fue una tarea, espero les sirva

1. INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica - Zacatenco
Academia de Computación de I.E.
Métodos Numéricos
Integración Numérica - Ejercicios 2o. Parcial.
Profesor: Ing. José Gerardo Romero Badillo. Fecha: 04-diciembre-2020
Instrucciones:
a) Estudie con atención este documento.
b) Resuelva los ejercicios enlistados en la última página.
0.1 Integración Numérica
Ahora utilizaremos los principios generales de programación en lenguaje C que hemos aprendido
hasta ahora, y lo haremos en el contexto de la aproximación numérica de una integral
b
a
f(x)dx
Este es un problema relativamente simple, pero importante, que surge en muchas de las áreas de la
ingeniería y ciencias.
En cálculo, aprendemos a integrar ciertas funciones en forma exacta, por ejemplo:
b
a
x3
dx =
1
4
(b4
− a4
).
Sin embargo, la mayoría de las aplicaciones del mundo real no pueden ser integradas en esta forma
analítica, y la integral debe aproximarse en forma numérica. En realidad, en muchas aplicaciones,
es posible que ni siquiera exista una fórmula explícita para f(x); en lugar de eso, puede solamente
existir una tabla de valores de la función en ciertos puntos dentro del intervalo, o puede existir un
programa de computación que pueda calcular f(x) para cualquier x en el intervalo [a, b].

2. 0.2 Fórmulas de Integración Aproximada
La integral puede interpretarse como el área bajo la curva de f(x), desde a hasta b, como se ilustra
en la siguiente figura.
Una aproximación a la integral puede obtenerse considerando los puntos x1, . . . , xn entre a y b, y
entonces aproximando la integral en cada subintervalo [xi, xi+1] por medio del área de un rectángulo
aproximado u otra figura geométrica simple.
En la figura anterior, el área bajo f(x) de xi a xi+1 se aproxima por el área del rectángulo con
altura f(xi) y ancho xi+1 − xi; así
xi+1
xi
f(x)dx ≈ f(xi)(xi+1 − xi), (1)
La cual es conocida como la regla del rectángulo. En la expresión anterior, ≈ significa "‘aproxi-
madamente igual a"’.
En la figura (b), la altura del rectángulo se evalúa en el punto medio del intervalo, de tal manera
que la aproximación es
xi+1
xi
f(x)dx ≈ f(
xi + xi+1
2
)(xi+1 − xi), (2)
la cual es la regla del punto medio.
Otra forma de aproximación es la que se muestra en la figura (c), en la cual el área es aproximada
por medio de un trapecio, más bien que por un rectángulo, en este caso
xi+1
xi
f(x)dx ≈
1
2
[f(xi) + f(xi+1)](xi+1 − xi), (3)
la cual es la regla del trapecio (o trapezoidal).

3. Nos enfocamos ahora en la regla del rectángulo, ecuación (1), obtenemos una aproximación a la
integral en el intervalo completo [a, b] por
b
a
f(x)dx =
n
i=0
xi+1
xi
f(x)dx ≈
n
i=0
f(xi)(xi+1 − xi), (4)
Por simplicidad, asumiremos que los puntos xi están igualmente espaciados, con espaciamiento
h, es decir, xi+1 − xi = h para i = 0, . . . , n.
Entonces la ecuación (4) se convierte en
b
a
f(x)dx ≈ R(n) ≡ h
n
i=0
f(xi), (5)
Cuanto más grande sea n, más pequeño será h y R(n) aproximará mejor el valor de la integral.
De hecho, por medio de los conceptos del cálculo, puede demostrarse que
R(n) →
b
a
f(x)dx si n → ∞. (6)
Inicialmente, no existe forma de saber qué tan grande debe ser n para obtener un resultado
numérico aceptable para la aproximación, por lo tanto, seleccionaremos algun valor inicial razonable
para n, es decir, n = n0 y computaremos la secuencia de aproximaciones
R0 = R(n0), R1 = R(2n0), R2 = R(4n0), . . . , Ri = R(2i
n0), (7)
es decir, duplicamos cada vez a n, lo que duplica el número de puntos xi.
Es de notar que h y n están relacionados por
(n + 1)h = b − a; (8)
Así, cada vez que duplicamos n, reducimos a h aproximadamente a la mitad.
Continuamos computando las aproximaciones Ri de la ecuación (7) hasta que exista un pequeño
cambio (predeterminado) entre aproximaciones sucesivas.
Es decir, continuamos hasta que
|Ri − Ri−1| ≤ , (9)
donde es el error predeterminado. Debemos recordar que la aritmética de precisión finita de
las computadoras podría imponer una limitación al valor seleccionado para .

4. 0.2.1 Ejercicios - Trabajo de Investigación
a) Efectúe una investigación teórica y al menos un ejemplo numérico de los siguientes temas:
1. (1.5 puntos) Método del Trapecio.
2. (1.5 puntos) Método de Simpson, regla 1
3.
3. (1.5 puntos) Método de Simpson, regla 3
8.
b) (1.5 puntos) Explique, con sus propias palabras, la forma de detener el cálculo una vez alcanzada
la precisión predeterminada.
c) (1.0 puntos) Escriba código fuente en lenguaje C que divida un intervalo en un número exacto
de subintervalos. El programa debe mostrar cada uno de los subintervalos.
d) (3.0 puntos) Escriba código fuente en lenguaje C que resuelvan al menos 2 (dos) de los métodos
del inciso a).
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