1) El documento introduce los conceptos de vectores geométricos y vectores algebraicos, y la correspondencia entre puntos y vectores. 2) Define un vector geométrico como un segmento de recta orientado, y explica cómo determinar un vector mediante su módulo, dirección y sentido. 3) Explica cómo asociar un vector geométrico a cualquier punto en un espacio de n dimensiones mediante un sistema de coordenadas, estableciendo la equivalencia entre puntos y n-tuplas de números reales.

1. CAIPITIUILO 11
INTRODUCCIÓN.
En lo fTsico hoy mognitudes, como lo velocidad, aceleración, fuerzo, e t c . , que no
quedon completomente determinados con un número; estos mognitudes se I loman vecto-
res geométricos. Al reiocionor este» vectores geométricos con lo geometría anairtica,
surgieron M vectores olgebraicos; posteriormente, con ei desarrollo de ios motemót! -
cas, bosóndose en ios propiedodes de ios vectores geométricos / olgabroicos, se definió
ufKi estructura algebraico llomodo espocio vectorial sobre un ccvnpo. En este capítulo
estudiaremos básicamente e^o estnictura oigebraico, tratondo de seguir uno secuen-
cio histórico.
Sección 1. Vectores Geométricos
Definición: Vector Geométrico (físico) es un segmento de recto orientodo.
Notación: Vector Geométrico: AB ó o*^
A es ei origen del vector geométrico AB
B es ei extremo del vector geométrico A B
De lo definición anterior se desprende que pora determinor exactomente un vector geo-
métrico ( A B ) se necesita conocer :
i) El módulo det vector: lo longitud del segmer#o AB , con reloción o uno unidad
previomente estobiecido. Por ser uno longitud, el módulo siempra es positivo .
Notoción: 1 [ A B 1 Í ó ltá*'(| módulo de AB ó c^ respectivamente.
II) l a diracción dei vector; io recta que contiene el segmeitfo AB .
If) 51 sentido de! vector: Ic orientación que define !o fleche del vector.
Noto: Cuondo se elige un sistema de referencio odecuodo, el sentido quecki completo-
mente definido, especificando solomente lo dirección.
Seo G * 1 o * / o*^ es un segmento de recto orientado j
^
G es et conjunto de todos tos vectores geométricos.

2. -12-
i g u o l d o d de Vectores:
Definición:
Sean a * ' y H * ' é ^ G o ^ ' D s l y solo si tos vectores o y b tierten lo mlvno
<
% , longitud o módulo, sentido y dirección porale-
/
A / f, /
^ ios. De esto definición se deduce que en lo i -
5"= í a r{: c
Note t LJOS relociones ' erttre vectores geométricas se plontaon mediente construcciones
y 0/
geométricos, debido o su definición. de vectores no Interaso al punto da
/ / gualdad
iniciación (origen).
Sumo d e Vectores:
Lo sumo de vectores es uno ley de composición Interno c^e tomo dos vectores cuolesqule-
rade G ( o ^ B T é G ) y medionte lo siguiente construcción le asigno otro vector (que
notaremos o ^ b )•
Dibuje el vector o", en el extremo de o* trace un vector Igual o E^ el vector que re-
sulla da unir al origen de o^ y el extrwnno de IT es o*'-*- V ,
ct
Figura 2
Llomoremos ángulo entre o y F ol ángulo que fomon cuondo los orígenes de tos
dos vectores coindden.
SI en el triángulo ABC aplicamos lo ley del coseno podemos haltor el móckilo de
a"+ E*
117+ r a - J o^? ^ Uril^ - 21IÍ|| ijbíí eos (180*-e) cos(180'-e) - eos
y llo"!!^ + ll"£ll ^ + 2 BS-II llb íl e o s 7

3. -13-
1) + es uno operación ciausurottvo o^-f b < G
£
2) -*- es uno operación conmutotivo "0"+ b *• b -f o*^ (dm figura 2 )
3) + 0 8 uno operación osociotivo ( ^ + b ) + c*" = 5*"+ (b + c^ (dm figura 3 )
Figuro 3
Definición:
Seo o " ^ G , llwnoremos opuesto de a*^ y io notoremos - oT a un vector de
Igual longitud, dirección y de sentido contrario ol de o*".
BA es el opuesto da A B y viceversa
Vector geométrico cero:
Es el resultodo de sumar 0*^+ {-"o) ^ O^jounque O no tiene uno dirección
dado consideraremos que U ¿ G . KOÍf*^ O
4) (a^)¿G T + r - r A T + BA* » AÁ* = O*"
De oquí podemos concluir que ( G , + ) es un grupo obeliono.
Multiplicación de u n v e c t o r g e o m é t r i c o p o r u n escolar:
Esto es uno operación que relocíono ei conjunto de los reales y el conjunto de t o -
dvj» iuft vwíurm yóOiTiéírícas. SI -^ '^ £ y r**"^ G « t a producto io notoremos co-
mo o** y está definido de lo siguiente manera: o " es un vector geométrico tol
que:
1) lor^itud |(^a*^l » K I H ^ Í I
2) dirección t lo mismo de o

4. -14-
3) sentido: i)^< e>¿>0 o¿a tierte el mismo senHdo de o*^
II) o¿ m Q Zo^' O*"
III) «^ "¿^ O oLo tiene sentido contrario ol de o*
Noto; De lo definición se deduce <^e c/-o CQ y que los vectoras a l . ' o ' y o
son paralelos.
Definición:
Seon o, b é G o es poralelo o b si y solo si o "^ o^ b .
Propiedades: da io multiplicación da un vector por un esootor:
Seo < J , 0 € f í ,
=. T , h^é. G .
1) («?¿ + / « ) a ^ = c^a + ^
2) cpí. ( a^ + b*) « T T + JET
3) /^(«<r) = (<^is)'sr
4) Ko^^cT ^ -15*"' -o
dm:
1) Pueden ocurrir los siguientes posibilidades pora
I) c^>0, /»?'0
II) a><0, yL^Q

5. -15-
III) Si e¿ y 0 son da signos contrarios y <>/ + /^ >0
Iv) Vi c ¿ y / 3 son de signos coftfrarios y o f + /3 < O
? ¿
I) Sea^-p='0>v/g;^0
//(«í +/3 )0}í'- /-«^ + í b l l l t l j ComO¿^ T' O/v ^ > 0 d ^ ( i m u l ^ l(b
¡I ^ + j r / / « / ¡ Ü 3 p + ¡/lerjF - 2eos 180°//^57/ //^y//
- K/^ / o/^ + ,.^/ ^/ o/^ + 2 / ^ / //^// 7 /
• / ( / ^ / + M/)2//o//2'= U^I^I^DÜo'U
' • ^ l / ^ +/S////Ó¡/
luego los módulos de tos vectores son iguotes.
Como^ 7 - 0 /^•T'O ^ + / 3 0
entonces í^a+/3a y (í»¿ + /2')a tie-
nen lo mismo dirección y sentido de o .
(Ver figura 1 )
2) J (T-^ ^ ) "jT+g^h
o)</- y Q
Figura

6. -16-
Los triángulos ABC y ADE son semejantes, luego
líl! . IIr + bü Miir+rií - iiJír+TTíi
i|i??ii ilro*+ZT**ií
luego son vectoras qua tienen Igual módulo y dirección.
b ) < ^ -íi O
J {Ooi) « (¿^/^ ) a r
Cosos posibles:
1)^ -^ O, /? •p'O
2)^ ^ O,/^-^O
3)^ <c 0 , ; ^ ?> O
fu{BT)il "¡'^l llJ^^lh Hll^l T ' l'^fil'o
(J {(i o ) " / c3i^(/6o ) es paralelo o /itx y tiene el mismo sentido que /^o,
pero ^ o es poralelo y tiene el mismo sentido que "o
luego c3¿(^) " (í^/«)5*'
4) 1 o* = o* 1 cT * / l í í í o l í «i/o*"!] luego son iguoles.
Diferencio de Vectores:
Defi niel ón:
Sean eT, b £ G a*+ ( - ? ) = o * - b*
o - b es un vector que obtertemos sumándole o o ei opuesto de b .

7. -17-
t-¿;
n
'-f/
ST
/ ^
-a-.
^
'«/ ^ —?
-t—, (,
«k'fb
i i r - r i i = V ''""^l* ^1^^*" 2ii^inibii cose
Aplicondo ley del coseno en triángulo A B C .
6 : ángulo entre o y L
Ejercicios:
1) Demostrar que el conjunto de todos los vectores paralelos o o forman un
gnipo.
2) Sean o y b dos vectores geométricos, que forman entre sí un ángulo de 60 .
SI i| o * í / = 3 lj b¡| » 2 halle l| 0*+ T j ! , lo dirección de 0*+ T con
respecto o cT, lj cT- b lí y lo dirección de , a - b f respecto o o .
3) Demuestre los numeratas qua fottoron en los propiedodes de la multiplicación
de un vector por un esootor.
4) Simplifique: 3(a"+ 2 r ) - 4 r + 2^"
5) Sean oT y T é! G . SI ll T U = 2 el arruto entre a" y T » 30**. Cuál
l b ll pora que o + b seo perpendlcuior o o - b .
Sección 2. Correspondencia entre un punto y un vector.
Supongamos que un móvil siempre se desplazo en una mismo dirección, esto es
sobre uno recto, y que queremos en cuoiquier momento podar looalizario. Pora

8. -18-
poder ubtcorío fácilmente dafldrwnos: un punto da referencio (origen), urra unlckid y
un sentido de desplozamiento en lo recto. Lo recto osT definido lo llamaremos eje
de coordenados.
-£- J í - ÍV
SHr- m—b A
En este sistemo podemos ver que un número nos define un punto y un punto nos define
un número, esto es x é. • equlvoie o un punto de lo recto.
Si et móvil se despieza en un plono, pora poder ubicarlo necesitaremos un sistemo de
referertcio de dos ejes coordenados, que tengon el mismo origen y que generalmente
* X 1 ^ « { ( x , y ) / x , y 6 1 ] - el plano xy
serán perpendicu lores, en este coso vemos que un punfo P nos define uno parejo orde-
noáa ( x , y ) y que io parejo (x, y) nos define un punto, esto es ( x , y ) ¿ K^ e q u i -
vole o un punto del plono. Diremos que el plano tiene dos dimensiones.
SI trabo jomas en ei espacio y tratomos de ubicar un punto necesitaremos tres ejes
da coordenodas.
pc<.í.¡^^
I
I y x , y, z ) / x , y, z é 1 j » Espado xyz
=^:Í
y^ I
^ •^i
Uí."^
En este coso un punto nos define uno terno ( x , y, z ) y uno terna nos define Igualmen-
te un punto.
( x , y, z) £ w *==«> p es un punto del espacio.

9. -19-
Bosóndonos en io ontarior podemos hablar de un espacio de n dimensiones:
( x ^ , X2 . . . . x ^ ) é K " es un puito y un punto de K está determinado por n
reales ordenados.
Definición:
Licsnoremos n-tupios o los elemertfos de K*^. Ejemplo: ( x i , X2 . . . x ^ ) es uno
n-tupio.
Sea P un punto en un sistemo de referencia dado. Si este punto lo relacionamos con
ei origen dei sistemo definimos un vector geométrico OP , entonces o codo punto del
espacio podamos osoclorta un vector geométrico y todo vector geométrico nos define
un punto, yo que siempre podemos constniír un vector iguol o un vector dado, cuyo
origen coincido eon ei origen del sistemo de coordenodas.
E|are»|ei
Seo AB = o** un vector geométrico situado en el plono
= A = ( 0 | , 02) origen
del vector B =* ( b f , b2) «(tremo del vector.
1t
AB « 0 ( B - A ) « (b^ - o^ , b j - o j )
=
El hecho de que a codo punto de un espocio podamos asoclorle un vector geomé-
trico nos IrKkice lo siguiente definición:
Definición;
Llamaremos vector oigebraico o lo n - h ^ l o ( x | . . . x ^ ) é. K , X| es coordeno-
do o componente i del vector.

10. -20-
E| ampio:
A ' (2, - 1 ) es un vector algebraico perteneciente o I T
A'= ( - 2 , 1, O, 4 , 3) es un vector oigebraico perteneciente o t r
Igualdad de vectores olgebraicos»
A, B t « A " [ o ^ , On . . . . o )
B » ( b j , bj . . . . b^)
A •= B si y solo si 0| " b| pora todo i - 1, 2 . . . . n
Sumo de Vectores:
Seo K . Definiremos uno ley de composición interna de lo siguiente formo:
^ wT x t T — • "
( A , B) - A + B - (oj + b p 02 + b j , . . . . o^ + b „ )
Esto es A + B se obtiene sumando ios respectivas coordenodas de A y B.
.*. A + B é t"
Ejemplo: en 1 ^ A = ( 1 , 2, 3, 4 ) B » (2, - 1 , - 3 , 0)
A + B - ( 1 + 2 , 2 + (-1), 3 + (-3), 4 + 0) - (3,1,0,4) . ^^^téf^
. ^ ^ ^ ' " ^
Propiedodes: ^x*^^"
1) IJO sumo de vectores olgebraicos es uno ley de composición osociotiva
A , B, C fc i™
(A + B) + C » A + (B + C)
2) O " (O, O, O, 0 . . . 0 ) C l"
Q + A ' A + Q ' A Oes eiemer^o neutra respecto o lo sumo.

11. -21 -
3) ^ e ^ A « ( O j , ^2 . . . , o^) -A « (-Op -OJ . . . -o^) é l "
yo que oj 6 R como R es un campo - a | ^ R.
A + (-A) « ( - A ) + A = (o^ - O p <»2"*'2 • • • ^ n ' ^ ^ n ' ' ^ ( 0 , 0 / 0 • • • / 0) " Q
Todo elemento de R " posee un inverso (opuesto) en R " .
4) l o sitmo de vectores olgebraicos es conmutativo.
A + B = ( a | + b | , Oj •*"^2 • • • " n •*^**n^ * ^^1 "'""l ' • " ''n "''"n) " ^ ^ f<
Luego ia ( R " , + ) as un grupo oi>etIano.
M u l t l p l i e o c i ó n de u n v e c t o r o i g e b r a i c o p o r un escolor;
Definición:
S e a ^ é R , A ¿ R " . S e a f i R x R " »- R"
{e< , A ) — * i A = ( / O ^ , o¿a2 . . . o¿a^)
^ k € ^ Ejemplo en R"* A = ( 1 , 2, 3 , - 4 ) ^«-2
2A * ( - 2 , - 4 , - 6 , 8) .
Propiedod» de e ^ op<micIón»
Sea o/ , / ^ ^ R , A , B £ R"
1) {cL +/6> ) A = « Í A + /3A
2) *^(A + B) » C^A + Í^B
3) /0 ( ^ A) « ( /*^ ) A
4) IA - A
Wxy que notar que en algunos cosos + nos represento uno sumo de reales y en
otres uno sumo de vectores. Ejemplo:
(c^ + / 4 ) A « '^ k + '^A
Sumo de reates Suma de vectores

12. -22-
Iguolmer^ sucede con ei producto: en unos casos es producto da realas y en otros
producto de un escolar por un vector.
Yo tenemos estructurodos tos vectoras algebraicos y estudiadas sus operaciones.
Ahora vamos o trotar de mostrar qué vectores geométricos son simptemerte vectores
olgebiolcos cuondo n = 1, 2 y 3. Yo vimoi que pora n = 1, 2, 3 codo punto o ele-
mento de Rr nos defina con el origen un v e d a r . Además si revisamos ios propieda-
des de los operoclones hasta ohora definidos en los respectivos conjuraos, vemos que
son los mismas; por consiguiente, basto demostrar ios equivolencios de las opera-
elor>es.
Entonces, después de haber hecho estos demostraciones, podremos trabajar de uno
manara más general con K y MIS operoclones y todos los rasuitodos que obtenga-
mos sarán válidos pora los vedares g^ynétrleos.
Btudloremos lo equivolenclo da los operaciones en r (en ei plano), iguolmen-
te sa demuestran en 1 y 3 dimensiones.
Sao A B un vector geométrico si -
B>Ci9,U)
tuodo en el p i o i o . Entonces:
A * ( a | , 0 2 ) es ei origen dei vec-
tor A T -
B = ( b « , I12) es el extremo del vec-
tor A B.
AB " O(B-A) • ( b | - 0 | , b 2 " 0 2 ^ ^ ' ^ yo es un vector algebraico.
Pora io sumo:
Sean o y b vectores geométricos; hogomos coincidir ios orígenes de o y b eon et
« , ! _ . _ J_l .»,» J - .1 I.- «I I . » . . I _^ » _ /
j*ifmií M«i aiMoiiivi u v «.(.ruruNNiuua» y c u n « n u uwriiHrno» iu» p u n r o * A ~ ai , «2/
B = (b,, bj).
Hallemos ahora o + b . Estoes, en el extremo de o trazomos un vector iguol o
b , el vector rasultortfe a V b tiene origen en O y definiremos ei punto C los
coar<fonadcn de C < (o^ + b | , 02 + b 2 ) ; luego de ocuerdo o lo definición de
=
«ifflo en R^ :
C - A * »

13. -23-
C - C^l+loijll-rbx)
Por consiguiente es equivalente sumar vectoras geométricos y algebraicos.
Pora la multiplicación por un esoaiori
Seo o un vector geométrico. Sltuémoslo en el origen det sistemo de coordenadas.
Constmyomos «^ol Esto nos define un punto. Llamémoslo C ( c i , C2) .
f«. e») Los triángulas O A A * y OCC* son
semejantes . *.
l|;r^¡l _ c] C2
lo U °1
02
«1
c, - o{ a, «2 • - ^ « ^ ( <^ o ^ ,
> í^ O j ) » «^ A
Luego es equivalente muitipiicor vectores geométricos por un ascoior que multipli-
car vectores algebraicos por un escolar.
* ^ s %• • n« t i.yM • VI W'^n i w« v o w f l - ^ i o # ifd^Mirws I • %»Oi» « « t I s n i wt»* ta/w ^ w i v«i % > i,») il ^
> «ii Bñ e
i^fíniciSn:
Saon A y B6 R A es poralelo o B si exista o^ £ W tol qua
. A *= < < B
71

14. -24-
Ejwnpio:
Sao A = ( 1 , 3, 6 ) B - ( 3 , - 9 , 18) C - (IA h 2)
Es A paralelo o B? Es A poralelo o C ?
0) Supongamos que existe d tal qua A =• <^ B
(1,3,6) » ^ ( 3 , - 9 , 18)
( 1 , 3, 6 ) « ( 3 ^ . - 9 c ¿ , 18«í )
De lo iguoldod en R^^ obtenemos un sistemo de tres ecuaciones con uno I n -
cógnito
1 = 3 ^ í^= 1/3
3 « -9¿v: o^« -1/3
6 = 18^ o¿. 1/3
.*. Este sistemo no tiene solución luego no existe tol que A - (?¿ B
.*. A no es paralelo o B .
b) Supongamos que A es paralelo o C . Entonces: A * <^ C
(1,3,6) = ^ ( 1 / 3 , 1, 2)
(1,3,6) = («^/3, c ^ , 2^ )
m d / ^ .vr*>f. «{ = 3 Sistemo de tres ecuo-
3 = 1 ^ ciones con una
6 = 2°^ ~ » > c^« 3 Incógnito.
Solución de! SIEÍSÍTO C*- — "^ .'. A es '^rntelo o C .
Ejercicios;
1) Demostror las propiedades de lo sumo y de lo multiplicación por un escolor
en los vectores olgebraicos.

15. -25-
2) Seon A * ( 1 , 3, 6 ) B • ( 4 , - 3 , 3) y C = ( 2 , 1, 5) vectores
de R^ . Deterniinor:
1) A + B , 2) A - 3 B + 2C 3) A - 3 ( A - 2B) - 2 ( 2 C - A )
3) Seo A-(2,2) B=(2, 4). Halle para t = 1 , t = - 1 , t - 2, t = - 2 ,
t - 1/2, t = 4
o) A + tB SI une todos estos puntos qué obtiene?
b) tA + B Si urte todos estos puntos qué obtiene?
4) Seo A = (2,1) B = ( 1 , 3) C " (5, 3 )
0) H o l l a r ^ "^ 2 * toles que C " ¿ ^ ^ A +-^2*
b) Mostrar que todo X £ Wd X " (x, y) puede expresorse como
X •<?<:.A + J ^ h • Expresar ¿^ « y «^ 2 * " función de x y de y .
c) SI X * (O, 0 ) , cuáles son los volores de ¿x!^ . y c^. ^ 7
5) Seo A = ( 1 , 1 , 1) B « (O, 1 , 1) y C = ( 2 , 1 , 1) tres vectores
deR"'. SI D ^ ^ ^ A + t ? i ^ i + U ^C donde -<^, £ R
1) Determinar ios componentes de D.
2) Hollar volores pora ^ I , C ¿ A , (^3 no todos mitos toles que D "» O
3) Hottor ^ ^ ^ 2 ^ 3 * « ' « <í»« ^ = ( 3 , 3, 3)
4) Mostrar que no existe c^ , cr¿ c¿ ^ toles que D "^ ( 1 , 2 , 3)
6) Seo o un vector geométrico de móckilo 4 . Se formo con ei eje positivo de
tos X un ángulo de 120 . Expresarlo como vector oigebraico.
7) Sea A , B <^ R^. Hollar un vector P tol que el P seo punto medio
de T t

16. -26-
8) Seo A « ( 1 , 2 , 3) B * ( - 3 , - 4 , 1) . Hollar un vector P tol que
TP' = 2 PB*.
Sección 3. Estractura de bpoeJo Vectorlol
Yo vimos que los vectores ojgeL>raicos son uno generalización de los vectoras geométri-
cos. A contlmioción definiremos un espocio vectorial sobre un campo, que es uno ge-
neraiizoción más fuerte de ios propiedodes de ios vectores. Pora ello postularemos uno
a«rfe da requisitos. Si los elementos de un conjunto y de un campo los cumplen d i r e -
mos que V as un espacio vectorlol sobre dicho compo y los elementos de V los tlomo-
ramos vectores.
Definición:
Seo V un conjunto, K un campo.
En V definiremos uno ley de composición Interno V x V ' » V que lloDoremos
sumo ( + ) y definiremos otra qperación de K x V * V que llomoremos muitl-
pliooclón por un escolar.
V es un Mpocio vectorial sobre un campo, si se cumplen ios siguientes condicio-
nes: Sea i l , c/z ^ K f V | , V2 ^ V
1) ( V , +) es un grupo obeliono
2) ( .^ ^ + -^ 2 ) ^1 * "^ 1 ^1 "^ '^ 2 ' ' l
3) D¿. (v^ + Vj) «^ »¿iv^ 4 di V2
-•) c¿,(«/2^1^ " ^ "^'1 ' ^ 2 ^ ^ 1
5) 1 . V. " V. donde 1 es ei eiemento neutro respecto oi producto dei
campo.
En general, aquí trabajaremos con • ! campo de ¡o» reaies.
Ejemplo 1 :
Es cloro que tos vectores geométricos y vectores algebraicos son espacios vectoria-
les sobre los R .

17. -27-
Ejemplo 2 :
Seo F " [f: R R/ f es continua j
K = R
Seo V '2 ^ '^ ^ ^ *
+ f^ + f2.- (', + ^2^** " ^ ^ ^ * '2^**^
ic¿f^){x) = ^f,(?c)
F es un espocio vectorial sobre los reoles.
Ejemplo 3 :
P = • / OQ + o^x + 02X + o ^ x ^ / a . £ R 1 = 1 . . . n j
P « conjunto de todos los polinomios de grado menor o iguol o n .
Seo K = R
Seo p,(x), PJÍK) ^ P a/éñ
O n
D.íx^ = b- + b»x + bjx + ... + b X
9 n
P2(x) = C3 + c^x + C2X + . . . + c^x
"+" P,(x) + P2(x) - (bo + C3) + (b, + c^)x + (b2 + e2)x2 + . . . + (b„ + Cn)x^
. 2p,(x) - « ^ b ^ + ( ^ b , ) x + (^b2)x^ + ... (^b„)x"

18. -28-
El conjunto P es un espocio vectorial sobre los raotes.
El objetivo de los ejemplos 2 y 3 es mostrar que Riera de R hoy otro tipo de
cortjuntos que son espacios vectoriales. En estos notos se demuestran los teore-
mos en un espacio vactoriol cuolquiera, pero siempre se ejemplorizará en R " .
Ejemplo 4 1
Seo A -(I,2)J
Sp(A) = ^ 1 ( 1 , 2 ) / oié R ^ Sp(A) C R^ Á é
v^, Vj é Sp(A) — * v^ - ¿^ ( 1 , 2) - i í é- «
Vj = ¿ 2 (U 2) ¿2 ^ •
+ v^ + ^2 ' ^ , ( U 2 ) + i ^ í ^ ' 2) « ( i ^ + o¿2)(l, 2)
. iv^ - ái o/^ ( 1 , 2 ) ) « (-Í c/^)(l, 2)
=
Veentos que Sp(A) es un especio vet^orloi sobre los raotes con Icn operaciones
anteriormente definidas.
"+" es uno ley de composición Interno yo que:
V, + Vj = ( ^ ^ + < ¿ 2 ) < ' ' 2 ) é Sp(A) yo que « , + j
^ ^^ * por
ser R un compo.
iv, - (<*! ¿ p ( l , 2) é Sp(A) yaque Á J. ^ ^ W por
sar R un «vnpo.
Veamos ohora que:
1) ( S p ( A ) , + ) a s u n grupo obationo
o) " + " as osociotiva. Seo v , , v - , v^ ^ Sp(A) Vj = / 3 ( 1 , 2)
N|*V2)+V3- [{cl^*J.2)(},2)] + ^ 3 ( 1 , 2 ) - ( ( ' ^ , + o l 2 ) * ' ^ 3 ) 0 , 2)
* («^ , + ( ' ^ 2 ' ' ' ° ^ 3^^^^'^^ osoclotividod de ios reatas

19. -29-
t^ ( I , 2) - ^ [ { c l -i-Ji ) { , 2)1 definición operoció
on
^ , (1,2) + [ i 2 0,2) + Ji 3 O, 2)]
Vl + ( v , + V , )
b) (O, 0) 6 Sp(A) yaque (O, 0) = 0 ( 1 , 2) = ( 0 . 1 , 0 . 2 ) O é- R
<L^ ( 1 , 2) + 0 ( 1 , 2) = 0 ( 1 , 2) + ¿ ^ O, 2) - cl^ ( I , 2)
c) V. 6 Sp(A) Como o¿ . é M. - Í¿ ^ ^ ñ (Inverso respecto o +)
tuego - v^ = - ^ ^ ( * , 2) 6 Sp(A)
i , 0 , 2 ) + ( - ^ , ) ( 1 , 2) = ( ¿ ^ - .'^,)(1, 2) = (O, 0)
d) "+" es conmutativa.
V, + v^ = (t¿^ + « ! 2 ) 0 , 2) = ( o l j + t^ ^ ) 0 , 2)
< Conmutotivldod res-
= Vj + V pecto o io + de R
2) Seo r,;<;¿ ¿- R
( r +<¿ ) V, » ( ( r + ;. ) ;2^ ( 1 , 2) = i r c l y + ^ <^,) (1, 2) distributívídod de R
=
- (r^,)0,2) + ( ^ ^ , ) ( l , 2)
r Vj + c¿ V,
'1
3) r ( v , + Vj) = r i i J - ^ + d 2 ) 0 , 2 ) ) = ( r ( í ^ , + ^ 2 ) ) 0 , 2) dlstributibidod de I
K
r ^ (. 7) + r^ ^ n . 2)
r v^ + r V j
4) r ( ^ v^) = r ( ( , l ^ ^ ) ( 1 , 2 ) ^ { r { JL Jí ^ ) ) ( 1 , 2) = (r , ¿ ) ( / ^ ( l , 2)) oso-
= ( r ,¿ ) v ciotividod de iS

20. -30-
5) l.v, - l o / , ( 1 , 2) « ^ ,
= (1,2)
1
Hoy que notar que en ios demostraciones de codo uno de los numerales anteriores
son básicos los propiedodes del compo en este coso los R.
Gráficamente Sp(A) es el siguiente conjunto:
Propiedodes de un espocio vectorial sobre un campo:
Teorema:
Seo V un espacio vectorial sobre un campo K. Entonces:
1) Seo V ¿ V O é K (O eiemento neutro respecto o lo sumo)
Ov ' O O (elemento neutro de ( V , + ) )
2) Ji & K O é: V
JO » O
3) JLé K A ^ O v^-V
,¿v = O ==t» V = O
4) (- 1)V - - V

21. -31 -
dm :
1) i) 0 + 0 * 0 neutro del compo
Ov « (O + 0 ) V •= Ov + Ov propiedad 2 de espocio vectoriol
Ov at Ov + Ov luego Ov actúo como neutro y como ( V , + ) es un
grupo, ei neutro es único luego Ov " O .
li) V é V ==*> -V t V
Ov + V = (O + 1 ) v = 1V = V
(Ov + v ) + ( - v ) = V + (-v)
Ov + (v + ( - v ) ) = O
Ov + p * O Ov « O
2) I t K S e o v í V JvÉ^V
^0 + ¿V = J(0 + v) - «iv ( - i/ v ) 6 V
( JO + ¿ v ) + (- i v ) « « V + ( - i v)
1
O + ( ¿V + ( - ¿ v ) ) - O
^0 + 0 = 0 «^o-o
»
3) JtK ¿ ?t O =«b J"' 6- K
Seo Jv = O
i^iv) = I "^0)
( ¿"V )v « g
l.v = Q
V - O

22. -32-
4) (-l)v + v = -lv + lv= (-1+1 )v = 0v = Q
(- 1 ) V + V = O Como ( V , +) M un grapo, v solomente ti
un opuesto luego - 1 v = - v .
Definición:
Seo V un espocio vectoriol sobre un campo K.
V , , Vj 6- V , A & K
Vi es poralelo o V2 si y solo si existe « ^ K tol que v, "» « V2 .
^ 2
Ejerclclos:
1) Demostrar Ejemplos 2 y 3.
2) Demostrar que los reates son un E.V. sobre los reoles.
3) Seo e, = ( 1 , O, 0) eg » (O, 1, 0) e , , 02 é- R^
Considere el siguiente conjunto:
S p ( ( « i , « 2 Í ) '-[«^ l ' l ^-^ 2 « 2 / ' ^ l " ^ 2 ^* ) *^
y como compo los raoies.
Seo v,,V2¿ Sp((e,,e2lí) ^'i " « ] «1 ^ -^ 2 *2
^ J ,1 2 ^ ^
Vj = S,e, + í 2*2 S i S2 ^»
H X "
+" V, + VJ = (,^, + ^ , ) e , + (¿2"^J'2)*»2
;3v, = {/iJl p e , + (/3J2)e2
Es Sp ( { e . , •2!!) ^°'^ ' ° * operoclones anteriormente definidos un Mpocio
vectoriol sobre los R ?
Gráfioomertte c^é represento Sp ( j e , , 02^ ) ?