÁNEO FLUJO VISCOSO Y DE FRICCIÓN
En este modelo se supone que toda la transferencia se realiza a través de
pequeños canales de la membrana. Estos canales se supone que no son rectos, y
además que todos son iguales. Se supone que el fluido circula a través de los
canales de la membrana en régimen laminar, por lo que es posible aplicar la ecuación
de Fanning para calcular la velocidad de circulación en función de la caída de
presión que experimenta el fluido al atravesar la membrana. De esta forma, se parte
de la ecuación:
( ) ( )
e
C
D
δv
ρ
P
2Re
64
2
=
∆−
(11.7)
en la que δ es la longitud de cada canal, De el diámetro equivalente de cada canal, vC
la velocidad con la que el fluido circula por el canal, y Re el módulo de Reynolds.
En esta ecuación puede sustituirse el módulo de Reynolds por su valor:
η
Dvρ eC
=Re
El valor de la velocidad global puede expresarse en función de la velocidad lineal
del fluido en cada canal, si se aplica la ecuación de continuidad, obteniéndose:
δ
εδ
v=v m
C
(11.8)
siendo: v = Velocidad global
δm = Espesor de la membrana
δ = Longitud de cada canal
ε = Porosidad de la membrana
Si además se define la tortuosidad (τo
) como la relación entre la longitud de un
canal y el espesor de la membrana (τo
= δ/δm), al combinar las ecuaciones anteriores
se obtiene:
( )
( )
( )P
τδη
Dε
=v
o
m
e
∆−2
2
32
Con lo que la densidad de flujo será:
( )
( )
( )P
τδη
Dερ
=vρ=J
o
m
e
∆−2
2
32
(11.9)
37
8. 11.2.4.- MODELO DE ADSORCIÓN PREFERENCIAL Y FLUJO CAPILAR
Se supone que la membrana presenta un comportamiento preferencial de
adsorción hacia ciertos componentes de la disolución, por lo que se creará una capa
de estos componentes en la interfase membrana-disolución. En la Figura 11.4 se
muestra de modo esquemático este modelo, para el caso de una solución acuosa de
cloruro sódico. En este modelo se presupone que existirá un tamaño crítico de poro
que pueda permitir que el componente adsorbido en la interfase pueda atravesarlo, y
circular por los canales de la membrana en régimen de flujo capilar.
El cálculo de la cantidad adsorbida en la interfase (Γ) pueda calcularse en función
de la tensión interfacial (τ), mediante la ecuación de Gibbs:
ad
τd
TR
Γ
ln
1
=
(11.10)
en la que a es la actividad del soluto.
11.2.5.- MODELO BASADO EN LA TERMODINÁMICA DE PROCESOS
IRREVERSIBLES
El proceso más general para describir la transferencia de materia a través
de las membranas se obtiene al aplicar la termodinámica de procesos irreversibles,
en que se considera la membrana como una caja negra, analizándose la variación
entrópica que tiene lugar. El incremento entrópico es la fuerza impulsora que
produce la transferencia a través de la membrana. En este modelo, en la
transferencia de cada componente, además de la fuerza impulsora primaria que la
provoca, se tiene en cuenta el flujo debido a los fenómenos acoplados. De esta
forma, la expresión general para la transferencia de una de los componentes viene
dada por la ecuación:
( ) ( )∑ ∆+=
j
jijiiii GLΔGLJ φφ (11.11)
El primer sumando del segundo miembro representa el flujo de materia por
unidad de área del componente i debido a la diferencia de energía libre entre las dos
caras de la membrana, siendo φ(∆Gi) precisamente la fuerza impulsora función de la
energía libre a través de la membrana, para dicho componente i. El coeficiente de
proporcionalidad Lii es función del coeficiente de difusión del componente i. El
segundo sumando representa el aporte adicional de transferencia del componente i
debido a las diferencias de energía libre de los otros componentes, que el flujo del
componente i lleva acoplados.
Según Onsager, los valores de los coeficientes L presentan ciertas restricciones,
de tal modo que debe cumplirse:
Lij = Lji
38
9. Lii - (Lij)2
≥ 0
Generalmente, los flujos acoplados son pequeños en comparación con el flujo
primario, por lo que el flujo para un componente suele darse en función de una
única fuerza impulsora, la primaria.
FIGURA 11.4. Modelo de adsorción preferencial-flujo capilar
39
10. 11.3.- MODELOS DE TRANSFERENCIA A TRAVÉS DE LA
CAPA DE POLARIZACIÓN
Tal como se ha indicado en un apartado anterior, la membrana
semipermeable impide el paso de ciertos componentes, por lo que en la interfase
membrana-disolución se produce una acumulación de estos componentes,
formándose la denominada capa de polarización.
Cuando la disolución es de macromoléculas, y además su concentración es
elevada, puede ocurrir que la capa de polarización adquiera propiedades de gel a
partir de un cierto valor de la concentración del componente rechazado en dicha
capa, expresándose por Cg el valor de esta concentración. Cuando se alcanza dicho
valor empieza a formarse una capa gelatinosa, cuyo efecto es de aparición de una
nueva resistencia al flujo de permeado.
En forma esquemática este proceso se puede visualizar en la Figura 11.5. La
disolución con una concentración de soluto CC se transfiere a través de la membrana
hasta la corriente de permeado, cuya concentración Cp es menor que CC. Sin
embargo, la capa de polarización produce un aumento de concentración hasta un
valor Cm justo en la pared de la membrana. Si Cm < Cg no se formará la capa de
gel, mientras que si Cm = Cg se forma la capa gelatinosa, e irá aumentando su
espesor a medida que transcurra el tiempo de operación. Para explicar la
transferencia a través de la capa de polarización existen diferentes modelos, de entre
los cuales, a continuación, se expondrán dos de ellos.
11.3.1.- MODELO HIDRÁUILICO
Este modelo está basado en la teoría de la película, es decir, se supone, tal
como se ha expuesto anteriormente, que en las inmediaciones de la membrana se
forma una capa en la que existe un gradiente de concentración, aumentando la
concentración desde CC hasta Cm. Este gradiente de concentración hace que exista
transferencia de materia desde la capa de polarización hacia el seno de la disolución.
Por ello, al realizar un balance del componente en la capa de polarización, se
obtiene que la cantidad de componente que atraviesa la membrana es igual a la
cantidad que llega a ella desde el seno de la disolución por el flujo global, menos el
que se transfiere por difusión desde la capa hacia el seno de la disolución. Este
balance conduce a la expresión:
xd
Cd
DJCJC SP −=
(11.12)
en la que J es la densidad de flujo global y DS la difusividad del soluto.
Esta ecuación es válida si se cumplen los siguientes requisitos:
• El coeficiente de difusión es independiente de la concentración.
• Sólo existe gradiente de concentración en la capa de polarización,
suponiéndose que la transferencia desde el seno de la disolución hasta la
capa se realiza por mecanismos convectivos.
• No existen corrientes de convección debidas a la diferencia de densidad.
40
11. La expresión anterior es una ecuación diferencial de primer orden no homogénea,
que puede integrarse con las condiciones límite:
- Para x = 0 C = CC
- Para x = δp C = Cm
siendo δp el espesor de la capa de polarización.
La integración de la ecuación diferencial permite calcular la concentración de
soluto en la interfase membrana-disolución concentrada:
( )
−+=
S
P
PCPm
D
δJ
CCCC exp
FIGURA 11.5. Capa de polarización por concentración
Si se define un coeficiente de transferencia de soluto (kS) como la relación
entre la difusividad y el espesor de la capa de polarización ( kS = Ds/δp ), se obtiene:
41
12. ( )
−+=
S
pCpm
k
J
CCCC exp (11.13)
La densidad de flujo de disolvente se obtiene al multiplicar la global por la
concentración de disolvente:
JD = J CD
que sustituido en la ecuación anterior da la expresión de la concentración al lado de
la membrana en función de la densidad de flujo del disolvente:
( )
−+=
SD
D
PCPm
kC
J
CCCC exp (11.14)
El cálculo del coeficiente de transferencia de soluto kS puede realizarse a partir de
la analogía de Colburn:
jD = jH
teniendo en cuenta la definición del factor de Colburn para la difusividad se tiene:
( ) ( ) ( ) 31
ScReSh /
Hj=
(11.15)
siendo : Sh = Módulo de Sherwood (Sh) = kS de/DS
Re = Módulo de Reynolds (Re) = ρ v de/η
Sc = Módulo de Schmidt (Sc) = η/(ρ DS)
jH = Factor de Colburn para transmisión de calor
de = Diámetro equivalente
El factor de Colburn depende del régimen de circulación del fluido, de tal modo
que se podrá calcular a partir de las ecuaciones:
• - Régimen laminar (Re<2100): jH = 0,023 (Re)-0,2
(11.16)
• - Régimen turbulento (Re>104
): jH = 1,86(Re)-2/3
(de/lc)1/3
(11.17)
donde lc es una longitud característica, que al igual que el diámetro equivalente,
depende del tipo de configuración utilizada. En la Tabla 11.2 se dan los parámetros
geométricos característicos de las configuraciones más usuales, que se muestran en
la Figura 11.6.
La difusividad del soluto en la disolución es difícil de calcular. Sin embargo,
podría evaluarse mediante la correlación de Wilke y Chang:
( )
( ) 60
21
8
1047 ,
m
/
S
Vη
MψT
·,D −
=
42
13. (11.18)
siendo: mV = Volumen molar del soluto a la temperatura de ebullición (cm3
/mol)
η = Viscosidad de la disolución (cP)
ψ = Parámetro de asociación del disolvente (para agua es 2,6)
T = Temperatura absoluta
M = Peso molecular del disolvente
Otra forma de evaluar la difusividad del soluto sería a partir de la ecuación:
( )31
0
31
16
1077 //S
VVη
T
·,D
−
= −
(11.19)
en la que la difusividad DS se expresa en m2
/s, la viscosidad η en Pa·s y la
temperatura T en Kelvin. Para difusión de solutos en agua el valor de 0V es 0,008.
La variable V es el volumen molecular, que se define como el volumen en m3
de
un kmol de sustancia en forma líquida a su temperatura de ebullición. En la Tabla
11.3 se dan valores del volumen molecular para diferentes sustancias.
Tabla 11.3.- Valores del volumen molecular
Sustancia V
(m3
/kmol)
Carbono 0,0148
Hidrógeno 0,0037
Oxígeno
Doble enlace 0,0074
en aldehídos y cetonas 0,0074
en ésteres metílicos 0,0091
en ésteres etílicos 0,0099
en éteres y otros ésteres 0,0110
en ácidos 0,0120
unido a S, P, N 0,0083
Fuente: Perry&Chilton (1982)
43
15. Tabla 11.2.- Parámetros geométricos característicos de módulos de ósmosis inversa, para configuraciones plana, espiral y tubular
Configuración a Am de lc lpd lpc
PLANA
1) Anular ( )ie RR
π
−
2
( )22
ie RRπ − 2h (Re - Ri) (Re
- Ri) 70de
2) Rectangular H h H L 2h L L
70de
ESPIRAL H h
N
LH
2h L
N
L
0
TUBULAR 2
4
iD
π
N
LDπ i
Di L
N
L
0
Fuente: Lombardi y Moresi (1987)
45
16. 11.3.2.- MODELO OSMÓTICO
En este modelo se considera que en el caso concreto de la ultrafiltración se
presentan características de ósmosis inversa y filtración mecánica, por lo que
deberán tenerse presentes tanto los factores osmóticos como la variación del
coeficiente de difusión y viscosidad con la concentración. Se considera el proceso
como una filtración a través de la capa de polarización.
El flujo de disolvente que atraviesa la membrana se obtiene al realizar un balance
másico en la capa de polarización, de tal forma que dicho flujo será igual a la
cantidad que llega a la membrana con el flujo global menos el que se devuelve
desde la capa de polarización hacia el seno de la disolución, debido a la
retrodifusión por diferencia de potencial químico. Además, se le debe añadir la
cantidad debida a la contribución hidráulica, causada por la caída de presión a través
de la capa de polarización.
En el caso que se considere que la disolución esté formada por el disolvente y un
solo soluto, la densidad de flujo molar de difusión para el disolvente se expresará
según la ecuación de la primera ley de Fick para mezclas binarias:
( )
x
X
DCNNXN D
DTSDDD
∂
∂
−+=
(11.20)
siendo: ND = Densidad de flujo molar de disolvente
NS = Densidad de flujo molar de soluto
XD = Fracción molar de disolvente
CT = Concentración molar global
DD = Difusividad del disolvente
x = Distancia
El primer término del segundo miembro, de esta ecuación, es la densidad de flujo
molar del disolvente, resultante del movimiento global de la disolución; mientras que
el segundo sumando es la densidad de flujo de disolvente debida a la difusión
superpuesta al flujo global. En esta ecuación los términos de flujo global y de
difusión para el disolvente son del mismo sentido, ya que difunde a favor de la
corriente; sin embargo, para el soluto son de sentido contrario, debido a que el
soluto difunde contracorriente.
En el modelo osmótico se tiene en cuenta un nuevo término de contribución
hidráulica, por lo que la densidad de flujo para el disolvente será:
( )
+−+=
x
P
TR
V
X
x
X
DCNNXN D
D
D
DTSDDD
∂
∂
∂
∂
(11.21)
en la que DV es el volumen molar parcial del disolvente y P la presión.
11.4.- ÓSMOSIS INVERSA
46
17. La ósmosis inversa puede definirse como un proceso de separación por
membrana en el que se produce la retención o rechazo selectivo de solutos
ionizables. Esta retención es debida a la repulsión electrostática y efectos de tensión
dieléctrica en la interfase. Ello provoca que puedan retenerse partículas cuyo
tamaño es menor que el del poro de la membrana. En general, se admite que pueden
rechazarse moléculas con masas moleculares menores que 300 Daltons, siendo el
tamaño de las partículas retenidas del orden de 1 a 10 Amstrong.
11.4.1.- MODELO MATEMÁTICO
Para la descripción de la transferencia a través de la membrana podría
aplicarse cualquiera de los modelos descritos anteriormente, sin embargo, es el
modelo de disolución-difusión uno de los más utilizados, aunque el basado en la
termodinámica de procesos irreversibles también es bastante utilizado.
Cualquiera que sea el modelo adoptado, en su aplicación se supone que deben
cumplirse ciertos requisitos, que se exponen a continuación:
• Cada componente atraviesa la membrana por efecto de su potencial químico.
• No existen fenómenos de flujos acoplados, es decir Lij = 0.
• El coeficiente de difusión se considera independiente de la concentración,
suponiéndose que se cumple la ley de Fick.
• Se considera que en toda la zona de trabajo la concentración molar total es
constante.
• La velocidad con que se transfiere cada componente viene determinada por
su coeficiente de difusión y por la capacidad de disolución en la membrana.
Con estas hipótesis, la ecuación de transferencia a través de la membrana se
simplifica a una expresión cuya fuerza impulsora es debida al gradiente de potencial
químico de los componentes. Dicho potencial puede expresarse en términos de
presión y concentración.
En el caso de una disolución en la que se considere el disolvente y un solo soluto,
al aplicar la ecuación del modelo de solución-difusión (Ec. 11.6) deberá tenerse
presente que el potencial químico de una disolución está más influenciado por el
gradiente de concentración que por el gradiente de presión.
Para el cálculo del flujo de disolvente a través de la membrana se considera que
su gradiente de concentración es despreciable, por lo que debe integrase la
ecuación:
xd
Pd
V
TR
CD
J D
DD
D =
(11.22)
con las condiciones límite:
- Para x = 0 P = Pc + πc
- Para x = δm P = Pm + πm
obteniéndose la expresión:
47
18. ( )ΔπP
TR
VCD
J DDD
D −∆=
(11.23)
Para el cálculo del flujo de soluto a través de la membrana se supone que el
gradiente de presión no afecta a la transferencia de soluto, sino que ésta depende
exclusivamente del gradiente de concentración del soluto entre ambas caras de la
membrana, con lo que se obtiene:
xd
Cd
C
μ
TR
CD
J Sm
Sm
SmSmS
S
∂
∂
−=
(11.24)
en la que el subíndice "Sm" indica soluto en la membrana. El potencial químico del
soluto en la membrana se expresa según la ecuación:
µSm = µo
Sm + RT ln(γS CSm) (11.25)
siendo γS el coeficiente de actividad del soluto.
Por tanto, para la densidad de flujo global de soluto se obtiene la ecuación:
xd
Cd
DJ Sm
SS −=
(11.26)
que puede integrarse con las condiciones límite:
- Para x = 0 C
SmSm CC =
- Para x = δm
P
SmSm CC =
en la que C
SmC es la concentración del soluto en el seno de la membrana en la pared
del lado de alta presión, mientras que P
SmC lo es para la cara de baja presión.
La integración conduce a la expresión:
( )P
Sm
C
Sm
m
S
S CC
δ
D
J −=
Teniendo en cuenta un coeficiente de partición o distribución de soluto entre la
membrana y la disolución, definido por:
disolucionlaensolutodeiónConcentrac
membranalaensolutodeiónConcentrac
==
S
Sm
P
C
C
K
48
19. la cantidad de soluto transferida se obtiene por la expresión:
( )PC
m
SP
S CC
δ
DK
J −=
(11.27)
Si ninguna de las propiedades de la membrana dependen de la presión o
concentración, pueden definirse los siguientes coeficientes de permeabilidad de la
membrana al disolvente y soluto:
• Permeabilidad de la membrana al disolvente:
m
DDD
δTR
VCD
A = (11.28)
• Permeabilidad de la membrana al soluto:
m
PS
δ
KD
B =
(11.29)
Con lo que las expresiones de las densidades de flujo de disolvente y soluto
serán:
JD = A (∆P - ∆π) (11.30)
JS = B (CC - CP) (11.31)
El rechazo de soluto viene dado por la ecuación 11.1:
C
P
C
PC
C
C
C
CC
R −=
−
= 1
Pero las densidades de flujo de disolvente y soluto están relacionadas por la
expresión:
JD = J CD y JS = J CP
luego:
P
D
D
S C
C
J
J =
Obteniéndose que la concentración de soluto en el permeado se expresa por:
49
20. ( ) C
D
DS
P C
CBΔπPA
CB
J
J
C
+−∆
==
(11.32)
por lo que el rechazo de soluto será:
( )
( ) DCBπPA
ΔπPA
R
+∆−∆
−∆
=
(11.33)
11.4.2.- CAPA DE POLARIZACIÓN POR CONCENTRACIÓN
En los apartados anteriores se ha supuesto que la transferencia de materia
únicamente encontraba resistencia por parte de la membrana semipermeable; sin
embargo, en realidad en las inmediaciones de la membrana se forma una capa
debido a la acumulación del soluto. Esta capa ofrece una nueva resistencia a la
transferencia de materia, observándose varios efectos perjudiciales para dicha
transferencia, siendo de destacar:
a) Al aumentar la concentración de soluto, la presión osmótica también aumentará,
con lo que la cantidad de disolvente transferido disminuya, pues la fuerza
impulsora es menor. En la ecuación 11.30 el término ∆π aumenta, por lo que JD
disminuye.
b) Deberá aumentarse la potencia de bombeo para compensar esta disminución.
c) Aumenta la cantidad de soluto en la corriente de permeado, ya que aumenta la
diferencia de concentración que impulsa dicha transferencia. En la ecuación
11.31 si CC aumenta, también lo hace JS.
d) Se producen deposiciones en el lado de la pared de la membrana, con lo que
pueden obstruirse ciertos poros, con el inconveniente que presentan todos los
procesos de ensuciamiento.
e) Además, estas sustancias depositadas pueden provocar el deterioro de la
membrana.
Ciertos autores indican que la polarización por concentración puede medirse por
el cociente entre la concentración de soluto en la superficie de la membrana y la
correspondiente al seno de la disolución.
Si se aplica el modelo hidráulico para la descripción de la transferencia de
materia a través de la capa de polarización, se llega a obtener la ecuación 11.13:
( )
−+=
S
PCPm
k
J
CCCC exp
En el caso que el rechazo de soluto sea total, es decir, la concentración de soluto
en el permeado sea nula, esta ecuación se simplifica a:
=
S
Cm
k
J
CC exp (11.34)
50
21. Para algunos casos, de geometrías definidas, tales como láminas paralelas y
tubulares en flujo laminar, existen soluciones que pueden encontrarse en la
bibliografía.
11.4.3.- INFLUENCIA DE DISTINTOS FACTORES
Resulta interesante estudiar el efecto que sobre el proceso global ejercen
diversos factores operativos, tales como presión, temperatura y tipo de soluto.
11.4.3.1.- Influencia de la presión
La presión es uno de los factores que más pueden afectar a la
transferencia de los componentes. Así, si se observa la ecuación 11.33, que da la
fracción de retenido, se puede deducir que para altos valores de la presión aplicada,
el segundo sumando del denominador (B CD) es despreciable frente al primero, con
lo que el valor de R tiende a la unidad. Es decir, si el término de presión aplicado
tiende a infinito, R adquiere el valor uno. Sin embargo, esto no se cumple
exactamente, sino que el valor a que tiende R es próximo a la unidad, pero no
exactamente 1. Ello es debido a que al aumentar la presión eficaz también aumenta
el caudal de soluto. Esto puede observarse gráficamente en la Figura 11.7.
La presión también afectará el caudal de disolvente, ya que si en la ecuación
11.30 el valor de ∆P aumenta, la variación del caudal de disolvente será lineal con el
aumento de la presión aplicada. Sin embargo, en realidad no ocurre exactamente
esto, pues al aumentar la presión se produce cierta compactación de la membrana,
lo que hace que disminuya su permeabilidad. Además, con el aumento de la presión,
el fenómeno de polarización por concentración aumenta, dificultando la
transferencia de disolvente.
11.4.3.2.- Efecto de la temperatura
El efecto que produce un aumento de la temperatura sobre el flujo de
disolvente es de aumentarlo, debido al crecimiento de la permeabilidad de la
membrana al disolvente, y a una disminución de la viscosidad del disolvente.
La variación de la permeabilidad A con la temperatura puede correlacionarse
mediante una ecuación tipo Arrhenius:
A = A0 exp(- E0/RT) (11.35)
en la que: A0 = Permeabilidad a 0 °C
A = Permeabilidad a t °C
E0 = Energía de activación del agua impregnada en la membrana
(16 - 25 kJ/mol)
R = Constante de gases
T = Temperatura absoluta
51
