MATLAB

1. UNIVERSIDAD NACIONAL
“HERMILIO VALDIZÁN”
EMPRESA
SESIÓN 20 - ECUACIONES LINEALES EN MATLAB
CURSO :
SISTEMAS DINAMICOS
DOCENTE :
Mg. Jhonny Henry Piñan Garcia
ALUMNOS :
 ANTARA HUARANGA Jorge
 CASANA BLASIDO, Winy
 DIEGO GINCHE, Anghelo
 HUAMAN SANTOS, Raul
 VERASTEGUI TRUJILLO,
Alejandrina
HUÁNUCO – PERÚ
2020

2. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Se denomina ecuación lineal a aquella que tiene la forma de un polinomio de
primer grado, es decir, las incógnitas no están elevadas a potencias, ni
multiplicadas entre sí, ni en el denominador. Por ejemplo, 3x + 2y + 6z = 6 es
una ecuación lineal con tres incógnitas.
Es un conjunto de ecuaciones lineales (primer grado), el problema consiste en
encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3…xn que
satisfacen las ecuaciones.
Como es bien sabido, las ecuaciones lineales con 2 incógnitas representan una
recta en el plano.
(−x + 2y = 3)
Si la ecuación lineal tiene 3 incógnitas, su representación grafica es un plano en
el espacio.
(x + y + z = 1)

3. Sistemas de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones lineales es un
conjunto de ecuaciones lineales de la forma:
En este caso tenemos m ecuaciones y n incógnitas. Los números reales aij se
denominan coeficientes y los xi se denominan incógnitas (o números a
determinar) y bj se denominan términos independientes.
EXPRESIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA CUALQUIER
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES SE PUEDE EXPRESAR
EN FORMA MATRICIAL DEL MODO:

4. TIPOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Los sistemas de ecuaciones lineales los podemos clasificar según su número de
soluciones:
 COMPATIBLE DETERMINADO
Tiene una única solución, la representación son dos rectas que se cortan
en un punto.
 COMPATIBLE INDETERMINADO
Tiene infinitas soluciones, la representación son dos rectas que coinciden.
 INCOMPATIBLE
No tiene solución, la representación son dos rectas paralelas.
METODOS PARA RESOLVER LOS SISTEMAS DE ECUACIONES
LINEALES
 Método de sustitución
 Método de igualación
 Método de reducción
 Método grafico
 Método de gauss
 Método de la matriz inversa
 Regla de cramer

5. SUSTITUCION
El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones con
cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente y a
continuación sustituirla en otra ecuación por su valor.
En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser
sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que
la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una
ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir
aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo, supongamos que
queremos resolver por sustitución este sistema
En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita y por ser la de menor
coeficiente y que posiblemente nos facilite más las operaciones, y la
despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.
El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita (y) en la otra
ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la (x).
Al resolver la ecuación obtenemos el resultado x=5, y si ahora sustituimos
esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales
obtendremos y=7, con lo que el sistema queda ya resuelto.
IGUALACION
El método de igualación se puede entender como un caso particular del
método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos
ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas
ecuaciones.
Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de
sustitución, si despejamos la incógnita (y) en ambas ecuaciones nos queda
de la siguiente manera:

6. Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte
izquierda, por lo que podemos afirmar que las partes derechas también son
iguales entre sí.
Una vez obtenido el valor de la incógnita (x), se sustituye su valor en una de
las ecuaciones originales, y se obtiene el valor de la (y).
La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio
para despejar (x) después de averiguar el valor de la (y).
REDUCCION
Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales,
siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales.
El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas,
consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante
productos), de manera que obtengamos dos ecuaciones en la que una misma
incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación,
se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación
de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita,
donde el método de resolución es simple.
Por ejemplo, en el sistema:
No tenemos más que multiplicar la primera ecuación por -2 para poder
cancelar la incógnita (y). Al multiplicar, dicha ecuación nos queda así:

7. Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una
nueva ecuación donde la incógnita (y) ha sido reducida y que, en este caso,
nos da directamente el valor de la incógnita (x):
El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita (x)
en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y
obtener así que el valor de (y) si sustituimos en la primera ecuación es igual
a:
METODO GRAFICO
Consiste en construir la gráfica de cada una de las ecuaciones del sistema.
El método (manualmente aplicado) solo resulta eficiente en el plano
cartesiano, es decir para un espacio de dimensión.
El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones mediante el método
gráfico se resuelve en los siguientes pasos:
1. Se despeja la incógnita en ambas ecuaciones.
2. Se construye para cada una de las dos ecuaciones de primer grado
obteniendo la tabla de valores correspondientes.
3. Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados.
En este último paso hay tres posibilidades:
1. Si ambas rectas se cortan, las coordenadas del punto de corte son los
únicos valores de las incógnitas (x,y). "Sistema compatible determinado".
2. Si ambas rectas son coincidentes, el sistema tiene infinitas soluciones que
son las respectivas coordenadas de todos los puntos de esa recta en la
que coinciden ambas. «Sistema compatible indeterminado».
3. Si ambas rectas son paralelas, el sistema no tiene solución en los reales
pero sí en los complejos.

8. METODO DE GAUSS
El método de eliminación de Gauss o simplemente método de Gauss consiste
en convertir un sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas, en uno
escalonado, en el que la primera ecuación tiene n incógnitas, la segunda
ecuación tiene n - 1 incógnitas, hasta la última ecuación, que tiene 1
incógnita. De esta forma, será fácil partir de la última ecuación e ir subiendo
para calcular el valor de las demás incógnitas.
EJEMPLO: Se reúnen 30 entre hombres, mujeres y niños. Si se sabe que
entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el doble de los niños.
También se sabe que entre hombres y mujeres se duplican al número de
niños. Plantear y resolver el sistema de ecuaciones.
X = número de hombres
Y = número de mujeres
Z = número de niños
Se reúnen 30 personas entre hombres, mujeres y niños:
X + Y + Z = 30;
Se sabe que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el doble
de los niños:
X + 3Y = 2Z + 20;

9. También se sabe que entre hombres y mujeres se duplican al número de
niños:
X + Y = 2Z;
Agrupando las tres ecuaciones tenemos el sistema, que ordenado resulta:
ELIMINACION DE GAUSS – JORDAN
Una variante de este método, denominada eliminación de Gauss-Jordan, es
un método aplicable únicamente a los sistemas lineales de ecuaciones, y
consistente en triangular la matriz aumentada del sistema mediante
transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola
incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la
matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reducción, pero ejecutado
de manera reiterada y siguiendo un cierto orden algorítmico

10. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES EN MATLAB
DETERMINANTE
Es un número asociado a una matriz cuadrada
El determinante de una matriz m×m se desarrolla en términos de una
combinación de determinantes de matrices de dimensión m-1×m-1 y así,
sucesivamente, hasta llegar a los determinantes de matrices 2×2.
Por ejemplo, el determinante de una matriz 3×3 es
El determinante se calcula mediante la siguiente fórmula
det(A)=n∑j=1(−1)1+ja1jdet(M1j)det(A)=∑j=1n(−1)1+ja1jdet(M1j)

11. Donde M1j es una submatriz obtenida eliminando la fila 1 y la columna j de la
matriz A
Tomemos la matriz cuadrada A de dimensión 4×4, la submatriz M12 que se
obtiene eliminando la primera fila y la segunda columna es
Definimos la función determinante que toma la matriz A de dimensión n×n y
produce matrices M1j de dimensión n-1×n-1
Calculamos el determinante de esta matriz utilizando la función determinante
En MATLAB la función det(A) calcula el determinante de la matriz cuadrada A.

12. Matriz inversa
Se denomina matriz identidad I a aquella matriz cuadrada de
dimensiones m×m en la cual los elementos de la diagonal valen 1 y el resto de
los elementos vale cero. MATLAB dispone de la función eye(m) para crear una
matriz cuadrada de dimensión m con los elementos de la diagonal principal unos
y el resto ceros.
El producto de la matriz identidad I por otra matriz A nos da la matriz A
Si la matriz A es cuadrada, se obtiene el mismo resultado efectuando el
producto A*I o I*A
Si A es una matriz cuadrada, B es su matriz inversa si el producto A*B=B*A=I
En MATLAB se puede obtener la matriz inversa de A elevando A a la potencia -
1, A-1 o bien, mediante la función inv(A)
Rango de una matriz

13. El rango de una matriz es el máximo número de filas linealmente independientes.
La función rank calcula el rango de una matriz. Sea la matriz A
>> A=[0 -1 2 1; 1 -1 0 -1; 3 1 2 0; 2 -3 2 -1];
>> rank(A)
ans = 3
Como podemos apreciar la fila cuatro es combinación lineal de la fila 1 y la fila
2:. a4j=a1j+2·a2j, j=1...4
División por la izquierda y por la derecha
La división por la izquierda se utiliza para resolver la ecuación AX=B. En esta
ecuación X es el vector columna de las incógnitas, B es el vector columna de los
términos independientes y A es una matriz cuadrada.
A-1
AX=IX=X
De modo que
X=A-1
B
En MATLAB esta última expresión se escribe utilizando el operador división por
la izquierda
X=AB

14. La división por la derecha se utiliza para resolver la ecuación XC=D. En esta
ecuación X y D son vectores fila y C es una matriz cuadrada.
XCC-1
=DC-1
X=DC-1
o bien, X=D/C (división por la derecha)
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES
Sistema de n ecuaciones con n incógnitas. Regla de Cramer
Consideremos un sistema de n ecuaciones con n incógnitas cuya solución es
única.
Llamemos A a la matriz de los coeficientes, cuyo determinante d es distinto de
cero
La regla de Cramer nos dice que cada una de las incógnitas xj se puede obtener
a partir del determinante de la matriz en la que se ha sustituido la columna j de
la matriz A por el vector columna de los términos independientes b.

15. Sea el sistema
3x1−x2=5
−2x1+x2+x3=0
2x1−x2+4x3=15
A=[3 -1 0; -2 1 1; 2 -1 4];
b=[5;0;15];
n=length(b);
d=det(A);
x=zeros(n,1);
for i=1:n
Ab=[A(:,1:i-1),b,A(:,i+1:n)];
x(i)=det(Ab)/d;
end
disp('Solución')
disp(x);
Solución
2.0000
1.0000
3.0000

16. Sistema de m ecuaciones con n incógnitas
Sea el sistema
que podemos escribir Ax=b, donde A es una matriz de
dimensión m×n, y x y b son dos vectores columna de
longitudes n y m respectivamente. Tenemos un sistema de m ecuaciones
con n incógnitas.
1. El sistema tiene solución si y solo si el rango de la matriz A es igual al
rango de la matriz ampliada A|b. Sistema compatible.
2. Si el rango es igual al número n de incógnitas el sistema tiene una
solución única. Sistema compatible determinado
3. Si el rango es menor que el número n de incógnitas entonces hay un
número infinito de soluciones. Sistema compatible indeterminado.
Vamos a ver algunos ejemplos:
1.-Sea el sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas
En forma matricial se escribe

17. La matriz A y la matriz ampliada A|b son respectivamente
>> A=[2 1; 2 -1; 1 -2];
>> b=[3;0;4];
>> Ab=[A b]
Ab =
2 1 3
2 -1 0
1 -2 4
>> rank(A)
ans = 2
>> rank(Ab)
ans = 3
El sistema no tiene solución (primer caso). Cada una de las ecuaciones del
sistema representa una recta, identificamos x1 con x y x2 con y. En la figura,
vemos la representación gráfica de las rectas: y=3-2x, y=2x, y=x/2-2; que como
vemos no se cortan en un punto.

18. line([-5,5],[13,-7])
line([-5,5],[-10,10])
line([-5,5],[-9/2,1/2])
xlabel('x')
ylabel('y')
title('No tiene solución')
2.-Sea el sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas
>> A=[2 1; 4 2; 6 3];

19. >> b=[3;6;9];
>> Ab=[A b];
>> rank(A)
ans = 1
>> rank(Ab)
ans = 1
El sistema tiene solución, pero como el rango es menor que el número de
incógnitas hay un número infinito de soluciones (tercer caso).
Tenemos tres ecuaciones iguales, la segunda es igual a la primera multiplicada
por dos y la tercera es igual a la primera multiplicada por tres. En la figura, se
representa la recta y=3-2x, que es la solución del sistema de ecuaciones.
line([-5,5],[13,-7])
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Infinitas soluciones')

20. 3.-Sea el sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas y su representación
matricial
>> A=[2 1; 2 -1; 1 -2];
>> b=[3;5;4];
>> Ab=[A b];
>> rank(A)
ans = 2
>> rank(Ab)
ans = 2
El sistema tiene solución única ya que el rango es igual al número de incógnitas
(segundo caso).
>> X=Ab
X = 2.0000
-1.0000
En la figura vemos la representación gráfica de las rectas: y=3-2x, y=2x-5, y=x/2-
2; que como vemos se cortan en un el punto x=2, y=-1.
line([-5,5],[13,-7])
line([-5,5],[-15,5])
line([-5,5],[-9/2,1/2])
xlabel('x')
ylabel('y')
title('Solución única')