1. ta
Jl TE*REMA, y DEr.os
DELcosEruo sE'os o
rl
5
19
=
Seaun tri6ngulo ABC. Denotamos con A, B y C la medida de sus 6ngulos, fr
lu
v con a, b, c, la de sus lados, de forma que cada lado (a) seaopuesto al 6ngulo o
del mismo nombre (A) (figura 1). e
o
Estudiaremos dos importantesteoremasque relacionanlos ladosy los dngu- u
5
los del tri6ngulo. rl
o
Teorema del coseno. En un tridngulo, el cuadrqdo de un lado es igual a la Figura1
n
c
suma de los cuadradosde los otros dos, menosel doble del producto de dstos
por el T r i S n g u l o e l a d o sa , b , c
d
coseno dngulo comprendido.Es decir:
del y 6ngulos B, C.A,
a 2 : b 2 + C - 2bccosA
v relaciones para los otros dos lados.
andlogas
Para demostrarlo diferenciamosdos casos.Consideramosen primer lugar
que el tri6ngulo seaacut6ngulo(figura 2).Trazamosla altura CH sobreel lado c;
seah su medida. Estaaltura divide al lado c en dos segmentos y s, de modo que
r
c : r *s .
En el tri6ngulo rect6ngulo HAC tenemos, por el teorema de Pitigoras,
li : b2 - f,y,por otra parle,r : b cos 0. En el tridngulo rect6nguloHBCse Figura2
r-erifica : h2 * s2.Combinando estasrelaciones
a2 obtenemos: Al trazar la altura CH,el lado c
queda dividido en dos
at : h, + s2: (b, - f) + (c - r)2 : b2 - I + ? + I - 2cr : segmentos medidar y s, de
de
: b2 + i - 2cr : b' + ? - Zcbcos0 : b')+ C - 2bccosA m o d o o u e c:r +5 .
que es el resultadobuscado.
Se demuestrade forma an6logasi el tri6ngulo es obtus6ngulo.En esecaso
setiene, con las notacionesde la figura 3:
a' : h' * (c * r2 : b2 - f + / + I * 2cr : b2 + e'l 2cbcosl :
: b ' + d + 2 c b (-c o s A ) : b2 + C - 2bccosA
con lo que queda probado el teorema.
Figura3
Trazamos altura CH.Sear la
la
medidadel segmentoHA.
) Ejemplo ? En un tri6ngulo, las medidas de los lados son a : 10 cm, Entonces:
b : 5 cmy c : 9 cm. Hallar los 6ngulosA yB. r : b c o s 0 : - bco sA.
Segrinel teorema del coseno,a' : bt + C - 2bc cosA. Despejamos
cosA y resulta:
b 2 + e -a 2 25+ 81-100
cosA: :0,0667
2bc 2.5.9
tq u rera. En la calculadoraobtenemosA : 86,l8'.
uci o n e s
Segrinel teorema del coseno,b2 : a' + i - 2accosB. Despejamos
rl o s .
cosB y resulta:
i ng u I o s
fisicos o a 2 + ? -b 2 100+81-25
c o s B: : :0,8667
,* 2' t0 .9
dedo n d e B:2 9 ,9 3 " .
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