Programacion numerica 1

Integrate: Yhonny Ochoa
CI: 18085535
Profesor : Pedro Beltran
Programación Numerica

La presente investigación emano como actividad de la materia programación numérica esta planteado.
La publicación en Internet para que mismo sea utilizado por quien lo requiera. El mismo costa de
material introductorio y fundamentos de los métodos numéricos, cada tema contiene una breve
definición de Los métodos siguientes Sistemas de ecuaciones lineales, Eliminación de Gauss,
Gauss - Jordan y Gauss – seidel. Igual mentes se plantean ejercicios seguidos de su revisión, así como
la introducción esta planteada para dar motivación y orientación necesario para la elección de los
métodos numéricos apropiados para un problema en particular. Además se resumen algunas formulas
importantes.
En cada tema se incluyen casos para demostrar la utilidad practica de los métodos numéricos. Se realizo
un gran esfuerzo de un material de estudio para la materia de programación numérica.
Introducción

Sistemas de ecuaciones lineales
Es, un conjunto de varias ecuaciones lineales.
Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si tienen las
mismas soluciones, o geométricamente representan la
misma recta o plano.
Definición

Objetivo
El objetivo del tema es el estudio de los sistemas de
ecuaciones lineales, es decir, un conjunto de varias ecuaciones
lineales. Diremos que dos ecuaciones son equivalentes si tiene
n las mismas soluciones, o geométricamente
representan la misma recta o plano.
a11 · x1 + a12 · x2 + a13 · x3 + ··· + a1n · xn = b1
a21 · x1 + a22 · x2 + a23 · x3 + ··· + a2n · xn = b2
am1 · x1 + am2 · x2 + am3 · x3 + ··· + amn · xn = bm
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones
lineales de la forma:
En este caso tenemos m ecuaciones y n incógnitas. Los números reales aij se denominan
coeficientes y los xi se denominan incógnitas (o números a determinar) y bj se denominan
términos independientes.

Expresión matricial de un sistema
Cualquier sistema de ecuaciones lineales se
puede expresar en forma matricial del modo
La matiz A= Se llama matriz de coeficientes, la matriz X=
Se llama la matriz de incógnitas, y la matriz B = Se llama matriz de términos independientes

Expresión matricial de un sistema
La matriz formada por A y B conjuntamente, es decir
Se llama matriz ampliada del sistema y se representara por (A,B) o bien por A*.
Ejemplo: El sistema: Escrito matricialmente es:
Y la matriz aplicada es:

Tipos de sistemas
En general, buscaremos las soluciones de los sistemas en los
números reales R. Dependiendo del posible numero de tales s
oluciones reales que tenga un sistema, ´estos de pueden clasif
icar en:
Incompatibles (No tienen solución) SI
Compatibles (Tienen Solución)
Determinados
• Solución única S.C.D
Indeterminados
• Infinitas soluciones S.C.I

Sistemas con dos incógnitas
Los sistemas mas sencillos son aquellos en los que solo hay
dos incógnitas y 2 ecuaciones, y que ya son conocidos de
cursos pasados. Hay varios sistemas para resolverlos, los mas
habituales:
Reducción
Igualación
Sustitución

Como cada ecuación lineal con 2 incógnitas se interpreta geo
métricamente como una recta, el estudio de la solución del sis
tema se limita a estudiar la posición de 2 rectas en el plano.
Veamos algunos ejemplos con los tres casos que se pueden
presentar. Resolver e interpretar el sistema:
Por reducción:

Resolver e interpretar el sistema:
Por igualación De donde
Lo cual es imposible y por tanto el sistema no tiene solución, es un sistema incompatible y por
tanto las rectas son paralelas. Geométricamente

Resolver e interpretar el sistema:
Por sustitución. Como x=-2y -3 resulta 3(-2y-3) + 6y = -9, es decir -6y -9+ 6y= -9, por tanto 0y = 0, 0 =0.
Como 0 = 0 es una igualdad siempre cierta, quiere decir que el sistema tiene infinitas soluciones,
Es compatible indeterminado, o que las rectas son las mismas.

Método de eliminación Gaussiana
Definición
x1+2x2+3x3= 9
4x1+5x2+6x3= 24
3x1+x2+2x3= 4
En forma general este método propone la eliminación progresiva
de variables en el sistema de ecuaciones, hasta tener sólo una
ecuación con una incógnita. Una vez resuelta esta, se procede
por sustitución regresiva hasta obtener los valores de todas las
variables.
Sea por ejemplo el siguiente sistema de ecuaciones:
Lo que buscamos son 3 números, que satisfagan a las tres
ecuaciones. El método de solución será simplificar las ecuaciones
, de tal modo que las soluciones se puedan identificar con
facilidad. Se comienza dividiendo la primera ecuación entre 2, ob
teniendo:

-4x1-8x2-12x3=-36
4x1+5x2+6x3=24
sumándolas resulta
-3x2-6x3=-12
Se simplificará el sistema si multiplicamos por -4 ambos lados
de la primera ecuación y sumando esta a la segunda. Entonces:
x1+2x2+3x3= 9
0x1-3x2-6x3= -12
3x1+x2-2x3= 4
La nueva ecuación se puede sustituir por cualquiera de las dos
. Ahora tenemos:

x1+2x2+3x3= 9
0x1-3x2-6x3= -12
0x1-5x2-11x3=-23
Luego, la primera se multiplica por -3 y se le suma a la tercera,
obteniendo:
Acto seguido, la segunda ecuación se divide entre -3.
Ahora se multiplica por 5 y se le suma a la tercera:
x1+2x2+3x3= 9
0x1+x2+2x3= 4
0x1+0x2+x3= 3

En este momento ya tenemos el valor de x3, ahora simplemente
se procede a hacer la sustitución hacia atrás, y automáticamente
se van obteniendo los valores de las otras incógnitas. Se obtendrá
Se ha visto que al multiplicar o dividir los lados de una ecuación por un número diferente de cero
se obtiene una ecuación nueva y válida.
x3= 3
x2= 4-2(x3) = -2
x1= 9-3(x3)-2(x2) = 4

Método de eliminación Gauss-Jordan
La diferencia entre los métodos de Gauss y de Gauss-Jordan
es que el primero finaliza al obtener un sistema equivalente
en forma escalonada, mientras que el segundo finaliza al obten
er un sistema equivalente en forma escalonada reducida.
Dado un sistema AX=bAX=b, el método de
eliminación de Gauss-Jordan consiste en
hallar la forma escalonada reducida de la
matriz ampliada del sistema, A∗=(A|b)A∗=(A|b).
Definición
Como hemos visto, el método de Gauss transforma la matriz de coeficientes en una matriz triangular superior.
El método de Gauss-Jordan continúa el proceso de transformación hasta obtener una matriz diagonal unitaria
(aij=0 para cualquier ).

Veamos el método de Gauss-Jordan siguiendo.
Aplicando el método de Gauss llegamos a la siguiente
ecuación:
Ejemplo

Ejemplo
Ahora seguiremos un procedimiento similar al empleado en el método de Gauss.
Tomaremos como pivote el elemento a44=-3; multiplicamos la cuarta ecuación por
y la restamos a la primera:

Ejemplo
Realizamos la misma operación con la segunda y
tercera fila, obteniendo:

Ahora tomamos como pivote el elemento a33=2,
multiplicamos la tercera ecuación por y la restamos a
la primera:
Ejemplo

Ejemplo
Repetimos la operación con la segunda fila:

Finalmente, tomamos como pivote a22=-4, multiplicamos
la segunda ecuación por y la sumamos a la primera:
Ejemplo

Método de eliminación Gauss-Seidel
Este método es iterativo o de aproximación y es similar a las
técnicas para obtener raíces vistas en el tema anterior.
Aquellos métodos consisten en la determinación de un valor
inicial a partir del cual, mediante una técnica sistemática
se obtiene una mejor aproximación a la raíz.
La razón por la cual los métodos iterativos son útiles en la disminución
de los errores de redondeo en sistemas, se debe a que un método de
aproximación se puede continuar hasta que converga dentro de algun
a tolerancia de error previamente especificada.
Las técnicas iterativas se emplean rara vez para resolver proble
mas de dimensiones pequeñas ya que el tiempo requerido pa
ra lograr una precisión suficiente excede al de las técnicas dire
ctas.
Definición

Este método iterativo utiliza la misma transformación que el
método de Jacobi, de hecho es una mejora al método de Jacobi.
Sin embargo, para sistemas grandes con un gran porcentaje d
e ceros, ésta técnica es eficiente.
Los sistemas de este tipo surgen frecuentemente en la solución
numérica de problemas de valores frontera y de ecuaciones
diferenciales parciales.
Definición

Definición
La mejora consiste en utilizar la incógnita encontrada, en la mis
ma iteración para calcular la siguiente incógnita. Por ejemplo, en
el método de Jacobi se obtiene en el primer cálculo xi+1, pero
este valor de x no se utiliza sino hasta la siguiente iteración.
En el método de Gauss-Seidel en lugar de eso se utiliza de xi
+1 en lugar de xi en forma inmediata
para calcular el valor de yi+1 de igual manera procede con las
siguientes variables; siempre se utilizan las variables recien
calculadas.
Entrada el número de ecuaciones o incógnitas n; los elementos de axn
de la matriz A; los elementos bi, 1 ? i ? n de b; los elementos X0i, 1 ?
i ? n de X0 = x0;
la tolerancia Es (error sugerido); el número máximo de iteraciones, iter.

Algoritmo
o1) Se debe despejar da cada ecuación despejar la variable so
bre la diagonal principal.
o2) Dar un valor inicial a las incógnitas (X generalmente se est
ablecen ceros).
o3) Sustituir los valores iniciales en la primera ecuación para o
btener un nuevo valor para la primera incógnita.
o4) Ese nuevo valor es usado para obtener el valor de la sigui
ente incógnita. Este procedimiento se repite hasta obtener lo
s nuevos valores de todas las incógnitas despejadas.
o5) Se evalúa la aproximación relativa de todas las incógnitas
hasta que la solución converja bastante cerca de la solución
o real, según la tolerancia establecida para el método.

Ejemplo
1ra Iteración
Error

Ejemplo 2da Iteración
Error

Ejemplo
i Xi1 Xi1 Xi1 Error
0
1
2
3
4
5
0
1,4
0,95
0,9333
0,9328
0,93283
0
1,2
1,245
1,2461
1,24628
1,246263
0
0,9
0,9315
0,932827
0,932825
0,932837
0
2,0518
0,4533
0,0167
0,00049
0.000056<Error
Tabulado

Solución
La solución por el método de Gauss-Seidel es:
(x1= 0,93283; x2 = 1,246263; x3=0,932837) en 5 iteraciones
método de Jacobi es (x1= 0,932845; x2 = 1,246251; x3=0,932845) en 16 iteraciones.
En conclusión el método de Gauss Seidel comienza mucho mas rápido.

Conclusión
Una vez culminada la siguiente investigación se dan ciertos aspectos de los cuales
Podemos mencionar que es posibles utilizar diferentes métodos para un sistema de ecuación lineal
Pero siempre se debe usar el que tenga el menor error posible es decir debemos utilizar en método
apropiado para nuestros análisis numéricos, su pueden conseguir resultado con un numero menor
de iteraciones también ha quedado claro las diferencia entre los métodos Gauss - Jordan y Gauss – seidel
Esta presentación fue realizada con el objetivo de ayudar a comprender los métodos numéricos los diferente
tipos de resolución de un SEL Sistema de Ecuación Lineal, Reducción , sustitución e igualación.
Esperamos esta presentación sea de ayuda para nuevas generaciones de ingenieros.

Bibliografía
Electrónicos
https://www.matesfacil.com/ESO/Ecuaciones/resueltos-sistemas-ecuaciones.htmlDisponible en
Eliminación de Gauss
https://www.matesfacil.com/matrices/resueltos-matrices-SEL-GAUSS.htmlDisponible en
https://sites.google.com/site/metalmetnumericos/home/unidad-3/3-2-metodo-de-gauss-jordanDisponible en
Gauss - Jordan
https://jhonnynina.files.wordpress.com/2009/05/sistema-de-ecuaciones.pdfDisponible en
Gauss - seidel

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