1. 02/11/2010 RECURSIVIDAD EN LA NATURALEZA 1
RECURSIVIDAD EN LA
NATURALEZA
ALEJANDRO DOMÍNGUEZ
Febrero de 1999

2. 02/11/2010 RECURSIVIDAD EN LA NATURALEZA 2
El concepto de similaridad

3. 02/11/2010 RECURSIVIDAD EN LA NATURALEZA 3
La geometría es medir
• Geometría significa medir la tierra
• La geometría Euclideana mide la Tierra usando
ángulos y longitudes y la describe en términos de
puntos, líneas rectas, círculos, rectángulos,
triángulos, cubos, y esferas
• Esta descripción Euclideana no concuerda con la
realidad
– una carretera contiene curvas que no son descritas por
las figuras geométricas antes mencionadas

4. 02/11/2010 RECURSIVIDAD EN LA NATURALEZA 4
La forma en que medimos
• Si una regla se superpone n veces al
contorno de un objeto, la longitud L(l) de
este perímetro será L(l)=nl
• Si se disminuye la longitud de la regla,
entonces el numero de superposiciones se
incrementa
– lo que resulta en un incremento en L(l)
– esto es debido a que entre mas pequeña sea la
longitud de la regla que se utilice, entonces
existe mas distancia a medir debido a las
irregularidades del terreno
¿Cuál
es mi
perímetro?

5. 02/11/2010 RECURSIVIDAD EN LA NATURALEZA 5
La geometría fractal
• Del lo anterior se puede concluir que
– las distancias entre dos puntos es relativa a la
escala y al detalle de la observación
– existe una diferencia fundamental entre una
curva como un circulo y una curva como el
perímetro de un objeto terrenal
• Esta diferencia separa los objetos de la
geometría Euclideana de los objetos de una
geometría mas compleja: la geometría
fractal y cuyos elementos se les conoce
como fractales

6. 02/11/2010 RECURSIVIDAD EN LA NATURALEZA 6
Los fractales
• De esta forma con el fin de apreciar
a cierto nivel de detalle el mundo
real, las ideas de medida y distancia
de la geometría Euclideana se deben
desechar
• Si la longitud estimada de una curva
crece arbitrariamente cuando la
unidad de medida es cada vez mas
pequeña, entonces la curva se llama
curva fractal o simplemente fractal

7. 02/11/2010 RECURSIVIDAD EN LA NATURALEZA 7
La palabra fractal
• Benoit Mandelbrot es el padre de los fractales
• Fractal proviene del latín fractus y del verbo
correspondiente frangere que significa romper

8. 02/11/2010 RECURSIVIDAD EN LA NATURALEZA 8
El concepto de dimensión
Euclideana
D=1, N=2, r=1/2, Nr=1
D=2, N=4, r=1/2, Nr2=1
 ,3,2,1;1 D
r
N D

9. 02/11/2010 RECURSIVIDAD EN LA NATURALEZA 9
Otros objetos “raros”: la Isla de
Koch
Aquí N=4 y r=1/3
Entonces la dimensión es
 
 
 
 
 261859.1
3ln
4ln
1ln
ln
r
N
D
La isla de Koch es una curva que esta aproximadamente
"a un cuarto de distancia entre una línea y un plano".

10. 02/11/2010 RECURSIVIDAD EN LA NATURALEZA 10
Dimensión fractal (1)
• Al numero D se le conoce como
dimensión fractal
• La dimensión fractal de un objeto, se
puede interpretar como una medida
del grado de irregularidad del
fractal a cualquier nivel de escala
– y, por supuesto, puede ser una cantidad
fraccionaria mayor que la dimensión
clásica o Euclideana de un objeto

11. 02/11/2010 RECURSIVIDAD EN LA NATURALEZA 11
• Para objetos inmersos en espacios
Euclidianos (líneas, curvas, etc.), las
dimensión del objeto y su dimensión fractal
son exactamente las mismas
• En conclusión
– la dimensión fractal indica el grado de detalle en
el objeto y que tanto ocupa de espacio entre las
dimensiones Euclidianas
– un fractal es un objeto que tiene una dimensión
fractal que es mayor que su dimensión
Euclideana
Dimensión fractal (2)

12. 02/11/2010 RECURSIVIDAD EN LA NATURALEZA 12
El modelo matemático recursivo
de los fractales
Número Cambiante + Número Fijo = Resultado
Esta formula hace que las figuras que se producen sean
exactamente autosimilares a diferentes escalas

13. 02/11/2010 RECURSIVIDAD EN LA NATURALEZA 13
Algunos tipos de fractales
Sistema Cardiovascular
Dimensión fractal = 2.7
El conjunto de Mandelbrot

14. 02/11/2010 RECURSIVIDAD EN LA NATURALEZA 14
Fractales en la naturaleza (1)

15. 02/11/2010 RECURSIVIDAD EN LA NATURALEZA 15
Fractales en la naturaleza (2)