Frecuencia de muestreo

1. Punto I:
Ejercicio a)
El teorema de muestreo nos dice que para poder reconstruir la señal, la
frecuencias de muestreo (Fm) tiene que ser: 𝐹𝑚 ≥ 2𝐹𝑚𝑎𝑥
Entonces para muestrear correctamente y poder lograr una
reconstrucción exacta de la señal analógica (sin aliasing) el rango de
frecuencias es 𝑭𝒎 ≥ 𝟐𝟎𝐊𝐇𝐳
Una señal analógica contiene frecuencias hasta 10 kHz.

2. Punto I:
Ejercicio b)
Si 𝐹𝑚 = 8𝐾𝐻𝑧 entonces la 𝐹𝑚𝑎𝑥 = 4𝐾𝐻𝑧. Por lo tanto las frecuencias por encima
de Fmax están submuestreadas
Ejemplo: Si tenemos una señal coseno de 5 kHz, 𝑥1 𝑡 = 𝐴 cos(2𝜋 5000 𝑡)
al muestrear con 8 kHz, la señal discreta que se obtiene es:
𝑥1𝑑 𝑛 = 𝐴cos(2𝜋
5000
8000
𝑛) → 𝑥1𝑑 𝑛 = 𝐴cos(2𝜋
5
8
𝑛)
Una señal analógica contiene frecuencias hasta 10 kHz.
Supón que se muestrea la señal a una frecuencia de 8kHz. Analiza que sucede con
la frecuencia de 5kHz?

3. Punto I:
Ejercicio b)
La frecuencia relativa f y ω es:
𝑓1 =
5
8
ω1 =
5
4
𝜋
1
2
< 𝑓1 < 1 𝜋 < ω1 < 2𝜋
La frecuencia relativa es mayor a ½ por lo que va a ver fenómeno de aliasing. Pero
como es menor a 1
Una señal analógica contiene frecuencias hasta 10 kHz.
Supón que se muestrea la señal a una frecuencia de 8kHz. Analiza que sucede con
la frecuencia de 5kHz?

4. Punto I:
Ejercicio b)
Para calcular la frecuencia de aliasing:
𝑥1𝑑 𝑛 = 𝐴 cos 2𝜋 1 −
3
8
𝑛 = A cos 2𝜋 −
3
8
𝑛 = 𝐴. cos 2𝜋
3
8
𝑛
Entonces 𝜔1 = 2𝜋
3
8
es decir, la frecuencia relativa 𝑓1 =
3
8
es la frecuencia de
aliasing.
La frecuencia de aliasing en el tiempo continuo corresponde a 3kHz (𝐹𝑟∗ 𝐹𝑚).
Una señal analógica contiene frecuencias hasta 10 kHz.
Supón que se muestrea la señal a una frecuencia de 8kHz. Analiza que sucede con
la frecuencia de 5kHz?

5. Punto I:
Ejercicio c)
Si 𝐹𝑚 = 8𝐾𝐻𝑧 entonces la 𝐹𝑚𝑎𝑥 = 4𝐾𝐻𝑧. Por lo tanto las frecuencias por encima
de Fmax están submuestreadas
Ejemplo: Si tenemos una señal coseno de 9 kHz, 𝑥2 𝑡 = 𝐴 cos(2𝜋 9000 𝑡)
al muestrear con 8 kHz, la señal discreta que se obtiene es:
𝑥2𝑑 𝑛 = 𝐴cos(2𝜋
9000
8000
𝑛) → 𝑥2𝑑 𝑛 = 𝐴cos(2𝜋
9
8
𝑛)
Una señal analógica contiene frecuencias hasta 10 kHz.
Ahora suponemos una señal de 9 kHz muestreada a 8 kHz

6. Punto I:
Ejercicio c)
Una señal analógica contiene frecuencias hasta 10 kHz.
Ahora suponemos una señal de 9 kHz muestreada a 8 kHz
La frecuencia relativa f y ω es:
𝑓2 =
9
8
ω2 =
9
4
𝜋
𝑓2 > 1 ω2 > 2𝜋
La frecuencia relativa es mayor a ½ por lo que va a ver fenómeno de aliasing y
además es mayor a 1 entonces:

7. Punto I:
Ejercicio c)
Una señal analógica contiene frecuencias hasta 10 kHz.
Ahora suponemos una señal de 9 kHz muestreada a 8 kHz
Para calcular la frecuencia de aliasing:
𝑥2𝑑 𝑛 = 𝐴. cos 2𝜋
9
8
𝑛 = 𝐴. cos 2𝜋 (
1
8
+
8
8
)𝑛 = 𝐴. cos 2𝜋 (
1
8
+ 1)𝑛
𝑥2𝑑 𝑛 = 𝐴. cos 2𝜋
1
8
𝑛 + 2𝜋𝑛 = 𝐴. cos 2𝜋
1
8
𝑛
Entonces 𝜔2 = 𝜋
1
4
es decir, la frecuencia relativa 𝑓2 =
1
8
es la frecuencia de
aliasing. La frecuencia de aliasing en el tiempo continuo corresponde a 1kHz.

8. Punto II:
Ejercicio a)
El teorema de muestreo nos dice que para poder reconstruir la señal, la
frecuencias de muestreo (Fm) tiene que ser: 𝐹𝑚 ≥ 2𝐹𝑚𝑎𝑥
Dadas las frecuencias 𝑓𝑎1 = 1000𝐻𝑧 ; 𝑓𝑎2 = 3000𝐻𝑧 ; 𝑓𝑎3 = 6000𝐻𝑧
La máxima frecuencia es 6000 Hz. Tengo que tomar un valor de
𝐹𝑚 > 6000𝐻𝑧
Ejemplo: 𝐹𝑚 = 4 ∗ 𝐹𝑚𝑎𝑥 = 24000𝐻𝑧
Dada la señal analógica 𝑥𝑎 𝑡 = 3 𝑐𝑜𝑠 2000𝜋𝑡 + 5 𝑠𝑖𝑛 6000𝜋𝑡 + 10𝑐𝑜𝑠(12000𝜋𝑡)
¿Qué frecuencia tomaría para muestrear la señal y porqué?

9. Punto II:
Ejercicio b)
𝑥𝑎 𝑛 = 3 𝑐𝑜𝑠
2000
5000
𝜋𝑛 + 5 𝑠𝑖𝑛
6000
5000
𝜋𝑛 + 10𝑐𝑜 𝑠
12000
5000
𝜋𝑛
𝑓𝑎1𝑑 =
1
5
es menor que ½ entonces no sufre aliasing
𝑓𝑎2𝑑 =
3
5
es mayor que ½ y menor que 1, sufre aliasing y se reemplaza (1-2/5)
𝑓𝑎3𝑑 =
6
5
es mayor que ½ y mayor que 1, sufre aliasing y se reemplaza (1+1/5 )
Suponga que se muestrea la señal con una frecuencia de muestreo fs=5000Hz,
¿cuál será la señal discreta en el tiempo x(n) obtenida luego del muestreo.

10. Punto II:
Ejercicio b)
La nueva señal discreta será:
𝑥𝑎 𝑛 = 3 𝑐𝑜𝑠 2
1
5
𝜋𝑛 + 5 𝑠𝑖𝑛 2 1 −
2
5
𝜋𝑛 + 10𝑐𝑜 𝑠 2 1 +
1
5
𝜋𝑛
𝑥𝑎 𝑛 = 3 𝑐𝑜𝑠 2
1
5
𝜋𝑛 + 5 𝑠𝑖𝑛 2 −
2
5
𝜋𝑛 + 10𝑐𝑜 𝑠 2
1
5
𝜋𝑛
𝑥𝑎 𝑛 = 13𝑐𝑜 𝑠 2𝜋
1
5
𝑛 − 5 𝑠𝑖𝑛 2𝜋
2
5
𝑛
Suponga que se muestrea la señal con una frecuencia de muestreo fs=5000Hz,
¿cuál será la señal discreta en el tiempo x(n) obtenida luego del muestreo.

11. Punto II:
Ejercicio c)
Caso 1, con frecuencia de muestreo a 24 KHz
𝑦𝑎24𝑘 𝑡 = 3 𝑐𝑜𝑠 2𝜋1000𝑛 + 5 𝑠𝑖𝑛 2𝜋3000𝑡 + 10cos(2𝜋6000𝑡)
Caso 2, con frecuencia de muestreo a 5 KHz
𝑦𝑎5𝑘 𝑡 = 3 𝑐𝑜𝑠 2𝜋1000𝑡 − 5 𝑠𝑖𝑛 2𝜋2000𝑡
¿Qué señal analógica 𝑦𝑎(𝑡) se podrá reconstruir a partir del muestreo?

12. Punto II:
Ejercicio d)
Realizar
en
MathCad
Grafique 𝑥𝑎(𝑡), 𝑥(𝑛), y 𝑦𝑎(𝑡)
0 1 10
3

 2 10
3

 3 10
3

 4 10
3

 5 10
3


20

10

0
10
20
15.628
17.56

ya t
( )
x n
( )
xa t
( )
0.005
0
t
n
5000
 t


13. Punto III:
Para este ejercicio debemos recordar el teorema
de Fourier que dice que si una señal es
periódica, esta puede ser descompuesta en una
serie de señales seno y coseno. Entonces si:
𝑥𝑎(𝑡) = cos 𝑡 y 𝐹𝑁𝑦𝑠𝑞𝑢𝑖𝑠𝑡 = 𝑓𝑠
La frecuencia de Nyquist para una señal 𝑥𝑎(𝑡) es fs. ¿Cuál será la frecuencia de
Nyquist para cada una de las siguientes señales derivadas de 𝑥𝑎(𝑡)?

14. Punto III:
Ejercicio a)
La frecuencia de Nyquist para una señal 𝑥𝑎(𝑡) es fs. ¿Cuál será la frecuencia de
Nyquist para cada una de las siguientes señales derivadas de 𝑥𝑎(𝑡)?
Para
𝑑𝑥𝑎(𝑡)
𝑑𝑡
=
𝑑(cos(𝑡))
𝑑𝑡
= −𝑠𝑒𝑛(𝑡)
Se observa que el argumento (donde se define
la frecuencia) no cambia, entonces:
𝐹𝑁𝑦𝑠𝑞𝑢𝑖𝑠𝑡𝑎
= 𝑓𝑠

15. Punto III:
Ejercicio b)
La frecuencia de Nyquist para una señal 𝑥𝑎(𝑡) es fs. ¿Cuál será la frecuencia de
Nyquist para cada una de las siguientes señales derivadas de 𝑥𝑎(𝑡)?
Para 𝑥𝑎(2𝑡) = cos(2𝑡)
Se observa que el argumento (donde se define
la frecuencia) aumenta, entonces:
𝐹𝑁𝑦𝑠𝑞𝑢𝑖𝑠𝑡𝑏
= 2 ∗ 𝑓𝑠

16. Punto III:
Ejercicio c)
La frecuencia de Nyquist para una señal 𝑥𝑎(𝑡) es fs. ¿Cuál será la frecuencia de
Nyquist para cada una de las siguientes señales derivadas de 𝑥𝑎(𝑡)?
Para 𝑥𝑎
2 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠2 𝑡 =
1+cos(2𝑡)
2
Se observa que el argumento (donde se define
la frecuencia) aumenta, entonces:
𝐹𝑁𝑦𝑠𝑞𝑢𝑖𝑠𝑡𝑐
= 2 ∗ 𝑓𝑠

17. Punto III:
Ejercicio d)
La frecuencia de Nyquist para una señal 𝑥𝑎(𝑡) es fs. ¿Cuál será la frecuencia de
Nyquist para cada una de las siguientes señales derivadas de 𝑥𝑎(𝑡)?
Para 𝑥𝑎 𝑥 ∗ cos(𝑦) =
𝑐𝑜𝑠 𝑥−𝑦 +cos(𝑥+𝑦)
2
Se observa que el argumento aumenta y nos
interesa el de máxima frecuencia:
𝐹𝑁𝑦𝑠𝑞𝑢𝑖𝑠𝑡𝑑
= 2 ∗ 𝑥 + 𝑦 = 2 ∗ (𝑓𝑠 + 𝑓0)

18. Punto IV:
¿Cuál es la frecuencia de Nyquist de una señal analógica de ECG? Se muestrea con
una 𝐹𝑠 = 250𝐻𝑧 ¿cuál es la más alta frecuencia que se puede ser representada sin
ambigüedad?
Sabemos que:
• la frecuencia de Nyquist es 2Fmax
• en un ECG la Fmax es de 125 Hz
Entonces la frecuencia de Nyquist es 250
Si se muestrea con 250 Hz, la máxima frecuencia que
puede ser representada sin ambigüedad es de 125 Hz.

19. Punto V:
Ejercicio a)
Una señal analógica 𝑥𝑎(𝑡) = sin 480π𝑡 + 3sin(720π𝑡) es muestreada a 600 Hz.
Determina la frec. de Nyquist de esta señal y la frec. de plegado (folding frequency).
Las frecuencias de cada componente de la señal son:
F1 = 240Hz y F2 = 360Hz
La frecuencia de Nysquist es: 𝑓𝑁𝑦𝑠𝑞𝑢𝑖𝑠𝑡 = 2 ∗ 𝑓𝑚𝑎𝑥 = 2 ∗ 𝐹2 = 720 𝐻𝑧
La frecuencia de folding es: 𝑓𝑓𝑜𝑙𝑑𝑖𝑛𝑔 =
𝐹𝑠
2
=
600𝐻𝑧
2
= 300𝐻𝑧

20. Punto V:
Ejercicio b)
Una señal analógica 𝑥𝑎(𝑡) = sin 480π𝑡 + 3sin(720π𝑡) es muestreada a 600 Hz.
¿Cuáles son las frec. en radianes en la señal de tiempo discreto resultante x(n)?
Para obtener las frec. en radianes debo:
𝑥𝑎 𝑛 = sin 2 ∗
240
600
∗ π𝑛 + 3 sin 2 ∗
360
600
∗ π𝑛
𝑓1𝑟𝑎𝑑 =
2
5
y 𝑓2𝑟𝑎𝑑 =
3
5
Peeeerooooo………

21. Punto V:
Ejercicio b)
Una señal analógica 𝑥𝑎(𝑡) = sin 480π𝑡 + 3sin(720π𝑡) es muestreada a 600 Hz.
¿Cuáles son las frec. en radianes en la señal de tiempo discreto resultante x(n)?
𝑓2𝑟𝑎𝑑 =
3
5
es mayor que ½ entonces va a sufrir aliasing y como es
menor que 1, volvemos a escribir la función como:
𝑥𝑎 𝑛 = sin 2π
2
5
𝑛 + 3 sin 2 1 −
2
5
π𝑛 = sin 2π
2
5
𝑛 + 3 sin 2 1 −
2
5
π𝑛
𝑥𝑎 𝑛 = sin 2π
2
5
𝑛 − 3 sin 2
2
5
π𝑛 = −2sin 2π
2
5
𝑛
Entonces la única frecuencia relativa en radianes de x(n) es 𝑓𝑟 =
2
5

22. Punto V:
Ejercicio c)
Una señal analógica 𝑥𝑎(𝑡) = sin 480π𝑡 + 3sin(720π𝑡) es muestreada a 600 Hz.
Si x(n) pasa a través de un conversor D/A, ¿cuál es la señal 𝑦_𝑎 (𝑡) reconstruida?
Como 𝑥𝑎 𝑛 = −2sin 2π
2
5
𝑛
𝑦𝑎 𝑡 = −2sin 2π
2
5
∗ 600 ∗ 𝑡 = −2sin 2π240𝑡

23. Punto VI:
Ejercicio a)
Un link de comunicación digital transporta palabras en código binario que
representan muestras de una señal de entrada 𝑥𝑎(𝑡) = 3𝑐𝑜𝑠 600π𝑡 +
2𝑐𝑜𝑠(1800π𝑡). El link se opera a 10000 bits s-1 y cada muestra de entrada es
cuantizada en 1024 diferentes niveles de voltaje.
¿Cuáles son la frecuencia de muestreo y la frecuencia de folding?
Para calcular Fs debemos considerar que como 1024 posibles valores,
entonces cada palabra esta formada por 10 bits y,
Si la transferencia es de 10000 bits por segundo, en un segundo envía
10000/10 valores, es decir:
𝐹𝑠 = 1000𝐻𝑧 y por lo tanto 𝐹𝐻 = 500𝐻𝑧

24. Punto VI:
Ejercicio b)
Un link de comunicación digital transporta palabras en código binario que
representan muestras de una señal de entrada 𝑥𝑎(𝑡) = 3𝑐𝑜𝑠 600π𝑡 +
2𝑐𝑜𝑠(1800π𝑡). El link se opera a 10000 bits s-1 y cada muestra de entrada es
cuantizada en 1024 diferentes niveles de voltaje.
¿Cuál es la frecuencia de Nyquist para la señal 𝑥𝑎(𝑡)?
Como las frecuencias de las señales son F1=300 y F2=900
𝐹𝑁𝑦𝑠𝑞𝑢𝑖𝑠𝑡 = 2 ∗ 𝐹𝑚𝑎𝑥 = 2 ∗ 𝐹2 = 1800𝐻𝑧

25. Punto VI:
Ejercicio c)
Un link de comunicación digital transporta palabras en código binario que
representan muestras de una señal de entrada 𝑥𝑎(𝑡) = 3𝑐𝑜𝑠 600π𝑡 +
2𝑐𝑜𝑠(1800π𝑡). El link se opera a 10000 bits s-1 y cada muestra de entrada es
cuantizada en 1024 diferentes niveles de voltaje.
¿Cuáles son las frecuencias en la señal de tiempo discreto resultante x(n)?
Para discretizar la señal reemplazamos t por n/Fs y obtenemos
𝑥𝑎(𝑡) = 3𝑐𝑜𝑠 2
300
1000
π𝑡 + 2𝑐𝑜𝑠 2
900
1000
π𝑛
𝑥𝑎(𝑡) = 3𝑐𝑜𝑠 2
3
10
π𝑡 + 2𝑐𝑜𝑠 2
9
10
π𝑛

26. Punto VI:
Ejercicio c)
Como el 2do sumando tiene una frecuencia mayor a ½, va a tener
aliasing y lo podemos calcular así:
𝑥𝑎 𝑡 = 3𝑐𝑜𝑠 2
3
10
π𝑡 + 2𝑐𝑜 𝑠 2 1 −
1
10
π𝑛
𝑥𝑎(𝑡) = 3𝑐𝑜𝑠 2
3
10
π𝑡 + 2𝑐𝑜𝑠 2 −
1
10
π𝑛
𝑥𝑎(𝑡) = 3𝑐𝑜𝑠 2
3
10
π𝑡 + 2𝑐𝑜𝑠 2
1
10
π𝑛
Un link de comunicación digital…
¿Cuáles son las frecuencias en la señal de tiempo discreto resultante x(n)?

27. Punto VI:
Ejercicio c)
Para aprovechar todo el código para codificar la señal, se tiene que el
mínimo valor de 𝑥𝑎(𝑡) corresponde al cero (0000000000)
y el máximo valor de 𝑥𝑎(𝑡) corresponde al 1024 (1111111111)
Además: min 𝑥𝑎 𝑡 = 𝑥𝑎
1
600
= −5
y max 𝑥𝑎 𝑡 = 𝑥𝑎 0 = 5
Entonces, Δ =
𝑥𝑚𝑎𝑥−𝑥𝑚𝑖𝑛
1024−1
= 0,009
Un link de comunicación digital…
¿Cuál es la resolución Δ?

28. Punto VII:
Para empezar vamos a calcular cuales son las frecuencias de muestreo
𝐹𝑠 =
1
𝑇𝑠
=
1
0,005
= 200
𝐹𝑠∗ =
1
𝑇𝑠∗
=
1
0,001
= 1000
Considera el sistema de procesamiento de señal mostrado en la figura 1. Los
períodos de muestreo de los conversores A/D y D/A son T=5ms y T'=1ms
respectivamente. El filtro extrae cualquier componente de frecuencia por encima de
𝐹𝑠/2. Determina la salida 𝑦𝑎(𝑡) de sistema si la entrada es 𝑥𝑎 𝑡 =
3 cos 100πt + 2 sin 250πt ?

29. Punto VII:
Ahora calculamos la señal muestreada en el primer bloque, es decir,
calculamos 𝑥𝑎 𝑛 reemplazando t por n/Fs
𝑥𝑎 𝑛 = 3 cos 2
1
200
50π𝑛 + 2 sin 2
1
200
125πn
𝑥𝑎 𝑛 = 3 cos 2
1
4
π𝑛 + 2 sin 2
5
8
πn
𝑥𝑎 𝑛 = 3 cos 2
1
4
π𝑛 + 2 sin 2 1 −
3
8
πn
𝑥𝑎 𝑛 = 3 cos 2
1
4
π𝑛 − 2 sin 2
3
8
πn
Considera el sistema de procesamiento …

30. Punto VII:
Ahora calculamos la nueva señal reconstruida con 𝐹𝑠∗
𝑥𝑎 𝑡 = 3 cos 2
1
4
1000πt − 2 sin 2
3
8
1000π𝑡
𝑥𝑎 𝑡 = 3 cos 2π250t − 2 sin 2π375𝑡
Considera el sistema de procesamiento …

31. Punto VIII:
Considerando que la amplitud máxima de la señal es de +6,35 y -6,35.
El valor pico a pico de la señal es 12,7.
Usando la ecuación Δ =
𝑚𝑎𝑥−𝑚𝑖𝑛
(𝐿−1)
donde L es el numero de valores
que puede tomar la señal, despejamos L y obtenemos
𝐿 =
(𝑚𝑎𝑥 − 𝑚𝑖𝑛)
Δ
+ 1
Un link La señal t-discreta 𝑥 𝑛 = 6,35 cos
π
10
𝑛 es cuantizada con una
resolución de (a) Δ=0.1 y (b) Δ=0.02. ¿Cuántos bits se requieren en el conversor
A/D en cada caso?

32. Punto VIII:
En el Caso a) con Δ=0,1 tenemos (12,7/0,1)+1=128
En el Caso b) con Δ=0,02 tenemos (12,7/0,02)+1=639
ln(128)
ln(2)
= 7
ln(639)
ln(2)
= 9,13→10
Un link La señal t-discreta 𝑥 𝑛 = 6,35 cos
π
10
𝑛 es cuantizada con una
resolución de (a) Δ=0.1 y (b) Δ=0.02. ¿Cuántos bits se requieren en el conversor
A/D en cada caso?

33. Punto IX:
Si la frecuencia de muestreo es 20 muestras/s y cada dato tiene ocho
bits, para poder trasmitir la información correctamente, es necesario
tener una transferencia de datos de al menos 20 ∗ 8 = 160
𝑏𝑖𝑡𝑠
𝑠
Además si 𝐹𝑠 = 20𝐻𝑧, la máxima frecuencia que se puede muestrear es
la frecuencia de holding, es decir
𝐹𝑠
2
=
20
2
= 10𝐻𝑧.
Determina la velocidad de transferencia de datos (bits s-1) y la resolución en el
muestreo de una señal sísmica con rango dinámico de 1 V si se muestrea a razón de
20 muestras/s y se usa un conversor A/D de 8-bit. ¿Cuál es la máxima frecuencia
que se puede estar presente en la señal sísmica digital resultante?.