1. TMC2012
-abc. abdielc@acm.org
Lenguajes Formales y Aut´matas
o
Preeliminares
matem´ticos
a
L´gica elemental
o
Relaciones y funciones
Inducci´n matem´tica
o a
Abdiel E. C´ceres Gonz´lez
a a
Universidad Ju´rez Aut´noma de Tabasco, DACB (www.ujat.mx)
a o
abdielc@acm.org

2. TMC2012
-abc. abdielc@acm.org
Preeliminares
matem´ticos
a
L´gica elemental
o
Relaciones y funciones
Inducci´n matem´tica
o a
Preeliminares Matem´ticos -1-
a

3. TMC2012
En la l´gica, una proposici´n es una frase de la cual se puede determinar si es
o o √
verdaderea o falsa. Las frases “2+1 es 5”, “3 > 8” y “17 es un n´mero
u -abc. abdielc@acm.org
primo” son proposiciones, mientras que “ven a mi fiesta” y “¿qu´ es un
e
Preeliminares
n´mero primo?” no son proposiciones.
u matem´ticos
a
L´gica elemental
o
>(= (+ 2 1) 5)
Relaciones y funciones
#f
Inducci´n matem´tica
o a
>(es-numero-primo? 17)
#t
En Racket podemos definir proposiciones. Definimos p como una proposici´n o
con valor de verdad #t (verdadero) y q como una proposici´n con valor de
o
verdad #f (falso).
1 (define p #t)
2 (define q #f)
3 (define r #f)
Escribir notas sobre datos primitivos en Racket

4. TMC2012
Definici´n
o -abc. abdielc@acm.org
Dos porposiciones son equivalentes si tienen el mismo valor de verdad.
Preeliminares
>(equal? p q) matem´ticos
a
#f L´gica elemental
o
>(equal? p r) Relaciones y funciones
#t Inducci´n matem´tica
o a
Escribir notas sobre procedimientos primitivos en Racket

5. TMC2012
1 (define (proposiciones-equivalentes? a b)
2 (equal? a b)) -abc. abdielc@acm.org
Preeliminares
>(proposiciones-equivalentes? p q) matem´ticos
a
#f L´gica elemental
o
>(proposiciones-equivalentes? p r) Relaciones y funciones
#t Inducci´n matem´tica
o a
Escribir notas sobre definicion de procedimientos en Racket

6. TMC2012
Definici´n
o -abc. abdielc@acm.org
Si p es una proposici´n, su negaci´n es una nueva proposici´n denotada por
o o o
¬p que tiene el valor de verdad Falso si p es verdadero, y tiene el valor Preeliminares
matem´ticos
a
Verdadero si p es Falso. L´gica elemental
o
Relaciones y funciones
1 (define (NEG a) Inducci´n matem´tica
o a
2 (if a #f #t))
>(NEG #t)
#f
>(NEG #f)
#t
Escribir notas sobre condicional if en Racket

7. TMC2012
Dado que el valor de una proposici´n ¬p depende de la proposici´n p,
o o
podemos utilizar una tabla llamada tabla de verdad para visualizar las -abc. abdielc@acm.org
dependencias
Preeliminares
matem´ticos
a
p ¬p
L´gica elemental
o
T F Relaciones y funciones
F V Inducci´n matem´tica
o a

8. TMC2012
Definition -abc. abdielc@acm.org
Si p y q son proposiciones, entonces la conjunci´n de las proposiciones p y q,
o
denotada por p ∧ q es una nueva proposici´n que es verdadera unicamente
o ´ Preeliminares
matem´ticos
a
cuando p y q son verdaderas y la conjunci´n es falsa cuando al menos una
o L´gica elemental
o
proposici´n ya sea p o q o ambas es falsa.
o Relaciones y funciones
Inducci´n matem´tica
o a
Utilizar la tabla de verdad para dise˜ar la definici´n en Racket
n o
>(Y #t #t)
#t
>(Y #t #f)
#f
>(Y #f #t)
#f
>(Y #f #f)
#f

9. TMC2012
Definition -abc. abdielc@acm.org
Si p y q son proposiciones, entonces la disyunci´n de las proposiciones p y q,
o
denotada por p ∨ q es una nueva proposici´n que es verdadera cuando alguna
o Preeliminares
matem´ticos
a
de las proposiciones p o q o ambas son verdaderas y la conjunci´n es falsa
o L´gica elemental
o
cuando ambas proposiciones son falsas. Relaciones y funciones
Inducci´n matem´tica
o a
Utilizar la tabla de verdad para dise˜ar la definici´n en Racket
n o

10. TMC2012
Definici´n
o -abc. abdielc@acm.org
Si p y q son dos proposiciones, la condicional denotada por p → q es una
nueva proposici´n con tabla de verdad
o Preeliminares
matem´ticos
a
p q p→q L´gica elemental
o
Relaciones y funciones
T T T Inducci´n matem´tica
o a
T F F
F T T
F F T
1 (define (-> a b)
2 (if a b #t))
>(-> #t #t)
#t
>(-> #t #f)
#f
>(-> #f #t)
#t
>(-> #f #f)
#t

11. TMC2012
Definici´n
o -abc. abdielc@acm.org
Si p y q son dos proposiciones, la bicondicional denotada por p ↔ q es una
nueva proposici´n con tabla de verdad
o Preeliminares
matem´ticos
a
p q p↔q L´gica elemental
o
Relaciones y funciones
T T T Inducci´n matem´tica
o a
T F F
F T F
F F T

12. TMC2012
ıproca de la condicional p → q es la proposici´n q → p.
La rec´ o
-abc. abdielc@acm.org
Preeliminares
matem´ticos
a
L´gica elemental
o
Relaciones y funciones
Inducci´n matem´tica
o a
La contrapuesta de p → q es (¬q) → (¬p).

13. TMC2012
Teorema -abc. abdielc@acm.org
Sean p y q dos proposiciones para las que p ↔ q es siempre verdadera.
Entonces p y q son equivalentes. Por otro lado, si p y q son equivalentes, Preeliminares
matem´ticos
a
entonces la bicondicional p ↔ q es siempre verdadera. L´gica elemental
o
Escribir las tablas de verdad Relaciones y funciones
Inducci´n matem´tica
o a
Una proposici´n es una tautolog´ si es siempre verdadera. Una contradicci´n
o ıa o
es una proposici´n que siempre es falsa. Probar ¬a ∧ b → (¬a) ∨ (¬b) y su negaci´n
o o

14. TMC2012
Definici´n (Funci´n proposicional)
o o -abc. abdielc@acm.org
Una funci´n proposicional es una porposici´n que tiene al menos un s´
o o ımbolo
Preeliminares
con valor variable. matem´ticos
a
Por ejemplo, la frase “x 2 + 2x − 15 = 0” tiene el smbolo variable x, y
´ L´gica elemental
o
Relaciones y funciones
dependiendo del valor asignado a x, el valor de verdad de la frase ser´ falso o
a Inducci´n matem´tica
o a
verdadero.
La colecci´n de objetos que pueden ser sustituidos por una variable en una
o
funci´n proposicional se llama conjunto de significados de esa variable.
o
Llamaremos conjunto de verdad de la funci´n porposicional, al conjunto de
o
objetos que pertenecen al conjunto de significados para los cuales la funci´no
proposicional se convierte en una funci´n verdadera al sustituir la variable por
o
ellos. C.significados=Z; C.verdad={3}

15. TMC2012
Si P es una funci´n proposicional que tiene a la variable x, lo escribimos como
o
P(x), pero adem´s, se debe agregar el conjunto de verdad de la variable x
a -abc. abdielc@acm.org
junto con alg´n s´
u ımbolo que permita determinar las condiciones necesarias
Preeliminares
para obtener tales valores de verdad, estos s´
ımbolos son los cuantificadores. matem´ticos
a
Hay cuantificadores universales y cuantificadores existenciales. L´gica elemental
o
Relaciones y funciones
Inducci´n matem´tica
o a
Un cuantificador universal asociado a una variable x y su conjunto de verdad
C se escribe ∀x : C . Ahora, junto con la funci´n proposicional:
o
∀x ∈ C , P(x).
Esto significa que para todos los valores del conjunto de verdad C , si
sustituimos el valor de x por cada uno de ellos, la funci´n proposicional P
o
tendr´ un valor verdadero. Relacionar los elementos de la definici´n racket con la notaci´n matem´tica
a o o a
1 (andmap (λ(x) (> x 4)) ’(5 6 7 8))
> (andmap (λ(x) (> x 4)) ’(5 6 7 8))
#t
>

16. TMC2012
Un cuantificador existencial asociado a una variable x y su conjunto de verdad
C se escribe ∃x : C . Ahora, junto con la funci´n proposicional:
o -abc. abdielc@acm.org
∃x ∈ C , P(x). Preeliminares
matem´ticos
a
L´gica elemental
o
Esto significa que en todos los valores del conjunto de verdad C , existe al Relaciones y funciones
menos un valor de modo que si sustituimos ese valor en x, la funci´n o Inducci´n matem´tica
o a
proposicional P tendr´ un valor verdadero. Relacionar los elementos de la definici´n racket con la
a o
notaci´n matem´tica
o a
1 (ormap (λ(x) (> x 4)) ’(1 2 3 4 5))
> (ormap (λ(x) (> x 4)) ’(1 2 3 4 5))
#t
>

17. TMC2012
Teor´ de conjuntos
ıa
-abc. abdielc@acm.org
Un conjunto es una colecci´n de objetos llamados elementos del conjunto.
o
Preeliminares
matem´ticos
a
Definici´n (Conjunto vac´
o ıo) L´gica elemental
o
Relaciones y funciones
Si un conjunto A no tiene elementos, decimos que el conjunto A est´ vac´ y
a ıo, Inducci´n matem´tica
o a
lo escribimos como ∅
1 (define V ’())
> V
’()
> (empty? V)
#t

18. TMC2012
Listas como conjuntos
-abc. abdielc@acm.org
Definici´n (Lista)
o Preeliminares
matem´ticos
a
un objeto L es una lista en cualquiera de los siguientes casos: L´gica elemental
o
Relaciones y funciones
1. Si L = ∅, entonces L una lista. Inducci´n matem´tica
o a
2. Si L = ∅, entonces L debe poder dividirse en dos partes:
2.1 Car(L) que debe ser el primer elemento de L.
2.2 Cdr(L) que contiene al resto de los elementos de L sin considerar el primero, y
debe ser una lista.
En Racket podemos manejar conjuntos con listas, considerando que el orden
en que aparecen los elementos no importa y que los elementos no deben ser
repetidos.

19. TMC2012
Si A es un conjunto y a es un elemento de A, lo escribimos como a ∈ A (a es
un elemento del conjunto A). Si por el contrario, el elemento a no -abc. abdielc@acm.org
perteneciera al conjunto A, lo indicaremos por a ∈ A.
Preeliminares
1 (define (PERTENECE? a A) matem´ticos
a
2 (cond ((empty? A) #f) L´gica elemental
o
3 ((equal? a (car A)) #t) Relaciones y funciones
4 (else (PERTENECE? a (cdr A))))) Inducci´n matem´tica
o a

20. TMC2012
Ejemplo. M´todo de substituci´n.
e o Probar con (PERTENECE? 4 ’(2 6 8 3 4 1))
-abc. abdielc@acm.org
1 (define (PERTENECE? a A)
2 (cond ((empty? A) #f)
3 ((equal? a (car A)) #t) Preeliminares
matem´ticos
a
4 (else (PERTENECE? a (cdr A)))))
L´gica elemental
o
Relaciones y funciones
Inducci´n matem´tica
o a

21. TMC2012
Definici´n (Cardinalidad)
o -abc. abdielc@acm.org
La cardinalidad de un conjunto es la cantidad de elementos que contiene. Si A
Preeliminares
es un conjunto, la cardinalidad del conjunto A se denota por |A|. matem´ticos
a
Notemos que: L´gica elemental
o
Relaciones y funciones
|A| = 0 si A = ∅ Inducci´n matem´tica
o a
|A| = 1 + |A | si A = Cdr(A)
Hacer un diagrama de Venn

22. TMC2012
Definici´n (Subconjunto)
o -abc. abdielc@acm.org
Sean A y B dos conjuntos. Decimos que A es un subconjunto de B y lo
Preeliminares
denotamos por A ⊆ B cuando todos los elementos del conjunto A tambi´n son
e matem´ticos
a
elementos del conjunto B. L´gica elemental
o
Relaciones y funciones
Notemos que pueden haber elementos del conjunto B que no sean elementos Inducci´n matem´tica
o a
del conjunto A.
Hacer un diagrama de Venn

23. TMC2012
1 (define (SUBCONJUNTO? A B)
2 (cond ((empty? A) #t) ; el conjunto vacio es subconjunto de cualquier conjunto -abc. abdielc@acm.org
3 ((PERTENECE? (car A) B) (SUBCONJUNTO? (cdr A) B))
4 (else #f))) Preeliminares
matem´ticos
a
L´gica elemental
o
Relaciones y funciones
Inducci´n matem´tica
o a

24. TMC2012
Definici´n (Conjuntos iguales)
o -abc. abdielc@acm.org
Sean A y B dos conjuntos. Decimos que A y B son iguales y lo denotamos
Preeliminares
como A = B, si A ⊆ B y B ⊆ A. matem´ticos
a
Se deja el programa en Racket como ejercicio. L´gica elemental
o
Relaciones y funciones
Inducci´n matem´tica
o a

25. TMC2012
Definici´n (Conjunto potencia)
o -abc. abdielc@acm.org
Sea A un conjunto. El conjunto potencia de A se denota como P(A) y es el
Preeliminares
conjunto de todos los subconjuntos de A. matem´ticos
a
Por ejemplo, si A = {1, 2, 3}, L´gica elemental
o
Relaciones y funciones
2A = {∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} Describir el algoritmo Inducci´n matem´tica
o a
A P(A)

26. TMC2012
1 ; crea una lista de parejas con el elemento a en cada una de ellas y cada elemento de B
2 ; en la segunda entrada -abc. abdielc@acm.org
3 (define (enlista a B)
4 (cond ((empty? B) ’()) Preeliminares
5 ((list? (car B)) (cons (append (list a) (car B)) (enlista a (cdr B)))) matem´ticos
a
6 (#t (cons (list a (car B)) (enlista a (cdr B)))))) L´gica elemental
o
7 Relaciones y funciones
8 ; producto cartesiano de 2 conjuntos Inducci´n matem´tica
o a
9 (define (PC A B)
10 (apply append (map (lambda (a) (enlista a B)) A)))

27. TMC2012
Operaciones con conjuntos
-abc. abdielc@acm.org
Definici´n (Uni´n)
o o Preeliminares
matem´ticos
a
Sean A y B dos conjuntos. La uni´n de los conjuntos A y B se denota por
o L´gica elemental
o
A ∪ B y es el conjunto {x ∈ A ∨ x ∈ B} Relaciones y funciones
Inducci´n matem´tica
o a

28. TMC2012
Definici´n (Uni´n extendida)
o o -abc. abdielc@acm.org
Sean A1 , . . . , An n conjuntos. La uni´n de los i = 1, . . . , n conjuntos Ai es
o
Preeliminares
n matem´ticos
a
L´gica elemental
o
Ai = A1 ∪ · · · ∪ An Relaciones y funciones
i=1 Inducci´n matem´tica
o a

29. TMC2012
Definici´n (Intersecci´n)
o o -abc. abdielc@acm.org
Sean A y B dos conjuntos. La intersecci´n de los conjuntos A y B se denota
o
Preeliminares
por A ∩ B y es el conjunto {x ∈ A ∧ x ∈ B} matem´ticos
a
L´gica elemental
o
Relaciones y funciones
Inducci´n matem´tica
o a

30. TMC2012
Definici´n (Intersecci´n extendida)
o o -abc. abdielc@acm.org
Sean A1 , . . . , An n conjuntos. La intersecci´n de los i = 1, . . . , n conjuntos Ai
o
Preeliminares
es matem´ticos
a
n
L´gica elemental
o
Ai = A1 ∩ · · · ∩ An Relaciones y funciones
i=1 Inducci´n matem´tica
o a

31. TMC2012
Definici´n (Diferencia)
o -abc. abdielc@acm.org
Sean A y B dos conjuntos. La diferencia del conjunto A respecto del conjunto
Preeliminares
B se denota por A/B y es el conjunto {x ∈ A ∧ x ∈ B} matem´ticos
a
L´gica elemental
o
Relaciones y funciones
Inducci´n matem´tica
o a

32. TMC2012
Una relaci´n del conjunto A con el coonjunto B es un subconjunto de A × B.
o
Por tanto, si R ⊆ A × B y (a, b) ∈ R con a ∈ A y b ∈ B, se dice que el -abc. abdielc@acm.org
elemento a est´ relacionado con el elemento b bajo la relaci´n R.
a o
Preeliminares
Mostrar ejemplo con A = {2, 3, 4, 5}, B = {1, 3, 5, 7, 9} y R = {(2, 1), (2, 3), (5, 3), (5, 5)} matem´ticos
a
L´gica elemental
o
Relaciones y funciones
Inducci´n matem´tica
o a

33. TMC2012
Una relaci´n R definida como subconjunto de A × B define dos conjuntos muy
o
importantes. -abc. abdielc@acm.org
Preeliminares
Definici´n (Dominio)
o matem´ticos
a
L´gica elemental
o
El dominio de una relaci´n R definida como subconjunto de A × B se denota
o Relaciones y funciones
Inducci´n matem´tica
o a
por Dom(R) y es el conjunto
{a ∈ A|∃ b ∈ B, (a, b) ∈ R}
Mostrar el dominio en R = {(2, 1), (2, 3), (5, 3), (5, 5)} Calcular el dominio de una relacion

34. TMC2012
Una relaci´n R definida como subconjunto de A × B define dos conjuntos muy
o
importantes. -abc. abdielc@acm.org
Preeliminares
Definici´n (Im´gen)
o a matem´ticos
a
L´gica elemental
o
La im´gen de una relaci´n R definida como subconjunto de A × B se denota
a o Relaciones y funciones
Inducci´n matem´tica
o a
por Im(R) y es el conjunto
{b ∈ B|∃ a ∈ A, (a, b) ∈ R}
La im´gen de la relaci´n tambi´n se conoce como codominio.
a o e
Mostrar el codominio en R = {(2, 1), (2, 3), (5, 3), (5, 5)} Calcular el codominio de una relacion

35. TMC2012
Una relaci´n R definida como subconjunto de A × B para dos conjuntos A y
o
B se denota como -abc. abdielc@acm.org
R:A→B
Preeliminares
matem´ticos
a
Donde A es el dominio de la relaci´n.
o
L´gica elemental
o
Relaciones y funciones
Si Im(R) = B, entonces la relaci´n es sobreyectiva.
o Inducci´n matem´tica
o a
Si cada elemento del Dom(R) est´ relacionado con exactamente un elemento
a
de la Im(R), entonces la relac´n es Inyectiva o 1-1.
o
Si la relaci´n es sobreyectiva e inyectiva, entonces la relaci´n es biyectiva.
o o
escribir definiciones en Racket Determinar si una relaci´n tiene estas propiedades
o

36. TMC2012
-abc. abdielc@acm.org
Preeliminares
matem´ticos
a
L´gica elemental
o
Relaciones y funciones
Inducci´n matem´tica
o a

37. TMC2012
Definici´n (Funci´n)
o o -abc. abdielc@acm.org
Una relaci´n R : A → B es una funci´n si cada elemento del dominio tiene
o o
Preeliminares
relaci´n con exactamente un elemento del codominio. Esto es
o matem´ticos
a
(a, b1 ) ∈ R ∧ (a, b2 ) ∈ R → b1 = b2 L´gica elemental
o
Relaciones y funciones
Inducci´n matem´tica
o a
Definition (Imagen)
Sea F : A → B una funci´n de A en B. Un elemento b ∈ Cod(R) es la
o
im´gen de a ∈ Dom(F ) si (a, b) ∈ F . La im´gen de a bajo la funci´n F se
a a o
denota F (a).
La imagen de A ⊂ A bajo la funci´n F se denota
o
F (A ) = {b ∈ Cod(F )|(a, b) ∈ R ∧ a ∈ A }

38. TMC2012
Definici´n (Composici´n)
o o -abc. abdielc@acm.org
Sean F : A → B y G : B → C dos funciones. Llamamos la composici´n de las
o
Preeliminares
funciones F con G y lo denotamos por F ◦ G o simplemente FG a una nueva matem´ticos
a
funci´n FG : A → C definida como
o L´gica elemental
o
Relaciones y funciones
Inducci´n matem´tica
o a
(a, c) ∈ FG → ∃ b ∈ B : (a, b) ∈ F , (b, c) ∈ G
Notemos que FG no es una operaci´n, sino un identificador de una nueva
o
funci´n.
o

39. TMC2012
En general, utilizamos esta t´cnica para demostrar que las afirmaciones se
e
cumplen para un cierto conjunto de n´meros naturales, cuando la verificaci´n
u o -abc. abdielc@acm.org
directa es imposible de realizar.
Preeliminares
matem´ticos
a
No podemor simplemente verificar que la afirmaci´n se cumple solo para un
o L´gica elemental
o
cierto n´mero de ejemplos, porque precisamente los ejemplos no son una
u Relaciones y funciones
Inducci´n matem´tica
o a
prueba.
Consideremos la siguiente afirmaci´n:
o
n2 ≤ 5n!; n≥3
Como claramente es imposible verificar esta afirmaci´n para todos los n´meros
o u
naturales mayores que 2 (n ≥ 3), entonces utilizamos la inducci´n matem´tica
o a
que consiste de verificar 3 pasos:
1. El paso base: Comprobar que la sentencia es verdadera para el n´mero
u
m´s peque˜o en el conjunto especificado en la sentencia original.
a n
2. La hip´tesis inductiva: Suponer que la sentencia es verdadera para el
o
n-´simo n´mero del conjunto.
e u
3. El paso deductivo: Utilizar la hip´tesis inductiva para probar que el
o
n + 1-´simo n´mero tambi´n cumple la propiedad.
e u e

40. TMC2012
Ejemplo -abc. abdielc@acm.org
Pruebe por inducci´n que la suma de los primeros n n´meros naturales es
o u
exactamente k(k + 1)/2. Preeliminares
matem´ticos
a
L´gica elemental
o
1. El paso base Relaciones y funciones
Inducci´n matem´tica
o a
1(1 + 1)
1= ⇒1=1
2
2. La hip´tesis inductiva:
o
n(n + 1)
1 + 2 + 3 + ··· + n =
2
3. El paso deductivo:
n(n + 1) (n + 1)((n + 1) + 1) (n + 1)(n + 2)
+ (n + 1) = =
2 2 2

41. TMC2012
-abc. abdielc@acm.org
Preeliminares
matem´ticos
a
L´gica elemental
o
Relaciones y funciones
Inducci´n matem´tica
o a