1. Escuela de Educación Continua
Repaso para la Prueba de Evaluación
y Admisión Universitaria
(College Board)
MATEMÁTICAS
Geometría
Triángulos
Preparado por
Dra. Casilda Canino, Enero 1994
Prof. Norma Rivera, Enero 1994
Revisado por
Prof. Rene Rivera, Diciembre 2011

2. Este manual es propiedad del Campus Virtual de la Escuela de
Educación Continua de la Universidad Metropolitana. El mismo
no puede ser reproducido parcial ni totalmente sin la autorización
expresa del Decano Asociado del Campus Virtual de la Escuela
de Educación Continua de la Universidad Metropolitana.
®Escuela de Educación Continua de UMET, enero de 2012

3. Geometría
III. Triángulos
Los triángulos se denominan de acuerdo a las medidas de sus ángulos o las longitudes de
sus lados.
A. Clasificación de los triángulos por sus lados
1- Triángulo escaleno----triángulos cuyos tres lados tienen longitudes
diferentes.
2- Triángulo isósceles----triángulos que tiene dos lados de la misma
longitud.
3- Triángulo equilátero----triángulos cuyos tres lados tienen la misma
longitud.
9 12 cm
8 12 cm 6
cm 6 cm
cm cm
10 cm
15 cm
6 cm
Triángulo escaleno Triángulo isósceles
Los tres lados tienen Al menos dos lados tienen
la misma longitud. Triángulo equilátero
diferente longitud. Los tres lados tienen la
misma longitud
B. Clasificación de los triángulos por sus ángulos
La suma de todos los ángulos de cualquier triángulo es 180 o
1- Triángulo acutángulo----triángulos con tres ángulos agudos
2- Triángulo obtusángulo----triángulos que tiene un ángulo obtuso.
3- Triángulo rectángulo ----triángulos con un ángulo recto.

4. 70º 60º
40º 40º
100º
55º 55º 90º 30º
Un triángulo acutángulo Un triángulo rectángulo Un triángulo obtusángulo
tiene tres ángulos agudos. tiene un ángulo recto. tiene un ángulo obtuso.
a- Teorema de Pitágoras
Establece que en cualquier triángulo rectángulo, la suma de los catetos al
cuadrado es igual al cuadrado de la hipotenusa.
a2 + b2 = c2
Hipotenusa
a Cateto
c
b
Cateto
b- En un Triángulo rectángulo: La altura es un cateto.
Es un lado adyacente a la base.
B
h=4
A b=8 C

5. c- Altura fuera de la base del triángulo: se puede trazar líneas entre
cortadas para representar la altura fuera dela base.
R
h
b1
P B Q
d- Altura dentro del triángulo (recuerda la altura siempre es
perpendicular a la base)
altura
(h)
base (b)
C- Conceptos generales
1- Un ángulo exterior de un triángulo
C
MX=MC+MA
X
A B

6. 2- Bisectriz de un ángulo correspondiente a un triángulo
Z
M1 = M2
MX = M1 + M 2
1
2
X
Y
3- Mediana: Segmento cuyos extremos son un vértice del triángulo y el
punto medio del lado opuesto.
K
O
N L
D- Mediatriz: Perpendicular trazada desde un vértice hasta el
punto medio del lado opuesto.
Z
W Y

7. El WZY es equilátero. En un triángulo equilátero la mediana, bisectriz, mediatriz
y altura coinciden.
Ejemplos de Triángulos
1) Halla la medida del ángulo desconocido. (Recuerda que la suma de los ángulos internos es 180o)
Wº
w + 57 + 51 = 180
w + 108 = 180
57º 51º
w + 108 – 108 = 180 – 108
w = 720
2) Determina la medida del ángulo que falta en el
35 + 60 + ? = 180
95 + ? = 180
95 + 85 = 180 ?
Por lo tanto, el ángulo mide 85o
60º 35º
3) Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud del lado c.
Usa el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud
Encontrar la longitud del lado c (hipotenusa). a2 + b2 = c2
Sustituye 9 por a y 12 por b. 92 + 122 = c2
9 cm cm Eleva al cuadrado 9 y 12. 81 + 144 = c2
Haz la suma. 225 = c 2
12 cm Halla 225. 15 = c
4) Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud del lado a (cateto).
En el triángulo de la izquierda, c =34 y b = 16. Halla a.

8. Usa el teorema de Pitágoras para
Encontrar la longitud del lado a. a2 + b2 = c2
34 cm Sustituye 34 por c y 16 por b. a2 + 162 = 342
16 cm Eleva al cuadrado 34 y 16. a2 + 256 = 1,156
Haz la resta. a2 =1,156 - 256 = 900
a Halla 900 a = 900 = 30
5) Usa el Teorema de Pitágoras para encontrar la longitud del lado b (cateto).
En el triángulo de la izquierda, c =10 y a = 6. Halla b.
Usa el teorema de Pitágoras para
Encontrar la longitud del lado b. a2 + b2 = c2
C = 10 Sustituye 10 por c y 6 por a. 62 + b2 = 102
a=6 Eleva al cuadrado 10 y 6. 36 + b2 = 100
Haz la resta. b 2 = 64
b Halla 64 b= 8
Práctica: Triángulos
1) Determina la medida del ángulo que falta en cada triángulo.
60º
45º ? 30º 30º
? 60º ?
90º ? 30º 115º
a. c. _____ d.
b.
_________ _____
_____ _____
_

9. 2) Determina la medida del ángulo que falta en cada triángulo.
45º
50º ?
30º ?
110º ?
45º 45º ?
50º
60º
a. b. c. d.
3) Determina la medida del ángulo que falta en cada triángulo.
X
60º
X
30º 25º 25º
60º 60 X
c.
º
a b.
.
75º 110º
40º c
b
a d
d.

10. 1) Usa el teorema de Pitágoras y resuelve:
A- Halla la hipotenusa
c
c C
12 5 cm =
= 6
in.
= in.
1
=
12 cm 8
16 in. 1
in.
6
1. 2. 3.
B- Halla cateto a
c=15 b=8 c=10
a a c=8
b=12
a b=4
1. 2.
3.
C- Halla cateto b

11. B
c=16
a =8
c =17 b
c =20 a =9
30º
A C
b a =15 b
1. 2. 3.
2) En el triángulo isósceles la hipotenusa = 8. Halla la longitud de cada cateto.
f =8
d
e
6) Dado el triángulo rectángulo con catetos a y b, hipotenusa c:
A- a = 6 y b = 8 encuentre c.
B- b = 2 y c = 6 encuentre a.
C- C =8 y a= 10 encuentre b
c a
Ángulo
30º
recto
b
Respuestas (Práctica 31)

12. 1) a- 45o b- 35 o c- 60 o d- 120 o
2) a- 40 o b- 80 o c- 90 o d- 75 o
3) a- 60 o b- 90 o c- 130 o d- a = 65 o b = 140 o
c = 40 o d = 30o
4) A) 1- c = 20 2- c = 13 3- c = 10
B) 1- a = 9 2- a = 6 3- a= 4 3 =6.928
C) 1- b = 319 =17.9 2- b = 8 3- b= 192 =13.86
5) d  32  16  2  4 2 ó 5.66 6) A) c = 10 B) a  4 2
C) b  6  1 ó 6į (no tiene solución)