1. ¿SABÍAS QUÉ... TEMA: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS AGUDOS
CURVAS
TRIÁNGULO RECTÁNGULO
Se llama triángulo rectángulo al triángulo donde uno de sus ángulos
Nuestros conocimientos de las curvas geométricas provienen de la es recto (90º), además recuerde que el lado opuesto al ángulo recto se
matemática egipcia Hipacia (370–415 d.C.), quien desarrolló los estudios llama hipotenusa y los dos lados restantes catetos.
de Apolonio (262–190 a.C.). Hipacia obtuvo curvas, como la En la figura mostrada:
circunferencia, la elipse, la parábola y la hipérbola, a partir de secciones
de un cono realizadas a distintos ángulos. Este procedimiento se llama de
las secciones cónicas.
Otra forma de generar curvas geométricas es trazar el recorrido de
un punto que se mueve en ciertas condiciones. Por ejemplo, al trazar la
trayectoria de un punto móvil que está siempre a igual distancia de otro
punto fijo, puede formarse una circunferencia.
c : hipotenusa
a b : catetos
: son ángulos agudos
Además en el triángulo rectángulo se cumple:
Los ángulos agudos suman 90º
. + = 90º .
Teorema de Pitágoras
. a2 + b2 = c2 .
La hipotenusa siempre es mayor que los catetos
. c>a b .

2. RAZÓN TRIGONOMÉTRICA Resolución
La razón trigonométrica de un ángulo agudo en un triángulo
rectángulo se define como el cociente que se obtiene al dividir las Aplicando el teorema de Pitágoras, tenemos:
medidas de las longitudes de dos de los lados del triángulo rectángulo con (8)2 + (15)2 = x2
respecto del ángulo agudo. 289 = x2
x = 17
Luego
Si el triángulo anterior nos referimos a las longitudes de los lados
del triángulo con los nombres hipotenusa (c) cateto opuesto (b) cateto 8 15
sen ctg
adyacente (a). Podemos definir las razones trigonométricas de del modo 17 8
siguiente:
15 17
cos sec
17 15
cateto opu esto al an gulo θ b
senθ 8 17
hipotenusa c tg csc
15 8
cateto ady acente al ángulo θ a
cos θ Razones Trigonométricas de los Ángulos Agudos: 30º, 60º, 45º, 37º
hipotenusa c
Y 53º
cateto opu esto al án gulo θ b Las razones trigonométricas de estos ángulos se obtienen a partir de los
tgθ siguientes triángulos rectángulos.
cateto ady acente al ángulo θ a
catetoadya cente al á ngulo θ a
ctgθ
cateto opu esto al án gulo θ b
hipotenusa c
sec θ
cateto ady acene al á ngulo θ a
hipotenusa c
csc θ
cateto opu esto al án gulo θ b
Ejemplo:
Calcule los valores de las seis razones trigonométricas del menor ángulo
31
agudo en un triángulo rectángulo, cuyos catetos miden 8 y 15 unidades.

3. De los triángulos anteriores se obtiene: B 'C '
Por otra pare, del triángulo rectángulo AC’B’ tenemos que: sen
AB '
Ángulo Luego:
30º 37º 45º 53º 60º
R.T. BC B'C '
1 3 2 4 3 AB AB'
sen
2 5 2 5 2
Así encontramos el mismo valor para sen sin importar cual sea el
3 4 2 3 1
cos triángulo rectángulo que utilicemos para calcularlo, una idea similar podría
2 5 2 5 2
servir para las otras razones trigonométricas.
3 3 4
tg 1 3
3 4 3 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS
4 3 Siendo un ángulo agudo se cumple:
3
ctg 3 1
3 4 3
2 3 5 5 1
sec 2 2 csc sen . csc 1
3 4 3 sen
5 5 2 3
csc 2 2 1
3 4 3 sec cos . sec 1
cos
OBSERVACIÓN: 1
LOS VALORES DE ctg tg .ctg 1
LAS SEIS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEPENDEN
tg
ÚNICAMENTE DE LA MEDIDA DEL ÁNGULO Y NO DE LAS LONGITUDES DE LOS
LADOS DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO.
Ejemplo:
Lo anterior lo podemos describir a continuación, en la siguiente figura.
3 4 1
Si sen csc cos sec 5
4 3 5
5 3 3 2
ctg tg csc sen
3 5 2 3
BC
Del Triángulo Rectángulo ACB tenemos que: sen
AB

4. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS cos62º = sen28º csc24º = sec66º
Dos ángulos agudos se llaman complementarios si su sima es un ángulo Ejercicio:
recto. si: sen(40º + ) = cos(10º + ); 12º < < 24º, halle
Resolución
Por lo anterior se tiene:
(40º + ) + (10º + ) = 90º
2 = 40º
= 20º
OBSERVACIÓN:
RECORDEMOS QUE EN LOS VÉRTICES DE LOS TRIÁNGULOS SIEMPRE SE
En la figura se muestra: COLOCAN LETRAS MAYÚSCULAS Y A LOS LADOS QUE SE OPONEN SE
COLOCAN SUS RESPECTIVAS LETRAS MINÚSCULAS POR DECIR: SI EN UNO DE
y : Son ángulos complementarios ( + = 90º) LOS VÉRTICES DEL TRIÁNGULO COLOCAMOS LA LETRA “A”, EN SU LADO
OPUESTO COLOCAREMOS SU MINÚSCULA “A”.
Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto b como y al ángulo opuesto
al cateto a como en consecuencia:
b a
sen cos ; cos sen
c c
b a
tg ctg ; ctg tg
a b
c c
sec csc ; csc sec
a b
Debido a estas relaciones las razones:
seno y coseno
tangente y cotangente
secante y cosecante
Se llaman co–razones trigonométricas una de la otra
Ejemplos:
sen40º = cos50º sec20º = csc70º
tg80º = ctg10º ctg3º = tg87º

5. PROFUNDIZANDO CONOCIMIENTOS
ESTUDIO DEL TRIÁNGULO PITAGÓRICO
Todo triángulo pitagórico tiene sus lados
expresados por números enteros positivos.
Dichos lados tiene la siguiente forma:
Siendo: “m” y “n” números enteros positivos.
CASO PARTICULAR:
CUANDO SE TIENE DOS NÚMEROS ENTEROS (M Y N), PERO CONSECUTIVOS,
Además . m > n . ENTONCES SE CUMPLIRÁ:
k 1 k 1 ; SIENDO: K = # IMPAR.
m Y n
2 2
OBSERVACIÓN: LUEGO:
SI ELEGIMOS VALORES DE “M” Y “N” (NÚMEROS PRIMOS ENTEROS ENTRE
SÍ) TAL QUE (M + N) RESULTE UN NÚMERO IMPAR, SE OBTIENEN
TRIÁNGULOS PITAGÓRICOS CUYAS MEDIDAS DE SUS LADOS TAMBIÉN SON
NÚMEROS PRIMOS ENTRE SÍ.
EJEMPLO: CUANDO: M = 5 Y N = 2 EJEMPLO: CUANDO: M = 8 Y N = 3
EJEMPLO: CUANDO: K = 5 EJEMPLO: CUANDO: K = 11
OBSERVACIÓN:
CUANDO LOS VALORES DE “M” Y “N” (NO SON PRIMOS ENTRE SÍ) O CUYA
SUMA DE M Y N SEA UN NÚMERO PAR SE OBTIENE TRIÁNGULOS
PITAGÓRICOS CUYAS MEDIDAS DE SUS LADOS ESTÁ EXPRESADA POR
NÚMEROS QUE TIENEN UN DIVISOR COMÚN.
EJEMPLO: CUANDO: M = 4 Y N = 2 EJEMPLO: CUANDO: M = 7 Y N = 3

6. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS ESPECIALES O 3 L2 3 L2 3L
NOTABLES = BH . BH .
4 4 2
Razones Trigonométricas del Ángulo de 45º
Luego calculamos las razones trigonométricas de 30º y 60º en el BHC.
Sean los catetos del triángulo rectángulo ABC:
. AB = BC = L .
Por el teorema de Pitágoras:
AC2 = AB2 + BC2
AC2 = L2 + L2 = 2 L2
AC = 2L2 = 2 L2
. AC = 2L .
Luego, calculamos las razones trigonométricas del ángulo de 45º
L 1 2 2 2 2
sen 45º = csc 45º = 2
L 2 2 2 2 2
L 1 2 2 2 2
cos 45º = sec 45º = 2
L 2 2 2 2 2
L 1 1
tg 45º = 1 ctg 45º = 1
L 1 1
Razones Trigonométricas del Ángulo de 30º y 60º
Para hallar las razones trigonométricas de Razones Trigonométricas del Ángulo de 37º y 53º
30º y 60º, construimos un triángulo
equilátero, veamos:
En el triángulo rectángulo BHC; calculamos
BH, por el teorema de Pitágoras
BC2 = BH2 + HC2
2
L
L2 = BH2 +
2
L2 L2 3 L2
L2 = BH2 + L2 – = BH2 = BH2
4 4 4

7. 3 4
sen 37º =. . sen 53º =
5 5 Para hallar las razones
4 3 trigonométricas de los ángulos de 15º
cos 37º =. . cos 53º =
5 5 y 75º tomamos como referencia el
3 4 triángulo rectángulo notable de 30º y
tg 37º =. . tg 53º =
4 3 60º, luego prolongamos (como se
4 3 muestra en la figura), hasta obtener
ctg 37º =. . ctg 53º =
3 4 un isósceles EBC, siendo: EB = BC = 2.
5 5
sec 37º =. . sec 53º =
4 3
5 5 En el triángulo rectángulo EAC: Calculamos el valor de “x” por medio del
csc 37º =. . csc 53º =
3 4 teorema de Pitágoras:
Razones Trigonométricas del Ángulo de 16º y 74º . EC2 = EA2 + AC2 .
2
x2 2 3 1 2
2
x2 4 4 3 3 1
x 2
8 4 3
x 8 4 3
Aplicamos radicales dobles
7 24
sen 16º =. . sen 74º = . x 6 2 .
25 25
24 7
cos 16º =. . cos 74º = Luego, calculamos las razones trigonométricas de 15º y 75º
25 25
7 24
tg 16º =. . tg 74º =
24 7
24 7
ctg 16º =. . ctg 74º =
7 24
25 25
sec 16º =. . sec 74º =
24 7
25 25
csc 16º =. . csc 74º =
7 24
Razones Trigonométricas de 15 y 75º

8. 1 2 2
sen 22º30’ = =. . sen67º30’= 2 2
2 2 2 2 2
2 1 2 2
cos 22º30’ = =. . cos67º30’= 2 2
2 2 2 2 2
1
tg 22º30’ = = . 2 1. tg 67º30’= 2 1
2 1
2 1
ctg 22º30’ = = . 2 1. ctg 67º30’= 2 1
1
2
sec 22º30’ = =. 2 2 2 . sec67º30’= 2 2 2
2 2
csc 22º30’ = . 2 2 2 . csc67º30’= 2 2 2
Razones Trigonométricas de 22º30’ y 67º30’
Para hallar las razones trigonométricas
OBSERVACIÓN:
de los ángulos de 22º30’ y 67º 30’ HACIENDO USO DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS, TAMBIÉN PODEMOS
tomamos como referencia el triángulo CALCULAR LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA MITAD DE UNO DE SUS
DOS ÁNGULOS AGUDOS, VEAMOS ALGUNOS EJEMPLOS:
rectángulo notable de 45º, luego
procedemos de igual manera que el caso
anterior. Ejemplos:
1. En un triángulo rectángulo ABC (recto en “C”), donde a = 8 y b = 15.
En el triángulo rectángulo EBA: A
Calculamos el valor de “x” por medio del Calcular: “tg ”
2
teorema de Pitágoras
Resolución
EA2 = EB2 + BA2 En el triangulo rectángulo BCA: Calculamos AB por medio del teorema
2 de Pitágoras:
x2 = 2 1 + (1)2
x2 = 2+2 2 +1+1=4+2 2 =2 2 2 AB2 = BC2 + AC2 AB2 = 82 + 152 = 64 + 225
x 22 2 2 2 2 AB2 = 289 AB = 289 . AB = 17 .
A
Luego en el triángulo rectángulo DCB: Calculamos: “ tg ”
Luego, calculamos las razones trigonométricas 2
48
A BC 8 1
. tg .
2 DC 32 4

9. 4 4 3 4 3 4 3 4 3
a.
3 3. 3 3.3 9 3
3 3 2 3 2 3 2 3 2
b.
2 2. 2 2.2 4 2
5 5. 3 5.3 15 15
c.
3 3. 3 3.3 9 3
a a b Esta fórmula sólo se cumple, cuando el
. .
b b denominador es raíz cuadrada.
2. Haciendo uso del triángulo notable 16º y 74º. Calcular “tg 8”
2do Caso: Denominador Binomio
En el triángulo rectángulo BCP Para racionalizar el denominador de una fracción, siendo dicho denominador un binomio de la
forma: a b se multiplican los dos términos de la fracción por la expresión conjugada
BC 7
tg 8º a b del denominador y luego se simplifican los resultados.
PC 49
Ejemplos:
1
. tg 8º . 52 3 52 3
7 a. 2
2 3 2 3 2 3 2 2
3
5 52 3
52 3
2 3 4 3
2 2 5 2 2 5 2
b. 2 2
5 2 5 2 5 2 5 2
2 2 5 2 2 5 2
5 2 5 2 3
CASOS DE RACIONALIZACIÓN QUE DEBE TENERSE EN CUENTA
2 2 2
1er Caso: Denominador Monomio 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3. 2 2
c.
Para racionalizar el denominador de una fracción, siendo dicho 3 2 3 2 3 2 3
2
2
2
3 2
denominador un monomio, se multiplican los dos términos de la fracción
por el radical del mismo índice que el del denominador, y que multiplicador 3 2 3 2 6 2 5 2 6
5 2 6
por el radical que se desea eliminar y de como producto una cantidad 3 2 1 1
racional.
Ejemplos:

10. a an m b b p  q
. ; .
n m n2 m p q p q