ELECTRONICA INDUSTRIAL -EJERCICIOS RESUELTOS : EJERCICIOS DE EXPRESION EN SERIES DE FOURIER - VALOR PORMEDIO-DC - VALOR EFICAZ DE DE SEÑALES

FACULTAD DE INGENIERIA – INGENIERIA ELECTRONICA.
ELECTRONICA INDUSTRIAL – MENCION AUTOMATIZACION Y CONTROL
1 de 13
Periodo de la Señal : T
UNIDAD I : EJERCICIOS.
1.- EJERCICIO 1 : Sea la señal periódica con periodo igual a T, representada por
𝑣(𝑡) =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ 𝑉𝑚 ∗ cos(2 𝜋𝑓𝑜 𝑡 ) ∀ , −
𝑇
4
≤ 𝑡 ≤ +
𝑇
4
0 −
𝑇
2
≤ 𝑡 ≤ −
𝑇
4
𝑦 +
𝑇
4
≤ 𝑡 ≤ +
𝑇
2⎭
⎪
⎬
⎪
⎫
que no es mas que la señal coseno rectificada en todo el semiperiodo positivo, Ver imagen
siguiente :
Fig .1:Rectificador de media onda del Coseno.
1.1-Encuentre la serie de Fourier que representa la señal.
1.2 Encuentre el Valor medio o Promedio de la señal
1.3 Encuentre el Valor RMS de la señal ..

2 de 13
1.1-Encuentre la serie de Fourier que representa la señal.
Dada la representación de Fourier expresada como la sumatoria de :
V(t)=𝑣(𝑡) = 𝑎 + ∑ 𝑎 cos( 𝑛 2 𝜋 𝑓𝑜 𝑡) + ∑ 𝑏 𝑠𝑒𝑛( 𝑛 2 𝜋 𝑓𝑜 𝑡
Consiguiendo el valor de ao
Donde 𝑎 = ∫ 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡
/
/
también llamado valor Promedio o valor DC.
con límites de integración desde –T/2 hasta T/2 , o también desde 0 hasta T, o cualquier
limite que comprenda y abarque un T .
𝑎 =
1
𝑇
∫ 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡
/
/
=
1
𝑇
∫ 0 𝑑𝑡
/
/
+ ∫ 𝑉𝑚 𝑐𝑜𝑠(2 𝜋 𝑓𝑜 𝑡) 𝑑𝑡
/
/
+ ∫ 0 𝑑𝑡
/
/
𝑎 =
1
𝑇
𝑉𝑚 ∫ 𝑐𝑜𝑠(2 𝜋 𝑓𝑜 𝑡) 𝑑𝑡
/
/
=
1
𝑇
𝑠𝑒𝑛(2 𝜋 𝑓𝑜 𝑡) ] /
/
=
𝑎 = 𝑠𝑒𝑛 2 𝜋 𝑓𝑜 − 𝑠𝑒𝑛 2 𝜋 𝑓𝑜 =
Record. que fo .T= T. fo =1 con lo que el argumento en la funcion sen es :: 𝜋/2 y el sen(𝜋/2) = 1
𝑎 = 𝑠𝑒𝑛 + 𝑠𝑒𝑛 = { 1 + 1 } = 2
Por lo que 𝑎 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 = 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝐷𝐶 =
𝑽𝒎
𝝅
::: ao=
𝑽𝒎
𝝅
Consiguiendo el valor de an , recuerde que n va de 1 , ∞
Donde 𝑎 = ∫ 𝑣(𝑡) cos( 𝑛 2 𝜋 𝑓𝑜 𝑡 ) 𝑑𝑡
/
/
, haciendo un procedimiento
similar con los limites y puesto que v(t) solo tiene valor entre –T/4 y T/4 y en este intervalo
v(t) = Vm cos(2 𝜋 𝑓𝑜 𝑡 ) , con lo que nos queda.

3 de 13
𝑎 = ∫ Vm cos(2 𝜋 𝑓𝑜 𝑡 ) cos( 𝑛 2 𝜋 𝑓𝑜 𝑡 ) 𝑑𝑡
/
/
,
Recordando la identidad trigonométrica cos(a) cos(b)= ½ ( cos(a+b) + cos(a-b) )
𝑎 = ∫ [ cos(2 𝜋 𝑓𝑜 𝑡 +( 𝑛 2 𝜋 𝑓𝑜 𝑡 ) ) + cos(2 𝜋 𝑓𝑜 𝑡 −( 𝑛 2 𝜋 𝑓𝑜 𝑡 ) ) ] 𝑑𝑡
/
/
Dentro de la funcion coseno se extraen los factores comunes..
𝑎 =
2𝑉𝑚
𝑇
1
2
[ cos(2 𝜋 𝑓𝑜 𝑡(1 + 𝑛) ) + cos(2 𝜋 𝑓𝑜 𝑡 (1 − 𝑛) ) ] 𝑑𝑡
/
/
𝑎 =
2𝑉𝑚
2 𝑇
(
𝑠𝑒𝑛(2 𝜋 𝑓𝑜 𝑡(1 + 𝑛))
2 𝜋 𝑓𝑜 (1 + 𝑛)
+
𝑠𝑒𝑛(2 𝜋 𝑓𝑜 𝑡(1 − 𝑛))
2 𝜋 𝑓𝑜 (1 − 𝑛)
)
−𝑇/4
𝑇/4
En los denominadores de las fracciones se extraen 2 𝜋 𝑓𝑜, y se evalúan las funciones en limite
superior menos las funciones en limite inferior .
𝑎 =
2𝑉𝑚
2𝑇( 𝟐 𝝅 𝒇𝒐)
[
𝑠𝑒𝑛 2 𝜋 𝑓𝑜
𝑇
4
(1 + 𝑛) − 𝑠𝑒𝑛 2 𝜋 𝑓𝑜
−𝑇
4
(1 + 𝑛)
(1 + 𝑛)
+
𝑠𝑒𝑛 2 𝜋 𝑓𝑜
𝑇
4
(1 − 𝑛) − 𝑠𝑒𝑛 2 𝜋 𝑓𝑜
−𝑇
4
(1 − 𝑛)
(1 − 𝑛)
]
Donde T fo=fo T=1 al simplicar el 2 de los denominadores con los 4 de los numeradores se
tiene.
𝑎 =
𝑉𝑚
2 𝜋
[
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
(1+𝑛) −𝑠𝑒𝑛
−𝜋
2
(1+𝑛)
(1+𝑛)
+
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
(1−𝑛) −𝑠𝑒𝑛
−𝜋
2
(1−𝑛)
(1−𝑛)
]
recordando que sen(-x) = - sen (x) , igualdad **
𝑎 =
𝑉𝑚
2 𝜋
[
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
(1 + 𝑛) + 𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
(1 + 𝑛)
(1 + 𝑛)
+
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
(1 − 𝑛) + 𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
(1 − 𝑛)
(1 − 𝑛)
]

4 de 13
𝑎 =
𝑉𝑚
2 𝜋
[
(2) 𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
(1 + 𝑛)
(1 + 𝑛)
+
(2) 𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
(1 − 𝑛)
(1 − 𝑛)
]
Vamos a intercambiar 1-n = -(n-1) , también extraer el factor común (2) y la igualdad **
𝑎 =
𝑉𝑚(2)
2𝜋
[
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
(1 + 𝑛)
(1 + 𝑛)
+
𝑠𝑒𝑛 −
𝜋
2
(𝑛 − 1)
− (𝑛 − 1)
]
𝑎 =
𝑉𝑚
𝜋
[
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
(1 + 𝑛)
(1 + 𝑛)
+
− 𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
(𝑛 − 1)
− (𝑛 − 1)
]
𝑎 =
𝑉𝑚
𝜋
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
(1+𝑛)
(1+𝑛)
+
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
(𝑛−1)
(𝑛−1)
Ecuacion para encontrar los an
Recordemos que n=1,2,3,………., ∞ pero se puede visualizar una indeterminación cuando
n=1 nos daría al segundo termino sen (0/0) donde hay que utilizar la ecuación
lim →
( )
= 1 , 𝑜 𝑡𝑎𝑚𝑏𝑖𝑒𝑛 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎
𝒔𝒆𝒏(𝒂 𝒙)
𝒙
= a , el cual se puede demostrar con
un cambio de variable.
Haciendo inicialmente el cálculo, con n que tiende a 1 , además el 1er termino no presenta
indeterminación.
𝑎1 = lim𝑛→1 𝑎𝑛 = lim𝑛→1 (
𝑉𝑚
𝜋
[
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
(1+𝑛)
(1+𝑛)
+
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
(𝑛−1)
(𝑛−1)
] ) =
𝑎 =
𝑉𝑚
𝜋
(
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
(1+1)
(1+1)
+ lim𝑛→1
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
(𝑛−1)
(𝑛−1)
) ver identidad del limite
𝑎 =
𝑉𝑚
𝜋
(
𝑠𝑒𝑛(𝜋 )
(2)
+
𝜋
2
) , 𝑠𝑒𝑛(𝜋 ) = 0
𝑎 =
𝑉𝑚
𝜋
𝜋
2
=> 𝑎 =
𝑉𝑚
2
𝜋
2

5 de 13
Podemos calcular el resto de los factores sustituyendo n=2,3,4….. en la ecuación encontrada para los an
 con n=2 𝑎 =
𝑉𝑚
𝜋
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
(1+𝑛)
(1+𝑛)
+
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
(𝑛−1)
(𝑛−1)
=> 𝑎 =
𝑉𝑚
𝜋
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
(2+1)
(2+1)
+
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
(2−1)
(2−1)
𝑎 =
𝑉𝑚
𝜋
𝑠𝑒𝑛
3 𝜋
2
(3)
+
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
(1)
=> 𝑎 =
𝑉𝑚
𝜋
−1
(3)
+
1
(1)
=> 𝑎 =
2 𝑉𝑚
3 𝜋
 con n=3 𝑎 => 𝑎 =
𝑉𝑚
𝜋
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
(3+1)
(3+1)
+
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
(3−1)
(3−1)
=
𝑉𝑚
𝜋
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
(4)
(4)
+
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
(2)
(2)
𝑎 =
𝑉𝑚
𝜋
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
(4)
(4)
+
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
(2)
(2)
= =
𝑉𝑚
𝜋
𝑠𝑒𝑛 (2𝜋)
(4)
+
𝑠𝑒𝑛 (𝜋)
(2)
=
𝑉𝑚
𝜋
0
4
+
0
2
=> 𝑎 = 0
 con n=4 𝑎 => 𝑎 =
𝑉𝑚
𝜋
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
(4+1)
(4+1)
+
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
(4−1)
(4−1)
=
𝑉𝑚
𝜋
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
(5)
(5)
+
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
(3)
(3)
𝑎 = 𝜋
1
(5)
+
−1
(3)
= 𝜋
− 2
15
=> 𝑎 =
−2 𝑉𝑚
15 𝜋
 con n=5 𝑎 => 𝑎 =
𝑉𝑚
𝜋
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
(5+1)
(5+1)
+
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
(5−1)
(5−1)
=
𝑉𝑚
𝜋
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
(6)
(6)
+
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
(4)
(4)
𝑎 =
𝑉𝑚
𝜋
𝑠𝑒𝑛(3 𝜋 )
(6)
+
𝑠𝑒𝑛(2 𝜋)
(4)
= =
𝑉𝑚
𝜋
0
(6)
+
0
(4)
=
𝑉𝑚
𝜋
[ 0 ] => 𝑎 = 0

6 de 13
 con n=6 𝑎 => 𝑎 =
𝑉𝑚
𝜋
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
(6+1)
(6+1)
+
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
(6−1)
(6−1)
=
𝑉𝑚
𝜋
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
(7)
(7)
+
𝑠𝑒𝑛
𝜋
2
(5)
(5)
𝑎 = 𝜋
− 1
7
+
1
5
= 𝜋
+ 2
35
=> 𝑎 =
+2 𝑉𝑚
35 𝜋
Recopilando
a1=
a2= se inicia con signo +
a3= 0 solo hay componentes con n par
a4= el signo va cambiando
a6= el signo va cambiando. Se pueden deducir los otros términos.
a8= y en general se infiere que => an = (−1)( )
( )
a9= 0
a10=
Estos serian los primeros 10 armonicos del coseno, se puede notar que bajan
considerablemente a medida que n va en aumento. Por eso al hacer aproximaciones se usan
solo unos pocos de armónicos, lo que es lo mismo con n pequeños es suficiente.
Consiguiendo ahora el valor de las bn , recuerde que n va de 1 , ∞
Donde 𝑏 = ∫ 𝑣(𝑡) 𝑠𝑒𝑛( 𝑛 2 𝜋 𝑓𝑜 𝑡 ) 𝑑𝑡
/
/
, haciendo un procedimiento
similar con los limites y puesto que v(t) solo tiene valor entre –T/4 y T/4 y en este intervalo
v(t) = Vm cos(2 𝜋 𝑓𝑜 𝑡 ) , con lo que nos queda.

7 de 13
𝑏 = ∫ Vm cos(2 𝜋 𝑓𝑜 𝑡 ) sen( 𝑛 2 𝜋 𝑓𝑜 𝑡 ) 𝑑𝑡
/
/
=0 ,
Para llegar a esta conclusión, Recordemos que nuestra funcion v(t) tiene el coseno, lo que
quiere decir que nuestra funcion es par , y la segunda funcion , El seno en este caso es
una funcion impar, lo que significa que su producto es impar, por lo tanto la integral (que
representa el área de la curva) es cero, en el intervalo desde –T/2 a T/2 ,
También puede decirse que la función coseno es ortogonal al seno en el intervalo, por tanto
su producto interior es cero.
El estudiante puede continuar con la integración para obtener bn y constatar que es 0 para
todo n.
Con lo que ya se puede expresar la funcion v(t) en sus componentes de Fourier.
𝑣(𝑡) = 𝑎 + ∑ 𝑎 cos( 𝑛 2 𝜋 𝑓𝑜 𝑡) + ∑ 𝑏 𝑠𝑒𝑛( 𝑛 2 𝜋 𝑓𝑜 𝑡 ) , no hay componentes
del seno.
𝑣(𝑡) =
𝑽𝒎
𝝅
+ ( cos(1𝑥2 𝜋 𝑓𝑜 𝑡) +
𝝅
cos(2𝑥2 𝜋 𝑓𝑜 𝑡) + 0 −
𝝅
cos(4𝑥2 𝜋 𝑓𝑜 𝑡) + 0 +
𝝅
cos(6𝑥2 𝜋 𝑓𝑜 𝑡) + 0 … +.. )
n=1 n=2 n=4 n=6
Figura 2 , grafica de la representación de Fourier a 7 terminos , con n=7 , con un Vm=100 , y una frecuencia f=60
0

8 de 13

9 de 13
0 0
1.2 Encuentre el Valor medio o Promedio de la señal
Vprom= VDC =
1
𝑇
∫ 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡
Pero también el 𝑎0 =
1
𝑇
∫ 𝑣(𝑡) 𝑑𝑡 = 1
𝑇
∫ 0 𝑑𝑡
/
/
+ ∫ 𝑉𝑚 𝑐𝑜𝑠(2 𝜋 𝑓𝑜 𝑡) 𝑑𝑡
/
/
+ ∫ 0 𝑑𝑡
/
/
Vprom= VDC=
𝑽𝒎
𝝅
ver resolución cuando se calculo ao.
1.3 Encuentre el Valor RMS de la señal ..
𝑽𝑹𝑴𝑺
𝟐
= VEFECT
2
=
1
𝑇
∫ 𝑣 (𝑡) 𝑑𝑡 =
1
𝑇
∫ 02
𝑑𝑡
𝑇/4
−𝑇/2
+ ∫ [𝑉𝑚 𝑐𝑜𝑠(2 𝜋 𝑓𝑜 𝑡) ]
2
𝑑𝑡
𝑇/4
−𝑇/4
+ ∫ 02
𝑑𝑡
𝑇/2
+𝑇/4
𝑽𝑹𝑴𝑺
𝟐
=
1
𝑇
[𝑉𝑚 𝑐𝑜𝑠(2 𝜋 𝑓𝑜 𝑡)]
2
𝑑𝑡
𝑇/4
−𝑇/4
=
1
𝑇
𝑉𝑚
2
[ 𝑐𝑜𝑠(2 𝜋 𝑓𝑜 𝑡)]
2
𝑑𝑡
𝑇/4
−𝑇/4
𝑽𝑹𝑴𝑺
𝟐
=
1
𝑇
𝑉𝑚
2
∫ [ 𝑐𝑜𝑠 ((2 𝜋 𝑓𝑜 𝑡)]
2
𝑑𝑡
𝑇/4
−𝑇/4
se tiene la identidad trigonométrica: cos(a) cos(b)= ½ ( cos(a+b) + cos(a-b) ), si a=b entonces
cos(a) cos(a)= ½ ( cos(2 a) + cos(a-a) ) => cos2
(a)= ½ ( cos(2 a) + 1 ) y sustituyendo
en la integral :
𝑽𝑹𝑴𝑺
𝟐
=
𝑉𝑚
2
𝑇
1
2
[cos(2 (2 𝜋 𝑓𝑜 𝑡) + 1 ]𝑑𝑡
𝑇/4
−𝑇/4
=
𝑉𝑚
2
2 𝑇
[cos 2 (2 𝜋 𝑓𝑜 𝑡) 𝑑𝑡 + 1 𝑑𝑡
𝑇/4
−𝑇/4
𝑇/4
−𝑇/4
1

10 de 13
0
𝑽𝑹𝑴𝑺
𝟐
=
𝑉𝑚
2
2 𝑇
𝑠𝑒𝑛 2 (2 𝜋 𝑓𝑜 𝑡)
2 2𝜋 𝑓𝑜
+ 𝑡
−𝑇
4
+𝑇
4
=
𝑉𝑚2 𝑠𝑒𝑛(4 𝜋 𝑓𝑜
𝑇
4
)
4𝜋 𝑓𝑜
−
𝑠𝑒𝑛 4 𝜋 𝑓𝑜 −
𝑇
4
4𝜋 𝑓𝑜
+
𝑇
4
− (−
𝑇
4
) ,
recuerde que fo T =1 y los 4 se simplitican ,
𝑽𝑹𝑴𝑺
𝟐
=
𝑉𝑚
2
2 𝑇
𝑠𝑒𝑛( 𝜋 )
4𝜋 𝑓𝑜
−
𝑠𝑒𝑛( −𝜋 )
4𝜋 𝑓𝑜
+
𝑇
4
− (−
𝑇
4
) , y 𝑠𝑒𝑛( −𝜋 ) = − 𝑠𝑒𝑛( 𝜋 )
𝑽𝑹𝑴𝑺
𝟐
=
𝑉𝑚
2
2 𝑇
4𝜋 𝑓𝑜
+
4𝜋 𝑓𝑜
+
𝑇
4
+
𝑇
4
=
𝑉𝑚
2
2 𝑇
𝑇
2
=
𝑉𝑚2
𝑽𝑹𝑴𝑺
𝟐
=
𝑉𝑚
2
4
=> 𝑽𝑹𝑴𝑺 =
𝑉𝑚
2
4
=> 𝑽𝑹𝑴𝑺 =
𝑉𝑚
2
Pero también pudo obtenerse a partir de los elementos de la Serie de Fourier usando la Ecuacion General del
Valor Efectivo ,
𝑽𝑹𝑴𝑺
𝟐
= 𝑉 + 𝑉 + 𝑉 + 𝑉 + 𝑉
𝑉 = 𝑎 , 𝑉 = , 𝑉 = , 𝑉 = …
utilizando aquello de que para una señal sinosoidal su Vef
2
=
( )
, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑒𝑙 𝑉𝑚 es el máximo de
cada señal seno o coseno
0

11 de 13
+
V(t)
-
R= 10 Ohm
I (t)
2.- EJERCICIO 2 :
Dada una señal de voltaje
V(t)= - 2 + 12 sen (2∏fo t) + 4cos(8∏ fo t) , en Voltios. Aplicado a una resistencia de 10
Ohm , ver figura.
Calcular
1.-La Potencia entregada a la resistencia.
P= ; teniendo en cuenta que la Señal esta compuesta por una componente
promedio o DC y dos señales sinosoidales o cosenoidales de diferentes frecuencias.
Tomando en cuenta que para una señal senoidal su voltaje RMS2
es el Maximo2
/ 2
𝑉 = y 𝑉 =
𝑽𝑹𝑴𝑺
𝟐
= 𝑉 + 𝑉 + 𝑉 = (−2) +
( )
+
( )
= 4+ +
𝑽𝑹𝑴𝑺
𝟐
= +4 + 72 + 8 => 𝑽𝑹𝑴𝑺
𝟐
= 84 => 𝑽𝑹𝑴𝑺 = √84
P= =
(√84)
= => 𝑃 = 8,4 𝑊𝑎𝑡𝑡
2.-La corriente i(t) entregada a la Resistencia.
I(t)=
( )
=
( ∏ ) ( ∏ )
=>
i(t) = −0. 2 + 0.12 sen (2 ∏ fo t) + 0.4cos(8 ∏ fo t) , en Amperios.

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