SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 5
Descargar para leer sin conexión
22
3 RAÍCES REALES DE ECUACIONES NO-LINEALES
Sea f: R→R. Dada la ecuación f(x) = 0, se debe encontrar un valor real r tal que f(r) = 0.
Entonces r es una raíz real de la ecuación
Si no es posible obtener la raíz directamente, entonces se debe recurrir a los métodos numéricos
iterativos para calcular r en forma aproximada con alguna precisión controlada. Se han creado
muchos métodos numéricos para resolver este problema clásico, pero con el uso de
computadoras para el cálculo, conviene revisar solamente algunos de estos métodos que tengan
características significativamente diferentes.
3.1 Método de la bisección
Sea f: R→R. Suponer que f es continua en [a, b], y que además f(a) y f(b) tienen signos
diferentes. Por continuidad, el intervalo (a, b) contendrá al menos una raíz real.
El siguiente teorema establece la existencia de la raíz r:
Teorema de Bolzano: Si una función f es continua en un intervalo [a, b] y f(a) tiene signo
diferente que f(b), entonces existe por lo menos un punto r en (a, b) tal que f(r)=0.
Si además f'(x) no cambia de signo en el intervalo [a, b], entonces la solución es única.
El método de la bisección es un método simple y convergente para calcular r. Consiste en
calcular el punto medio c=(a+b)/2 del intervalo [a, b] y sustituirlo por el intervalo [c, b] ó [a, c]
dependiendo de cual contiene a la raíz r. Este procedimiento se repite hasta que la distancia
entre a y b sea muy pequeña, entonces el último valor calculado c estará muy cerca de r.
Interpretación gráfica del método de la bisección
En la figura se puede observar que luego de haber calculado c, para la siguiente iteración debe
sustituirse el intervalo [a, b] por [c, b] debido a que f(a) y f(c) tienen igual signo y por lo tanto la
raíz estará en el intervalo [c, b]
3.1.1 Convergencia del método de la bisección
Sean ai, bi, ci los valores de a, b, c en cada iteración i=1, 2, 3, . . . respectivamente
El método de la bisección genera una sucesión de intervalos [a, b], [a1, b1], [a2, b2], …, [ai, bi]
tales que a ≤ a1 ≤ a2 … ≤ ai constituyen una sucesión creciente y b ≥ b1 ≥ b2 …, ≥ bi una
sucesión decreciente con ai < bi. Además por definición del método: ci, r ∈ [ai, bi] en cada
iteración i
23
Sean di = bi – ai longitud del intervalo [ai, bi] en la iteración i=1, 2, 3, . . .
d = b – a longitud del intervalo inicial
Recorrido de las iteraciones
Iteración Longitud del intervalo
1 d1 = d /2
2 d2 = d1/2 = d/2
2
3 d3 = d2/2 = d/2
3
4 d4 = d3/2 = d/2
4
. . . . . .
i di = d/2
i
Entonces
→∞ →∞ →∞
→∞
→ ⇒ → ⇒ → ⇒ → ⇒ ∃ − < εi>0i i i i ii
i i i
i
d
0 d 0 a b c r | c r |
2
para cualquier valor positivo ε
Suponer que se desea que el último valor calculado ci tenga precisión E = 0.001, entonces si el
algoritmo termina cuando bi – ai < E, se cumplirá que |ci – r| < E y ci será una aproximación
para r con un error menor que 0.0001
Ejemplo. Calcule una raíz real de f(x) = x e
x
- π = 0 en el intervalo [0, 2] con precisión 0.01
La función f es continua y además f(0)<0, f(2)>0, por lo tanto la ecuación f(x)=0 debe contener
alguna raíz real en el intervalo [0, 2]
Cálculo manual para obtener la raíz con el método de la Bisección
iteración a b c sign(f(a)) sign(f(c))
inicio 0 2 1 - -
1 1 2 1.5 - +
2 1 1.5 1.25 - +
3 1 1.25 1.125 - +
4 1 1.125 1.0625 - -
5 1.0625 1.125 1.0938 - +
6 1.0625 1.0938 1.0781 - +
7 1.0625 1.0781 1.0703 - -
8 1.0703 1.0781 1.0742
En la última iteración se observa que el intervalo que contiene a la raíz se ha reducido a
[1.0703, 1.0781], por lo tanto el último valor calculado de c = 1.0742 debe estar cerca de r con
una distancia no mayor a 0.01
24
3.1.2 Eficiencia del método de la bisección
Suponer el caso más desfavorable, en el que r está muy cerca de uno de los extremos del
intervalo [a, b]:
Sean i iE r c= − : error en la iteración i
i 1 i 1E r c+ += − : error en la iteración i+1
En cada iteración la magnitud del error se reduce en no más de la mitad respecto del error en la
iteración anterior: i 1 i
1
E E
2
+ ≤ . Esta es una relación lineal. Con la notación O( ) se puede escribir:
i 1 iE O(E )+ = . Entonces, el método de la Bisección tiene convergencia lineal o de primer orden.
Se puede predecir el número de iteraciones que se deben realizar con el método de la Bisección
para obtener la respuesta con una precisión requerida E:
En la iteración i: di = d/2
i
Se desea terminar cuando: di < E
Entonces se debe cumplir d/2
i
< E
De donde se obtiene:
log(d/E)
i
log(2)
>
Ejemplo. La ecuación f(x) = x e
x
- π = 0 tiene una raíz real en el intervalo [0, 2]. Determine
cuantas iteraciones deben realizarse con el método de la bisección para obtener un resultado
con precisión E=0.0001.
El número de iteraciones que deberán realizarse es:
i > log(2/0.0001)/log(2) ⇒ i >14.287 ⇒ 15 iteraciones
3.1.3 Algoritmo del método de la bisección
Calcular una raíz r real de la ecuación f(x) = 0 con precisión E.
f es contínua en un intervalo [a, b] tal que f(a) y f(b) tienen signos diferentes
1) Elija el intervalo inicial [a, b]
2) Calcule el punto central del intervalo: c=(a+b)/2
3) Si f(c)=0, c es la raíz y termine
4) Si la raíz se encuentra en el intervalo [a, c], sustituya b por c
5) Si la raíz se encuentra en el intervalo [c, b] sustituya a por c
6) Repita los pasos 2), 3), 4), 5) hasta que la longitud del intervalo [a,b] sea
menor que E.
El último valor calculado c estará aproximadamente a una distancia E de la raíz r.
25
3.1.4 Instrumentación computacional del método de la bisección
Calcular una raíz r real de la ecuación f(x) = 0. f es contínua en un intervalo [a, b] tal que f(a) y
f(b) tienen signos diferentes
Para instrumentar el algoritmo de este método se escribirá una función en MATLAB. El nombre
será bisección. Recibirá como parámetros f, a, b, y entregará c como aproximación a la raíz r.
Criterio para salir: Terminar cuando la longitud del intervalo sea menor que un valor pequeño e
especificado como otro parámetro para la función. Entonces el último valor c estará
aproximadamente a una distancia e de la raíz r.
function c = biseccion(f, a, b, e)
while b-a >= e
c=(a+b)/2;
if f(c)==0
return
else
if sign(f(a))==sign(f(c))
a=c;
else
b=c;
end
end
end
Ejemplo. Desde la ventana de comandos de MATLAB, use la función bisección para calcular
una raíz real de la ecuación f(x) = xe
x
- π = 0. Suponer que se desea que el error sea menor
que 0.0001.
Por simple inspección se puede observar que f es continua y además f(0) < 0, f(2) > 0. Por lo
tanto se elije como intervalo inicial: [0, 2]. También se puede previamente graficar f.
En la ventana de comandos de MATLAB se escribe:
>> syms x
>> f = x*exp(x)-pi;
>> c = biseccion(inline(f), 0, 2, 0.0001)
c =
1.073669433593750 Este es el resultado calculado
>> subs(f,x,c) Al evaluar f(c) se obtiene un valor cercano a 0
ans =
6.819373368882609e-005
En algunas versiones de MATLAB, la función inline requiere que la expresión matemática esté
definida como cadena de texto. Se puede usar la función char para convertir de tipo simbólico
matemático a cadena de caracteres. Ej.
>> c=biseccion(inline(char(f)), 0, 2, 0.0001)
26
Ejemplo. Encontrar las intersecciones en el primer cuadrante de los gráficos de las funciones:
f(x) = 4 + cos(x+1), g(x)=e
x
sen(x).
Primero se grafican las funciones para visualizar las intersecciones:
>> syms x
>> f=4+x*cos(x+1);
>> g=exp(x)*sin(x);
>> ezplot(f,[0,3.5]),grid on,hold on
>> ezplot(g,[0,3.5])
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
x
e p( ) s ( )
Las intersecciones son las raíces de la ecuación h(x) = f(x) – g(x) = 0
El cálculo de las raíces se realiza con el método de la Bisección con un error menor a 0.0001
>> h=f-g
h =
x*cos(x + 1) - exp(x)*sin(x) + 4
>> c=biseccion(inline(h),1,1.5,0.0001)
c =
1.233726501464844
>> c=biseccion(inline(h),3,3.2,0.0001)
c =
3.040667724609375

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Alg lineal unidad 3
Alg lineal unidad 3Alg lineal unidad 3
Alg lineal unidad 3migwer
 
Calculo 1 calculo de una variable
Calculo 1 calculo de una variableCalculo 1 calculo de una variable
Calculo 1 calculo de una variablejose_rock
 
Ejercicios resueltos edo exactas
Ejercicios resueltos edo exactasEjercicios resueltos edo exactas
Ejercicios resueltos edo exactasYerikson Huz
 
Teoremas sobre Límites de funciones
Teoremas sobre Límites de funcionesTeoremas sobre Límites de funciones
Teoremas sobre Límites de funcionesJosé
 
Solución Numérica de Ecuaciones no Lineales:Métodos cerrados
Solución Numérica de Ecuaciones no Lineales:Métodos cerradosSolución Numérica de Ecuaciones no Lineales:Métodos cerrados
Solución Numérica de Ecuaciones no Lineales:Métodos cerradosPervys Rengifo
 
Integracion numerica
Integracion numericaIntegracion numerica
Integracion numericaKevin Baque
 
Ejemplo del Método de Falsa Posición
Ejemplo del Método de Falsa PosiciónEjemplo del Método de Falsa Posición
Ejemplo del Método de Falsa PosiciónDaniela Medina
 
Sistemas mal condicionados
Sistemas mal condicionadosSistemas mal condicionados
Sistemas mal condicionadosKike Prieto
 
Transformaciones lineales de la reflexión y rotación en forma matricial en 2D
Transformaciones lineales de la reflexión y rotación en forma matricial en 2DTransformaciones lineales de la reflexión y rotación en forma matricial en 2D
Transformaciones lineales de la reflexión y rotación en forma matricial en 2DJlm Udal
 
Aplicaciones de calculo de integrales dobles y triples
Aplicaciones de calculo de integrales dobles y triplesAplicaciones de calculo de integrales dobles y triples
Aplicaciones de calculo de integrales dobles y tripleswalterabel03
 
Integración numerica método de Simpsom
Integración numerica método de SimpsomIntegración numerica método de Simpsom
Integración numerica método de Simpsommat7731
 
Ecuaciones diferenciales con variables separables
Ecuaciones diferenciales con variables separablesEcuaciones diferenciales con variables separables
Ecuaciones diferenciales con variables separablesLuis A. Leon Gonzalez
 
Métodos de Punto Fijo y Regla Falsa
Métodos de Punto Fijo y Regla FalsaMétodos de Punto Fijo y Regla Falsa
Métodos de Punto Fijo y Regla FalsaVictor Reyes
 
Ejercicios unidad 5
Ejercicios unidad 5Ejercicios unidad 5
Ejercicios unidad 5thomasbustos
 
Derivadas. teoremas
Derivadas. teoremasDerivadas. teoremas
Derivadas. teoremasklorofila
 

La actualidad más candente (20)

Alg lineal unidad 3
Alg lineal unidad 3Alg lineal unidad 3
Alg lineal unidad 3
 
Calculo 1 calculo de una variable
Calculo 1 calculo de una variableCalculo 1 calculo de una variable
Calculo 1 calculo de una variable
 
Ejercicios resueltos edo exactas
Ejercicios resueltos edo exactasEjercicios resueltos edo exactas
Ejercicios resueltos edo exactas
 
Teoremas sobre Límites de funciones
Teoremas sobre Límites de funcionesTeoremas sobre Límites de funciones
Teoremas sobre Límites de funciones
 
Solución Numérica de Ecuaciones no Lineales:Métodos cerrados
Solución Numérica de Ecuaciones no Lineales:Métodos cerradosSolución Numérica de Ecuaciones no Lineales:Métodos cerrados
Solución Numérica de Ecuaciones no Lineales:Métodos cerrados
 
Integracion numerica
Integracion numericaIntegracion numerica
Integracion numerica
 
Ejemplo del Método de Falsa Posición
Ejemplo del Método de Falsa PosiciónEjemplo del Método de Falsa Posición
Ejemplo del Método de Falsa Posición
 
Sistemas mal condicionados
Sistemas mal condicionadosSistemas mal condicionados
Sistemas mal condicionados
 
Transformaciones lineales de la reflexión y rotación en forma matricial en 2D
Transformaciones lineales de la reflexión y rotación en forma matricial en 2DTransformaciones lineales de la reflexión y rotación en forma matricial en 2D
Transformaciones lineales de la reflexión y rotación en forma matricial en 2D
 
Operaciones con funciones vectoriales
Operaciones con funciones vectorialesOperaciones con funciones vectoriales
Operaciones con funciones vectoriales
 
Aplicaciones de calculo de integrales dobles y triples
Aplicaciones de calculo de integrales dobles y triplesAplicaciones de calculo de integrales dobles y triples
Aplicaciones de calculo de integrales dobles y triples
 
Integración numerica método de Simpsom
Integración numerica método de SimpsomIntegración numerica método de Simpsom
Integración numerica método de Simpsom
 
Ecuaciones diferenciales con variables separables
Ecuaciones diferenciales con variables separablesEcuaciones diferenciales con variables separables
Ecuaciones diferenciales con variables separables
 
Funciones
FuncionesFunciones
Funciones
 
Cap 4 5 6
Cap 4 5 6Cap 4 5 6
Cap 4 5 6
 
Métodos de Punto Fijo y Regla Falsa
Métodos de Punto Fijo y Regla FalsaMétodos de Punto Fijo y Regla Falsa
Métodos de Punto Fijo y Regla Falsa
 
12534840 ecuaciones-diferenciales-parciales-elipticas
12534840 ecuaciones-diferenciales-parciales-elipticas12534840 ecuaciones-diferenciales-parciales-elipticas
12534840 ecuaciones-diferenciales-parciales-elipticas
 
Ejercicios unidad 5
Ejercicios unidad 5Ejercicios unidad 5
Ejercicios unidad 5
 
Derivadas. teoremas
Derivadas. teoremasDerivadas. teoremas
Derivadas. teoremas
 
1.3 errores (1)
1.3 errores (1)1.3 errores (1)
1.3 errores (1)
 

Similar a Método de la bisección

4.metodo de la biseccion
4.metodo de la biseccion4.metodo de la biseccion
4.metodo de la biseccionrjvillon
 
Métodos numéricos
Métodos numéricosMétodos numéricos
Métodos numéricosLilly Kwang
 
Métodos de bisección
Métodos de bisecciónMétodos de bisección
Métodos de bisecciónjavicoxxx
 
Quiz 1 Métodos Numéricos
Quiz 1 Métodos NuméricosQuiz 1 Métodos Numéricos
Quiz 1 Métodos NuméricosDiego Perdomo
 
011 integracion grafica por-trapecios
011 integracion grafica por-trapecios011 integracion grafica por-trapecios
011 integracion grafica por-trapeciosGabriela Cellan
 
Diferenciación e integración numérica
Diferenciación e integración numéricaDiferenciación e integración numérica
Diferenciación e integración numéricaArmany1
 
Algoritmo de la biseccion y falsa posesion
Algoritmo de la biseccion y falsa posesionAlgoritmo de la biseccion y falsa posesion
Algoritmo de la biseccion y falsa posesionMakros ProsCibos
 
apuntes unidad 2 y 3.pdf
apuntes unidad 2 y 3.pdfapuntes unidad 2 y 3.pdf
apuntes unidad 2 y 3.pdfjulces4
 
Calculo diferencial
Calculo diferencialCalculo diferencial
Calculo diferencialJOHNNY28000
 
Integracion numerica
Integracion numericaIntegracion numerica
Integracion numericaKevinGVG
 
Asignacion 1 (Programación Numérica)
Asignacion 1 (Programación Numérica)Asignacion 1 (Programación Numérica)
Asignacion 1 (Programación Numérica)avbr_avbr
 
RAÍCES DE ECUACIONES
RAÍCES DE ECUACIONESRAÍCES DE ECUACIONES
RAÍCES DE ECUACIONESJenny López
 
NÚMEROS REALES I
NÚMEROS REALES INÚMEROS REALES I
NÚMEROS REALES ICESAR V
 

Similar a Método de la bisección (20)

4.metodo de la biseccion
4.metodo de la biseccion4.metodo de la biseccion
4.metodo de la biseccion
 
03 clase3.ppt
03 clase3.ppt03 clase3.ppt
03 clase3.ppt
 
Métodos numéricos
Métodos numéricosMétodos numéricos
Métodos numéricos
 
Biseccion matlab
Biseccion matlabBiseccion matlab
Biseccion matlab
 
Métodos de bisección
Métodos de bisecciónMétodos de bisección
Métodos de bisección
 
Quiz 1 Métodos Numéricos
Quiz 1 Métodos NuméricosQuiz 1 Métodos Numéricos
Quiz 1 Métodos Numéricos
 
011 integracion grafica por-trapecios
011 integracion grafica por-trapecios011 integracion grafica por-trapecios
011 integracion grafica por-trapecios
 
integracion grafica por trapecios
integracion grafica por trapeciosintegracion grafica por trapecios
integracion grafica por trapecios
 
Integracion
IntegracionIntegracion
Integracion
 
Integracion
IntegracionIntegracion
Integracion
 
Diferenciación e integración numérica
Diferenciación e integración numéricaDiferenciación e integración numérica
Diferenciación e integración numérica
 
Algoritmo de la biseccion y falsa posesion
Algoritmo de la biseccion y falsa posesionAlgoritmo de la biseccion y falsa posesion
Algoritmo de la biseccion y falsa posesion
 
apuntes unidad 2 y 3.pdf
apuntes unidad 2 y 3.pdfapuntes unidad 2 y 3.pdf
apuntes unidad 2 y 3.pdf
 
129psr rwe
129psr rwe129psr rwe
129psr rwe
 
Calculo diferencial
Calculo diferencialCalculo diferencial
Calculo diferencial
 
Integracion numerica
Integracion numericaIntegracion numerica
Integracion numerica
 
Taller 10-14-ii
Taller 10-14-iiTaller 10-14-ii
Taller 10-14-ii
 
Asignacion 1 (Programación Numérica)
Asignacion 1 (Programación Numérica)Asignacion 1 (Programación Numérica)
Asignacion 1 (Programación Numérica)
 
RAÍCES DE ECUACIONES
RAÍCES DE ECUACIONESRAÍCES DE ECUACIONES
RAÍCES DE ECUACIONES
 
NÚMEROS REALES I
NÚMEROS REALES INÚMEROS REALES I
NÚMEROS REALES I
 

Más de Kike Prieto

Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo ordenEcuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo ordenKike Prieto
 
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer ordenEcuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer ordenKike Prieto
 
Sistema de Ecuaciones diferenciales
Sistema de Ecuaciones diferencialesSistema de Ecuaciones diferenciales
Sistema de Ecuaciones diferencialesKike Prieto
 
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de Laplace
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de LaplaceEcuaciones Diferenciales - La Transformada de Laplace
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de LaplaceKike Prieto
 
Soluciones por series
Soluciones por seriesSoluciones por series
Soluciones por seriesKike Prieto
 
Ecuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no lineales
Ecuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no linealesEcuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no lineales
Ecuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no linealesKike Prieto
 
Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...
Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...
Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...Kike Prieto
 
Ecuaciones diferenciales - Métodos de Solución
Ecuaciones diferenciales - Métodos de SoluciónEcuaciones diferenciales - Métodos de Solución
Ecuaciones diferenciales - Métodos de SoluciónKike Prieto
 
Introduccion Ecuaciones Diferenciales
Introduccion Ecuaciones DiferencialesIntroduccion Ecuaciones Diferenciales
Introduccion Ecuaciones DiferencialesKike Prieto
 
Series numéricas
Series numéricasSeries numéricas
Series numéricasKike Prieto
 
Problemario de Series de Fourier
Problemario de Series de FourierProblemario de Series de Fourier
Problemario de Series de FourierKike Prieto
 
Fórmulas de Taylor
Fórmulas de TaylorFórmulas de Taylor
Fórmulas de TaylorKike Prieto
 
Ejercicios de series numéricas
Ejercicios de series numéricasEjercicios de series numéricas
Ejercicios de series numéricasKike Prieto
 
Desarrollos en serie de Taylor
Desarrollos en serie de TaylorDesarrollos en serie de Taylor
Desarrollos en serie de TaylorKike Prieto
 
Criterios Series infinitas
Criterios Series infinitasCriterios Series infinitas
Criterios Series infinitasKike Prieto
 
Aplicaciones de la Integral
Aplicaciones de la IntegralAplicaciones de la Integral
Aplicaciones de la IntegralKike Prieto
 
La Integral definida
La Integral definidaLa Integral definida
La Integral definidaKike Prieto
 
La Integral definida
La Integral definidaLa Integral definida
La Integral definidaKike Prieto
 

Más de Kike Prieto (20)

Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo ordenEcuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones de Segundo orden
 
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer ordenEcuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer orden
Ecuaciones Diferenciales - Ecuaciones Primer orden
 
Sistema de Ecuaciones diferenciales
Sistema de Ecuaciones diferencialesSistema de Ecuaciones diferenciales
Sistema de Ecuaciones diferenciales
 
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de Laplace
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de LaplaceEcuaciones Diferenciales - La Transformada de Laplace
Ecuaciones Diferenciales - La Transformada de Laplace
 
Soluciones por series
Soluciones por seriesSoluciones por series
Soluciones por series
 
Ecuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no lineales
Ecuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no linealesEcuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no lineales
Ecuaciones Diferenciales - Teoria de Ecuaciones Diferenciales no lineales
 
Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...
Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...
Ecuaciones Diferenciales - Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de Pr...
 
Ecuaciones diferenciales - Métodos de Solución
Ecuaciones diferenciales - Métodos de SoluciónEcuaciones diferenciales - Métodos de Solución
Ecuaciones diferenciales - Métodos de Solución
 
Introduccion Ecuaciones Diferenciales
Introduccion Ecuaciones DiferencialesIntroduccion Ecuaciones Diferenciales
Introduccion Ecuaciones Diferenciales
 
Series numéricas
Series numéricasSeries numéricas
Series numéricas
 
Problemario de Series de Fourier
Problemario de Series de FourierProblemario de Series de Fourier
Problemario de Series de Fourier
 
Fórmulas de Taylor
Fórmulas de TaylorFórmulas de Taylor
Fórmulas de Taylor
 
Ejercicios de series numéricas
Ejercicios de series numéricasEjercicios de series numéricas
Ejercicios de series numéricas
 
Desarrollos en serie de Taylor
Desarrollos en serie de TaylorDesarrollos en serie de Taylor
Desarrollos en serie de Taylor
 
Criterios Series infinitas
Criterios Series infinitasCriterios Series infinitas
Criterios Series infinitas
 
Series
SeriesSeries
Series
 
Aplicaciones de la Integral
Aplicaciones de la IntegralAplicaciones de la Integral
Aplicaciones de la Integral
 
La Integral definida
La Integral definidaLa Integral definida
La Integral definida
 
Sucesiones
SucesionesSucesiones
Sucesiones
 
La Integral definida
La Integral definidaLa Integral definida
La Integral definida
 

Último

Actividades eclipse solar 2024 Educacion
Actividades eclipse solar 2024 EducacionActividades eclipse solar 2024 Educacion
Actividades eclipse solar 2024 Educacionviviantorres91
 
TALLER_DE_ORALIDAD_LECTURA_ESCRITURA_Y.pptx
TALLER_DE_ORALIDAD_LECTURA_ESCRITURA_Y.pptxTALLER_DE_ORALIDAD_LECTURA_ESCRITURA_Y.pptx
TALLER_DE_ORALIDAD_LECTURA_ESCRITURA_Y.pptxMartaChaparro1
 
Catálogo general de libros de la Editorial Albatros
Catálogo general de libros de la Editorial AlbatrosCatálogo general de libros de la Editorial Albatros
Catálogo general de libros de la Editorial AlbatrosGustavoCanevaro
 
Trabajo de electricidad y electrónica 2024 10-1
Trabajo de electricidad y electrónica 2024 10-1Trabajo de electricidad y electrónica 2024 10-1
Trabajo de electricidad y electrónica 2024 10-1juandiegomunozgomez
 
revista dxn 2024.pdf--------------------
revista dxn 2024.pdf--------------------revista dxn 2024.pdf--------------------
revista dxn 2024.pdf--------------------fiorevega666
 
NIVELES TRÓFICOS DE UN ECOSISTEMA (ecologia)
NIVELES TRÓFICOS DE UN ECOSISTEMA (ecologia)NIVELES TRÓFICOS DE UN ECOSISTEMA (ecologia)
NIVELES TRÓFICOS DE UN ECOSISTEMA (ecologia)LizNava123
 
LOS AMBIENTALISTAS todo por un mundo mejor
LOS AMBIENTALISTAS todo por un mundo mejorLOS AMBIENTALISTAS todo por un mundo mejor
LOS AMBIENTALISTAS todo por un mundo mejormrcrmnrojasgarcia
 
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 1
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 1Apunte de clase Pisos y Revestimientos 1
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 1Gonella
 
La-cosmovision-del-curriculo-educativo-en-Venezuela (1).pptx
La-cosmovision-del-curriculo-educativo-en-Venezuela (1).pptxLa-cosmovision-del-curriculo-educativo-en-Venezuela (1).pptx
La-cosmovision-del-curriculo-educativo-en-Venezuela (1).pptxMAURICIO329243
 
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 2
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 2Apunte de clase Pisos y Revestimientos 2
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 2Gonella
 
Cuadernillo de actividades eclipse solar.pdf
Cuadernillo de actividades eclipse solar.pdfCuadernillo de actividades eclipse solar.pdf
Cuadernillo de actividades eclipse solar.pdflizcortes48
 
tema5 2eso 2024 Europa entre los siglos XII y XV
tema5 2eso 2024 Europa entre los siglos XII y XVtema5 2eso 2024 Europa entre los siglos XII y XV
tema5 2eso 2024 Europa entre los siglos XII y XVChema R.
 
CARTEL CONMEMORATIVO DEL ECLIPSE SOLAR 2024 EN NAZAS , DURANGO. Autor y dise...
CARTEL CONMEMORATIVO DEL ECLIPSE SOLAR 2024 EN NAZAS , DURANGO.  Autor y dise...CARTEL CONMEMORATIVO DEL ECLIPSE SOLAR 2024 EN NAZAS , DURANGO.  Autor y dise...
CARTEL CONMEMORATIVO DEL ECLIPSE SOLAR 2024 EN NAZAS , DURANGO. Autor y dise...JAVIER SOLIS NOYOLA
 
EL MOVIMIENTO Y LA ENERGÍA EN LOS CUERPOS.pptx
EL MOVIMIENTO Y LA ENERGÍA EN LOS CUERPOS.pptxEL MOVIMIENTO Y LA ENERGÍA EN LOS CUERPOS.pptx
EL MOVIMIENTO Y LA ENERGÍA EN LOS CUERPOS.pptxduquemariact
 

Último (20)

Unidad 1 | Metodología de la Investigación
Unidad 1 | Metodología de la InvestigaciónUnidad 1 | Metodología de la Investigación
Unidad 1 | Metodología de la Investigación
 
AO TEATRO, COM ANTÓNIO MOTA! _
AO TEATRO, COM ANTÓNIO MOTA!             _AO TEATRO, COM ANTÓNIO MOTA!             _
AO TEATRO, COM ANTÓNIO MOTA! _
 
Actividades eclipse solar 2024 Educacion
Actividades eclipse solar 2024 EducacionActividades eclipse solar 2024 Educacion
Actividades eclipse solar 2024 Educacion
 
TALLER_DE_ORALIDAD_LECTURA_ESCRITURA_Y.pptx
TALLER_DE_ORALIDAD_LECTURA_ESCRITURA_Y.pptxTALLER_DE_ORALIDAD_LECTURA_ESCRITURA_Y.pptx
TALLER_DE_ORALIDAD_LECTURA_ESCRITURA_Y.pptx
 
Act#25 TDLab. Eclipse Solar 08/abril/2024
Act#25 TDLab. Eclipse Solar 08/abril/2024Act#25 TDLab. Eclipse Solar 08/abril/2024
Act#25 TDLab. Eclipse Solar 08/abril/2024
 
Catálogo general de libros de la Editorial Albatros
Catálogo general de libros de la Editorial AlbatrosCatálogo general de libros de la Editorial Albatros
Catálogo general de libros de la Editorial Albatros
 
Trabajo de electricidad y electrónica 2024 10-1
Trabajo de electricidad y electrónica 2024 10-1Trabajo de electricidad y electrónica 2024 10-1
Trabajo de electricidad y electrónica 2024 10-1
 
revista dxn 2024.pdf--------------------
revista dxn 2024.pdf--------------------revista dxn 2024.pdf--------------------
revista dxn 2024.pdf--------------------
 
NIVELES TRÓFICOS DE UN ECOSISTEMA (ecologia)
NIVELES TRÓFICOS DE UN ECOSISTEMA (ecologia)NIVELES TRÓFICOS DE UN ECOSISTEMA (ecologia)
NIVELES TRÓFICOS DE UN ECOSISTEMA (ecologia)
 
Mimos _
Mimos                                       _Mimos                                       _
Mimos _
 
LOS AMBIENTALISTAS todo por un mundo mejor
LOS AMBIENTALISTAS todo por un mundo mejorLOS AMBIENTALISTAS todo por un mundo mejor
LOS AMBIENTALISTAS todo por un mundo mejor
 
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 1
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 1Apunte de clase Pisos y Revestimientos 1
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 1
 
La-cosmovision-del-curriculo-educativo-en-Venezuela (1).pptx
La-cosmovision-del-curriculo-educativo-en-Venezuela (1).pptxLa-cosmovision-del-curriculo-educativo-en-Venezuela (1).pptx
La-cosmovision-del-curriculo-educativo-en-Venezuela (1).pptx
 
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 2
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 2Apunte de clase Pisos y Revestimientos 2
Apunte de clase Pisos y Revestimientos 2
 
Cuadernillo de actividades eclipse solar.pdf
Cuadernillo de actividades eclipse solar.pdfCuadernillo de actividades eclipse solar.pdf
Cuadernillo de actividades eclipse solar.pdf
 
El Bullying.
El Bullying.El Bullying.
El Bullying.
 
tema5 2eso 2024 Europa entre los siglos XII y XV
tema5 2eso 2024 Europa entre los siglos XII y XVtema5 2eso 2024 Europa entre los siglos XII y XV
tema5 2eso 2024 Europa entre los siglos XII y XV
 
CARTEL CONMEMORATIVO DEL ECLIPSE SOLAR 2024 EN NAZAS , DURANGO. Autor y dise...
CARTEL CONMEMORATIVO DEL ECLIPSE SOLAR 2024 EN NAZAS , DURANGO.  Autor y dise...CARTEL CONMEMORATIVO DEL ECLIPSE SOLAR 2024 EN NAZAS , DURANGO.  Autor y dise...
CARTEL CONMEMORATIVO DEL ECLIPSE SOLAR 2024 EN NAZAS , DURANGO. Autor y dise...
 
Acuerdo segundo periodo - Grado Once.pptx
Acuerdo segundo periodo - Grado Once.pptxAcuerdo segundo periodo - Grado Once.pptx
Acuerdo segundo periodo - Grado Once.pptx
 
EL MOVIMIENTO Y LA ENERGÍA EN LOS CUERPOS.pptx
EL MOVIMIENTO Y LA ENERGÍA EN LOS CUERPOS.pptxEL MOVIMIENTO Y LA ENERGÍA EN LOS CUERPOS.pptx
EL MOVIMIENTO Y LA ENERGÍA EN LOS CUERPOS.pptx
 

Método de la bisección

  • 1. 22 3 RAÍCES REALES DE ECUACIONES NO-LINEALES Sea f: R→R. Dada la ecuación f(x) = 0, se debe encontrar un valor real r tal que f(r) = 0. Entonces r es una raíz real de la ecuación Si no es posible obtener la raíz directamente, entonces se debe recurrir a los métodos numéricos iterativos para calcular r en forma aproximada con alguna precisión controlada. Se han creado muchos métodos numéricos para resolver este problema clásico, pero con el uso de computadoras para el cálculo, conviene revisar solamente algunos de estos métodos que tengan características significativamente diferentes. 3.1 Método de la bisección Sea f: R→R. Suponer que f es continua en [a, b], y que además f(a) y f(b) tienen signos diferentes. Por continuidad, el intervalo (a, b) contendrá al menos una raíz real. El siguiente teorema establece la existencia de la raíz r: Teorema de Bolzano: Si una función f es continua en un intervalo [a, b] y f(a) tiene signo diferente que f(b), entonces existe por lo menos un punto r en (a, b) tal que f(r)=0. Si además f'(x) no cambia de signo en el intervalo [a, b], entonces la solución es única. El método de la bisección es un método simple y convergente para calcular r. Consiste en calcular el punto medio c=(a+b)/2 del intervalo [a, b] y sustituirlo por el intervalo [c, b] ó [a, c] dependiendo de cual contiene a la raíz r. Este procedimiento se repite hasta que la distancia entre a y b sea muy pequeña, entonces el último valor calculado c estará muy cerca de r. Interpretación gráfica del método de la bisección En la figura se puede observar que luego de haber calculado c, para la siguiente iteración debe sustituirse el intervalo [a, b] por [c, b] debido a que f(a) y f(c) tienen igual signo y por lo tanto la raíz estará en el intervalo [c, b] 3.1.1 Convergencia del método de la bisección Sean ai, bi, ci los valores de a, b, c en cada iteración i=1, 2, 3, . . . respectivamente El método de la bisección genera una sucesión de intervalos [a, b], [a1, b1], [a2, b2], …, [ai, bi] tales que a ≤ a1 ≤ a2 … ≤ ai constituyen una sucesión creciente y b ≥ b1 ≥ b2 …, ≥ bi una sucesión decreciente con ai < bi. Además por definición del método: ci, r ∈ [ai, bi] en cada iteración i
  • 2. 23 Sean di = bi – ai longitud del intervalo [ai, bi] en la iteración i=1, 2, 3, . . . d = b – a longitud del intervalo inicial Recorrido de las iteraciones Iteración Longitud del intervalo 1 d1 = d /2 2 d2 = d1/2 = d/2 2 3 d3 = d2/2 = d/2 3 4 d4 = d3/2 = d/2 4 . . . . . . i di = d/2 i Entonces →∞ →∞ →∞ →∞ → ⇒ → ⇒ → ⇒ → ⇒ ∃ − < εi>0i i i i ii i i i i d 0 d 0 a b c r | c r | 2 para cualquier valor positivo ε Suponer que se desea que el último valor calculado ci tenga precisión E = 0.001, entonces si el algoritmo termina cuando bi – ai < E, se cumplirá que |ci – r| < E y ci será una aproximación para r con un error menor que 0.0001 Ejemplo. Calcule una raíz real de f(x) = x e x - π = 0 en el intervalo [0, 2] con precisión 0.01 La función f es continua y además f(0)<0, f(2)>0, por lo tanto la ecuación f(x)=0 debe contener alguna raíz real en el intervalo [0, 2] Cálculo manual para obtener la raíz con el método de la Bisección iteración a b c sign(f(a)) sign(f(c)) inicio 0 2 1 - - 1 1 2 1.5 - + 2 1 1.5 1.25 - + 3 1 1.25 1.125 - + 4 1 1.125 1.0625 - - 5 1.0625 1.125 1.0938 - + 6 1.0625 1.0938 1.0781 - + 7 1.0625 1.0781 1.0703 - - 8 1.0703 1.0781 1.0742 En la última iteración se observa que el intervalo que contiene a la raíz se ha reducido a [1.0703, 1.0781], por lo tanto el último valor calculado de c = 1.0742 debe estar cerca de r con una distancia no mayor a 0.01
  • 3. 24 3.1.2 Eficiencia del método de la bisección Suponer el caso más desfavorable, en el que r está muy cerca de uno de los extremos del intervalo [a, b]: Sean i iE r c= − : error en la iteración i i 1 i 1E r c+ += − : error en la iteración i+1 En cada iteración la magnitud del error se reduce en no más de la mitad respecto del error en la iteración anterior: i 1 i 1 E E 2 + ≤ . Esta es una relación lineal. Con la notación O( ) se puede escribir: i 1 iE O(E )+ = . Entonces, el método de la Bisección tiene convergencia lineal o de primer orden. Se puede predecir el número de iteraciones que se deben realizar con el método de la Bisección para obtener la respuesta con una precisión requerida E: En la iteración i: di = d/2 i Se desea terminar cuando: di < E Entonces se debe cumplir d/2 i < E De donde se obtiene: log(d/E) i log(2) > Ejemplo. La ecuación f(x) = x e x - π = 0 tiene una raíz real en el intervalo [0, 2]. Determine cuantas iteraciones deben realizarse con el método de la bisección para obtener un resultado con precisión E=0.0001. El número de iteraciones que deberán realizarse es: i > log(2/0.0001)/log(2) ⇒ i >14.287 ⇒ 15 iteraciones 3.1.3 Algoritmo del método de la bisección Calcular una raíz r real de la ecuación f(x) = 0 con precisión E. f es contínua en un intervalo [a, b] tal que f(a) y f(b) tienen signos diferentes 1) Elija el intervalo inicial [a, b] 2) Calcule el punto central del intervalo: c=(a+b)/2 3) Si f(c)=0, c es la raíz y termine 4) Si la raíz se encuentra en el intervalo [a, c], sustituya b por c 5) Si la raíz se encuentra en el intervalo [c, b] sustituya a por c 6) Repita los pasos 2), 3), 4), 5) hasta que la longitud del intervalo [a,b] sea menor que E. El último valor calculado c estará aproximadamente a una distancia E de la raíz r.
  • 4. 25 3.1.4 Instrumentación computacional del método de la bisección Calcular una raíz r real de la ecuación f(x) = 0. f es contínua en un intervalo [a, b] tal que f(a) y f(b) tienen signos diferentes Para instrumentar el algoritmo de este método se escribirá una función en MATLAB. El nombre será bisección. Recibirá como parámetros f, a, b, y entregará c como aproximación a la raíz r. Criterio para salir: Terminar cuando la longitud del intervalo sea menor que un valor pequeño e especificado como otro parámetro para la función. Entonces el último valor c estará aproximadamente a una distancia e de la raíz r. function c = biseccion(f, a, b, e) while b-a >= e c=(a+b)/2; if f(c)==0 return else if sign(f(a))==sign(f(c)) a=c; else b=c; end end end Ejemplo. Desde la ventana de comandos de MATLAB, use la función bisección para calcular una raíz real de la ecuación f(x) = xe x - π = 0. Suponer que se desea que el error sea menor que 0.0001. Por simple inspección se puede observar que f es continua y además f(0) < 0, f(2) > 0. Por lo tanto se elije como intervalo inicial: [0, 2]. También se puede previamente graficar f. En la ventana de comandos de MATLAB se escribe: >> syms x >> f = x*exp(x)-pi; >> c = biseccion(inline(f), 0, 2, 0.0001) c = 1.073669433593750 Este es el resultado calculado >> subs(f,x,c) Al evaluar f(c) se obtiene un valor cercano a 0 ans = 6.819373368882609e-005 En algunas versiones de MATLAB, la función inline requiere que la expresión matemática esté definida como cadena de texto. Se puede usar la función char para convertir de tipo simbólico matemático a cadena de caracteres. Ej. >> c=biseccion(inline(char(f)), 0, 2, 0.0001)
  • 5. 26 Ejemplo. Encontrar las intersecciones en el primer cuadrante de los gráficos de las funciones: f(x) = 4 + cos(x+1), g(x)=e x sen(x). Primero se grafican las funciones para visualizar las intersecciones: >> syms x >> f=4+x*cos(x+1); >> g=exp(x)*sin(x); >> ezplot(f,[0,3.5]),grid on,hold on >> ezplot(g,[0,3.5]) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 x e p( ) s ( ) Las intersecciones son las raíces de la ecuación h(x) = f(x) – g(x) = 0 El cálculo de las raíces se realiza con el método de la Bisección con un error menor a 0.0001 >> h=f-g h = x*cos(x + 1) - exp(x)*sin(x) + 4 >> c=biseccion(inline(h),1,1.5,0.0001) c = 1.233726501464844 >> c=biseccion(inline(h),3,3.2,0.0001) c = 3.040667724609375