SISTEMAS DE CONTROL I: OBTENCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES Y DE LAPLACE DE SISTEMAS FISICOS , FUNCION DE TRANSFERENCIA, RESPUESTA TRANSITORIA Y ESTADO ESTACIONARIO , RESPUESTA EN TIEMPO ANTE ENTRADAS DEL TIPO : IMPULSO, ESCALON Y FUNCION RAMPA

1. Universidad de Falcón .
INGENIERIA ELECTRONICA.
Catedra: SISTEMAS DE CONTROL I
1 ProfesorAvinadadMéndez
EJERCICIO DE MODELOS MATEMATICOS PARA SISTEMAS FISICOS
EJERCICIO NUMERO 1
Para el sistemafísicomostradoenlafigura
Donde M esla masa del objetosuspendido
k es laConstante de un resorte utilizadoparasuspenderlamasa.
f( f pequeña) :es la fuerzade fricción del objetoal moverse verticalmente,productodel
roce con lapared.
F (F grande) : esla fuerzaF que puede aplicarse al cuerpolibre de masa,paraproducirun
movimientoapartirde su condiciónde reposoocondicióninicial.
1. Desde laFunciónde TransferenciaencontrarlaRespuesta de este sistemaenTresCasos
a. Encontrar la Respuesta, loque eslamismolaX(t) , si se tiene comofuerzao
Entrada al sistemaigual auna Función Impulsode Magnitud10 New.
b. Si ahora la funciónde entrada , si se tiene comofuerzaoEntrada al sistema
igual a una FunciónEscalónde Magnitud5 New. Encontrarla Respuesta,laX(t)
o Graficar .
c. Graficar la respuesta Respuesta, de laX(t) ,si se tiene comofuerzao Entrada al
sistemaigual auna Función rampadefinidaporF(t) = 1 ( t ) cuya unidadesel
New.. utilizarparaesto el comando ramp( Funcionde transferencia) de
OCTAVE.
Figura1: Sistemafísicode Masa - Resorte- Fricción
Donde inicialmentela masa m esta en reposo, Al aplicar sobreElla una
fuerza hacia abajo, sedesea conocer comoes elMovimiento eneje
vertical, en este caso esta distancia conreferencia a la derepososele
llama X.
Las áreas sombreadas son objetos fijos, podemos llamarletechodondede
donde esta suspendido el objeto y pared dondeseproduce una fuerza por
fricción

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2. Graficar lasFuncionesde Salidacontrala variable tiempo(t) ,para cada caso.
3. En todoslos Casos, identificarlaRespuestaque podemosdefinircomoTransistoriayla
Respuestade EstadoPermanente.
Recuerde que la Funcion de Transferencia encontrada fue :
 la función de transferencia Salida/Entrada es :
𝐗(𝐒)
𝐅(𝐒)
=
𝟏
𝐌 𝐒 𝟐+𝐟 𝐒 + 𝐤
y que M, f,kdependíade susdos terminalesde cedula.
 Y el diagrama de bloques que representa al modelo fisico puede estar
determinado por :
𝑭(𝑺) 𝑿(𝑺)
Tener en cuentaque para responder
𝟏
𝑴 𝑺 𝟐 + 𝒇 𝑺 + 𝒌

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3 ProfesorAvinadadMéndez
𝐗(𝐒)
𝐅(𝐒)
=
𝟏
𝐌 𝐒 𝟐 + 𝐟 𝐒 + 𝐤
=> 𝐗(𝐒) =
𝟏
𝐌 𝐒 𝟐 + 𝐟 𝐒 + 𝐤
∗ 𝐅(𝐒)
Por lo cual en los Casos a, b, c debemos primero encontrar la funcion F expresada como una
funcion de la variable de Laplace 𝐅(𝐒)
1) Respuestas
a) encontrar X(t) si la entrada F(t)=impulso, el llamado impulso
unitario.
𝑭(𝒕) = 𝑰𝒎𝒑𝒖𝒍𝒔𝒐 𝒅𝒆 𝑫𝒊𝒓𝒂𝒄
cuya grafica es :
y su transformadade Laplace
𝑭(𝒔) = 𝟏 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝒔𝒆𝒏𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒔𝒂𝒍𝒊𝒅𝒂 𝒆𝒏 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒔
=> 𝐗(𝐒) =
𝟏
𝐌 𝐒 𝟐
+𝐟 𝐒 + 𝐤
∗ 𝐅(𝐒) =≫ 𝐗(𝐒) =
𝟏
𝐌 𝐒 𝟐
+𝐟 𝐒 + 𝐤
∗ 𝟏
para mi caso de numero de cedula que finaliza en 70
M = T.C /10 kg , k = 2 x T.C N/m , f= 1 / T.C N . Seg/mts
M = 7 kg , k = 140 N/m , f= 0.014 N . Seg/mts usando tres decimales
Por lo que : =≫ 𝐗(𝐒) =
𝟏
𝟕 𝐒 𝟐+ .𝟎𝟏𝟒 𝐒 + 𝟏𝟒𝟎
enotras palabrasla resolucionde larespuesta
al impulsounitarioeslaresolucionalafuncionde transferenciadirectamente.
para hallarla solución,loprimeroesencontrarlasraíces del denominador..
𝟕 𝐒 𝟐
+ .𝟎𝟏𝟒 𝐒 + 𝟏𝟒𝟎 =
Las raíces son :

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r1= -0.0010 + j4.4721 ; r2= -0.0010 j 4.4721 , estasson complejasconjugadas,inclusosi
graficanenel planoComplejo,puede observarseque estánal ladoizquierdodel eje
imaginario( j ) , nos permitimosadelantarque si estánal ladoizquierdodel eje imag,el
sistemavaa ser ESTABLE
=≫ 𝐗(𝐒) =
𝟏
𝟕 𝐒 𝟐 + .𝟎𝟏𝟒 𝐒 + 𝟏𝟒𝟎
=
𝑨
(𝒔−(−0.0010 + j4.4721) )
+
𝑩
(𝒔−(−0.0010 + j4.4721) )
Puede utilizarse cualquier metodo para encontrar las constantes 𝐀 𝐲 𝐁 , por facilidad
precision y rapidez , sera utilizado comandos del Programa OCTAVE, mas adelante seran
anexados una lista delos comandos utilizados. pero desde la ventana comandos del Software,
habiendo cargado primero el modulo “CONTROL” Para que haga las operaciones relacionadas
a Sist de Control .
A= -j 0.015972 y B= - +j 0.015972
𝐗(𝐒) =
𝟏
𝟕 𝐒 𝟐+ .𝟎𝟏𝟒 𝐒 + 𝟏𝟒𝟎
=
−j 0.015972
(𝒔−(−0.0010 + j4.4721) )
+
+j 0.015972
(𝒔−(−0.0010− j4.4721) )
en este punto,
lo que sigue es sacar la Transformacion inversa de Laplace de cada uno de los dos Terminos
𝐱(𝐭) = 𝟎.𝟎𝟏𝟓𝟗𝟕( −𝒋 𝒆
(−.𝟎𝟎𝟏𝟎 +𝒋𝟒.𝟒𝟕) 𝒕
+ 𝒋 𝒆
(−.𝟎𝟎𝟏𝟎−𝒋𝟒.𝟒𝟕) 𝒕
) extrayendo la funcion e de la
parte real, que es una funcion exponencial que representa la disminucion de la salida X, y las
funciones exponenciales con exponente imaginario representan la componente sinusoidal en
la respuesta
𝐓𝐚𝐦𝐛𝐢𝐞𝐧 𝐞𝐱𝐭𝐫𝐚𝐲𝐞𝐧𝐝𝐨 𝐞𝐥 ( −𝐣)
𝐱(𝐭) = 𝟎.𝟎𝟏𝟓𝟗𝟕 𝒆−.𝟎𝟎𝟏𝟎𝒕 (−𝒋) ( 𝒆
(+𝒋𝟒.𝟒𝟕) 𝒕
− 𝒆
(−𝒋𝟒.𝟒𝟕) 𝒕
)
ahora recordemos la identidad de Euler :
𝒆𝒋 ∅
= 𝒄𝒐𝒔(∅) + 𝒋 𝒔𝒆𝒏(∅) , o tambien si ∅ 𝒆𝒔 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒆−𝒋 ∅
= 𝒄𝒐𝒔(∅) − 𝒋 𝒔𝒆𝒏(∅)
si restamos ambas ecuaciones nos queda 𝒆𝒋 ∅
− 𝒆−𝒋 ∅
= 2j 𝒔𝒆𝒏(∅) , podemos ahora sustituir
el valor que nos dio en los exponenciales imaginarios , los de nuestra respuesta x(t)
𝐱(𝐭) = 𝟎.𝟎𝟏𝟓𝟗𝟕 𝒆−.𝟎𝟎𝟏𝟎𝒕 (−𝒋) ( 𝟐𝒋 𝒔𝒆𝒏(𝟒. 𝟒𝟕 𝒕) ) recordemos que j * j =-1
𝐱(𝐭) = 𝟐 ∗ 𝟎. 𝟎𝟏𝟓𝟗𝟕 𝒆−.𝟎𝟎𝟏𝟎𝒕 (−𝟏) ( 𝒔𝒆𝒏(𝟒. 𝟒𝟕 𝒕) )
𝐱(𝐭) = − 𝟎.𝟎𝟑𝟏𝒆−.𝟎𝟎𝟏𝟎 𝒕
( 𝒔𝒆𝒏(𝟒. 𝟒𝟕 𝒕) ) se observa que es una señal de respuesta
sinosoidal multiplicada por una exponencial que decae en el tiempo..

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5 ProfesorAvinadadMéndez
si la graficamos :
Comentarios acerca de los resultados ,
Si recordamos que una ecuacion diferencial al igual que un SISTEMA
DE CONTROL, siempre tienen una respuesta transitoria( T:transitoria)
mas una de estado Estacionario(SS: Stationary State)
𝐱(𝐭) = 𝒙𝑻 (𝒕) + 𝒙𝑺𝑺 (𝒕)= − 𝟎. 𝟎𝟑𝟏𝒆−.𝟎𝟎𝟏𝟎 𝒕
( 𝒔𝒆𝒏(𝟒. 𝟒𝟕 𝒕) )
𝒙𝑻 (𝒕) = − 𝟎. 𝟎𝟑𝟏𝒆−.𝟎𝟎𝟏𝟎 𝒕
( 𝒔𝒆𝒏(𝟒. 𝟒𝟕 𝒕) ) ,y puesto que es la que decae y desaparece cuanto t
tiende a infinito..
𝒙𝑺𝑺 (𝒕) = 𝟎 , 𝐥𝐚 𝐫𝐞𝐬𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐚 𝐝𝐞 𝐞𝐬𝐭𝐚𝐝𝐨 𝐞𝐬𝐭𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐚𝐫𝐢𝐨 𝐧𝐨 𝐞𝐱𝐢𝐬𝐭𝐞 𝐞𝐬 𝐜𝐞𝐫𝐨..

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6 ProfesorAvinadadMéndez
b) encontrar X(t) si la entrada F(t)=impulso, el llamado impulso
unitario.
𝑭(𝒕) = 𝟓 𝑼(𝒕) = 𝟓 ∗ 𝑬𝒔𝒄𝒂𝒍𝒐𝒏 𝒖𝒏𝒊𝒕𝒂𝒓𝒊𝒐
cuya grafica de U(t) es :
y su transformadade Laplace
𝑭(𝒔) =
𝟏
𝒔
𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝒔𝒆𝒏𝒂𝒍 𝒅𝒆 𝒔𝒂𝒍𝒊𝒅𝒂 𝒆𝒏 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒔
=> 𝐗(𝐒) =
𝟏
𝐌 𝐒 𝟐
+𝐟 𝐒 + 𝐤
∗ 𝐅(𝐒) =≫ 𝐗(𝐒) =
𝟏
𝐌 𝐒 𝟐
+𝐟 𝐒 + 𝐤
∗ (
𝟓
𝒔
)
Por lo que : =≫ 𝐗(𝐒) =
𝟏
𝟕 𝐒 𝟐+ .𝟎𝟏𝟒 𝐒 + 𝟏𝟒𝟎
∗ (
𝟓
𝒔
) enotras palabrasla resolucionde la
respuestaal Escalonunitariopor5 , esla resolucionala funcionde transferencia
multiplicadopor5/s .
Al usar cualquier metodo para obtener las Fracciones parciales :y
extrayendo los numeros(el 5 y el 7 que acompaña al : 𝐒 𝟐
, en
Numerador y denominador.
=≫ 𝐗(𝐒) =
𝟓
𝟕
𝟏
( 𝐒 𝟐+ .𝟎𝟎𝟐𝟎 𝐒 + 𝟐𝟎 ) 𝒔
=
𝟓
𝟕
𝟏
( 𝐒 𝟑+ .𝟎𝟎𝟐𝟎 𝐒𝟐 + 𝟐𝟎𝐬 )
donde las raices de denominador son las conseguidas en ejercicio a.- y en s=0 , tambien llamados
los Ceros de la Funcion de transferencia.
Las raíces son :
r1= -0.0010 + j4.4721 ; r2= -0.0010- j 4.4721 ; r3=0 por lo que la expansión en fracciones
parciales , será :

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INGENIERIA ELECTRONICA.
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7 ProfesorAvinadadMéndez
=≫ 𝐗(𝐒) =
𝟓
𝟕
(
𝑨
(𝒔−(−0.0010 + j4.4721) )
+
𝑩
(𝒔−(−0.0010− j4.4721) )
+
𝑪
𝒔
) , puede usarse cualquier
metodo para encontras las constantes A, B, y C.
En este caso sera utizado la obtencion de fracciones parciales con el Software OCTAVE. el que las
suminstra al solo especificar los coheficientes del numerador, y los coheficientes del denominador,
escritos como si fueran vectores
A= -0.025000 + j 0.000006 ; B=-0.025000 - j 0.000006 ; C= .05 +j 0
=≫ 𝐗(𝐒) =
𝟓
𝟕
(
−𝟎.𝟎𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎 + 𝐣 𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟔
(𝒔−(−0.0010 + j4.4721) )
+
−𝟎.𝟎𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎 − 𝐣 𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟔
(𝒔−(−0.0010− j4.4721) )
+
𝟎.𝟎𝟓
𝒔
) y al aplicar la
transformada inversa de Laplace.
𝐗(𝐭)=
𝟓
𝟕
( (−𝟎.𝟎𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎 + 𝐣 𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟔) 𝒆 (−.𝟎𝟎𝟏𝟎+𝒋𝟒.𝟒𝟕) 𝒕
+ (−𝟎.𝟎𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎−
𝐣 𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟔 )𝒆 (−.𝟎𝟎𝟏𝟎−𝒋𝟒.𝟒𝟕) 𝒕
+ . 𝟎𝟓𝒖(𝒕) )
al resolver −𝟎. 𝟎𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎 + 𝐣 𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟔 = 0.025 𝒆 +𝟑.𝟏𝟒 𝒋
= 𝟎.𝟎𝟐𝟓𝒄𝒐𝒔 (𝟑. 𝟏𝟒) = 𝟎.𝟎𝟐𝟓 ∗ (−𝟏) ≅ −𝟎.𝟎𝟐𝟓
y −𝟎. 𝟎𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎 − 𝐣 𝟎.𝟎𝟎𝟎𝟎𝟎𝟔 = 0.025 𝒆 −𝟑.𝟏𝟒 𝒋
= 𝟎.𝟎𝟐𝟓 𝒄𝒐𝒔(−𝟑. 𝟏𝟒) = 𝟎.𝟎𝟐𝟓 ∗ (−𝟏) ≅ −𝟎.𝟎𝟐𝟓
recuerde que 𝒋 𝒔𝒊𝒏(𝟑.𝟏𝟒) = 𝒋 𝒔𝒊𝒏(−𝟑. 𝟏𝟒) ≅ 0 por eso dan solo reales.
𝐗(𝐭)=
𝟓
𝟕
( (−𝟎.𝟎𝟐𝟓 )𝒆 (−.𝟎𝟎𝟏𝟎) 𝒕
𝒆 (+𝒋𝟒.𝟒𝟕 𝒕)
+ (−𝟎.𝟎𝟐𝟓𝟎𝟎𝟎) 𝒆 (−.𝟎𝟎𝟏𝟎) 𝒕
𝒆 (−𝒋𝟒.𝟒𝟕 𝒕)
+ . 𝟎𝟓 𝒖(𝒕) )
Extrayendo laexpresion (−𝟎.𝟎𝟐𝟓) 𝒆 (−.𝟎𝟎𝟏𝟎) 𝒕
, porque esfactor comun
𝐗(𝐭)=
𝟓
𝟕
( (−𝟎.𝟎𝟐𝟓 )𝒆 (−.𝟎𝟎𝟏𝟎) 𝒕 ( 𝒆 (+𝒋𝟒.𝟒𝟕 𝒕)
𝒆 (−𝒋𝟒.𝟒𝟕 𝒕) ) + .𝟎𝟓 𝒖(𝒕) )
ahora recordemos la identidad de Euler :
𝒆𝒋 ∅
= 𝒄𝒐𝒔(∅) + 𝒋 𝒔𝒆𝒏(∅) , o tambien si ∅ 𝒆𝒔 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒐 𝒆−𝒋 ∅
= 𝒄𝒐𝒔(∅) − 𝒋 𝒔𝒆𝒏(∅)
si sumamos ambas ecuaciones nos queda 𝒆𝒋 ∅
+ 𝒆−𝒋 ∅
= 2 cos(∅) , podemos ahora sustituir el
valor que nos dio en los exponenciales imaginarios , los de nuestra respuesta x(t)
𝐗(𝐭)=
𝟓
𝟕
( (−𝟎.𝟎𝟐𝟓 )𝒆 (−.𝟎𝟎𝟏𝟎) 𝒕 ( 𝟐∗ 𝒄𝒐𝒔(𝟒.𝟒𝟕𝒕) + 𝟎.𝟎𝟓 𝒖(𝒕) )
𝐗(𝐭)= − 𝟎. 𝟎𝟑𝟓𝟕𝟏𝟒∗ 𝒆 (−.𝟎𝟎𝟏𝟎) 𝒕
∗ 𝒄𝒐𝒔(𝟒.𝟒𝟕𝒕) + 𝟎. 𝟎𝟑𝟓𝟕𝟏𝟒 𝒖(𝒕)

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8 ProfesorAvinadadMéndez
si graficamosX(t)
Comentarios acerca de los resultados ,
Si recordamos que una ecuacion diferencial al igual que un SISTEMA
DE CONTROL, siempre tienen una respuesta transitoria( T:transitoria)
mas una de estado Estacionario(SS: Stationary State)
𝐱(𝐭) = 𝒙𝑻 (𝒕) + 𝒙𝑺𝑺 (𝒕)= − 𝐗(𝐭) = − 𝟎. 𝟎𝟑𝟓𝟕𝟏𝟒∗ 𝒆
(−.𝟎𝟎𝟏𝟎) 𝒕
𝒄𝒐𝒔(𝟒.𝟒𝟕𝒕) + 𝟎. 𝟎𝟑𝟓𝟕𝟏𝟒 𝒖(𝒕)
𝒙𝑻 (𝒕) = − 𝟎. 𝟎𝟑𝟓𝟕𝟏𝟒∗ 𝒆
(−.𝟎𝟎𝟏𝟎) 𝒕
𝒄𝒐𝒔(𝟒.𝟒𝟕𝒕) ,y puesto que es la que decae y desaparece cuanto t
tiende a infinito..
𝒙𝑺𝑺 (𝒕) = 𝟎. 𝟎𝟑𝟓𝟕𝟏𝟒 𝒖(𝒕) , 𝐥𝐚 𝐫𝐞𝐬𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐚 𝐝𝐞 𝐞𝐬𝐭𝐚𝐝𝐨 𝐞𝐬𝐭𝐚𝐜𝐢𝐨𝐧𝐚𝐫𝐢𝐨 𝐞𝐬 𝟎. 𝟎𝟑𝟓 .

9. Universidad de Falcón .
INGENIERIA ELECTRONICA.
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9 ProfesorAvinadadMéndez
RESPUESTA 1
c.- Graficar larespuesta Respuesta,de laX(t) ,si se tiene comofuerzaoEntrada al sistema
igual a una FunciónrampadefinidaporF(t) = 1 ( t ) cuya unidadesel New.
Comono se especificaque saque larespuestaensde Laplace bajouna Entrada igual
F(t) = 1 ( t )
Vamosa hacer usodel software de OCTAVE- Enel modulode control .
=> 𝐗(𝐒) =
𝟏
𝐌 𝐒 𝟐+𝐟 𝐒 + 𝐤
∗ 𝐅(𝐒) = 𝐗(𝐒) =
𝟏
𝟕 𝐒 𝟐 + .𝟎𝟏𝟒 𝐒 + 𝟏𝟒𝟎
∗ 𝐅(𝐬 ) en mi caso particular,
si definimos en el OCTAVE que el numerador del funcion de Transferencia es
Numerador =0 s+ 1 , debe expresarse grado(1) y como el coheficiente es 0
num =[0,1]
y el denominador den=[7 , 0.14 , 140] indicando la expresion 𝟕 𝐒 𝟐
+ . 𝟎𝟏𝟒 𝐒 + 𝟏𝟒𝟎
definimoslafuncionde transferenciaH=num/den con la instrucción
H=tf(num,den) ,y una vez definidalafuncionde transferenciaH, le indicamosal programa
mediante la instrucciónramp(H), que no esmas que la respuestaante una funcion rampa.
y nos da la grafica de x(t) o funcionde salida.
Vemos que la salidax(t) tambiensigue una trayectoriacomola rampa
de la entrada.

10. Universidad de Falcón .
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Catedra: SISTEMAS DE CONTROL I
10 ProfesorAvinadadMéndez
les dejo todas las lineas introducidas en la ventana de comando en el Octave. .
num=[0,1]
num =
0 1
>> den=[7,0.14,140]
den =
7.00000 0.14000 140.00000
>> H=tf(num,den)
Transfer function 'H' from input 'u1' to output ...
1
y1: --------------------
7 s^2 + 0.14 s + 140
Continuous-time model.
>> ramp(H)
>>