Integracion por partes

2. ( )
( )
( ) ( )
Lo opuesto de una derivada es una
La integral indefinida de una función
se denota co
ant
mo
iderivada
y está definida por la propied
o integral indef
d
d
a
ini a
f x
f x
d
f x dx f x
d
d
x
x
=∫
∫

3. ( ) ( )
Si una función es diferenciable, su derivada es única
Una función tiene un número infinito de integrales,
que difieren por una constante aditiva
d
f x dx f x
dx
=
∗
∗
∫

4. La integral indefinida de una función cuya derivada
es identicamente cero es una constante,
es decir,
0
donde es una constante arbitraria.
La integral indefinida de una función identicamente
cero es
dx c
c
=∫
una constante.

5. ( )
Función constante:
: donde a es una constante
La integral indefinida de la función constante es
donde es una constante arbitraria
f R R f x a
adx ax c
c
→ =
= +∫

6. ( )
2
Función identidad
: :
La integral indefinida de la función identidad es
2
donde es una constante arbitraria
I I R R I x x
x
xdx c
c
→ =
= +∫

7. ( )
1
: entero, 1
La integral indefinida de la función es
1
donde es una constante arbitraria
n
n
n
n
f R R f x x n n
x
x
x dx c
n
c
+
→ = ≠ −
= +
+∫

8. { } ( )
( )
1
: 0
Dado que
1
ln
se tiene que
ln
donde es una constante arbitraria
f R R f x
x
d
x
dx x
dx
x c
x
c
− → =
=
= +∫

9. sin
cos
cos
sin
d x
x
dx
d x
x
dx
=
= −
De:
sin cos
cos sin
xdx x
xdx x
= −
=
∫
∫
es claro que:

10. ( ) ( )
( ) ( )
exp exp
exp exp
d
x x
dx
x dx x c
c
=
= +∫
Tenemos que
así que
donde es una constante arbitraria

11. ( ) ( ) ( ) ( )
Para cada una de las identidades de la derivada
corresponde una identidad para las integrales
- La integral indefinida de una combina
indefini
ción li
das:
neal
af x bg x dx a f x dx b g x dx + = + ∫ ∫ ∫

12. ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
1
1
Para cada una de las identidades de la derivada
corresponde una identidad para las integrales
indefinid
- De la regla de la cadena t
a
enemos
así que
c
s:
1
a a
a
a
d
f x a f x f x
dx
f x
f x f x dx c
a
−
+
′   =   
  ′  = +  +∫ on 1a ≠

13. ( )
( )
( )
( )
( )
( )
Para cada una de las identidades de la derivada
corresponde una identidad para las integrales
indef
- De la derivada del logar
1
ln para 0
ini
itmo
ln
tenemos
ln
das:
f xd
f x
d
dx f x
f x
dx f x c
f x
x x
dx x
′
  =
=
 
′
= +
≠
∫

14. ( ) ( )( ) ( )
( )
De la regla de la cadena se tiene
donde
f d f g x g x dx
g x
ξ ξ
ξ
′=
=
∫ ∫

15. ( ) ( )( ) ( ) ( )De la regla de la cadena se tiene dondef d f g x g x dx g xξ ξ ξ′= =∫ ∫
( )2
Ejemplo 1: cosx x dx∫

16. ( ) ( )( ) ( ) ( )De la regla de la cadena se tiene dondef d f g x g x dx g xξ ξ ξ′= =∫ ∫
( )2
2
Ejemplo 1: cos
Escogemos
x x dx
xξ =
∫

17. ( ) ( )( ) ( ) ( )De la regla de la cadena se tiene dondef d f g x g x dx g xξ ξ ξ′= =∫ ∫
( )2
2
Ejemplo 1: cos
Escogemos
Por tanto, se tiene
2
x x dx
x
d xdx
ξ
ξ
=
=
∫

18. ( ) ( )( ) ( ) ( )De la regla de la cadena se tiene dondef d f g x g x dx g xξ ξ ξ′= =∫ ∫
( )
( ) ( )
2
2
2 2
Ejemplo 1: cos
Escogemos y tenemos 2
Así que
1
cos 2 cos
2
x x dx
x d xdx
x x dx x x dx
ξ ξ= =
=
∫
∫ ∫

19. ( ) ( )( ) ( ) ( )De la regla de la cadena se tiene dondef d f g x g x dx g xξ ξ ξ′= =∫ ∫
( )
( ) ( ) ( )
2
2
2 2
Ejemplo 1: cos
Escogemos y tenemos 2
Así que
1 1
cos 2 cos cos
2 2
x x dx
x d xdx
x x dx x x dx d
ξ ξ
ξ ξ
= =
= =
∫
∫ ∫ ∫

20. ( ) ( )( ) ( ) ( )De la regla de la cadena se tiene dondef d f g x g x dx g xξ ξ ξ′= =∫ ∫
( )
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2 2
Ejemplo 1: cos
Escogemos y tenemos 2
Así que
1 1
cos 2 cos cos
2 2
1
sin
2
x x dx
x d xdx
x x dx x x dx d
c
ξ ξ
ξ ξ
ξ
= =
= = =
= +
∫
∫ ∫ ∫

21. ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2 2
2
Ejemplo 1: cos
Escogemos y tenemos 2
Así que
1 1
cos 2 cos cos
2 2
1 1
sin sin
2 2
x x dx
x d xdx
x x dx x x dx d
c x c
ξ ξ
ξ ξ
ξ
= =
= = =
= + = +
∫
∫ ∫ ∫
( ) ( )( ) ( ) ( )De la regla de la cadena se tiene dondef d f g x g x dx g xξ ξ ξ′= =∫ ∫

22. ( )
( ) ( )
2
2 2
Ejemplo 1: cos
1
cos sin
2
Es fácil evaluar la derivada, con la regla
de la cadena, para comprobar la exactitud
del resultado
x x dx
x x dx x c= +
∫
∫
( ) ( )( ) ( ) ( )De la regla de la cadena se tiene dondef d f g x g x dx g xξ ξ ξ′= =∫ ∫

23. ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
De la regla para obtener la derivada de un producto
se tiene
df x dg xd
f x g
df x dg xd
f x g x dx g x dx f x dx
dx dx dx
x g x f x
dx dx dx
  = + 
  = + ∫ ∫ ∫

24. ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
pe
De
ro por la definición misma de la integral indefinida
la regla para obtener la derivada de un producto
se tiene
df x dg xd
f x g x g x f x
dx dx dx
df x dg xd
f x g x d
d
f x g x dx f x
x g x dx f x dx
dx dx dx
g x
dx
  = +
  = 
 
  = + 
∫
∫ ∫ ∫

25. ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
De la expresión
tenemos entonces
df x dg xd
f x g x dx g x dx f x dx
dx dx d
df x dg x
f x g x g x dx f x dx
dx
x
dx
  = + 
= +
∫ ∫
∫
∫
∫

26. ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
De la expresión
tenemos
Despejando
que es la formula de integración por pa
entonc
rtes
es
df x dg xd
f x g x dx g x dx f x dx
dx dx dx
df x dg x
f x g x g x dx f x dx
dx dx
df x dg x
g x dx f x g x f x dx
dx dx
  = + 
= +
= −
∫ ∫
∫
∫
∫
∫
∫

27. ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )df x dg x
g x dx f x g x f x dx
dx dx
= −∫ ∫
Ejemplo 1: x
xe dx∫

28. ( )
( )
Ejemplo 1:
Identificamos
y
x
x
xe dx
df x
e g x x
dx
= =
∫
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )df x dg x
g x dx f x g x f x dx
dx dx
= −∫ ∫

29. ( )
( )
Ejemplo 1:
y
Entonces
x
x
x x x
xe dx
df x
e g x x
dx
dx
xe dx xe e dx
dx
= =
= −
∫
∫ ∫
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )df x dg x
g x dx f x g x f x dx
dx dx
= −∫ ∫

30. ( )
( )
Ejemplo 1:
y
De donde
x
x
x x x
x x x
xe dx
df x
e g x x
dx
dx
xe dx xe e dx
dx
xe dx xe e dx
= =
= −
= −
∫
∫ ∫
∫ ∫
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )df x dg x
g x dx f x g x f x dx
dx dx
= −∫ ∫

31. ( )
( )
( )
Ejemplo 1:
y
Finalmente
1
x
x
x x x x x
x x x x
xe dx
df x
e g x x
dx
dx
xe dx xe e dx xe e dx
dx
xe dx xe e x e
= =
= − = −
= − = −
∫
∫ ∫ ∫
∫
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )df x dg x
g x dx f x g x f x dx
dx dx
= −∫ ∫

32. ( )
Es muy fácil verificar que el resultado
es correcto haciendo la deriva
1
da
x x
xe dx x e= −∫
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )df x dg x
g x dx f x g x f x dx
dx dx
= −∫ ∫