derivadas

1. Calculo vectorial: Derivadas
1. Si 𝑠 = 𝑥𝑦𝑡 con 𝑥 = √ 𝑡 y 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 calcular la derivada total
𝑑𝑠
𝑑𝑡
Solución
𝜕𝑠
𝜕𝑥
= 𝑦𝑡
𝜕𝐬
𝜕𝐲
= 𝑥𝑡
𝜕𝐱
𝜕𝐭
=
1
2√𝑡
𝜕𝐲
𝜕𝐭
= −𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑑𝑠
𝑑𝑡
=
𝜕s
𝜕x
𝜕x
𝜕t
+
𝜕s
𝜕y
𝜕y
𝜕t
𝑑𝑠
𝑑𝑡
=
𝑦𝑡
2√ 𝑡
− 𝑥𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡
Respuesta:
𝑦𝑡
2√ 𝑡
− 𝑥𝑡𝑠𝑒𝑛𝑡
2. Calcúlese la cantidad de material de una caja rectangular hueca cuyas medidas interiores son de 5ft de largo,
3ft de ancho por 2ft de profundidad, hechas con tablas de manera de 0.08 ft de grueso y sin tapa.
Solución
𝐿 = 5𝑓𝑡 𝐴 = 3𝑓𝑡 𝑃 = 2𝑓𝑡
𝑉 = 𝐿𝐴𝑃 𝑉 = (3)(3)(2) = 30
(2)(0.08) = 0.16 𝑑𝐿 = 0.16 𝑑𝐴 = 0.08 𝑑𝑃 = 0.16
𝑉 = [(5 + 0.16)(3 + 0.08)(2 + 0.16) − 30] = 34.32 − 30 = 4.32
𝑑𝑉
𝑑𝐿
= 𝐴𝑃
𝑑𝑉
𝑑𝐴
= 𝐿𝑃
𝑑𝑉
𝑑𝑃
= 𝐿𝐴 𝑑𝑉 =
𝑑𝑉
𝑑𝐿
𝑑𝐿 +
𝑑𝑉
𝑑𝐴
𝑑𝐴 +
𝑑𝑉
𝑑𝑃
𝑑𝑃
dV= [(3)(2)] (0.16)+[(5)(2)](0.08)+ [(5)(3)](016)=09.96+0.8+2.4=4.15
ℰ0 = |∆𝑉 − ∆𝑑𝑉|=4.32-4.16=0.16
Respuesta:
4.16 ft3

2. 3. Para la superficie 𝑥2
− 𝑦2
+ 𝑧2
= 4 Determine
a) La ecuación del plano tangente a la superficie en (2,-3,3)
b) La ecuación de la recta normal en (2,-3,3)
c) Un vector normal a esta superficie en (2,-,3,3)
Solución
a)
4(X-2)+6(y+3)+6(Z-3)=0
4X-8+6Y+18+6Z-18=0
4X+6Y+6Z=8
b)
𝑥−2
4
=
𝑦+3
6
=
𝑧−3
6
x=4t+2 y=6t-3 z=6y+3
c)
∇𝐹⃗ = (4,6,6)
Respuesta:
a) 4X+6Y+6Z=8
b) x=4t+2 y=6t-3 z=6y+3
c) ∇𝐹⃗= (4,6,6)
4. Para la función z=x2y+2xy2 Determine en Po(1,3)
a) Dirección de mayor crecimiento de P(x,y) en Po(1,3)
b) La derivada de z=f(x,y) en la dirección de mayor crecimiento
c) La dirección de mayor decrecimiento de z= f(x,y)
Solución
a)
𝜕𝐳
𝜕𝐱
= (2𝑥𝑦+ 2𝑦2
) (1,3) = (2)(1)(3)+ 2(3)2
= 24
𝜕𝐳
𝜕𝐲
= (𝑥2
+ 4𝑥𝑦) (1,3) = (1)2
+ 4(1)(3) = 13
∇𝐹⃗ = 24𝑖 + 13𝑗
b)
𝑢⃗⃗ =
∇𝐹⃗
|∇𝐹⃗|
=
〈24,13〉
√242 + 132
= (
24
27.24
𝑖 +
13
27.24
𝑗)
𝐷𝑢⃗⃗ = ∇𝐹⃗ ∙ 𝑢⃗⃗ = (24𝑖 + 13𝑗) ∙ (
24
27.24
𝑖 +
13
27.24
𝑗) = 21.1 + 6.19 = 27.29
c)
−∇𝐹⃗ = −24𝑖 − 13𝑗
Respuesta:
a) ∇𝐹⃗ = 24𝑖 + 13𝑗 b)27.29 c)−∇𝐹⃗ = −24𝑖 − 13𝑗

3. 5. ¿Es el gradiente de la función f(x,y,z), un escalar?
Respuesta: No, en un vector
6. ¿Es la derivada direccional un vector?
Respuesta: No, es un escalar
7. Un mosquito está volando a una velocidad de 5 unidades de distancia por segundo en dirección del vector
4i+4j-2k. La temperatura está dada por f(x,y,z)=x2+y2-z
¿Cuál es la razón de cambio del aumento de la temperatura por unidad de tiempo en el momento que pasa por
el punto P(1, 1,2)?
Solución
V=5 u/s 4i+4j-2k f(x,y,z)=x2+y2-z
F= x2+y2-z
∇𝐹⃗=2xi+2yj-k
∇𝐹⃗𝑃 =2i+2j-k
u⃗⃗ =
4
6
𝑖 +
4
6
𝑗 −
2
6
𝑘 =
2
3
𝑖 +
2
3
𝑗 −
1
3
𝑘
𝐷 𝑢⃗⃗⃗ F⃗⃗ = (2i + 2j − k) ∙ (
2
3
𝑖 +
2
3
𝑗 −
1
3
𝑘) =
4
3
+
4
3
+
1
3
= 3
Razón de cambio= (3)(5)=15
Respuesta:
15
8. En la expresión T=2𝜋 (
𝐿
𝑔
)
1
2
; “T” se calcula usando L=8m y g=32m/s2 encuéntrese el error aproximado que se
comete si los valores reales de L y g son L=8.5m y g=3201m/s2. Expresar error en %.
Solución
∆𝑇 = [2𝜋 (
8.5
32
)
1
2
] − [2𝜋 (
8
32
)
1
2
]
∆𝑇 = [2𝜋(0.155)]− [2𝜋(0.5)] = 2𝜋(0.015) = 0.0961
𝑑𝑇 =
𝜕𝑇
𝜕𝐿
𝑑𝐿 +
𝜕𝑇
𝜕𝑔
𝑑𝑔 𝑑𝑇 =
2𝜋
√ 𝑔
(
1
2
𝐿
1
2) 𝑑𝐿 + 2𝜋√ 𝐿 (−
1
2
𝑔
−
3
2 ) 𝑑𝑔=
𝜋
√ 𝑔𝐿
𝑑𝐿 −
𝜋√ 𝐿
√𝑔3
𝑑𝑔 =
𝜋
√32∗8
(0.5) −
𝜋√ 8
√323 (0.01)
𝑑𝑇 = 0.0977
∆𝑇 − 𝑑𝑇 = 0.0977 − 0.0961 = 0.0016
Error relativo:
𝑒 =
0.0961
0.0977
𝑥100 = 98.3%
Respuesta:
98.3%

4. 9. La derivada de f(x,y) en Po(1,2) en la dirección del vector i+j es 2√2 y en la de -2j es -3 ¿Cuál es la derivada
de “f” en la dirección del vector –i-2j?
Solución
𝐷 𝑢⃗⃗⃗ f = ∇𝐹⃗ ∙ u⃗⃗ u⃗⃗ =
𝑣𝑖
| 𝑣|
𝑖 +
𝑣2
| 𝑣|
𝑗
𝐷 𝑢⃗⃗⃗ f = (
𝜕𝐹
𝜕𝑥 𝑃
𝑖 +
𝜕𝐹
𝜕𝑦 𝑃
𝑖) ∙ (
𝑣𝑖
| 𝑣|
𝑖 +
𝑣2
| 𝑣|
𝑗)
𝐷 𝑢⃗⃗⃗ f = (
𝑣𝑖
| 𝑣|
) (
𝜕𝐹
𝜕𝑥 𝑃
) + (
𝑣2
| 𝑣|
) (
𝜕𝐹
𝜕𝑦 𝑃
)
𝑣⃗ = 𝑖 + 𝑗 𝐷 𝑢⃗⃗⃗ f = 2√2 𝑢⃗⃗ =
1
√2
𝑖 +
1
√2
𝑗
(
1
√2
)(
𝜕𝐹
𝜕𝑥 𝑃
) + (
1
√2
)(
𝜕𝐹
𝜕𝑦 𝑃
) = 2√2 [(
𝜕𝐹
𝜕𝑥 𝑃
) + (
𝜕𝐹
𝜕𝑦 𝑃
)] = 2√2√2
[(
𝜕𝐹
𝜕𝑥 𝑃
) + (
𝜕𝐹
𝜕𝑦 𝑃
)] = 4
𝑣⃗ = −2𝑗 𝐷 𝑢⃗⃗⃗ f = −3 𝑢⃗⃗ = 0𝑖 −
2
2
𝑗 𝑢⃗⃗ = −𝑗
(0)(
𝜕𝐹
𝜕𝑥 𝑃
) + (−1)(
𝜕𝐹
𝜕𝑦 𝑃
) = −3 [(
𝜕𝐹
𝜕𝑦 𝑃
)] = 3
𝜕𝐹
𝜕𝑥 𝑃
+
𝜕𝐹
𝜕𝑦 𝑃
= 4
𝜕𝐹
𝜕𝑥 𝑃
+ 3 = 4
𝜕𝐹
𝜕𝑥 𝑃
= 4 − 3
𝜕𝐹
𝜕𝑥 𝑃
= 1
∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝑐
∫ 3𝑦𝑑𝑥 = 3𝑦 + 𝑐
𝑓( 𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 3𝑦 + 𝑐
Comprobando
𝐷 𝑢⃗⃗⃗ f = ∇𝐹⃗ ∙ u⃗⃗ = ( 𝑖 + 3𝑗) ∙ (
1
√2
𝑖 +
1
√2
𝑗) =
1
√2
+
3
√2
=
4
√2
=
4√2
2
= 2√2
𝐷 𝑢⃗⃗⃗ f = (i + 3j) ∙ (−j) = −3
Calculando derivada direccional de “f” en dirección del vector –i-2j
(1 + 3j) ∙ (
1
√5
𝑖 −
2
√5
𝑗) = −
1
√5
−
6
√5
= −
7
√5
Respuesta:
−
7
√5