Este trabajo fue desarrollado en compañía de Juan Manuel Ospina M. para la materia Econometría financiera dictada por el profesor Norman Giraldo de la Universidad Nacional de Colombia sede Medellín. Aquí se resume la teoría de Markowiz para la gestión de carteras, aplicadas a dos y n activos, además se ilustran algunos ejemplos desarrollados en el paquete estadístico R . también podrán encontrar los códigos asociados a el mismo. Adicional a esto se hace un simple análisis de riesgo en portafolios con la técnica VaR, para el cual se incluye un pequeño archivo de Excel. Donde se detallan los cálculos.

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ECONOMETRÍA FINANCIERA
TRABAJO No 1
Profesor
Norman Giraldo
ndgirald@unal.edu.co
Alejandro Bedoya V.
jabedoyav@unal.edu.co
Juan Manuel Ospina M.
jmospinam@unal.edu.co
Marzo,
2011

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RESUMEN - Teoría de Markovitz
Markowitz en su modelo de gestión de carteras, muestra cómo lograr una inversión óptima, que
no es más que la correcta distribución del capital entre las diferentes opciones de activos, a esto
Markowitz le llama cartera eficiente, que se define como, una cartera que proporciona la máxima
rentabilidad con un mínimo de riesgo.
Objetivo de este modelo es calcular una cartera eficiente, o en otras palabras maximizar la
rentabilidad, reduciendo el riesgo.
El modelo asume un comportamiento racional del inversionista, es decir el inversionista desea
rentabilidad y rechaza el riesgo.
Supuestos del modelo
 Para cada activo se define el rendimiento logarítmico
Ecuación 1
Donde es el precio del activo al día de hoy y es el precio del activo al día de ayer. La
conveniencia de usar estos rendimientos es en primer lugar aprovechar las propiedades de la
función Ln y en segundo lugar supone que existes muchos precios entre y , en otras
palabras, el rendimiento es continuo.
 La rentabilidad de cualquier titulo es una variable aleatoria, así .
 Parámetro media o esperanza , se acepta como la media de rentabilidad , así,
Ecuación 2
 Se acepta como media de riesgo, la dispersión, medida por la desviación estándar, así
Ecuación 3
La varianza y la media se mantienen constantes por un periodo , ósea que no dependerán del
tiempo t, así se acumulan los datos de la historia y se estimar la distribución asociada a dichas
variables.
Resultados de el modelo de Markovitz para dos activos con riesgo.
El rendimiento del portafolio se define como:
Ecuación 4
Rendimiento medio óptimo del portafolio se obtiene así:
Ecuación 5

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Desviación estándar (ó volatilidad) optima:
Ecuación 6
Resultados Markowitz para n.
La generalización de este modelo supone y un trabajo con n activos, por tanto se redefinen las
formulas para vectores y matrices.
Suponiendo un capital k invertido en n activos se define como el vector de porcentajes en
inversión por tanto debe cumplir que así , luego el vector de
rendimientos es . El vector de rendimientos medios será .
La matriz de varianza covarianza para los rendimientos se define positiva, es decir
con así la covarianza de los rendimientos será .
Con estas definiciones tenemos las formulas de Marcowitz para hallar el portafolio óptimo que
son:
Rentabilidad esperada del portafolio
Ecuación 7
Varianza del portafolio
Ecuación 8
El objetivo es encontrar el portafolio óptimo o en otras palabras la combinación optima de capital
luego será:
Ecuación 9
Sujeto a:
Ecuación 10
Ecuación 11
Nota: estas dos restricciones, no restringen la posibilidad de venta en corto para evitar las ventas
en corto, es necesario agregar la restricción
El problema descrito por las ECUACIONES 9, 10, 11 es un problema de de programación cuadrática
con restricciones lineales de tipo igualdad. Para resolver este problema es necesario aplicar

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multiplicadores de LaGrange. En este resumen se describirá la solución de manera superficial,
haciendo énfasis en los resultados importantes.
La función del lagrangiano se define como sigue:
Ecuación 12
Luego del tratamiento matemático apropiado se obtiene que
Donde
Ecuación 13
Ecuación 14
Ecuación 15
Ecuación 16
Despejando entonces de la ECUACION 12 se tiene que:
Ecuación 17
Ecuación 18
En el caso de los portafolios tangentes se tienen activos sin riego o activos de renta fija. Para este
caso se plantea el modelo de la siguiente manera.
Se parte de la ECUACION 9, pero se modifican sus restricciones.
Sujeto a:
Ecuación 19
Donde es la tasa libre de riesgo.
Nota: el rendimiento del portafolio debe de ser mayor que el rendimiento libre de riesgo

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Luego con las ECUACIONES 9 y 18 se plantea la función del lagrangiano:
Ecuación 20
Luego de un tratamiento matemático apropiado se obtiene que:
Ecuación 21
Donde
Ecuación 22
Rentabilidad esperada del portafolio tangente
Ecuación 23
Varianza del portafolio tangente
Ecuación 24
INTRODUCCIÓN
En el trabajo No 1 se plantea la solución de los ejercicios 2 y 5 propuestos en la guía de trabajo
siguiendo las notaciones y recomendaciones del mismo.
Con el desarrollo de este trabajo se demuestran y verifican algunos de los resultados de la teoría
de Markovitz sobre portafolios de inversión óptimos y diversificación de los mismos basándose en
la correlación que existe entre diferentes activos o conjuntos de activos.
DESARROLLO
Punto 2. En una frontera eficiente se escogen dos portafolios y , correspondientes a las
metas de rendimiento 1) y 2) Desarrollar lo siguiente.
a) Encuentre .
Reemplazando los valores de y en la ECUACIÓN 17 se tiene que:
Ecuación 25

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Ecuación 26
b) Compruebe que, dado , siempre existe un portafolio óptimo con esta meta
de rendimiento, que cumple . Sugerencia: use la ECUACION 17
y exprese a en función de y . Nota: en la práctica la condición , debe
cambiarse por , que produce resultados realistas.
La ECUACIÓN 17 puede reescribirse así:
Organizando la ecuación
Observe que los dos primeros términos corresponden a
Sumando y restando y en la ecuación anterior se obtiene:
Organizando la ecuación se tiene:
Observe que si sacamos factor común agrupamos algunos términos y sumamos tenemos:
Sacando factor común obtenemos.
Por tanto, partiendo de la ecuación de 17 que define un portafolio optimo, se Comprueba que,
dado , siempre existe un portafolio óptimo con esta meta de rendimiento, que
cumple

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c) Escriba el portafolio anterior de manera equivalente . y
denote . Calcule , la varianza del portafolio z.
Así: sacando factor común se tiene
La varianza del portafolio usando la ECUACION 18 será:
Pero entonces.
Realizando las operaciones indicadas.
Luego reemplazando a de las ECUACIONES 25 y 26 en la ecuación anterior tenemos.
Luego de multiplicar y simplificar se tiene la varianza del portafolio es:
Ecuación 27
d) Calcule
Usando la ECUACION 18
Reemplazando a de la ECUACION 25 se tiene que
Operando y simplificando en la ecuación anterior se tiene que
Ecuación 28
e) Calcule

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De la ECUACION 18 se tiene que:
Reemplazando , se tiene que
Realizando las operaciones indicadas en la ecuación anterior
Luego reemplazando a de las ECUACIONES 25 y 26 en la ecuación anterior tenemos.
Operando y simplificando en la ecuación anterior
Ecuación 29
Luego la viene dada por
Usando los resultados anteriores ECUACIONES 27, 28, 29 y reemplazándolos en la ecuación
anterior tenemos que:
f) Suponga dos portafolios , con metas de rendimientos ,
Encuentre . Sugerencia: exprese , igual para Luego
use la ECUACION 18. La respuesta es una expresión que debe depender de a, b, c, d,
De la ecuación 18 se tiene que:
Luego reemplazando

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Realizando las operaciones indicadas en la ecuación anterior
Usando los resultados anteriores de las ECUACIONES 27, 28, 29 y reemplazando en la ecuación
anterior tenemos que.
Ecuación 30
g) A cada portafolio con meta de rendimiento , se le puede asociar otro
portafolio , con meta de rendimiento . Compruebe
que estos portafolios tienen rendimientos incorrelacionados
Sugerencia: use el resultado del numeral F.
De la ECUACION 30 se tiene que:
Reemplazando los rendimientos tenemos.
Por tanto se demuestra que los rendimientos son incorrelacionados.
Punto 5
5. Suponga que se conforma un portafolio con cuatro activos: A1, A2, A3, A4. Los rendimientos son
efectivos mensuales .El vector de rendimientos medios es:
Y la matriz de varianzas covarianzas es:

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a) Encuentre el portafolio de varianza mínima, su rendimiento esperado y su volatilidad.
Apoyados en las ECUACIONES 17 y 18 y haciendo los cálculos en el programa estadístico R se tiene
que:
El portafolio , rendimiento esperado y la volatilidad del portafolio de varianza
mínima son:
Ilustración 1. Grafica de la frontera eficiente y el portafolio de mínima varianza
0.035
4
0.030
1
0.025
2
0.020
uj
0.015
3
0.010
0.005
0.05 0.10 0.15 0.20
stj
Nota: observe que este portafolio no tiene restricción sobre la venta en corto por tanto, permite porcentajes de
inversión negativos ( . Sin embargo como w es el vector de porcentajes de inversión cumple que
.
b) Encuentre el portafolio tangente a sumiendo que la tasa libre de riesgo (tasa de inversión
en renta fija) es , efectiva mensual. Compruebe que ocurren porcentajes
negativos. Además, calcule el rendimiento medio y la volatilidad de este portafolio.
Denote por el portafolio, el rendimiento medio y la volatilidad,
respectivamente.
Apoyados en las ECUACIONES 21,23, 24 y con ayuda del programa estadístico R tenemos que
En la ILUSTRACIÓN 2. Muestra el portafolio tangente dado una tasa de inversión libre de riesgo
La línea azul parte desde la tasa libre de riesgo y representa las combinaciones de activos con riesgo y

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sin riesgo que maximizan la relación entre riesgo y rentabilidad (Ratio de Sharpe). La proporción
optima entre activo con riesgo y sin riesgo se moverá a lo largo de la recta de acuerdo con el grado
de aversión al riesgo que tenga un inversionista en particular, según lo planteado en el teorema de
separación de Tobin, hasta el punto del portafolio tangente, que en la grafica se muestra de color rojo.
Observe que como es de esperara considera la posibilidad de ventas a corto, es decir tiene porcentajes de
inversión negativos y Sin embargo como es el vector de porcentajes de inversión cumple que .
Ilustración 2. Grafica del portafolio tangente en la frontera eficiente con ventas en corto.
c) Recalcule el portafolio tangente restringiendo la venta a corto, utilizando la función
“solve.QP” de la librería “quadprog”. Calcule el rendimiento medio y la volatilidad. Denote
por el portafolio, el rendimiento medio y la volatilidad, respectivamente.
Usando las ecuaciones 9, 10, 11 y agregando la restricción , luego programando la función
en el programa estadístico R se tiene:
Ilustración 3. Grafica del portafolio tangente en la frontera eficiente.

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0.035
4
0.030
1
0.025
2
0.020
up
0.015
3
0.010
0.005
0.000
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
sigma.p
En la ILUSTRACIÓN 3 se pueden observar dos fronteras eficientes. La frontera azul hace referencia
a un portafolio que permite la venta en corto, mientras que la frontera negra hace referencia a un
portafolio que restringe la venta en corto. El punto rojo sobre la frontera negra muestra el
portafolio tangente a la frontera sin venta a corto por tanto tiene sentido que este portafolio
tangente reduzca la volatilidad y la rentabilidad. , ya que no tiene encanuta los ingresos
anticipados de la venta en corto que se asumirían en el tiempo cero como un pasivo.
d) Suponga que el valor del portafolio tangente al inicio del mes es Al
final del mes es Denote por el rendimiento de este portafolio en el mes. Por
tanto,) Calcule el percentil de según la ecuación
, asumiendo que , en ambos casos: con venta a corto y sin
venta a corto. Comente sobre el resultado. Concretamente, cuál portafolio asume mayor
riesgo de inversión, medido con ?
Se tiene que:
Reemplazando el valor de , se obtiene
Reescribiendo la expresión anterior:

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Como es posible aplicar la distribución normal inversa para calcular el percentil r
para , y así despejar así:
Luego despejando a :
Los resultados se muestran en la tabla a continuación para los portafolios tangentes con y sin
ventas a corto:
Tabla 1. Valoración de pérdidas en portafolios tangentes
Con venta en corto sin venta en corto
V(0) 100.000.000 V(0) 100.000.000
Up 0,0309806 Up 0,02941224
St 0,1037374 st 0,09807625
Percentil r -0,1019642 Percentil r -0,10196421
q0.1 90.306.187,4 q0.1 90.821.192,3
Con un 10% de probabilidad, la máxima perdida en un mes para el portafolio sin venta a corto,
será mayor que para el portafolio con venta a corto. Esto puede ser porque el portafolio con venta
a corto considera un ingreso inicial por la venta en corto del activo A3 para apalancar la
adquisición de otros activos. Mientras que en el portafolio sin venta en corto no se considera
dicho ingreso.
Puede observarse que con un 10% de probabilidad el valor final del portafolio sin venta a corto
transcurrido un mes es mayor. Es decir que a un nivel de confianza del 90% este asume menor
riesgo de pérdida que el portafolio óptimo con venta en corto.

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CONCLUSIONES
 El portafolio óptimo es aquel que minimiza la varianza maximizando la rentabilidad
esperada.
 Un portafolio eficiente es aquel que se ubica en la pártete superior de la frontera
eficiente, es decir que a medida que se incrementa el riesgo incrementa su rentabilidad.
 En el desarrollo del punto dos, literal b. Se muestra que el rendimiento de un portafolio
estará entre el menor y el mayor de los rendimientos de los activos que lo conforman.
 En el desarrollo del punto dos, literal b. se puede apreciar como con dos portafolios, uno
de menor riesgo y otro de mayor riesgo, se puede construir una frontera eficiente para
cualquier rentabilidad esperada. Lo que se reduce a una combinación optima de ambos
portafolios.
 Restringir las operaciones en corto castiga la frontera de portafolios eficientes.
 Es necesario hacer una consideración especial de el activo implicado, a la hora de asumir
ventas en corto, porque esto podría llevar a el portafolio a pérdidas inesperadas.
 El portafolio óptimo o tangente maximiza la relación entre la prima por riesgo esperada y
el riesgo.
REFERENCIAS
[1] Bodie Z, Kane A, Marcus A. Principios de inversiones, Quinta edición. MC GRAM HILL,
España (2004).
[1]Ruppert, D. (2004). Statistics and Finance: An Introduction. Springer Verlag .NewYork.

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ANEXOS – CODIOS DE R
Literal a)
#Portafolio de Varianza mínima
n=4
(u = c(0.0275,0.0219,0.0120,0.0357))
(S = matrix(c(0.022526377,-0.003495562,0.010318065,0.007935904,-0.003495562,0.036070945,-
0.003806943,-0.006872127,
0.010318065,-0.003806943,0.049574959,0.008098270,0.007935904,-
0.006872127,0.008098270,0.028025520),n,n))
#sigma para activos A1 A2 A3 A4
(st=sqrt(diag(S)))
# inversa de la matriz de var-cov
(Si = solve(S))
#rendimiento del portafolio
(upd = seq(min(u),max(u),length.out=1))
#vector de unos
(uno = rep(1,n))
# las cuatro constantes
a = t(uno)%*%Si%*%uno
b = t(uno)%*%Si%*%u
c = t(u)%*%Si%*%u
d = a*c - b^2
# las lambdas de los multiplicadores lagrange
l1 = (c - b*upd)/d
l2 = (a*upd - b)/d
# mostrar estos valores
(c(a,b,c,d,l1,l2))
#Prueba debe de dar 1
l1*a+l2*b
#Rendimiento optimo del debe ser igual al rendimiento meta
l1*b+l2*c
# solución conformación portafolio optimo
(w = rep(l1,n)*Si%*%uno + rep(l2,n)*Si%*%u)
#Rendimiento optimo
(up=b/a)
# varianza del portafolio optimo
st2 = (a*up^2-2*b*up+c)/d

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(stp=sqrt(st2))
# calcular frontera eficiente
(uj = min(u)+(max(u)-min(u))*seq(1,30,1)/30)
(stj = sqrt((a*uj^2 - 2*b*uj + c)/d ))
wj = mat.or.vec(n,5)
for(j in 1:5){
l1 = (c - b*uj[j])/d
l2 = (a*uj[j] - b)/d
(wj[,j] = t(rep(l1,n)*Si%*%uno + rep(l2,n)*Si%*%u))
}
####Grafica
plot(stj,uj,type='l',ylim=c(0.002,max(u)),xlim=c(0.01,max(st)))
points(st[1],u[1],col=8,pch=19)
points(st[2],u[2],col=6,pch=19)
points(st[3],u[3],col=3,pch=19)
points(st[4],u[4],col=4,pch=19)
points(stp,up,col=2,pch=19)
abline(h=b/a)
abline(v=1/sqrt(a))
Literal B
#Portafolio tangente
n=4
(u = c(0.0275,0.0219,0.0120,0.0357))
(S = matrix(c(0.022526377,-0.003495562,0.010318065,0.007935904,-0.003495562,0.036070945,-
0.003806943,-0.006872127,
0.010318065,-0.003806943,0.049574959,0.008098270,0.007935904,-
0.006872127,0.008098270,0.028025520),n,n))
#sigma para activos A1 A2 A3 A4
(st=sqrt(diag(S)))
# inversa de la matriz de var-cov
(Si = solve(S))
#rendimiento metadado
(upd = seq(min(u),max(u),length.out=4))
#vector de unos
(uno = rep(1,n))
# las cuatro constantes
a = t(uno)%*%Si%*%uno
b = t(uno)%*%Si%*%u
c = t(u)%*%Si%*%u
d = a*c - b^2
# las lambdas
(l1 = (c - b*upd)/d)
(l2 = (a*upd - b)/d)
# mostrar estos valores

17. 17|
(c(a,b,c,d))
#Prueba debe de dar 1
l1*a+l2*b
#Rendimiento optimo del debe ser igual al rendimiento meta
l1*b+l2*c
# solucion conformacion portafolio optimo
(w = l1*Si%*%uno + l2*Si%*%u)
#Rendimiento del portafolio optimo
(up1=w*u)
(st.op = sqrt((a*upd^2-2*b*upd+c)/d))
#Rendimiento y varianza Portafolio minima varianza
(up=b/a)
(stp = sqrt((a*up^2-2*b*up+c)/d))
#### portafolio minima varianza
# añadir activo renta fija pdf tasa e.m 0.008
r = log(1+0.008)
# portafolio tangente
(wt = Si%*%(u - r*uno)*rep(1/(b - r*a),n))
# rendimiento medio y varianza del portafolio tangente
ut = (c - r*b)/(b - r*a)
st3 = (c - 2*r*b + a*r^2)/(b - r*a)^2
stt = sqrt(st3)
# calcular frontera eficiente
(uj = min(u)+(max(u)-min(u))*seq(1,30,1)/30)
(stj = sqrt((a*uj^2 - 2*b*uj + c)/d ))
wj = mat.or.vec(n,5)
for(j in 1:5){
l1 = (c - b*uj[j])/d
l2 = (a*uj[j] - b)/d
(wj[,j] = t(rep(l1,n)*Si%*%uno + rep(l2,n)*Si%*%u))
}
(wj)
####Grafica
plot(stj,uj,type='l',ylim=c(0.002,max(u)),xlim=c(0.01,max(st)))
points(st[1],u[1],col=3,pch='1')
points(st[2],u[2],col=4,pch='2')
points(st[3],u[3],col=6,pch='3')
points(st[4],u[4],col=1,pch='4')
points(stt,ut,col=2,pch=19)
points(0,r,col=2,pch=19)

18. 18|
segments(0.0,r,stt,ut,col='blue', lwd = 2, lty = 3)
points(stp,up,col=2,pch=19)
abline(h=b/a)
abline(v=1/sqrt(a))
abline(h=ut)
abline(v=stt)
Literal C
# ejemplo de optimizacion con restricciones
library(quadprog)
n=4
(u = c(0.0275,0.0219,0.0120,0.0357))
(S = matrix(c(0.022526377,-0.003495562,0.010318065,0.007935904,-0.003495562,0.036070945,-
0.003806943,-0.006872127,
0.010318065,-0.003806943,0.049574959,0.008098270,0.007935904,-
0.006872127,0.008098270,0.028025520),n,n))
#sigma para activos A1 A2 A3 A4
st=sqrt(diag(S))
#Rendimiento del portafolio
up = seq(min(u),max(u), length.out = 50)
# rendimiento tangente
#Matriz identidad
Id = matrix(0,n,n)
diag(Id) = 1
#vector de unos
uno=rep(1,n)
#vector de ceros
d = rep(0,n)
#Matriz que une el vector de unos, rendimientos y la matriz identidad para las restricciones
(A = rbind(t(uno),t(u),Id))
#Portafolio Con restriccion sin venta en corto
#Matriz de portafolios para restricciones AW)=b y Bw=C
wsvc = matrix(0,n,50)
sigma.p = matrix(0,n,1)
for( j in 1:50 ){
(b = c(1,up[j],rep(-1.0e-06,n)))
sol = solve.QP(Dmat=S,dvec=d,Amat=t(A),bvec=b,meq=2)
(wsvc[,j] = sol$solution)
(sigma.p[j] = sqrt(t(wsvc[,j])%*%S%*%wsvc[,j]))
}
# solucion sin restricciones de venta a corto
Si = solve(S)
# las cuatro constantes
a = t(uno)%*%Si%*%uno
b = t(uno)%*%Si%*%u

19. 19|
c = t(u)%*%Si%*%u
d = a*c - b^2
# mostrar estos valores
(c(a,b,c,d))
# las lambdas de los multiplicadores lagrange
l1 = (c - b*up)/d
l2 = (a*up - b)/d
wnr = mat.or.vec(n,50)
for(j in 1:50){
wnr[,j] = rep(l1[j],n)*Si%*%uno + rep(l2[j],n)*Si%*%u
}
# volatilidad del portafolio optimo
sigma.p.nr = sqrt((a*up^2-2*b*up+c)/d)
(sigma.p.nr)
# rendimiento medio y varianza del portafolio tangente sin restricciones
r = log(1+0.008)
ut = (c - r*b)/(b - r*a)
st2 = (c - 2*r*b + a*r^2)/(b - r*a)^2
stt = sqrt(st3)
# rendimiento medio y varianza del portafolio tangente con restricciones
nsr=which.max((up-r)/(sigma.p))
(wtsvc=wsvc[,nsr])
(utsvc=up[nsr])
(stsvc=sigma.p[nsr])
# rendimiento medio y varianza del portafolio tangente con restricciones
nsr=which.max((up-r)/(sigma.p.nr))
(wtcvc=wnr[,nsr])
(utcvc=up[nsr])
(stcvc=sigma.p.nr[nsr])
plot(sigma.p , up ,type='l',ylim=c(0.0002,max(u)),xlim=c(0,max(st)))
points(st[1],u[1],col=2,cex=1,pch='1')
points(st[2],u[2],col=3,cex=1,pch='2')
points(st[3],u[3],col=4,cex=1,pch='3')
points(st[4],u[4],col=9,cex=1,pch='4')
points(0,r,col=2,cex=1,pch=19)
points(stsvc,utsvc,col=2,cex=1,pch=19)
segments(0.0,r,stsvc,utsvc,col=4, lwd = 2, lty = 3)
points(stcvc,utcvc,col=3,cex=1,pch=19)
segments(0.0,r,stcvc,utcvc,col=3, lwd = 2, lty = 3)
lines(sigma.p.nr, up,col="4", type='l',lty=1,xlab="",ylab="",ylim=c(0,max(u)))