Matrices, propiedades de las matrices, Sistemas de ecuaciones lineales. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Martha C. Moreno

1. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Martha C. Moreno
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

2. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Martha C. Moreno
Departamento de Matem´aticas
Universidad Nacional de Colombia
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

3. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Definici´on
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

4. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Definici´on
Un conjunto finito de ecuaciones lineales en las variables
x1, x2, ....., xn se denomina:
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

5. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Definici´on
Un conjunto finito de ecuaciones lineales en las variables
x1, x2, ....., xn se denomina: Un Sistema de Ecuaciones Lineales o
Sistema lineal
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

6. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Definici´on
Un conjunto finito de ecuaciones lineales en las variables
x1, x2, ....., xn se denomina: Un Sistema de Ecuaciones Lineales o
Sistema lineal
En general un sistema lineal de m ecuaciones y n inc´ognitas se
puede escribir como:
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

7. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Definici´on
Un conjunto finito de ecuaciones lineales en las variables
x1, x2, ....., xn se denomina: Un Sistema de Ecuaciones Lineales o
Sistema lineal
En general un sistema lineal de m ecuaciones y n inc´ognitas se
puede escribir como:


a11x1 + a12x2 + a13x3 + ..... + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ..... + a2nxn = b2
...
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ..... + amnxn = bm
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

8. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
De manera equivalente se puede expresar como:
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

9. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
De manera equivalente se puede expresar como:





a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
...
am1 am2 am3 · · · amn












x1
x2
x3
...
xn







=







b1
b2
b3
...
bm







Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

10. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
De manera equivalente se puede expresar como:





a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
...
am1 am2 am3 · · · amn












x1
x2
x3
...
xn







=







b1
b2
b3
...
bm







AX = B
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

11. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
De manera equivalente se puede expresar como:





a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
...
am1 am2 am3 · · · amn












x1
x2
x3
...
xn







=







b1
b2
b3
...
bm







AX = B
Si B = 0 el sistema se denomina Homog´eneo
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

12. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
De manera equivalente se puede expresar como:





a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
...
am1 am2 am3 · · · amn












x1
x2
x3
...
xn







=







b1
b2
b3
...
bm







AX = B
Si B = 0 el sistema se denomina Homog´eneo
Si B = 0 es No Homog´eneo
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

13. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Una soluci´on del sistema AX = B es una sucesi´on de n´umeros
c1, c2, .....cn tales que la igualdad AX = B se satisface si x1 = c1,
x2 = c2,..........,xn = cn, es decir si:
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

14. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Una soluci´on del sistema AX = B es una sucesi´on de n´umeros
c1, c2, .....cn tales que la igualdad AX = B se satisface si x1 = c1,
x2 = c2,..........,xn = cn, es decir si:





a11 a12 a13 · · · a1n
a21 a22 a23 · · · a2n
...
am1 am2 am3 · · · amn












c1
c2
c3
...
cn







=







b1
b2
b3
...
bm







Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

15. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

16. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Consideremos el sistema:
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

17. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Consideremos el sistema:


x + 2y + z = 3
−x + y + 2z = 6
2x + y − 2z = −5
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

18. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Consideremos el sistema:


x + 2y + z = 3
−x + y + 2z = 6
2x + y − 2z = −5
En notaci´on matricial es:
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

19. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Consideremos el sistema:


x + 2y + z = 3
−x + y + 2z = 6
2x + y − 2z = −5
En notaci´on matricial es:

1 2 1
−1 1 2
2 1 −2




x
y
z

 =


3
6
−5


Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

20. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Consideremos el sistema:


x + 2y + z = 3
−x + y + 2z = 6
2x + y − 2z = −5
En notaci´on matricial es:

1 2 1
−1 1 2
2 1 −2




x
y
z

 =


3
6
−5

 El sistema es No Homog´eneo
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

21. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Consideremos el sistema:


x + 2y + z = 3
−x + y + 2z = 6
2x + y − 2z = −5
En notaci´on matricial es:

1 2 1
−1 1 2
2 1 −2




x
y
z

 =


3
6
−5

 El sistema es No Homog´eneo
¿X =


−1
1
2

 es soluci´on?
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

22. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Consideremos el sistema:


x + 2y + z = 3
−x + y + 2z = 6
2x + y − 2z = −5
En notaci´on matricial es:

1 2 1
−1 1 2
2 1 −2




x
y
z

 =


3
6
−5

 El sistema es No Homog´eneo
¿X =


−1
1
2

 es soluci´on?
¿X =


1
2
−3

 es soluci´on?
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

23. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Consideremos los siguientes sistemas:
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

24. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Consideremos los siguientes sistemas:
1.
x + y = 3
x − y = −1
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

25. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Consideremos los siguientes sistemas:
1.
x + y = 3
x − y = −1
Soluci´on x = 1, y = 2
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

26. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Consideremos los siguientes sistemas:
1.
x + y = 3
x − y = −1
Soluci´on x = 1, y = 2
-1
0
1
2
3
4
5
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

27. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Consideremos los siguientes sistemas:
1.
x + y = 3
x − y = −1
Soluci´on x = 1, y = 2
-1
0
1
2
3
4
5
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

28. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Consideremos los siguientes sistemas:
1.
x + y = 3
x − y = −1
Soluci´on x = 1, y = 2
-1
0
1
2
3
4
5
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

29. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Consideremos los siguientes sistemas:
1.
x + y = 3
x − y = −1
Soluci´on x = 1, y = 2
-1
0
1
2
3
4
5
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

30. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
2.
x + y = 3
x + y = 6
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

31. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
2.
x + y = 3
x + y = 6
No existen reales x y y que lo satisfagan
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

32. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
2.
x + y = 3
x + y = 6
No existen reales x y y que lo satisfagan
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

33. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
2.
x + y = 3
x + y = 6
No existen reales x y y que lo satisfagan
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

34. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
2.
x + y = 3
x + y = 6
No existen reales x y y que lo satisfagan
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

35. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
3.
x + y = 3
2x + 2y = 6
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

36. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
3.
x + y = 3
2x + 2y = 6
x = 1, y = 2,
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

37. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
3.
x + y = 3
2x + 2y = 6
x = 1, y = 2, x = −1, y = 4,
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

38. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
3.
x + y = 3
2x + 2y = 6
x = 1, y = 2, x = −1, y = 4,Hay mas?
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

39. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
3.
x + y = 3
2x + 2y = 6
x = 1, y = 2, x = −1, y = 4,Hay mas?
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

40. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
3.
x + y = 3
2x + 2y = 6
x = 1, y = 2, x = −1, y = 4,Hay mas?
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

41. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
3.
x + y = 3
2x + 2y = 6
x = 1, y = 2, x = −1, y = 4,Hay mas?
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

42. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

43. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
En el caso de un sistema lineal, se pueden presentar alguna de las
tres situaciones descritas:
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

44. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
En el caso de un sistema lineal, se pueden presentar alguna de las
tres situaciones descritas: Tiene ´unica soluci´on o
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

45. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
En el caso de un sistema lineal, se pueden presentar alguna de las
tres situaciones descritas: Tiene ´unica soluci´on o Tiene infinitas
soluciones o
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

46. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
En el caso de un sistema lineal, se pueden presentar alguna de las
tres situaciones descritas: Tiene ´unica soluci´on o Tiene infinitas
soluciones o No tiene soluci´on.
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

47. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
En el caso de un sistema lineal, se pueden presentar alguna de las
tres situaciones descritas: Tiene ´unica soluci´on o Tiene infinitas
soluciones o No tiene soluci´on.
En general los sistemas se clasificaran en:
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

48. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
En el caso de un sistema lineal, se pueden presentar alguna de las
tres situaciones descritas: Tiene ´unica soluci´on o Tiene infinitas
soluciones o No tiene soluci´on.
En general los sistemas se clasificaran en:
Consistentes:
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

49. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
En el caso de un sistema lineal, se pueden presentar alguna de las
tres situaciones descritas: Tiene ´unica soluci´on o Tiene infinitas
soluciones o No tiene soluci´on.
En general los sistemas se clasificaran en:
Consistentes: Tienen soluci´on;
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

50. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
En el caso de un sistema lineal, se pueden presentar alguna de las
tres situaciones descritas: Tiene ´unica soluci´on o Tiene infinitas
soluciones o No tiene soluci´on.
En general los sistemas se clasificaran en:
Consistentes: Tienen soluci´on; Unica o
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

51. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
En el caso de un sistema lineal, se pueden presentar alguna de las
tres situaciones descritas: Tiene ´unica soluci´on o Tiene infinitas
soluciones o No tiene soluci´on.
En general los sistemas se clasificaran en:
Consistentes: Tienen soluci´on; Unica o Infinitas
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

52. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
En el caso de un sistema lineal, se pueden presentar alguna de las
tres situaciones descritas: Tiene ´unica soluci´on o Tiene infinitas
soluciones o No tiene soluci´on.
En general los sistemas se clasificaran en:
Consistentes: Tienen soluci´on; Unica o Infinitas
Inconsistentes:
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

53. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
En el caso de un sistema lineal, se pueden presentar alguna de las
tres situaciones descritas: Tiene ´unica soluci´on o Tiene infinitas
soluciones o No tiene soluci´on.
En general los sistemas se clasificaran en:
Consistentes: Tienen soluci´on; Unica o Infinitas
Inconsistentes:No tienen soluci´on.
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

54. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
En el caso de un sistema lineal, se pueden presentar alguna de las
tres situaciones descritas: Tiene ´unica soluci´on o Tiene infinitas
soluciones o No tiene soluci´on.
En general los sistemas se clasificaran en:
Consistentes: Tienen soluci´on; Unica o Infinitas
Inconsistentes:No tienen soluci´on.
Nota
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

55. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
En el caso de un sistema lineal, se pueden presentar alguna de las
tres situaciones descritas: Tiene ´unica soluci´on o Tiene infinitas
soluciones o No tiene soluci´on.
En general los sistemas se clasificaran en:
Consistentes: Tienen soluci´on; Unica o Infinitas
Inconsistentes:No tienen soluci´on.
Nota
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

56. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
En el caso de un sistema lineal, se pueden presentar alguna de las
tres situaciones descritas: Tiene ´unica soluci´on o Tiene infinitas
soluciones o No tiene soluci´on.
En general los sistemas se clasificaran en:
Consistentes: Tienen soluci´on; Unica o Infinitas
Inconsistentes:No tienen soluci´on.
Nota
Los Sistemas Homog´eneos:
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

57. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
En el caso de un sistema lineal, se pueden presentar alguna de las
tres situaciones descritas: Tiene ´unica soluci´on o Tiene infinitas
soluciones o No tiene soluci´on.
En general los sistemas se clasificaran en:
Consistentes: Tienen soluci´on; Unica o Infinitas
Inconsistentes:No tienen soluci´on.
Nota
Los Sistemas Homog´eneos: AX = 0
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

58. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
En el caso de un sistema lineal, se pueden presentar alguna de las
tres situaciones descritas: Tiene ´unica soluci´on o Tiene infinitas
soluciones o No tiene soluci´on.
En general los sistemas se clasificaran en:
Consistentes: Tienen soluci´on; Unica o Infinitas
Inconsistentes:No tienen soluci´on.
Nota
Los Sistemas Homog´eneos: AX = 0 Son consistentes,
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

59. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
En el caso de un sistema lineal, se pueden presentar alguna de las
tres situaciones descritas: Tiene ´unica soluci´on o Tiene infinitas
soluciones o No tiene soluci´on.
En general los sistemas se clasificaran en:
Consistentes: Tienen soluci´on; Unica o Infinitas
Inconsistentes:No tienen soluci´on.
Nota
Los Sistemas Homog´eneos: AX = 0 Son consistentes,
X = 0 es una soluci´on, se denomina
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

60. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
En el caso de un sistema lineal, se pueden presentar alguna de las
tres situaciones descritas: Tiene ´unica soluci´on o Tiene infinitas
soluciones o No tiene soluci´on.
En general los sistemas se clasificaran en:
Consistentes: Tienen soluci´on; Unica o Infinitas
Inconsistentes:No tienen soluci´on.
Nota
Los Sistemas Homog´eneos: AX = 0 Son consistentes,
X = 0 es una soluci´on, se denomina Soluci´on trivial,
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61. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
En el caso de un sistema lineal, se pueden presentar alguna de las
tres situaciones descritas: Tiene ´unica soluci´on o Tiene infinitas
soluciones o No tiene soluci´on.
En general los sistemas se clasificaran en:
Consistentes: Tienen soluci´on; Unica o Infinitas
Inconsistentes:No tienen soluci´on.
Nota
Los Sistemas Homog´eneos: AX = 0 Son consistentes,
X = 0 es una soluci´on, se denomina Soluci´on trivial,puede pasar
que sea la ´unica o que tenga infinitas soluciones.
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

62. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejercicio
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

63. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejercicio
Sean X1 y X2 soluciones del sistema homog´eneo:
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

64. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejercicio
Sean X1 y X2 soluciones del sistema homog´eneo:
AX = 0
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

65. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejercicio
Sean X1 y X2 soluciones del sistema homog´eneo:
AX = 0
Mostrar que:
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

66. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejercicio
Sean X1 y X2 soluciones del sistema homog´eneo:
AX = 0
Mostrar que:
X1 − X2 es tambi´en soluci´on.
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

67. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejercicio
Sean X1 y X2 soluciones del sistema homog´eneo:
AX = 0
Mostrar que:
X1 − X2 es tambi´en soluci´on.
2X1 + 3X2 es tambi´en soluci´on.
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

68. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejercicio
Sean X1 y X2 soluciones del sistema homog´eneo:
AX = 0
Mostrar que:
X1 − X2 es tambi´en soluci´on.
2X1 + 3X2 es tambi´en soluci´on.
En general cualquier combinaci´on lineal (c.l) de X1 y X2 es
tambi´en soluci´on, es decir:
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

69. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejercicio
Sean X1 y X2 soluciones del sistema homog´eneo:
AX = 0
Mostrar que:
X1 − X2 es tambi´en soluci´on.
2X1 + 3X2 es tambi´en soluci´on.
En general cualquier combinaci´on lineal (c.l) de X1 y X2 es
tambi´en soluci´on, es decir:
αX1 + βX2 con α, β ∈ R es soluci´on.
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

70. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Teorema
Sea AX = B un sistema de ecuaciones lineales, entonces es
verdadera solo una de las siguientes afirmaciones:
Tiene ´unica soluci´on
Es inconsistente
Tiene infinitas soluciones
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

71. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Teorema
Sea AX = B un sistema de ecuaciones lineales, entonces es
verdadera solo una de las siguientes afirmaciones:
Tiene ´unica soluci´on
Es inconsistente
Tiene infinitas soluciones
Veamos la tercera opci´on:
Supongamos que X1 y X2 son soluciones con X1 = X2, entonces:
X0 = X1 − X2 = O, veamos que X0 es soluci´on del sistema
Homog´eneo AX = O
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

72. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Teorema
Sea AX = B un sistema de ecuaciones lineales, entonces es
verdadera solo una de las siguientes afirmaciones:
Tiene ´unica soluci´on
Es inconsistente
Tiene infinitas soluciones
Veamos la tercera opci´on:
Supongamos que X1 y X2 son soluciones con X1 = X2, entonces:
X0 = X1 − X2 = O, veamos que X0 es soluci´on del sistema
Homog´eneo AX = O
AX0 = A(X1 − X2) = AX1 − AX2 =
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

73. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Teorema
Sea AX = B un sistema de ecuaciones lineales, entonces es
verdadera solo una de las siguientes afirmaciones:
Tiene ´unica soluci´on
Es inconsistente
Tiene infinitas soluciones
Veamos la tercera opci´on:
Supongamos que X1 y X2 son soluciones con X1 = X2, entonces:
X0 = X1 − X2 = O, veamos que X0 es soluci´on del sistema
Homog´eneo AX = O
AX0 = A(X1 − X2) = AX1 − AX2 = B − B = O
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

74. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Teorema
Sea AX = B un sistema de ecuaciones lineales, entonces es
verdadera solo una de las siguientes afirmaciones:
Tiene ´unica soluci´on
Es inconsistente
Tiene infinitas soluciones
Veamos la tercera opci´on:
Supongamos que X1 y X2 son soluciones con X1 = X2, entonces:
X0 = X1 − X2 = O, veamos que X0 es soluci´on del sistema
Homog´eneo AX = O
AX0 = A(X1 − X2) = AX1 − AX2 = B − B = O
Consideremos ahora X1 + kX0 con k ∈ R
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

75. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Teorema
Sea AX = B un sistema de ecuaciones lineales, entonces es
verdadera solo una de las siguientes afirmaciones:
Tiene ´unica soluci´on
Es inconsistente
Tiene infinitas soluciones
Veamos la tercera opci´on:
Supongamos que X1 y X2 son soluciones con X1 = X2, entonces:
X0 = X1 − X2 = O, veamos que X0 es soluci´on del sistema
Homog´eneo AX = O
AX0 = A(X1 − X2) = AX1 − AX2 = B − B = O
Consideremos ahora X1 + kX0 con k ∈ R
A(X1 + kX0) = AX1 + kAX0 =
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

76. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Teorema
Sea AX = B un sistema de ecuaciones lineales, entonces es
verdadera solo una de las siguientes afirmaciones:
Tiene ´unica soluci´on
Es inconsistente
Tiene infinitas soluciones
Veamos la tercera opci´on:
Supongamos que X1 y X2 son soluciones con X1 = X2, entonces:
X0 = X1 − X2 = O, veamos que X0 es soluci´on del sistema
Homog´eneo AX = O
AX0 = A(X1 − X2) = AX1 − AX2 = B − B = O
Consideremos ahora X1 + kX0 con k ∈ R
A(X1 + kX0) = AX1 + kAX0 = B + kO = B,
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

77. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Teorema
Sea AX = B un sistema de ecuaciones lineales, entonces es
verdadera solo una de las siguientes afirmaciones:
Tiene ´unica soluci´on
Es inconsistente
Tiene infinitas soluciones
Veamos la tercera opci´on:
Supongamos que X1 y X2 son soluciones con X1 = X2, entonces:
X0 = X1 − X2 = O, veamos que X0 es soluci´on del sistema
Homog´eneo AX = O
AX0 = A(X1 − X2) = AX1 − AX2 = B − B = O
Consideremos ahora X1 + kX0 con k ∈ R
A(X1 + kX0) = AX1 + kAX0 = B + kO = B, es decir es soluci´on
del sistema AX = B
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

78. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Definici´on
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

79. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Definici´on
Una matriz A de tama˜no m × n est´a en forma Escalonada por filas
cuando satisface:
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

80. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Definici´on
Una matriz A de tama˜no m × n est´a en forma Escalonada por filas
cuando satisface:
Todas las filas que constan s´olo de ceros, si las hay, est´an en
la parte inferior de la matriz.
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

81. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Definici´on
Una matriz A de tama˜no m × n est´a en forma Escalonada por filas
cuando satisface:
Todas las filas que constan s´olo de ceros, si las hay, est´an en
la parte inferior de la matriz.
El primer elemento no nulo de cada fila es 1 y se denomina
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

82. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Definici´on
Una matriz A de tama˜no m × n est´a en forma Escalonada por filas
cuando satisface:
Todas las filas que constan s´olo de ceros, si las hay, est´an en
la parte inferior de la matriz.
El primer elemento no nulo de cada fila es 1 y se denomina
uno principal de su fila.
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

83. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Definici´on
Una matriz A de tama˜no m × n est´a en forma Escalonada por filas
cuando satisface:
Todas las filas que constan s´olo de ceros, si las hay, est´an en
la parte inferior de la matriz.
El primer elemento no nulo de cada fila es 1 y se denomina
uno principal de su fila.
El uno principal de cada fila debe estar a la derecha del uno
principal de la fila inmediatamente anterior.
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

84. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

85. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
A =


1 3 −1
0 0 1
0 0 0


Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

86. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
A =


1 3 −1
0 0 1
0 0 0

 Escalonada
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

87. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
A =


1 3 −1
0 0 1
0 0 0

 Escalonada
A =


1 0 4 3
0 1 3 2
0 0 0 1


Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

88. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
A =


1 3 −1
0 0 1
0 0 0

 Escalonada
A =


1 0 4 3
0 1 3 2
0 0 0 1

 Escalonada
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

89. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
A =


1 3 −1
0 0 1
0 0 0

 Escalonada
A =


1 0 4 3
0 1 3 2
0 0 0 1

 Escalonada
A =


1 7 −4
1 0 1
0 0 0


Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

90. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
A =


1 3 −1
0 0 1
0 0 0

 Escalonada
A =


1 0 4 3
0 1 3 2
0 0 0 1

 Escalonada
A =


1 7 −4
1 0 1
0 0 0

 No Escalonada
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

91. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Definici´on
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

92. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Definici´on
Una matriz A de tama˜no m × n est´a en forma Escalonada
Reducida por filas cuando satisface:
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

93. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Definici´on
Una matriz A de tama˜no m × n est´a en forma Escalonada
Reducida por filas cuando satisface:
Es Escalonada por filas
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

94. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Definici´on
Una matriz A de tama˜no m × n est´a en forma Escalonada
Reducida por filas cuando satisface:
Es Escalonada por filas
Si una columna contiene un uno principal en alguna fila,
entonces el resto de entradas de esta columna deben ser ceros.
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

95. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

96. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
A =


1 0 0
0 0 1
0 0 0


Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

97. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
A =


1 0 0
0 0 1
0 0 0

 Escalonada Reducida
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

98. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
A =


1 0 0
0 0 1
0 0 0

 Escalonada Reducida
A =


1 0 4 0
0 1 3 0
0 0 0 1


Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

99. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
A =


1 0 0
0 0 1
0 0 0

 Escalonada Reducida
A =


1 0 4 0
0 1 3 0
0 0 0 1

 Escalonada Reducida
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

100. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
A =


1 0 0
0 0 1
0 0 0

 Escalonada Reducida
A =


1 0 4 0
0 1 3 0
0 0 0 1

 Escalonada Reducida
A =


1 0 −4
0 1 0
0 0 1


Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

101. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
A =


1 0 0
0 0 1
0 0 0

 Escalonada Reducida
A =


1 0 4 0
0 1 3 0
0 0 0 1

 Escalonada Reducida
A =


1 0 −4
0 1 0
0 0 1

 Escalonada pero no reducida
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

102. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Nota
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

103. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Nota
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

104. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Nota
Toda matriz A se puede reducir a una matriz en la forma
Escalonada por filas o Escalonada Reducida por filas realizando
Operaciones Elementales con filas.
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

105. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Nota
Toda matriz A se puede reducir a una matriz en la forma
Escalonada por filas o Escalonada Reducida por filas realizando
Operaciones Elementales con filas.
Operaciones Elementales por Filas
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

106. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Nota
Toda matriz A se puede reducir a una matriz en la forma
Escalonada por filas o Escalonada Reducida por filas realizando
Operaciones Elementales con filas.
Operaciones Elementales por Filas
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

107. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Nota
Toda matriz A se puede reducir a una matriz en la forma
Escalonada por filas o Escalonada Reducida por filas realizando
Operaciones Elementales con filas.
Operaciones Elementales por Filas
Intercambiar la fila i y la fila j
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

108. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Nota
Toda matriz A se puede reducir a una matriz en la forma
Escalonada por filas o Escalonada Reducida por filas realizando
Operaciones Elementales con filas.
Operaciones Elementales por Filas
Intercambiar la fila i y la fila j Fi↔Fj
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

109. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Nota
Toda matriz A se puede reducir a una matriz en la forma
Escalonada por filas o Escalonada Reducida por filas realizando
Operaciones Elementales con filas.
Operaciones Elementales por Filas
Intercambiar la fila i y la fila j Fi↔Fj
Multiplicar la fila i por un escalar α no nulo
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

110. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Nota
Toda matriz A se puede reducir a una matriz en la forma
Escalonada por filas o Escalonada Reducida por filas realizando
Operaciones Elementales con filas.
Operaciones Elementales por Filas
Intercambiar la fila i y la fila j Fi↔Fj
Multiplicar la fila i por un escalar α no nulo αFi
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

111. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Nota
Toda matriz A se puede reducir a una matriz en la forma
Escalonada por filas o Escalonada Reducida por filas realizando
Operaciones Elementales con filas.
Operaciones Elementales por Filas
Intercambiar la fila i y la fila j Fi↔Fj
Multiplicar la fila i por un escalar α no nulo αFi
Reemplazar la fila j por el resultado obtenido al sumar la fila j
y la fila i
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

112. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Nota
Toda matriz A se puede reducir a una matriz en la forma
Escalonada por filas o Escalonada Reducida por filas realizando
Operaciones Elementales con filas.
Operaciones Elementales por Filas
Intercambiar la fila i y la fila j Fi↔Fj
Multiplicar la fila i por un escalar α no nulo αFi
Reemplazar la fila j por el resultado obtenido al sumar la fila j
y la fila i Fi + Fj
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

113. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Nota
Toda matriz A se puede reducir a una matriz en la forma
Escalonada por filas o Escalonada Reducida por filas realizando
Operaciones Elementales con filas.
Operaciones Elementales por Filas
Intercambiar la fila i y la fila j Fi↔Fj
Multiplicar la fila i por un escalar α no nulo αFi
Reemplazar la fila j por el resultado obtenido al sumar la fila j
y la fila i Fi + Fj
Combinaciones de las operaciones anteriores, por ejemplo
αFi + Fj .
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

114. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
M´etodo de Eliminaci´on de Gauss
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

115. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
M´etodo de Eliminaci´on de Gauss
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

116. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
M´etodo de Eliminaci´on de Gauss
Para resolver el sistema lineal:
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

117. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
M´etodo de Eliminaci´on de Gauss
Para resolver el sistema lineal:
AX = B
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

118. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
M´etodo de Eliminaci´on de Gauss
Para resolver el sistema lineal:
AX = B
Se considera la Matriz Aumentada
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

119. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
M´etodo de Eliminaci´on de Gauss
Para resolver el sistema lineal:
AX = B
Se considera la Matriz Aumentada (A|B)
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

120. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
M´etodo de Eliminaci´on de Gauss
Para resolver el sistema lineal:
AX = B
Se considera la Matriz Aumentada (A|B) (Adicionamos una
columna(t´erminos independientes) a la matriz de coeficientes)
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

121. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
M´etodo de Eliminaci´on de Gauss
Para resolver el sistema lineal:
AX = B
Se considera la Matriz Aumentada (A|B) (Adicionamos una
columna(t´erminos independientes) a la matriz de coeficientes) y
est´a se reduce a la forma escalonada por filas, se despeja el valor
de la ´ultima inc´ognita y despu´es se usa la sustituci´on hacia atr´as
para las dem´as inc´ognitas.
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

122. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
M´etodo de Eliminaci´on de Gauss
Para resolver el sistema lineal:
AX = B
Se considera la Matriz Aumentada (A|B) (Adicionamos una
columna(t´erminos independientes) a la matriz de coeficientes) y
est´a se reduce a la forma escalonada por filas, se despeja el valor
de la ´ultima inc´ognita y despu´es se usa la sustituci´on hacia atr´as
para las dem´as inc´ognitas.
(A|B) ∼∼ ...... ∼ (A
′
|B
′
)
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123. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
M´etodo de Eliminaci´on de Gauss-Jordan
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

124. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
M´etodo de Eliminaci´on de Gauss-Jordan
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

125. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
M´etodo de Eliminaci´on de Gauss-Jordan
Para resolver el sistema lineal:
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

126. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
M´etodo de Eliminaci´on de Gauss-Jordan
Para resolver el sistema lineal:
AX = B
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

127. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
M´etodo de Eliminaci´on de Gauss-Jordan
Para resolver el sistema lineal:
AX = B
La Matriz Aumentada se reduce a la forma escalonada reducida
por filas.
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

128. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
M´etodo de Eliminaci´on de Gauss-Jordan
Para resolver el sistema lineal:
AX = B
La Matriz Aumentada se reduce a la forma escalonada reducida
por filas.
(A|B) ∼∼ ...... ∼ (A”|B”)
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

129. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Estudiar la consistencia o inconsitencia del sistema:


2x1 − 4x2 + 16x3 − 14x4 = 10
−x1 + 5x2 − 17x3 + 19x4 = −2
x1 − 3x2 + 11x3 − 11x4 = 4
3x1 − 4x2 + 18x3 − 13x4 = 17
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

130. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Estudiar la consistencia o inconsitencia del sistema:


2x1 − 4x2 + 16x3 − 14x4 = 10
−x1 + 5x2 − 17x3 + 19x4 = −2
x1 − 3x2 + 11x3 − 11x4 = 4
3x1 − 4x2 + 18x3 − 13x4 = 17




2 −4 16 −14 |10
−1 5 −17 19 | − 2
1 −3 11 −11 |4
3 −4 18 −13 |17




Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

131. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Estudiar la consistencia o inconsitencia del sistema:


2x1 − 4x2 + 16x3 − 14x4 = 10
−x1 + 5x2 − 17x3 + 19x4 = −2
x1 − 3x2 + 11x3 − 11x4 = 4
3x1 − 4x2 + 18x3 − 13x4 = 17




2 −4 16 −14 |10
−1 5 −17 19 | − 2
1 −3 11 −11 |4
3 −4 18 −13 |17



 ∼F1←→F3




1 −3 11 −11 |4
−1 5 −17 19 | − 2
2 −4 16 −14 |10
3 −4 18 −13 |17




Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

132. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Estudiar la consistencia o inconsitencia del sistema:


2x1 − 4x2 + 16x3 − 14x4 = 10
−x1 + 5x2 − 17x3 + 19x4 = −2
x1 − 3x2 + 11x3 − 11x4 = 4
3x1 − 4x2 + 18x3 − 13x4 = 17




2 −4 16 −14 |10
−1 5 −17 19 | − 2
1 −3 11 −11 |4
3 −4 18 −13 |17



 ∼F1←→F3




1 −3 11 −11 |4
−1 5 −17 19 | − 2
2 −4 16 −14 |10
3 −4 18 −13 |17



 ∼F1+F2 −2F1+F3 −3F1+F4
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

133. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios




1 −3 11 −11 |4
0 2 −6 8 |2
0 2 −6 8 |2
0 5 −15 20 5




Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

134. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios




1 −3 11 −11 |4
0 2 −6 8 |2
0 2 −6 8 |2
0 5 −15 20 5



∼1
2
F2




1 −3 11 −11 |4
0 1 −3 4 |1
0 2 −6 8 |2
0 5 −15 20 |5




Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

135. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios




1 −3 11 −11 |4
0 2 −6 8 |2
0 2 −6 8 |2
0 5 −15 20 5



∼1
2
F2




1 −3 11 −11 |4
0 1 −3 4 |1
0 2 −6 8 |2
0 5 −15 20 |5




∼−2F2+F3 −5F2+F4




1 −3 11 −11 |4
0 1 −3 4 |1
0 0 0 0 |0
0 0 0 0 |0




Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

136. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios




1 −3 11 −11 |4
0 2 −6 8 |2
0 2 −6 8 |2
0 5 −15 20 5



∼1
2
F2




1 −3 11 −11 |4
0 1 −3 4 |1
0 2 −6 8 |2
0 5 −15 20 |5




∼−2F2+F3 −5F2+F4




1 −3 11 −11 |4
0 1 −3 4 |1
0 0 0 0 |0
0 0 0 0 |0



↑
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

137. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
x2 − 3x3 + 4x4 = 1
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

138. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
x2 − 3x3 + 4x4 = 1
x2 = 1 + 3x3 − 4x4 x3, x4 ∈ R
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

139. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
x2 − 3x3 + 4x4 = 1
x2 = 1 + 3x3 − 4x4 x3, x4 ∈ R
x1 − 3x2 + 11x3 − 11x4 = 4
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140. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
x2 − 3x3 + 4x4 = 1
x2 = 1 + 3x3 − 4x4 x3, x4 ∈ R
x1 − 3x2 + 11x3 − 11x4 = 4
x1 = 4 + 3x2 − 11x3 + 11x4
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

141. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
x2 − 3x3 + 4x4 = 1
x2 = 1 + 3x3 − 4x4 x3, x4 ∈ R
x1 − 3x2 + 11x3 − 11x4 = 4
x1 = 4 + 3x2 − 11x3 + 11x4
x1 = 4 + 3(1 + 3x3 − 4x4) − 11x3 + 11x4
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

142. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
x2 − 3x3 + 4x4 = 1
x2 = 1 + 3x3 − 4x4 x3, x4 ∈ R
x1 − 3x2 + 11x3 − 11x4 = 4
x1 = 4 + 3x2 − 11x3 + 11x4
x1 = 4 + 3(1 + 3x3 − 4x4) − 11x3 + 11x4
x1 = 7 − 2x3 − x4
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143. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
x2 − 3x3 + 4x4 = 1
x2 = 1 + 3x3 − 4x4 x3, x4 ∈ R
x1 − 3x2 + 11x3 − 11x4 = 4
x1 = 4 + 3x2 − 11x3 + 11x4
x1 = 4 + 3(1 + 3x3 − 4x4) − 11x3 + 11x4
x1 = 7 − 2x3 − x4
Conjunto soluci´on:
S = {(7 − 2x3 − x4, 1 + 3x3 − 4x4, x3, x4)t | x3, x4 ∈ R}
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144. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

145. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Encontrar una funci´on cuadr´atica que pase por los
puntos:P(−1, 4), Q(2, 1) y R(3, 4).
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

146. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Encontrar una funci´on cuadr´atica que pase por los
puntos:P(−1, 4), Q(2, 1) y R(3, 4).
Soluci´on
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

147. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Encontrar una funci´on cuadr´atica que pase por los
puntos:P(−1, 4), Q(2, 1) y R(3, 4).
Soluci´on
Una funci´on cuadr´atica es de la forma:
y = ax2 + bx + c
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

148. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Encontrar una funci´on cuadr´atica que pase por los
puntos:P(−1, 4), Q(2, 1) y R(3, 4).
Soluci´on
Una funci´on cuadr´atica es de la forma:
y = ax2 + bx + c
Como contiene los puntos: P, Q y R, entonces al reemplazar sus
coordenadas obtenemos el sistema:
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

149. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Encontrar una funci´on cuadr´atica que pase por los
puntos:P(−1, 4), Q(2, 1) y R(3, 4).
Soluci´on
Una funci´on cuadr´atica es de la forma:
y = ax2 + bx + c
Como contiene los puntos: P, Q y R, entonces al reemplazar sus
coordenadas obtenemos el sistema:



a − b + c = 4
4a + 2b + c = 1
9a + 3b + c = 4
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

150. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Soluci´on Continuaci´on
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

151. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Soluci´on Continuaci´on
La matriz aumentada es:


1 −1 1 |4
4 2 1 |1
9 3 1 |4


Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

152. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Soluci´on Continuaci´on
La matriz aumentada es:


1 −1 1 |4
4 2 1 |1
9 3 1 |4


Aplicamos Gauss-Jordan

1 −1 1 |4
4 2 1 |1
9 3 1 |4

 ∼


1 −1 1 | 4
0 6 −3 | − 15
0 12 −8 | − 32

 ∼


1 −1 1 |4
0 1 −1
2 |−5
2
0 12 −8 | − 32

 ∼


1 −1 1 | 4
0 1 −1
2 | −5
2
0 0 −2 | − 2

 ∼


1 −1 1 | 4
0 1 −1
2 |−5
2
0 0 1 |1


Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

153. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Soluci´on Continuaci´on
La matriz aumentada es:


1 −1 1 |4
4 2 1 |1
9 3 1 |4


Aplicamos Gauss-Jordan

1 −1 1 |4
4 2 1 |1
9 3 1 |4

 ∼


1 −1 1 | 4
0 6 −3 | − 15
0 12 −8 | − 32

 ∼


1 −1 1 |4
0 1 −1
2 |−5
2
0 12 −8 | − 32

 ∼


1 −1 1 | 4
0 1 −1
2 | −5
2
0 0 −2 | − 2

 ∼


1 −1 1 | 4
0 1 −1
2 |−5
2
0 0 1 |1

 se aplicaron las operaciones:
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

154. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Soluci´on Continuaci´on
La matriz aumentada es:


1 −1 1 |4
4 2 1 |1
9 3 1 |4


Aplicamos Gauss-Jordan

1 −1 1 |4
4 2 1 |1
9 3 1 |4

 ∼


1 −1 1 | 4
0 6 −3 | − 15
0 12 −8 | − 32

 ∼


1 −1 1 |4
0 1 −1
2 |−5
2
0 12 −8 | − 32

 ∼


1 −1 1 | 4
0 1 −1
2 | −5
2
0 0 −2 | − 2

 ∼


1 −1 1 | 4
0 1 −1
2 |−5
2
0 0 1 |1

 se aplicaron las operaciones:
−4F1 + F2; −9F1 + F3; 1
6 F2; −12F2 + F3; −1
2 F3.
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155. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Continuaci´on
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

156. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Continuaci´on
De la ´ultima fila:
c = 1
De la segunda fila:
b = −5
2 + 1
2 (1) = −2
De la primera fila:
a = 4 + (−2) − (1) = 1
Soluci´on Unica
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157. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Continuaci´on
De la ´ultima fila:
c = 1
De la segunda fila:
b = −5
2 + 1
2 (1) = −2
De la primera fila:
a = 4 + (−2) − (1) = 1
Soluci´on Unica
La funci´on cuadr´atica buscada es:
y = x2 − 2x + 1
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

158. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

159. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Balancear la reacci´on quimica:
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

160. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Balancear la reacci´on quimica:
xCH4 + yO2 → zCO2 + wH2O
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

161. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Balancear la reacci´on quimica:
xCH4 + yO2 → zCO2 + wH2O
Soluci´on
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

162. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Balancear la reacci´on quimica:
xCH4 + yO2 → zCO2 + wH2O
Soluci´on
x, y, z, w representan el n´umero de m´oleculas de cada sustancia,
para tener balanceada la reacci´on el n´umero de ´atomos en cada
miembro debe ser igual, es decir:
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

163. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Balancear la reacci´on quimica:
xCH4 + yO2 → zCO2 + wH2O
Soluci´on
x, y, z, w representan el n´umero de m´oleculas de cada sustancia,
para tener balanceada la reacci´on el n´umero de ´atomos en cada
miembro debe ser igual, es decir:
x = z, 4x = 2w, y 2y = 2z + w
Equivalente al sistema:
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

164. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Balancear la reacci´on quimica:
xCH4 + yO2 → zCO2 + wH2O
Soluci´on
x, y, z, w representan el n´umero de m´oleculas de cada sustancia,
para tener balanceada la reacci´on el n´umero de ´atomos en cada
miembro debe ser igual, es decir:
x = z, 4x = 2w, y 2y = 2z + w
Equivalente al sistema:



x − z = 0
2x − w = 0
2y − 2z − w = 0
Sistema Homog´eneo
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165. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Continuaci´on Soluci´on
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

166. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Continuaci´on Soluci´on
La matriz aumentada es:
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

167. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Continuaci´on Soluci´on
La matriz aumentada es:


1 0 −1 0 |0
2 0 0 −1 |0
0 2 −2 −1 |0


Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

168. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Continuaci´on Soluci´on
La matriz aumentada es:


1 0 −1 0 |0
2 0 0 −1 |0
0 2 −2 −1 |0


Aplicamos Gauss
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

169. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Continuaci´on Soluci´on
La matriz aumentada es:


1 0 −1 0 |0
2 0 0 −1 |0
0 2 −2 −1 |0


Aplicamos Gauss

1 0 −1 0 |0
2 0 0 −1 |0
0 2 −2 −1 |0

 ∼


1 0 −1 0 |0
0 0 2 −1 |0
0 2 −2 −1 |0

 ∼


1 0 −1 0 |0
0 2 −2 −1 |0
0 0 2 −1 |0

 ∼


1 0 −1 0 |0
0 1 −1 −1
2 |0
0 0 1 −1
2 |0


Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

170. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Continuaci´on Soluci´on
La matriz aumentada es:


1 0 −1 0 |0
2 0 0 −1 |0
0 2 −2 −1 |0


Aplicamos Gauss

1 0 −1 0 |0
2 0 0 −1 |0
0 2 −2 −1 |0

 ∼


1 0 −1 0 |0
0 0 2 −1 |0
0 2 −2 −1 |0

 ∼


1 0 −1 0 |0
0 2 −2 −1 |0
0 0 2 −1 |0

 ∼


1 0 −1 0 |0
0 1 −1 −1
2 |0
0 0 1 −1
2 |0


De la tercera fila se obtiene: z = 1
2 w
De la segunda fila:y = z + 1
2w = 1
2w + 1
2w = w
De la primera: x = z
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171. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Continuaci´on Soluci´on
La matriz aumentada es:


1 0 −1 0 |0
2 0 0 −1 |0
0 2 −2 −1 |0


Aplicamos Gauss

1 0 −1 0 |0
2 0 0 −1 |0
0 2 −2 −1 |0

 ∼


1 0 −1 0 |0
0 0 2 −1 |0
0 2 −2 −1 |0

 ∼


1 0 −1 0 |0
0 2 −2 −1 |0
0 0 2 −1 |0

 ∼


1 0 −1 0 |0
0 1 −1 −1
2 |0
0 0 1 −1
2 |0


De la tercera fila se obtiene: z = 1
2 w
De la segunda fila:y = z + 1
2w = 1
2w + 1
2w = w
De la primera: x = z
El conjunto soluci´on del sistema de ecuaciones es:
S = {(x, y, z, w) = (1
2 w, w, 1
2w, w)|w ∈ R} Infinitas soluciones
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172. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

173. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Pero en el contexto del problema, x, y, z y w deben tomar valores
enteros positivos por lo tanto el menor valor que puede tomar w es
2.
Y si es as´ı una de las soluciones del problema es:
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

174. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Pero en el contexto del problema, x, y, z y w deben tomar valores
enteros positivos por lo tanto el menor valor que puede tomar w es
2.
Y si es as´ı una de las soluciones del problema es:
x = 1
y = 2
z = 1
w = 2
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175. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
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176. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Determinar (si existen ) valores de x, y, z para los cuales la matriz:
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

177. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Determinar (si existen ) valores de x, y, z para los cuales la matriz:
A =


3 2x − 1 −y + 5z
y − 3z −2 3 + 5x + 5y
3x + 2 21z 4


es sim´etrica.
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178. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Determinar (si existen ) valores de x, y, z para los cuales la matriz:
A =


3 2x − 1 −y + 5z
y − 3z −2 3 + 5x + 5y
3x + 2 21z 4


es sim´etrica.
Soluci´on
Martha C. Moreno SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

179. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Determinar (si existen ) valores de x, y, z para los cuales la matriz:
A =


3 2x − 1 −y + 5z
y − 3z −2 3 + 5x + 5y
3x + 2 21z 4


es sim´etrica.
Soluci´on
La matriz A es sim´etrica si satisface que A = At, por lo tanto se
debe cumplir:
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180. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Determinar (si existen ) valores de x, y, z para los cuales la matriz:
A =


3 2x − 1 −y + 5z
y − 3z −2 3 + 5x + 5y
3x + 2 21z 4


es sim´etrica.
Soluci´on
La matriz A es sim´etrica si satisface que A = At, por lo tanto se
debe cumplir:


2x − 1 = y − 3z
−y + 5z = 3x + 2
21z = 3 + 5x + 5y
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181. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejemplo
Determinar (si existen ) valores de x, y, z para los cuales la matriz:
A =


3 2x − 1 −y + 5z
y − 3z −2 3 + 5x + 5y
3x + 2 21z 4


es sim´etrica.
Soluci´on
La matriz A es sim´etrica si satisface que A = At, por lo tanto se
debe cumplir:


2x − 1 = y − 3z
−y + 5z = 3x + 2
21z = 3 + 5x + 5y
⇄



2x − y + 3z = 1
3x + y − 5z = −2
5x + 5y − 21z = −3
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182. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Soluci´on-Continuaci´on
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183. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Soluci´on-Continuaci´on
La matriz aumentada es:

2 −1 3 |1
3 1 −5 | − 2
5 5 −21 | − 3


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184. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Soluci´on-Continuaci´on
La matriz aumentada es:

2 −1 3 |1
3 1 −5 | − 2
5 5 −21 | − 3


Aplicando operaciones elementales (¿Cu´ales?) se obtiene:
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185. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Soluci´on-Continuaci´on
La matriz aumentada es:

2 −1 3 |1
3 1 −5 | − 2
5 5 −21 | − 3


Aplicando operaciones elementales (¿Cu´ales?) se obtiene:

2 −1 3 |1
3 1 −5 | − 2
5 5 −21 | − 3

 ∽ · · · ∽


1 2 −8 |1
0 −5 −19 | − 7
0 0 0 |10


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186. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Soluci´on-Continuaci´on
La matriz aumentada es:

2 −1 3 |1
3 1 −5 | − 2
5 5 −21 | − 3


Aplicando operaciones elementales (¿Cu´ales?) se obtiene:

2 −1 3 |1
3 1 −5 | − 2
5 5 −21 | − 3

 ∽ · · · ∽


1 2 −8 |1
0 −5 −19 | − 7
0 0 0 |10


En la ´ultima fila se lee que 0 = 10 (→←֓) Contradictorio.
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187. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Soluci´on-Continuaci´on
La matriz aumentada es:

2 −1 3 |1
3 1 −5 | − 2
5 5 −21 | − 3


Aplicando operaciones elementales (¿Cu´ales?) se obtiene:

2 −1 3 |1
3 1 −5 | − 2
5 5 −21 | − 3

 ∽ · · · ∽


1 2 −8 |1
0 −5 −19 | − 7
0 0 0 |10


En la ´ultima fila se lee que 0 = 10 (→←֓) Contradictorio.
Esto nos permite concluir que este sistema es Inconsistente y por
lo tanto en el problema no es posible que la matriz A sea sim´etrica.
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188. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejercicio
1. Determinar los valores de a para los que el sistema:


x + 2y − 3z = 5
2x + 5y − 3z = 14
x + 3y + (4 − a2)z = a + 7
Tiene ´unica soluci´on, tiene infinitas soluciones ´o es
inconsistente.
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189. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
Ejercicio
1. Determinar los valores de a para los que el sistema:


x + 2y − 3z = 5
2x + 5y − 3z = 14
x + 3y + (4 − a2)z = a + 7
Tiene ´unica soluci´on, tiene infinitas soluciones ´o es
inconsistente.
2. La matriz
6 −8
−1 8
es combinaci´on lineal de las matrices:
A =
4 0
−2 −2
B =
1 −1
2 3
C =
0 2
1 4
?
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190. Sistemas-Definici´on
Matrices Escalonadas-M´etodo de Eliminaci´on
Ejemplos
Ejercicios
3. En un lago se cultivan tres especies de peces y les suministran tres tipos de
alimento. Cada pez de la especie 1 consume, por semana, un promedio de 1
unidad de alimento A, 1 unidad del alimento B y 2 unidades del alimento C.
Cada pez de la especie 2 , consume por semana en promedio 3, 4 y 5
unidades de los alimentos A,B y C respectivamente. El consumo semanal
promedio de cada pez de la especie 3 es 2,1 y 5 unidades de los alimentos
A,B y C respectivamente.Si semanalmente se vierten al lago 15000
unidades de A, 10000 unidades de B y 35000 unidades de C y se consumen
la totalidad de los tres alimentos.¿Qu´e poblaciones de las tres especies
pueden coexistir en el lago?
3. Determinar si existe una matriz X2×2 que satisfaga la igualdad:
2 6
1 3
X + 2
−1 2
3 1
=
8 11
6 3
t
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