SISTEMAS DE COMUNICACIONES 1
UNIDAD I -EJERCICIOS DESARROLLADOS POR ESTUDIANTES SEMESTRES ANTERIORES.
EJEMPLO DE EVALUACION CURSOS ANTERIORES Actividad 1 Análisis Fourier Sistemas de Comunicación I 2022_3_1
1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD DE FALCÓN
FACULTAD DE INGENIERÍA
CARRERA: INGENIERÍA ELECTRÓNICA
CÁTEDRA: SISTEMAS DE COMUNICACIÓN I.
Evaluación de Estudiante
EJEMPLOS DE OBTENCION DE SERIES DE
FOURIER Y DE TRASNFORMADAS DE
FOURIER.
Profesor: Ing. Avinadad Méndez
Nombre: XXXXXX XXXX
C.I: xxxxxxxx
2. Punto Fijo, 14 de Septiembre de 2022.
Evaluación N1 de sistemas de comunicación I.
Parte 1) EJERCICIO NUMERO 1: Serie de Fourier.
Obtenga la expresión de la Serie de Fourier del siguiente
𝑥( ) =
36 ∗ 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 [𝑠𝑒𝑛(2 ∗ 𝑝𝑖 ∗ 1000 ∗ 𝑡 )], 𝑐𝑜𝑛 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇𝑖𝑛
𝑐𝑜𝑛 𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 , 𝑇𝑜𝑢𝑡 = ∗ 𝑇𝑖𝑛 = ∗ ( )
1) Encuentre la expresión en Serie de Fourier (Expresión Exponencial) de
la onda Rectificada de la figura, sabiendo que la frecuencia de la señal
antes de rectificar era fin = 1000 Hz y cuyo Tin = 1/1000 Segundos, por lo
que el Periodo T de la ya, rectificada es Tout = Tin/2 que sería Tout = 1/2000
Segundos y la frecuencia fundamental en la Expresión de Fourier será
fout = 2 x 1000Hz = 2000Hz. Esto para ser tomado en cuenta a la hora de
hacer la representación de Fourier de la onda rectificada completa.
3. 𝑓out = 1/𝑇out = 1/0,5ms = 2KHz, se tiene lo siguiente:
𝑥 (𝑡) = 𝑥 𝑒 .
𝑥 =
1
𝑇
𝑥(𝑡)𝑒 .
𝑑𝑡
Donde 𝑓in = 1/𝑇in = 1/1mS =1KHz, y tomando en cuenta la siguiente propiedad
de la función seno:
0 ≤ 𝑆𝑒𝑛 2𝜋 𝑡 = 𝑆𝑒𝑛 2𝜋 𝑡 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑡 ≤
Donde 𝑇in/2 es lo mismo que 𝑇out, y que la integral en 𝑋𝑛 se realiza sobre (0,
𝑇out), se tiene lo siguiente:
|𝑆𝑒𝑛(2𝜋. 1000𝑡)| = 𝑆𝑒𝑛(2𝜋. 1000𝑡) 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜 (0, 𝑇 )
𝑥( ) = 36 𝑆𝑒𝑛(2𝜋. 1000𝑡)
Aplicando este resultado en 𝑋𝑛, obtenemos la siguiente ecuación:
𝑥 =
1
𝑇
𝑥(𝑡)𝑒 𝑑𝑡
𝑥 =
1
1
2000
36 𝑆𝑒𝑛(2𝜋. 1000𝑡) . 𝑒 𝑑𝑡
6. 𝑥 (𝑡) = 𝑥 𝑒
𝑥 (𝑡) = −
72
4𝜋𝑛 − 𝜋
𝑒
Esta sería la expresión de la serie de Fourier.
2) Dibuje el Espectro de Frecuencia de la Señal de salida, hasta una
frecuencia de 5 o 6 veces la frecuencia base de la señal rectificada.
3) Si se hace pasar esta Señal rectificada por un filtro pasa Bajo de 0 Hz
a 5000Hz, cuya ganancia sea 1, que componentes de frecuencia, se
podrían tener a la salida de este.
Cuando esta señal 𝑥(𝑡) es procesada por un filtro paso bajo de 𝑓𝑐 = 5𝐾𝐻𝑧,
los componentes de baja frecuencia 𝑋( ) 𝑒 .
de la señal de salida que
es 𝑋 (𝑡) son los ismos que los de 𝑥(𝑡), los coeficientes de la serie de Fourier
son los mismos, ya que este filtro paso bajo tiene una ganancia de 1. Esto
ocurre hasta que |2000𝑛| ≥ 5𝐾𝐻𝑧, este filtro de frecuencias son filtradas por
el LPF. Entonces el valor máximo que puede asumir |𝑛| en la salida sería 2
porque 2x2000Hz = 4000Hz, mientras que si multiplico 3 por la frecuencia de
salida 3x2000 me da 6000 que sería mayor que la frecuencia de filtro paso
7. bajo de 5KHz (6000 > 5KHz). Por lo tanto los coeficientes 𝑋( ) pueden
definirse de la siguiente manera:
𝑋( ) =
𝑋 = − 𝑝𝑎𝑟𝑎 |𝑛| ≤ 2
0 𝑝𝑎𝑟𝑎 |𝑛| ≥ 3
La señal de salida 𝑋 (𝑡) quedaría entonces:
𝑋 (𝑡) = −
72
4𝜋𝑛 − 𝜋
𝑒
4) Si recordamos que una señal periódica e infinita en el tiempo su
energía también es infinita, se habla entonces de señales de Potencia,
que se tendría como potencia de la señal, ya a la salida del filtro.
El teorema de Parseval se define como:
𝑃 = |𝑋 |
En la pregunta 3) se tuvo que los coeficientes de la serie de Fourier de la
señal de salida 𝑋 (𝑡) están dados por la siguiente ecuación:
𝑋( ) =
𝑋 = − 𝑝𝑎𝑟𝑎 |𝑛| ≤ 2
0 𝑝𝑎𝑟𝑎 |𝑛| ≥ 3
Una vez obtenido el coeficiente de la serie de Fourier de la señal de salida
𝑋 (𝑡), nosotros podemos definir la potencia de la señal de salida 𝑋 (𝑡)
utilizando el teorema de Parseval:
8. 𝑃 = 𝑋 ( ) = |𝑋 | = −
72
4𝜋𝑛 − 𝜋
𝑃 = −
72
4𝜋(−2) − 𝜋
−
72
4𝜋(−1) − 𝜋
−
72
4𝜋(0) − 𝜋
−
72
4𝜋(1) − 𝜋
−
72
4𝜋(2) − 𝜋
𝑃 =
576
25𝜋
+
576
𝜋
+
5184
𝜋
+
576
𝜋
+
576
25𝜋
𝑃 =
159552
25𝜋
=
6382,08
𝜋
= 646,64
Parte 2) EJERCICIO NÚMERO 2: Transformada de Fourier.
Dada la función x(t) = 120 cos (2.π.fc.t):
Para t definido solo en el intervalo, fuera del intervalo x(t) es cero.
- Ʈ/2 ≤ t ≤ Ʈ /2, recuerde que Ʈ es una constante, para nuestro ejemplo,
cosidere que Ʈ = 1.5 Segundos, y que la frecuencia fc = 1.5 Khz, así
mismo la altura o magnitud máxima de la señal es de 120V.
9. 1) Encuentre la transformada de Fourier Y Grafique X(f), de la función o
señal x(t), utilice la definición. Recuerde que esta función o tren de la
señal coseno, puede ser considerado como la multiplicación de una
función coseno por una muy conocida como señal pulso cuya
transformada de Fourier esta tabulada.
Figura 1.
En la figura 1 nos muestra la señal x(t) con acercamiento a la onda del coseno.
Figura 2.
En la figura 2 nos muestra la señal x(t) con una duración limitada.
Para calcular la transformada de Fourier aplicamos los siguientes pasos:
u(t) =
1 para −
Ʈ
≤ t ≤
Ʈ
donde la duración total es Ʈ
0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜(−Ʈ /2, +Ʈ /2)
La fórmula de la transformada de Fourier se define como:
10. 𝑋(𝑓) = 𝑥(𝑡)𝑒 𝑑𝑡
Pero si nosotros observamos, el enunciado nos dice que para cualquier tiempo
que no esté dentro del rango de −
Ʈ
≤ t ≤
Ʈ
es 0, por lo tanto la fórmula de
la transformada de Fourier para esta señal será la siguiente:
𝑋(𝑓) = 𝑥(𝑡)𝑒 𝑑𝑡
Ʈ
Ʈ
Sustituyendo x(t) en la integral de la transformada de Fourier obtenemos:
𝑋(𝑓) = 120 𝐶𝑜𝑠 (2𝜋𝑓𝑐𝑡)𝑒 𝑑𝑡
Ʈ
Ʈ
Ahora procedemos a resolver la integral:
𝑋(𝑓) = 120 𝐶𝑜𝑠 (2𝜋𝑓𝑐𝑡)𝑒 𝑑𝑡
Ʈ
Ʈ
Aplicando la fórmula de Euler: 𝐶𝑜𝑠(2𝜋𝑓𝑐𝑡) =
12. 𝑒 ( )Ʈ
− 𝑒 ( )Ʈ
𝑗2
= 𝑆𝑒𝑛[𝜋(𝑓 + 𝑓𝑐)Ʈ]
𝑗2. 𝑆𝑒𝑛[𝜋(𝑓 + 𝑓𝑐)Ʈ] = 𝑒 ( )Ʈ
− 𝑒 ( )Ʈ
Sustituyendo en la ecuación anterior obtenemos lo siguiente:
𝑋(𝑓) = 60
𝑗2. 𝑆𝑒𝑛[𝜋(𝑓 − 𝑓𝑐)Ʈ]
𝑗2𝜋(𝑓 − 𝑓𝑐)
+
𝑗2. 𝑆𝑒𝑛[𝜋(𝑓 + 𝑓𝑐)Ʈ]
𝑗2𝜋(𝑓 + 𝑓𝑐)
𝑋(𝑓) = 60
𝑆𝑒𝑛[𝜋(𝑓 − 𝑓𝑐)Ʈ]
𝜋(𝑓 − 𝑓𝑐)
+
𝑆𝑒𝑛[𝜋(𝑓 + 𝑓𝑐)Ʈ]
𝜋(𝑓 + 𝑓𝑐)
𝑋(𝑓) = 60Ʈ
𝑆𝑒𝑛[𝜋(𝑓 − 𝑓𝑐)Ʈ]
𝜋(𝑓 − 𝑓𝑐)Ʈ
+
𝑆𝑒𝑛[𝜋(𝑓 + 𝑓𝑐)Ʈ]
𝜋(𝑓 + 𝑓𝑐)Ʈ
Aplicando la fórmula de 𝑆𝑖𝑛𝑐[(𝑓 − 𝑓𝑐)Ʈ] =
[ ( )Ʈ]
( )Ʈ
𝑆𝑖𝑛𝑐[(𝑓 + 𝑓𝑐)Ʈ] =
𝑆𝑒𝑛[𝜋(𝑓 + 𝑓𝑐)Ʈ]
𝜋(𝑓 + 𝑓𝑐)Ʈ
Sustituyendo en la ecuación anterior obtenemos lo siguiente:
𝑋(𝑓) = 60Ʈ 𝑆𝑖𝑛𝑐[(𝑓 − 𝑓𝑐)Ʈ] + 𝑆𝑖𝑛𝑐[(𝑓 + 𝑓𝑐)Ʈ]
Esta sería la expresión de la transformada de Fourier de la función x(t). Si
nosotros sustituimos Ʈ = 1,5s y fc = 1500Hz obtenemos lo siguiente:
𝑋(𝑡) =
120 cos (2π1500t) para −
1,5
2
≤ t ≤
1,5
2
0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜(−Ʈ /2, +Ʈ /2)
𝑋(𝑓) = 60(1,5) 𝑆𝑖𝑛𝑐[(𝑓 − 1500)(1,5)] + 𝑆𝑖𝑛𝑐[(𝑓 + 1500)(1,5)]
𝑋(𝑓) = 90[𝑆𝑖𝑛𝑐 (1,5𝑓 − 2250) + 𝑆𝑖𝑛𝑐(1,5𝑓 + 2250)]
13. 2) Dibuje el Espectro de frecuencia de la Señal Pulso unitario de longitud
Ʈ.
3) Dibuje el Espectro de la transformada encontrada. Donde fueron
multiplicados el Pulso Unitario por la función Coseno.
4) Que conclusión puede extraerse de estas dos gráficas, comente.
Para concluir nosotros podemos observar que el pulso de valor unitario
tiene una transformada de Fourier en forma de onda seno cardinal (Sinc) con
su pico centrado en la gráfica (graficado en el programa octave). Donde x(t) es
el producto de la misma señal de pulso unitario, que tiene una onda coseno
con una frecuencia de 1500Hz. Con la transformada de Fourier de x(t)
podemos describirla como la superposición de 2 espectros seno cardinal que
sus puntas están separadas del centro de la gráfica por una distancia de
1500Hz. Se puede observar que la multiplicación de una señal por una onda
senoidal o específicamente un coseno con una frecuencia fc, que tiene el
efecto en el dominio de la frecuencia de poder duplicar el espectro de la función
original, donde las nuevas copias son desplazadas de su posición inicial por la
magnitud de la frecuencia de la señal coseno.
14. 5) Encuentre ahora la Transformada de la función, utilizando las
propiedades de traslación de frecuencia o multiplicación por (e^(-at))
en lugar de la función coseno. x(t) = 120 Cos (2.π.fc.t).
Para ello aplicamos la forma exponencial del coseno:
𝐶𝑜𝑠(2𝜋𝑓𝑐𝑡) =
𝑒 + 𝑒
2
Sustituyendo la ecuación de Euler del coseno en la ecuación x(t):
𝑥(𝑡) = 120 𝐶𝑜𝑠 (2𝜋𝑓𝑐𝑡)
𝑥(𝑡) = 120
𝑒 + 𝑒
2
(𝑡)
𝑥(𝑡) =
120
2
(𝑒 + 𝑒 )(𝑡)
𝑥(𝑡) = 60(𝑒 + 𝑒 )(𝑡)
𝑥(𝑡) = 60𝑒 (𝑡) + 60𝑒 (𝑡)
La propiedad de traslación de frecuencia de la transformada de Fourier es:
𝑥(𝑡) 𝑋(𝑓)
𝑒 𝑥(𝑡) 𝑋(𝑓 − 𝑓𝑐) = Ʈ 𝑆𝑖𝑛𝑐[(𝑓 − 𝑓𝑐)Ʈ]
𝑒 𝑥(𝑡) 𝑋(𝑓 + 𝑓𝑐) = Ʈ 𝑆𝑖𝑛𝑐[(𝑓 + 𝑓𝑐)Ʈ]
Aplicando la propiedad de traslación de frecuencia obtenemos lo siguiente:
𝑋(𝑓) = 60[Ʈ 𝑆𝑖𝑛𝑐((𝑓 − 𝑓𝑐)Ʈ)] + 60[Ʈ 𝑆𝑖𝑛𝑐((𝑓 + 𝑓𝑐)Ʈ)]
𝑋(𝑓) = 60Ʈ[𝑆𝑖𝑛𝑐((𝑓 − 𝑓𝑐)Ʈ)] + 60Ʈ[𝑆𝑖𝑛𝑐((𝑓 + 𝑓𝑐)Ʈ)]
15. Si sustituimos Ʈ = 1,5𝑠 𝑦 𝑓𝑐 = 1500𝐻𝑧 obtenemos lo siguiente:
𝑋(𝑓) = 60(1,5)[𝑆𝑖𝑛𝑐((𝑓 − 1500)(1,5))] + 60(1,5)[𝑆𝑖𝑛𝑐((𝑓 + 1500)(1,5))]
𝑋(𝑓) = 90[𝑆𝑖𝑛𝑐(1,5𝑓 − 2250)] + 90[𝑆𝑖𝑛𝑐(1,5𝑓 − 2250)]
𝑋(𝑓) = 90[𝑆𝑖𝑛𝑐 (1,5𝑓 − 2250) + 𝑆𝑖𝑛𝑐(1,5𝑓 + 2250)]
Parte 3): Parte teórica.
1) Explique en qué consiste la Propiedad de la Traslación de Frecuencia
de la Transformada de Fourier y que ventajas puede tener al momento de
la transmisión de un mensaje.
La propiedad de la traslación de frecuencia de la transformada de Fourier
consiste en multiplicar una señal x(t) por una señal sinusoidal de una
frecuencia 𝜔 que esa misma traslada su espectro de frecuencia en ± 𝜔
radianes. Las ventajas de la propiedad de la traslación de frecuencia de la
transformada de Fourier es que gracias a ella se pueden transmitir señales en
el aire a través de ondas separándolas en distintas frecuencias y esto permite
utilizar todo el espectro radioeléctrico para poder transmitir señales y poder
tener en el aire señales de wifi, radio, televisión y telefonía para poder recibir
la transmisión de un mensaje gracias a la traslación de frecuencia de la
transformada de Fourier.
2) Si dos Funciones o señales en el tiempo (t), son multiplicadas (Cuyas
transformadas de cada una de ellas, son conocidas). Al Conseguir la
Transformada de Fourier de la Multiplicación de las funciones en tiempo,
que puede decirse tomando en cuenta las propiedades de la
Transformada de Fourier.
La transformada de Fourier utilizando la propiedad de multiplicación en el
dominio del tiempo se cumple de la siguiente manera:
𝐺1(𝑡). 𝐺2(𝑡) = 𝐺1(𝜆)𝐺2(𝜔 − 𝜆) 𝑑𝜆
16. En este caso nosotros demostraremos que la multiplicación en el dominio
del tiempo equivale a la convulsión en el dominio de la frecuencia mediante el
siguiente procedimiento:
𝐺12(𝜔) = 𝐺1(𝑡)𝐺2(𝑡)𝑒 𝑑𝑡
Esta propiedad la vamos a llamar a G12 en función de f a la transformada
de Fourier que sería G1 por G2, según la ecuación vamos a sustituir G2 por la
siguiente función:
𝐺2(𝑡) = 𝐺2(𝜔) 𝑒 𝑑𝜔
Remplazando G2(t) en la integral de G12(𝜔) nos queda la siguiente
ecuación.
𝐺12(𝜔) = 𝐺1(𝑡)𝐺2(𝜔 )𝑒 ( ´)
𝑑𝜔 𝑑𝑡
Con esta ecuación hemos demostrado esta propiedad porque G1(t) por
G2(t) se le define como la convulsión en el dominio de la frecuencia.
![Punto Fijo, 14 de Septiembre de 2022.
Evaluación N1 de sistemas de comunicación I.
Parte 1) EJERCICIO NUMERO 1: Serie de Fourier.
Obtenga la expresión de la Serie de Fourier del siguiente
𝑥( ) =
36 ∗ 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 [𝑠𝑒𝑛(2 ∗ 𝑝𝑖 ∗ 1000 ∗ 𝑡 )], 𝑐𝑜𝑛 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇𝑖𝑛
𝑐𝑜𝑛 𝑃𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 , 𝑇𝑜𝑢𝑡 = ∗ 𝑇𝑖𝑛 = ∗ ( )
1) Encuentre la expresión en Serie de Fourier (Expresión Exponencial) de
la onda Rectificada de la figura, sabiendo que la frecuencia de la señal
antes de rectificar era fin = 1000 Hz y cuyo Tin = 1/1000 Segundos, por lo
que el Periodo T de la ya, rectificada es Tout = Tin/2 que sería Tout = 1/2000
Segundos y la frecuencia fundamental en la Expresión de Fourier será
fout = 2 x 1000Hz = 2000Hz. Esto para ser tomado en cuenta a la hora de
hacer la representación de Fourier de la onda rectificada completa.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)