Ultimos ejercicios

1. Instituto Universitario de Tecnología
Antonio José de Sucre
Extensión Barquisimeto
Alumno:
Abrahán Gamboa
CI: 22.326.114

2. Ejercicio Nº 1
Un campo de béisbol, es un cuadrado de 90 pies de lado. Un jugador
está corriendo de la primera base a la segunda con una velocidad de 17
pies/seg. Hallar la velocidad con que se acerca el jugador a la tercera
base en el instante en que este se encuentra a 60 pies de la primera.
Realice la figura que ilustre el problema.
Sabemos que:
X+Y= 90
Y=90-X
R= Z+Y
R=90+Y
Aplicando Pitágoras
R²= Z² + Y²
R= Z²  Y²
R= 90²  Y²
R= 8100  Y ² Sustituye 1 en r
R= 8100 (90  x)²
Derivando r
x dx
dt
dr
dt
 
8100 (90 x)
2
(90 )
 

dx
ahora si: Y=30 y X=60 y 17
dt

3. dr
Sustituyendo en dt
dr 30
.17= -5,37587 p/seg
(8100 
(30) 2 )


dt
Ejercicio Nº 2
Un edificio de 60m. Proyecta su sombra sobre el piso horizontal. El ángulo
que forman los rayos solares con el piso disminuye a razón de 15º por
hora. En determinado instante del día la sombra del edificio es de 80m.
Hallar la razón en que cambia la sombra en ese instante. Realice la figura
que ilustre el problema.
푑휃
푑푡
= 15º
Tan θ =
퐶표
퐶푎
Tan θ =
푦
푥
θ= tan−1 푦
푥
dθ
dt
=
−푦
푥²+푦²
.
푑푥
푑푡
dθ
dt
=
−60
푥²+3.600
.
60
푑푥
푑푡
80

4. 15=
−60
80²+3.600
.
푑푥
푑푡
15=
−3
500
.
푑푥
푑푡
푑푥
푑푡
= 15 .500
−3
풅풙
풅풕
= -2.500
Ejercicio Nº 3.
Un faro está situado a 2km. De una playa recta y su luz gira a Razón de 2
revoluciones por minuto. Hallar la rapidez con que se mueve el rayo de luz
a lo largo de la playa en el momento en que este pasa por un punto
situado a 1km del punto frente al faro. Realice la figura que ilustre el
problema.
푑휃
푑푡
= 2
푟푒푣
푚푖푛
Tan θ=
퐶표
퐶푎
Tan θ=
푦
푥
θ= tan−1 푥
푦
푑휃
푑푡
=
−푦
푥²+푦²
.
1 km
푑푥
푑푡
2 km

5. 푑휃
푑푡
=
−2
푥²+4
.
푑푥
푑푡
2=
−2
1+4
.
푑푥
푑푡
2=
−2
5
.
푑푥
푑푡
푑푥
푑푡
=
2 .5
−2
푑푥
푑푡
= -5
푟푒푣
푚푖푛
Ejercicio Nº 4
  t v y   t A volumen y área de la bola que se derrite a una razón
proporcional a su superficie, significa que:
V' t  KAt 
4
   3
V' t  r t
3
2 A(t)  4r(t)
De donde
' ( ) 4 ( ) . ' ( ) 2 V t  r t r t
ahora
V t
' ( )
2 4 . ( )
' ( )
r t
r t


7
La bola se derrite a razón de cm/ horas
8

6. Ejercicio Nº 5
El gas escapa a razón de 360 pies
3
/ min quiere decir que la razón de
cambio de volumen del globo respecto al tiempo es de 360.
La formula del volumen de la esfera es
3
4
r V  
3
Al derivar respecto a “t” resulta
dr
dt
dv dv
 3( )(  2 )( )  4

r
2 dt
dr
dt
r
dt
4
3
dv y r=3
a) 3 60 
dt
2 dr 360  4.. 3
 
dt
dr

360
O sea 4.   3
 2 dt
3,181
pies
dr
Asi min
dt
 rapidez con que disminuye el radio.
b) Para hallar la rapidez con que disminuye el área de la superficie del
globo se requiere la formula 2 A  4r
dr
dt
r
da
dt
 8
 8..(3).(3,1831)
da
dt
De modo que
2010,6200 /min 2 pies
da
dt
 Rapidez con la que se
disminuye el área de la superficie del globo

7. Ejercicio Nº 6
Después de dos horas de nulo el barco Y ah recorrido =
km
6 1  6
 h km
h
Después de dos horas de nulo el barco X ah recorrido=
km
8 (1 )  8
h km
h
La distancia que separa los barcos después de una hora de
navegación
h x y h x y h (6) (8) h 36 64 h 64 h 8km 2 2 2 2 2 2 2               
Derivando implícitamente
si h km
dy
y
2 2 2
 
2 2 2 8
dt
dx
x
dt
dh
h
dt
dy
y
dt
h x y
dx
x
dt
dh
h
dt
     
Se trata de derivar
dh como la razón de cambio
dt
dx 6 8
km
h
dy
dt
km
h
dt
  Sustituyendo
km
km
h
km
km
 
km
h
km
dh
dh
dt
km
h
km
h
km
dt
km
8 36 . 64 .
)
8
) 8 (
6
8 6 (
 
Despejando
36 . 64 .
km
km
h
km
km
h
km
dh
dt
dh
at
8
;


km
h
dh
dt
12,5

8. Una hora antes de que el barco B cruzara por el punto donde A
cruzo la distancia de h separa ambos barcos tiene una razón de
cambio de 12,5
km como el resultado es positivo esto significa que
h
la distancia es creciente.
Ejercicio Nº 7
Un avión vuela horizontalmente a una altura constante de 900m. De
altura y con velocidad constante. La trayectoria pasa sobre una estación
de radar desde donde el operador observa el avión. Cuando el ángulo de
inclinación de la línea de observación es de π/3, este ángulo está
cambiando a razón de de 1/45 rad/seg. Hallar la velocidad del avión.
Ө=n/3
푑휃
푑푡
=
1
45
푟푎푑
푠
Tan θ = 푥
푦
X =
푦
tan 휃
X=
900
tan
휋
3
= 300 √3
Tan θ=
퐶표
퐶푎
Tan θ=
푦
푥
900 m

9. θ = tan−1 푥
푦
푑휃
푑푡
=
−푦
푥²+푦²
.
푑푥
푑푡
푑휃
푑푡
=
−900
푥²+810.000
.
푑푥
푑푡
1
45
푟푎푑
푠
=
−900
(300√3)²+810.000
.
푑푥
푑푡
1
45
푟푎푑
푠
=
−900
(300√3)²+810.000
.
푑푥
푑푡
1
45
푟푎푑
푠
=
−1
1.200
.
푑푥
푑푡
푑푥
푑푡
=
1200 . 1
−1 .45
푑푥
푑푡
=
80
3
푚
푠푒푔
Ejercicio Nº 8
Las dimensione de un cilindro circular recto están variando. En un cierto
instante el radio y la altura son de 8cm y 20cm, respectivamente. Si el
volumen permanece constante y el radio aumenta a razón de 3cm/seg.
Hallar la variación de la altura en ese instante.
Para un cierto instante
R(to)= 8 cm
A(to)=20 cm
r’(to) = 3cm/seg.
Tenemos que:
V(t) = π . r² (t) . a(t) (Que es constante)

10. Derivada de to.
V’(to)= o= (π . r²(to) . a(to)
= 2 . r(to) . π . r’(to) . a (to) + π . r²(to) . a’ (to)
Despejando a’(to) tenemos:
A’(to)=
−ퟐ .풓 (풕풐) .흅 .풓′(풕풐).풂(풕풐 )
흅 .풓²(풕풐 )
A’(to)=
−ퟐ .ퟖ 풄풎 .ퟑ,ퟏퟒ .
ퟑ풄풎
풔풆품
.ퟐퟎ풄풎
ퟑ,ퟏퟒ .(ퟖ 풄풎)²
A’(to)=
−ퟑퟎퟏퟒ,ퟒ 풄풎³/풔풆품
ퟐퟎퟎ,ퟗퟔ풄풎²
A’(to)= -15,072cm/seg
Ejercicio Nº 9.
Graficar la siguiente función f(x)= x³- 6x² + 9x +1
Para ello de buscar:
A) Dominio:
Dom f(x)= R
B) Simetría y Periodicidad.
Para demostrar simetría en un polinomio impar F(-x)= -f(x)
F(-x) = (-x)³-6 (-x)²+9 (-x)+1
= -x³-6x² -9x+1
= -(x³+6x²+9x+1) ≠ - F(x)
NO HAY SIMATRÍA
C) Intersección con los ejes.
Para x= 0
F(0) = 0³ -6(o)² + 9(0)+1
= 1
→ Y= 1
(0,1)

11. D) Continuidad y Asíntotas.
Es continua.
No tiene Asíntotas.
E) Estudio de la primera derivada: Intervalo de monotonía, máximos y
mínimos.
F(x) = x³ - 6x² + 9x +1
F’(x) = 3x² - 12x +9
Resolviendo la ecuación de segundo grado dividimos ÷ 3
3x² - 12 x +9 = x² -4x +3 = (x-1) (x-3)
De aquí se tiene que:
X=1 y x=3
F’(1)=0 y F’(3) = 0
De esto obtenemos 3 intervalos de estudio para la monotonía.
(-∞,1) (1,3) (3, +∞)
Tomando un valor de cada intervalo y evaluando
Para x= 0
F’(0) = 3(0)²-12(0)+9
=9
F’>0
Para x= 2
F’(2) = 3(2)² -12(2)+9
=-3
F’ < 0
Para x=4
F’(4) = 3(4)²-12(4) +9
=9
F’ > 0
Para x=1
F’(1) = 3(1)² -12(1) +9
=0
F’= 0

12. Para x= 3
F’(3) = 3(3)² - 12 (3) + 9
= 0
F’= 0
(-∞,1) X=1 (1,3) X=3 (3,∞)
F’ > 0 F’= 0 F’= < 0 F’= 0 F’ > 0
La función
Máximo La función
crece
decrece
Mínimo La función
crece
F) Estudio de la segunda derivada: Concavidad y punto de inflexión.
F’’(x) = 6x-12
Si F’’(x) > 0 hay convexidad y para F’’(x) < 0 hay concavidad.
Calculemos sus raíces.
6x -12 = 0 → 6x= 12 → x=2
 (-∞,2) tomamos x= 0
F’’ (0)= 6 (0) – 12 = -12 < 0 Cóncava
 (2, +∞) tomamos x=3
F’’(3) = 6 (3)-12 = 6> 0 Convexa
Convexidad: (2, +∞)
Concavidad: (-∞,2)
G) Esbozar el grafico:
2