derivada

1. Aplicación de la derivada
1- Un campo de béisbol, es un cuadrado de 90 pies de lado un jugador está corriendo de la primera
base a la segunda con una velocidad de 17 pies/seg hallar la velocidad con que se acerca el
jugador a la tercera base en el instante en que este se encuentra a 60 pies de la primera. Realice
la figura que ilustre el problema.
Escriba aquí la ecuación. 푥 =
−푏±√푏2−4푎푐
2푎
dx = 17 pie/seg
dt
푦2 = 푥2 + 902
2y dy = 2x dx
dt dt
Tenemos que x= 30 pie
30
90
y
푦2 = 902 + 302
푦 = √902 + 302
푦 = 94,86 pie
dy = 2 x dx
dt dt
y
dy = 2 (30 pie) . 17 pie/seg
dt 94,86 pie
dy = 34 pie/seg =
dt 94,86
dy = 0,35 pie/seg
dt

2. 2- Un edificio de 60m proyecta su sombra sobre el piso horizontal el angulo que forman los rayos
solares con el piso disminuyen a razón de 15° por hora en determinado instante del dia la
sombra del edificio es de 80m. hallar la razón en que cambia la sombra en ese instante. Realice
la figura que ilustre el problema.
x 80 - x
푦2 = 푥2 + 602
2y dy = 2 x dx
dt dt
dy = x dx
dt y dt
x = 80m y y =
√602+802
2푎
= 100m
dy = 80m 15°/h
dt 100m
dy = 12°/h
dt
Cuando x = 80 tiene 12° cada hora
60 m
80 m
Y
dx = 15°/h
dt

3. 3- Un faro está situado a 2km de una playa recta y su luz gira a razón de 2 revoluciones por
minutos. Hallar la rapidez con que se mueve el rayo de luz a lo largo de la playa en el momento
en que este pasa por un punto situado a 1km del punto frente al faro. Realice la figura que
ilustre el problema.
Playa 1km
√22 km2+1푘푚2
X= 1km y y=
= √5
푘푚
dy = 1km . 2 rev = 0,89 rev
dt √5 km min min
= 0,89 rpm
2k
m
Gira a 2rpm
y
Faro
X
2k
m
y
푦2 = 푥2 + 22
2y dy = 2x dx
dt dt
dy = x dx
dt y dt
dx = 2 rev
dt min

4. 4- Sabiendo que un trazo de hielo esférico se derrite a una razón proporcional al área de superficie.
a- Probar que la razón con que se contrae su radio es constante
b- Si, además el hielo que queda es de 1/8 de la cantidad inicial, hallar el tiempo que tarda en
derretirse completamente.
Sabemos que por formula:
As = 4 휋푟2
Derivamos d As = 4 휋 2푟푑푟
dt dt
Despejamos a dr
dt
I d As = dr
8 휋푟 dt dt
La superficie va a variar con respecto al tiempo y será mínimo ya que transcurrirá mucho tiempo para
poder derretirse completamente por lo tanto no variara su radio y quedara con la formula anterior.
h
h
h
h
1h
t
T = ho = t = 8h
1h ho
8
1h = ho = 1h = h0
T 8
t 8ho
ho
t=8h
Se derrite completamente cuando
posee h = 8horas

5. 5- El gas de un globo esférico se escapa a razón de 360 pies/min. Hallar
a- La rapidez que disminuye el radio en el instante en que este es de 3 pies.
b- La rapidez con que disminuye el área de la superficie es el instante en que el radio es de
3 pies.
Ve = 4 휋푟3; derivamos con respecto al tiempo
dv = 4ᴫ . 3푟2 dr dr = dv = 360 pie 3
dt 3 dt dt dt min.
1 . dv = dr
4 휋푟2 dt dt
dr = 1 . 360 pie 3 = dr = 3,18 pie/min
dt 4 휋 (3) 2 min dt
As = 4ᴫ 3푟2
dAs = 4ᴫ 2푟 dr
dt dt
= 8ᴫ푟 dr
dt
= 8 ᴫ (3pie) (3,18 pie/min)
dAs= 239,76 pie/min
r
r =3

6. dt