8 derivada funciones trigonometricas inversas

1.501 visualizaciones

Publicado el

0 comentarios
0 recomendaciones
Estadísticas
Notas
  • Sé el primero en comentar

  • Sé el primero en recomendar esto

Sin descargas
Visualizaciones
Visualizaciones totales
1.501
En SlideShare
0
De insertados
0
Número de insertados
4
Acciones
Compartido
0
Descargas
3
Comentarios
0
Recomendaciones
0
Insertados 0
No insertados

No hay notas en la diapositiva.

8 derivada funciones trigonometricas inversas

  1. 1. 131 CAPÍTULO 8 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 8.1 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS (Área 2) Como en este momento del curso el estudiante ya debe estar bastante familiarizado con el uso de las fórmulas de derivación, en este capítulo se darán las fórmulas de derivación de las funciones trigonométricas inversas acompañadas de unos cuantos ejemplos. Algunas características de las fórmulas de derivación de las funciones trigonométricas in-versas, así como de su escritura, son: a) Todas son una fracción cuyo numerador es la derivada del argumento. b) Las cofunciones son iguales, diferenciadas solamente de un signo negativo, es decir, la fórmula del arco seno es igual a la del arco coseno, solamente que ésta última es negativa; la fórmula de la arco tangente es igual a la de la arco cotangente, siendo ésta última negativa. Y algo semejante sucede con la arco secante y la arco cose-cante. c) El símbolo de una función trigonométrica inversa, por ejemplo del seno inverso, de-be ser arc sen, que se lee “arco seno” y significa “seno cuyo arco es”, es decir, “seno cuyo ángulo es”, ya que el arco en una circunferencia es igual al ángulo central que
  2. 2. Funciones trigonométricas inversas abarca. En matemáticas el símbolo universal para denotar un inverso es un exponente a la menos uno, por ejemplo, A- 1 significa el inverso de A. Sin embargo, en virtud de que las reglas de escritura matemática recomiendan, para evitar confusiones, no emplear el mismo símbolo que pueda tener dos significados diferentes, resulta incorrecto escribir sen - 1 u en vez de arc sen u, ya que la primera simbología podría tener dos significados que confundirían al lector, una como el se-no inverso, la otra como sen − u = 1 = 1 = cscu d arc sen u dx dx u d arc cos u dx dx u du d arc tan u = dx dx u d arc cot u = − dx dx u 132 1 1 sen u sen u 8.2 FÓRMULAS: (17) du 1 2 = − (18) du 1 2 = − − (19) 2 + 1 du (20) 2 + 1
  3. 3. Funciones trigonométricas inversas d arc sec u dx dx u u d arc csc u dx dx u u d dy x − x dx dx x x dy x dx x x 3 − 1 1 133 (21) du 2 1 = − (22) du 2 1 = − − Ejemplo 1: Derivar y = arc sen(x3 − x) Solución: El argumento es u = x3 - x, de manera que por la fórmula (17): ( 3 ) ( ) 1 3 2 = − − 2 ( ) 3 2 = − − Ejemplo 2: Calcular la derivada de y = arc tan x Solución: El argumento es u = x , por lo que conforme a la fórmula (19) se obtiene: ( )2 1 d dy x = dx dx x +
  4. 4. Funciones trigonométricas inversas = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ d x dy dx dx x x − − dy x dx 1 1 1 134 1 2 dy x dx x 1 = + dy 1 dx x x ( ) 2 1 = + Ejemplo 3: Calcular la derivada de y arc sec 1 x ⎝ ⎠ Solución: El argumento es u = 1 = x − 1 , por lo que conforme a la fórmula (21) se obtiene: x ( ) 1 1 1 2 1 − − = − 2 1 − 1 2 1 dy x dx x x − − − = − 1 2 2 x x = − Aplicando la ley de la herradura en las dos fracciones que aparecen afuera del radical y sa-cando común denominador adentro del radical:
  5. 5. Funciones trigonométricas inversas 2 dy x dx x x dy dx x x 135 2 2 1 x − = − 2 2 1 1 x − = ⎛ − ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ 2 dy − = 1 dx 1 − x
  6. 6. Funciones trigonométricas inversas = y = arc cos (3 − 8x) 136 EJERCICIO 14 (Área 2) Calcular la derivada de las siguientes funciones trigonométricas inversas: 4 5 y arcsen 1) 2) x ⎛ ⎞ 3) y = arc tan (5 − x7 ) 4) 2 = ⎜ ⎝ 3 − 1 ⎟ ⎠ y arccot x 5) y = arc sec e2x 6) ( )8 y = arc csc 4x − 1 7) y = arc sen 5 3x − 11 8) ( )y = arc cos 4 1 − x3 7 9) y = arc tan (3x2 − 11x + 5) 10) y = arc cot (5x7 − x) 11) y = arc sec (5x3 − x) 12) y = arc csc (− 6 − x) y arc sen 1 13) 14) x = 7 y arc cos 2 = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ x ⎝ ⎠ 6 2 7 ⎛ ⎞ y arc tan x = ⎜ ⎟ 15) 16) ⎝ ⎠ y arc cot x 3 7 5 ⎛ − ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ + ⎞ 7 2 8 13 y arc sec x = ⎜ ⎟ 17) 18) ⎝ ⎠ y arc csc x 8 7 9 ⎛ − ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 19) y = arc sen7 2x 20) y = arc cos5 7x 21) y = arc tan6 (2x − 19) 22) y = arc cot 6x 23) y = arc sec 6x 24) y = arc csc 7x8

×