Teoremas para aprender.

1. Teorema de bolzano
Será f(x) una función continua en el intervalo cerrado [a,b] y tal que en los
extremos del intervalo las imágenes F(a) y F(b) toman valores del signo contrario.
Se verifica entonces que existe un número C en el interior del intervalo en el cual
F(c) vale 0.

2. Ejercicio
*Demuestra que si α y β son ángulos del primer cuadrante con α < β , entonces, senβ − senα < β − α .
Utiliza el teorema del valor medio y la función seno.
A la función f (x) = senx se le puede aplicar el teorema del valor medio en el intervalo cerrado [α,β] . Así pues,
existe un número c comprendido entre α y β tal que f (β) − f (α) = f '(c)(β − α) , es decir,
senβ − senα = cosc (β − α) y como el coseno de un ángulo del interior del primer cuadrante es siempre positivo y
menor que 1, se concluye que:
senβ − senα = cosc (β − α) < 1(β − α) < β − α .

3. Teorema de Darboux
Sea f(x) una función continua definida en un intervalo[a,b] y k un número
comprendido entre los valores f(a) y f(b).

4. Ejercicio
Vamos a buscar la existencia de una solución de la ecuación (x-1)^3 =2
Definimos la función f(x)= (x-1)^3
Tenemos que buscar un intervalo tal que en su imagen esté el valor 2.
Tomemos, por ejemplo, el intervalo [1,3].
El intervalo imagen esf([1,3])=[f(1),f(3)]=[0,8] y claramente el 2 pertenece a éste.
Por lo tanto, podemos asegurar la existencia de al menos una solución de la
ecuación (x-1)^3 =2 en el intervalo [0,8].

5. Teorema de Rolle
Sea f(x) una función continua en un intervalo cerrado [a,b] y derivable en el
intervalo abierto (a,b) tal que los extremos del intervalo tome el mismo valor,
entonces existe un punto C en el interior del intervalo [a,b] en el cual la derivada
vale 0.

6. Ejemplo